2023高三講義-圓錐曲線解析幾何（平面向量問(wèn)題）專題 - 二輪復(fù)習(xí) -

新東方·老師好高一數(shù)學(xué)新東方·老師好高一數(shù)學(xué)高三：圓錐曲線專題講義PAGE20PAGE21會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小。11.4平面向量問(wèn)題【課前測(cè)】成績(jī)（滿分10）：完成情況：優(yōu)/中/差1．橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若為直角三角形，求的值.

2.已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓過(guò)點(diǎn),且離心率為,為橢圓的左頂點(diǎn).(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)已知過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于,兩點(diǎn).(ⅰ)若直線垂直于軸,求的大小;(ⅱ)若直線與軸不垂直,是否存在直線使得為等腰三角形?如果存在,求出直線的方程;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【知識(shí)點(diǎn)一：向量相關(guān)知識(shí)點(diǎn)問(wèn)題】1.三點(diǎn)共線：①；②存在實(shí)數(shù)，使；③若存在實(shí)數(shù)，且，使．2.給出，等于已知，即是直角；給出，等于已知是鈍角，給出，等于已知是銳角．3.給出，等于已知是的平分線．4.在中，給出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三條高的交點(diǎn)）．5.如果問(wèn)題中涉及到平面向量知識(shí)，那么應(yīng)從已知向量的特點(diǎn)出發(fā)，考慮選擇向量的幾何形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，還是選擇向量的代數(shù)形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化．

【知識(shí)點(diǎn)二：垂直問(wèn)題】1.垂直以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)故兩邊同時(shí)乘以，整體處理得消去高次項(xiàng)得即找了的關(guān)系式.推廣：以為直徑的圓過(guò)焦點(diǎn)可以看得出，同樣可以采用整體法處理.2.角度問(wèn)題成銳角或鈍角原點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)易得原點(diǎn)在以為直徑的圓外易得【典型例題】考點(diǎn)一：：垂直問(wèn)題之矩形問(wèn)題例1-已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,離心率，過(guò)右焦點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率為1時(shí)，求的面積；（Ⅲ）若以為鄰邊的平行四邊形是矩形，求滿足該條件的直線的方程.

練1.已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為1.（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使成立？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

例2已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，離心率為．過(guò)焦點(diǎn)的直線（斜率不為0）與橢圓交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線交橢圓于兩點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）當(dāng)四邊形為矩形時(shí)，求直線的方程．

例3.已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，若點(diǎn)B始終在以PQ為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

練3.已知橢圓，點(diǎn)，分別是橢圓的左焦點(diǎn)、左頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線（不與軸重合）交于兩點(diǎn).（Ⅰ）求的離心率及短軸長(zhǎng)；（Ⅱ）是否存在直線，使得點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，若存在，求出直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由.

練4已知橢圓，（1）求橢圓的離心率.（2）設(shè)為原點(diǎn)，若點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在直線上，且，求直線與圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

考點(diǎn)二：：垂直問(wèn)題之三角形問(wèn)題例1.橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若為直角三角形，求的值.

練1.已知是橢圓上兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.（Ⅰ）當(dāng)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，求證：；（Ⅱ）當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，求證：不可能為等邊三角形.

例2.已知橢圓（）過(guò)點(diǎn)，離心率.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)過(guò)定點(diǎn)（2，0）的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且為銳角（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線傾斜角的取值范圍.

考點(diǎn)三：角度問(wèn)題例1.設(shè)分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，且點(diǎn)在該橢圓上．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)為直線上不同于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，若直線與橢圓相交于異于的點(diǎn)，證明：△為鈍角三角形．

練1.已知橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是一個(gè)正方形，且其周長(zhǎng)為（1）求橢圓C的方程（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)B（0，m）（m>0）的直線l與橢圓C相交于E,F兩點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為D，若點(diǎn)D總在以線段EF為直徑的圓內(nèi)，求m的取值范圍

練2.已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是焦距的倍，過(guò)橢圓左焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)。（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（Ⅱ）若直線垂直于軸，判斷點(diǎn)與以線段為直徑的圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（Ⅲ）若點(diǎn)在以線段為直徑的圓內(nèi)，求直線的斜率的取值范圍。

【知識(shí)點(diǎn)二：共線比例問(wèn)題】【典型例題】考點(diǎn)一：共線問(wèn)題例1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,）且斜率為k的直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q.(Ⅰ)求k的取值范圍；(Ⅱ)設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A,B,是否存在常數(shù)k，使得向量與共線？如果存在，求出k的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

練1已知橢圓的焦距為，過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，且滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)的取值范圍.

例2.已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，焦距為2，離心率為.（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與橢圓交于兩點(diǎn)，若，求直線的方程.

