2023年高考數(shù)學(xué)第08章參考答案與詳解

第08章參考答案與詳解

第一章集合與函數(shù)

第一講集合思想的綜合應(yīng)用

1.解:根據(jù)題中給定的兩個(gè)向量的新運(yùn)算可知

,d-b\a\\h|cos^|a\cos6,.|h\cos0

a-b=---=---------=--------a=o-----------.

bb\b\\a\

又由可得孝<cos6<l.

由…|。|〉0可得0<3”1.于是0<粵?<1,即b°ae（0.1）.

1?11?1

又濟(jì)2在集合中,.?.駕?=上即|&|=2|方|cos氏①

12J\a\2

同理回咨烏〉零將⑴代人后得2cos2。>*.又.

\b\2212J

ab-2cos2。='（〃62）.又1<9<2.故〃=3

22

?.cos0=—,|tz|=yJ3.h\,,.（i'h------x—=一.故選C.

2\b\22

2解?「（Au3）cC=0…AcC=0且5cC=0.

y2=x+l,..

由《消去y?得&2f+（2次一i）x+〃一J。

y=kx+b,

AnC=0,.-.A,=（2從一1）2-4-伊-1）<。.即4二一4尿+1<0.此不等式有解,其充要條件是

16Z?2-16>O,BPZ>2>1.0

4x?+2x—2y+5=0,2,

由《'消去）得4/+（2-2左）%+（5-2份=0.

y-kx+b.

；3門。=0,，&=4(1—女)2-16(5—2與<0.即尸一2左+8。-19<0.此不等式有解,其充要條件是

幼<20,即人<2.5②

beN,由①2)得。=2代人由劣<0和4<0組成的不等式組.

4-一8左+1<0,

公-2%-3<0,

&￡N.

解得&=1,故存在自然數(shù)k=1力=2使得(Au3)cC=0.

3.證明:⑴若M=Z.顯然M=Z,成立;若"H0任取，即有〃Xo)=Xo,則/(/(%))=/(%)

=x,即X。eN，故"cN.

⑵結(jié)論是〃=N,下證N聶M.

若N=0,顯然結(jié)論成立;若NH0，任取與eN,即有/(/(%))=/接下來(lái)用反證法證明/(x0)=x0.

若。/不妨先設(shè)/(玉))>玉),由于一(X)是一個(gè)在R上單調(diào)遞增的函數(shù)，故/(/(%))>fM>/

與/(/(%))=/與盾.同理，/(X。)<玉)也將導(dǎo)致矛盾.

故/(/)=%,即/eM，從而有N=".

結(jié)合⑴，證得M=N.

第二講充分條件、必要條件與充要條件

1.解:小=0時(shí)顯然不成立，排除B、D.

m[/2(%)+2/(%)+1]=25,[/(x)+1]2—7=^-1e(0,4)

my/m

5

1<5.，1<"7<25.故選A.

2.解:若方程有兩個(gè)負(fù)根，

A=(2Q—1)~—4^6?"-21..0,

91i-

貝I]X]+%=2。-1<0,一2

2

x1x2=a-2>0

或a)@

故4＜一"

⑴充要條件:取其補(bǔ)集得｛aI?！?正｝，同時(shí)考慮到方程有實(shí)根.A.0,故方程至少有一個(gè)非負(fù)實(shí)根的充要條

件是｛al-及領(lǐng)h

⑵充分非必要條件::縮小充要條件的范圍就是充分非必要條件，如｛aI?'卜答案不唯一)；

(3)必要非充分條件:擴(kuò)大充要條件的范圍就是必要非充分條件，如｛a\-2＜a＜3｝(答案不唯一)；

⑷既非充分也非必要條件，如｛a\a＞3,a＜-也｝｝是既非充分也非必要條件(答案不唯一).

3.解法一:當(dāng)a=0時(shí)‘/(X)=-2x不合題意；

當(dāng)aH0時(shí)J(x)為二次函數(shù)令/(%)=0.解得其兩根為x,=--2+4.

aVa

X,=—卜J2T--，由此可知玉＜0,當(dāng)＞。.

aVcr

(i)當(dāng)Q＞0時(shí)/1="|工＜玉｝°｛%|尢＞/｝?

