mooc微積分1第9周課程39廣義

常義積分

2.被積函數(shù) Ca,￥,I=bfi

f 則稱這極限為fx)在￥的廣義積分，記作+￥f(a fdx= bfi

f a

fxdx收斂2如果上述(1)不存在fx在[a,+￥ f(

fx)dx發(fā)散 fx)dx不再表示數(shù)值了類似地設(shè)f(x)?C-￥,,"a< b b

f 存在

f(b即 fdx=limb

bf b- afi-b這時(shí)也稱廣義積分b

f 收斂bb

fx)dx發(fā)散3

f(x)dx和 f(f(x)dx -￥

fxdx

fxdx0-￥00

+￥f0b=limafi-￥

fdx+limbfi+￥

fxdx. (3)-￥fx)dx收斂否則稱廣義積分-￥fx)dx發(fā)散0注:兩個(gè)廣義積分0-

fx)dx

fx)dx中有一個(gè)發(fā)散廣義積分

fdx發(fā)散-4例1+￥ dx -￥1+x解由(3) d

y1+x d +￥

=0

++￥ d -￥1+x -￥1+x 1+x=limafi-

d 01+x0

+limbfi+￥

d b1+xb=afi-

arctan

+bfi

arctana0=- arctana+ arctanba0afi- bfi=-

-p

+p=p 2 5

lim F(x) =F(x)+￥bfi+ aF(x)+￥a

F(x)+￥= F(x)-Faxfia b b

F(x)+￥af(x)dxF(af(f(x)dxF(￥=limF(x)-limF(

limF(x)-xfi=F(b)-limF(xfi-xfi xfi-+￥ dx

arctanx+￥-￥1+x -￥=limarctanx-limarctanx=xfi xfi-+￥--￥=6例2

(p>0解：u= v=-1e-p

limte-pt= te-ptdt=0

1e- t+￥0p0

+￥e-ptdt

tfi

tfi+￥e 0=-1limte-pt-

e-

ptfi

pt+

=tfi==-=

limtfi 7+￥ (a0)當(dāng)p>1p≤1時(shí)發(fā)散。 8定義2設(shè)f(x)?C,, f(x)=￥."e>xfiab若極 limefi+0

a+efxdx 存在b則稱此極限為fx)在bb f(x)dx,bb即 b

fxdx=limefi

f

(4)bb這時(shí)也稱廣義積分a f(x)dx收斂;如果上述極限不存在,bb f(x)dx發(fā)散

9類似地，設(shè)f(x)?,,limf(x)=￥ b-lim fx)dx hfi則稱此極限為fx)在的廣義積分記為b fbb即 b

f(x)dx=hfi

f( b這時(shí)也稱廣義積分b

fx)dx收斂；b若上述極限不存在，則稱廣義積分

fx)dx發(fā)散。:fx)?Cacc，b,limfx)￥xfi 若兩個(gè)廣義積分

fx)dx與

fx)dx都收斂，則定義bbafdxcafdxbcf=limbafx+limhfifbb否則稱廣義積分 f發(fā)散bbc兩個(gè)廣義積分cb

fx)dx與

fx)dx中有一個(gè)發(fā)散廣義積分

f發(fā)散adxaa2-xa2-x

ya2-解 limxfia-

a2-a2-xa dx aaa-x

=limefi

0

dx

a-x xa-x

a- =limarcsin

=limarcsin

-

=arcsin1efi+0

a

efi+0 a dx=arcsin

x

a2a2-x dx

的幾何意義是：

a 1-x2位于曲線y的圖形面積。

x軸之上，直線x0與x1之間11-x2例-1x 例-1x解fx)

-

=￥x 1dx

xfi x 1

dx=lim

=

=

x efi x

efi

x

也發(fā)散efi+0也發(fā)散所以廣義積分

dx發(fā)散

廣義積分

1dx=1dx =1

1-x

=-1-1=-2.-1 - dx. 求-1x dx mx =-2+ +1lim12efi+0e 解:

dx

1 x

li

im

x2e

fi+

2 dx

\-1x3p-積分與q-積分小結(jié)

x-1-10xq

（q>

當(dāng)q<1時(shí)收斂；當(dāng)q≥1時(shí)發(fā)散。

-

a

x

(a>

當(dāng)p>1時(shí)收斂；當(dāng)p≤1

b 對(duì)廣義積分

a(x-

的斂散性，可以類似地討論思考題（1）說(shuō)明

dx b(x-a)qb

q