練2（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

例3（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)直線的斜率，在軸上是否存在點(diǎn)，使得以，為鄰邊的平行四邊形是菱形.如果存在，求出的取值范圍，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；xOyQA··F2F1xOyQA··F2F1

例4．已知橢圓上的左、右頂點(diǎn)分別為，，為左焦點(diǎn)，且，又橢圓過(guò)點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）點(diǎn)和分別在橢圓和圓上（點(diǎn)除外），設(shè)直線,的斜率分別為,，若，證明：,,三點(diǎn)共線．

練4.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在橢圓上，過(guò)點(diǎn)的直線的方程為．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）若直線與軸、軸分別相交于兩點(diǎn)，試求面積的最小值；（Ⅲ）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，求證：點(diǎn)三點(diǎn)共線．

考點(diǎn)二：比例問(wèn)題例1．設(shè)橢圓Ｃ：的左焦點(diǎn)分別為是橢圓Ｃ上的一點(diǎn)，且，坐標(biāo)原點(diǎn)Ｏ到直線的距離為。（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)Ｑ是橢圓Ｃ上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Ｑ的直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)Ｍ，若，求直線的斜率

練1.已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上且過(guò)點(diǎn)，離心率是．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）直線過(guò)點(diǎn)且與橢圓交于，兩點(diǎn)，若，求直線的方程.

【小試牛刀】例1．已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓過(guò)點(diǎn),且離心率為,為橢圓的左頂點(diǎn).(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)已知過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于,兩點(diǎn).(ⅰ)若直線垂直于軸,求的大小;(ⅱ)若直線與軸不垂直,是否存在直線使得為等腰三角形?如果存在,求出直線的方程;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

2.已知橢圓的離心率，點(diǎn)為橢圓的右點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓的方程；(Ⅱ)過(guò)右焦點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，若在軸上存在著動(dòng)點(diǎn)，使得以為鄰邊的菱形，試求出的取值范圍.

3.已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是焦距的倍，過(guò)橢圓左焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)。（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（Ⅱ）若直線垂直于軸，判斷點(diǎn)與以線段為直徑的圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（Ⅲ）若點(diǎn)在以線段為直徑的圓內(nèi)，求直線的斜率的取值范圍。

4.已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為（，0），右頂點(diǎn)為（2，0）.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）若直線與橢圓C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且(其中O為原點(diǎn))，求k的取值范圍.

【鞏固練習(xí)——基礎(chǔ)篇】1.已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，（，不同于點(diǎn)），直線與直線：交于點(diǎn)．連接，過(guò)點(diǎn)作的垂線與直線交于點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程，并求點(diǎn)的坐標(biāo)；（Ⅱ）求證：，，三點(diǎn)共線．

2.已知橢圓的離心率是．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)作斜率為的直線，交橢圓于兩點(diǎn)，直線分別交軸于不同的兩點(diǎn).如果為銳角，求的取值范圍．

3.已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程以及離心率；（Ⅱ）若直線與橢圓相切于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)．在軸是否存在定點(diǎn)，使？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

4.已知橢圓,橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,與有相同的離心率,且過(guò)橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;（Ⅱ）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)分別在橢圓,上,若,求直線的方程.

5.已知橢圓的離心率為,直線過(guò)橢圓的右頂點(diǎn),且交橢圓于另一點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;（Ⅱ）若以為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓的上頂點(diǎn),求直線的方程.

6.已知圓的切線與橢圓相交于兩點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓的離心率;（Ⅱ）求證:;（Ⅲ）求面積的最大值

7.已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為.是橢圓上兩點(diǎn)，且直線的斜率之積為為坐標(biāo)原點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若射線上的點(diǎn)滿足，且與橢圓交于點(diǎn)，求的值.

【鞏固練習(xí)——提高篇】已知點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn),直線與圓交于兩點(diǎn),點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓的離心率及左焦點(diǎn)的坐標(biāo);（Ⅱ）求證:直線與橢圓相切;（Ⅲ）判斷是否為定值,并說(shuō)明理由.

2. 已知橢圓:的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,左、右頂點(diǎn)分別為,經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)（不與點(diǎn)重合）.（Ⅰ）當(dāng),且直線軸時(shí),求四邊形的面積;（Ⅱ）設(shè),直線與直線相交于點(diǎn),求證:三點(diǎn)共線.

3.已知橢圓：的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）點(diǎn)是橢圓上異于短軸端點(diǎn)A，B的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于，線段的中點(diǎn)為．直線與直線交于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷以O(shè)D為直徑的圓與點(diǎn)M的位置關(guān)系．

4.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為.直線過(guò)點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個(gè)交點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；（Ⅲ）延長(zhǎng)線段與橢圓交于點(diǎn)，若四邊形為平行四邊形，求此時(shí)直線的斜率．

5.已知橢圓的焦距和長(zhǎng)半軸長(zhǎng)都為．過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)．（=1\*ROMANI）求橢圓的方程；（=2\*ROMANII）設(shè)點(diǎn)是橢圓的左頂點(diǎn)，直線分別與直線相交于點(diǎn).求證：以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn).

6.已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為，點(diǎn)，且．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線（不與軸重合）交橢圓于點(diǎn)，直線分別與直線交于點(diǎn)，，求的大小．

7.已知橢圓E：經(jīng)過(guò)點(diǎn),離心率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn).(Ⅰ)求橢圓E的方程;(Ⅱ)設(shè)A,B分別為橢圓E的左、右頂點(diǎn),D為橢圓E上一點(diǎn)(不在坐