AC3H0的充要條件是/＜3,即:+/2+，＜3,解得。＞,；

(ii)當(dāng)a＜()時(shí),A=｛x|而＜%＜七｝,4八3。0的充要條件是》2＞1,即：+/2+，＞1,解得。＜一2.

綜合(i)和(ii),使ACBH0成立的a的取值范圍為(fo,—2)口(號(hào)，+8)

解法二:當(dāng)a=0時(shí),/(x)=-2x不合題意；

當(dāng)a。0時(shí)J(尤)為二次函數(shù)，令/(%)=(),則4=4+8/＞0,設(shè)其兩根分別為％且用＜々，注意到

西工2=-2＜0,則必有玉＜0,々＞。.如圖⑴、⑵所示.由此可知:

(1)當(dāng)a>0時(shí),A={x|x<玉}u{x|x〉％2}.

Ac3w0的充要條件是/<3.即/(3)>0.

6

解得a>~

⑵當(dāng)。<0時(shí)人="|%vx<xJ.AcB=0的充要條件是%>L即/(1)>0,

解得ci<—2.

綜合(i)和(ii),使ACBH0成立的。的取值范圍為(―8,-2)u[3,+8).

第三講求函數(shù)定義域的一般方法

x+4

1.解:由--..0得4Wx<2,，A=[-4,2)，由。一|1一4|>0得|工一4|<。.

2-x

函數(shù)g(x)的定義域?yàn)榉强占稀?gt;0…+4-〃v%<4+a.

即3=(4-4+。)，24門3=0,「.4一。?.2或4+。<7.

「.0<62.

2.解:⑴由題意，分子部分依+2,%無(wú)限制.要使xeR函數(shù)恒有意義.得kx2+4京+3=0無(wú)實(shí)數(shù)解.,當(dāng)

左=0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)解；

當(dāng)左H0時(shí),A=(4Q2-i2攵<0=ke(0,3.

I4J

綜上所述.k的取值范圍是0,1j.

(2)由于￡+%+1>0恒成立

，只要ox?-4x+。>0對(duì)任意xeR恒成立即可,0時(shí)顯然不成立.

a>0,

“A=(-4)2-4〃<0

解得a>2.

即a的取值范圍是(2,+8).

11

——領(lǐng)hx----系1k

33?/a>0,/.,3a彳

3.解⑴由題意

-為己1a

..，

3a333,

-

1J_；當(dāng)時(shí),一a

當(dāng)a>1時(shí),x€0<&,1g,*T-

3a3。33

⑵/(%+1)的定義域是［一2,3),：./(尤)的定義域是［一1,4).

\

，-1必+2<4,.—31CC1,1(1

一<2,v？—時(shí)x>—..XG-CO,--不,+8

I3

XX327

(3六的定義域?yàn)?0,2),

0<x2<2

-A/2<X<V2,xw0,

g(x)的定義域必須滿足不等式組log](2-x)>0,.\<

20<2-x<1

2—x>0

解得1<X<0.故所求函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?1,72).

第四講求函數(shù)值域的一般方法

L解:原函數(shù)可化為方程(y-l)x2+(y+a)x+y-b=Q.

ywR,.\A=(y+Q>-4(y-l)(y-/?)..0，即3y2-2(a+2b+2)y-a2+4Z??0.

由題意,y=1,y=2是方程3y2-2(。+2Z?+2)y-tz2+4/?=0的兩根.

2(。+2b+2)

=3,

32。+46一5=07

由韋達(dá)定理得=><°=>a=—l,b=—

1

-a+4b三。2_詠6=04

--------二2

3

x+1x+1

2解函數(shù)“X）的定義域由3.0確定,即定義域?yàn)椋?1,?。?

+4X+7-(X+2)2+3,

當(dāng)x=-l時(shí),/(x)=0,當(dāng)x+1>0時(shí)，可令x+l=f>0.

x+11-14

故

x2+4x+7(/+1)2+3r+2t+4--4~6、

t+-+2

故原函數(shù)的值域?yàn)?,

(11

3.解2/(x)—/1—=—，①

X)x

以x替代，/(x)=-x②

X\x)

22\?；?/(*)=一；x+V,③

①x2+②得3/。)=——%=-XH----

xX7

求③的值域可用判別式法:

人12、8

令y=一§X4~一=+3yx+2=0」xeR且XH0.故△廊=>/

X79

.2V22V2

??y..-^-數(shù)為--—

/U）的值域?yàn)?/p>

也可用基本不等式:

、

21(22后Qn272

當(dāng)x>0時(shí)；,x+—厘V5,二.——X~\—一一^―-即％一-I—

x3(X7JD

Q1(2、272

當(dāng)x<()時(shí)，-x>O.(-x)+..2夜貝Jx+—京+2Vl.?.——XH----

x3I%3

nn2V2

即，??一^-?

4.解:g(x)=—；口一2/(x)]+Jl-2/(x)+1=-；口1-2/(x)r+71-2/U)+；

=-1[71-2/(x)-l]2+l

?34]________「]]-1r77-

由/(龍)￡—知J1-2/(x)￡?，g(尤)的值域是.

o9_32_9o_

1(1A217

5.解:a2+/2=(a+J3)2-2aj3=/n2-—(/H+2)=.

而a,尸是關(guān)于％的方程x2-nvc+絆2=0的兩個(gè)實(shí)根，

4

于是A-m2—(jti+2)..0,解得〃z.2或辦,—1.

.?■當(dāng)”=-1時(shí),〃+/72取得最小值g.

6.解:令x^u+v,y^u-v，代人條件式中得

(〃+u)2—3(]—聲)+3—u)2=2化簡(jiǎn)得5寸一〃2=2.???V2=1^1…|.

x2+V=(u+v)2+(w-v)2=2(]+?2)=2仲2一2)..2(6乂2_2.

\5J5

的值域是1,+coj.

第五講函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則“一”在解題中的應(yīng)用

9,_[A=16-24?..0,2

1.解:⑴由3%一4x+2。>0對(duì)x￡R恒成立得<=>a>—且Qw1.

Q>0,QW13

故a的取值范圍為(|,1)口(1,+8).

⑵要使值域?yàn)镽,需3/-4x+2a的值取遍所有正實(shí)數(shù).

則3△=。1,6—田24a..0,=磷.了2故。的取值范圍為°'1

2解⑴xe(-1,1)時(shí)，有2/(x)-/(-x)=lg(x+l)①

以-x代x得2/(-x)-/(x)=1g(-x+1)②

21

由①2)消去/(一幻得/(X)=-lg(X+l)+-lg(l-X),XG(-1,1).

⑵用，代替x,則勿\x)=￡,

x\x7x

af(x)+〃f—=ex-

X./.(a2-b2\f(x)=acx--,又|a|w|Z?|.

afQ]+"(x)=￡

\x)X

3.解:⑴當(dāng)xe：,2時(shí)/(x)=a-,是增函數(shù)

2x

1(1>

于是/(初皿=/(2)=。一弓"*焉=/不=。一2.故《

a—2=—,

2

⑵當(dāng)/糕！k〃(〃<0)時(shí),f(x)=a+，在［m,網(wǎng)上為減函數(shù)

x

1

4+-=〃，

f(加)=n

若存在適合題意的。,則〃7兩式相減得------=n-m,

1mn

a+—=)n.

n

〃—m

即-----=n-m,又幾一m>0.mn=1,于是a=0.

mn

綜上知.存在實(shí)數(shù)a=0適合題意且mn=1

第六講函數(shù)的最大值、最小值

L解：⑴當(dāng)x..a,即x—a.0時(shí)，函數(shù)解析式可化為/(X)=一2以+/,圖像開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x=§,結(jié)

合圖像易得：

若a.0,則函數(shù)/(%)在［a,物)上是增函數(shù)，其最小值為/(a)=2a2：

若a<0,則函數(shù)/(%)在對(duì)稱軸x=1處取得最小值為f

(li)當(dāng)x<a，即x-a<0時(shí)，函數(shù)解析式可化為/(%)=/+Zar-/,圖像開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x=-a，結(jié)合圖

像易得：

若a.0，則函數(shù)/(x)在對(duì)稱軸x=-。處取得最小值為f{ci)=-2a1；

若a<0.則函數(shù)/(%)在(f,a)上是減函數(shù)，最小值為f(a)=2a2.

綜合(i)和(ii)可得.

函數(shù)

—2。~,a..0,

/(X)min=<2。,2

----,o<0,

I3

2.證明⑴/(x)+4=0,即V-(m+1)%+加+4=0,依題意

A=(加+1)2-4(m+4)..0

<tanA+tanB=m+l>0又AB為銳角三角形的兩內(nèi)角，

tanA-tanB=/?/+4>0

4八、八/Ac、tanA+tanBm+l八

/.—<A+B<7t.^tan(A+B)<0,日口tan(A+8)=-------------------=---------<0.

21-tanAtanB-m-3

〃廠—2/yz—15..0

m+1>0,

因而彳〃z+4〉0,.,.加..5，機(jī).5?

〃2+ln

——^>°，

、〃/+3

⑶?/(%)=(x-l)(x-㈤，又一1款上。sa1,.,.掇2+cosa3,恒有/(2+cos。),,0,

即啜k3時(shí)，恒有/(%)?(),即(x-l)(x-m)?0

加??工，*max=3,故機(jī)..%*=3.

m+lY(m+1)2

(3)解:；/(sina)=sin2?-(m+1)sin?+m=sinor-+m-----------

2)4

+1

且—^―?.2,.,.當(dāng)sina=-1時(shí)/(sina)有最大值8.

即l+(/〃+l)+加=8,故加=3.

3.解二⑴設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（%%）,則有y0r+—,%>0.

演）

由點(diǎn)到直線的距離公式可知,IPM|=匕兄=——PN|=無(wú)。.

V2V2x0

故有|PM|口”=孝.即|加||附|為定值日.

⑵由題意可設(shè)，可知N（0,%）.

PM與直線y=x垂直“，左p"=*」=_1，解得1=2（5+乂）），

x0—/2

又%=%+',.?.，=%+」一,聯(lián)結(jié)0P,如圖所示.

42%

11c_121

,2AopM4^+25AOW=2%0+T

當(dāng)且僅當(dāng)X。=]-時(shí)等號(hào)成立,四邊形OMPN的面積有最小值1+半

第3題圖

⑶已知函數(shù)/（x）=bx+-的定義域?yàn)椋?,+8），設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)圖像上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作直線y=bx

X

和y軸的垂線.垂足分別為"、N,則1PMi|PN|為定值不】=?設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則四邊形OMPN的面

揚(yáng)+i

ab

積有最小值，最小值是a+

Jl+萬(wàn)

證明:設(shè)P（X°,%），則尸到y(tǒng)=bx的距離是

\/l+b2聞

1PMM聞=而.

設(shè)%，％），〃（的則為%+?\乎=-1

故

卜%=/為+之|=g（如2+a）

故S.

APON

1ba2

=—ClH--7-----T——.

22（1+/72）X2

1

b2ba、ab

故S四邊形

OMPN=S&OPM+S^opN22（i+/>2）VVuF

第七講函數(shù)的奇偶性

1.解：（1）解法一：依題意有

/（〃?）=4"'-■1■-2m+l=VI-2.@

A7fn_1］一4'"（4,n-1、

f（-m）=^r-2（-m）+l=y^r+2m+l=-^-^r-2m+lj+2

由(1)代人，得/(一加)=—/+2=2

-2x.

可見(jiàn),對(duì)一切xeR,都有g(shù)(-x)=-g(x)，表明g(x)是奇函數(shù).

從而可得/(加)+/(-m)=g(加)+g(-⑼+2=2.

即f(-m)=2-f{ni)=2-V2.

⑵解法一：y=/(x)在x?-2,2]上是偶函數(shù)

對(duì)任意xe[-2,2],都有/(-%)=/(%).

即ax2一(a+l)x+2=ax2+(a+l)x+2.r.2(a+l)x-0.

??,xe|-2,2],；.a+l=0R[]a=T.

f(x)=一/+2,xe[-2,2],值域?yàn)閇-2,2]

解法二:若。=0,則/(x)=x+2，不是偶函數(shù),，a。0.

故f(x)為二次函數(shù)，其對(duì)稱軸為x=二.

2a

又y=f(x)為偶函數(shù)，其圖像關(guān)于y軸對(duì)稱:一(：+1)=0,a=-\.

2a

■■■/(x)=-爐+2,XG[-2,2],值域?yàn)閇-2,2].

2.解:(1)定義域?yàn)镽上/(x)是奇函數(shù)g(x)是偶函數(shù)

???/(-x)=-/(x),g(-X)=g(x),-.-F(x)的定義域?yàn)镽,

F(-x)=[/(-x)]2-g(—x)=[-f(x)]2一g(x)=[/(x)]2一g(x)=F(x).

F(x)是偶函數(shù).

/(x)+g(x)=2'+x,即/(x)+g(x)=2'+x,

(2)由于?

x

[f(-x)+g(-X)=2--x-/(x)+g(x)=2'-x.

2X-2X+2x2X+2X

解方程組得/(x)=——-——,g(x)=—^―

3.解二(1)依題意有/(-%)=-/(x)對(duì)于xeR恒成立得———1=.

2+a22+a2

即一--+」一=1,即22'+282*+1=。-22'+仿2+1).2*+。對(duì)于*61i恒成立，

l+a-2'2x+a')

1=Q,

v2。=。2,+l,得Q=l,/(x)=5節(jié)1—21在R上是偶函數(shù)

1=a,

(2)函數(shù)/(龍)是奇函數(shù),題設(shè)轉(zhuǎn)化為不等式f(nvc-x]</(x-1)對(duì)任意x>0恒成立，又函數(shù).f(x)在

([、21

R上是減函數(shù),又可轉(zhuǎn)化為不等式皿2—x>x_i對(duì)任意》〉。恒成立，即〃?>一_+2.一對(duì)任意的

\X)X

x>0恒成立.

10

令1=一,則a>-t?2+2t對(duì)任意的t>0恒成立，當(dāng)，>0時(shí)，函數(shù)g(f)=-t2+2t的最大值為1,.'.m>1

x

故實(shí)數(shù)加的取值范圍是(1,+8).

第八講函數(shù)的單調(diào)性

1.解:⑴當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)/(x)=-2x+1在(-a),+a))上為減函數(shù);

當(dāng)a>0時(shí)拋物線/(x)=a?-2%+1開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x=L

a

函數(shù)f(x)在1-8」上為減函數(shù)，在+81上為增函數(shù)；

當(dāng)a<0時(shí)拋物線/(幻=依2-2尤+1開(kāi)口向下對(duì)稱軸為x=L

a

?.函數(shù)/(%)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).

⑵:/(x)=a[x—j+1—，由—領(lǐng)h1得1張J—3.

Ia)a3a

N⑷=/=1-1當(dāng)L,_L<2,即:<a”1時(shí)M(a)=/⑶=9a-5.

\a)aa2

故g(a)=9a+'-6；

a

當(dāng)2領(lǐng)U3,即工釉,時(shí),M(a)="l)=a—1,故g(a)=a+L—2.

a32a

1c「1「

a-\---2-ae----

,、a132」

'girii

〔a(2」

11

一11

⑶證明:當(dāng)ae3-2-時(shí)當(dāng)，且

g(?2)-g(?,)=a2+--a,

d~2

顯然4一%>0』一^-<0…g(a2)<g(aj.

函數(shù)g⑷在上為然函數(shù).

同理可證g(a)在上為增函數(shù).

??當(dāng)a=；時(shí),晨。)取最小值以砌小=g[J=；，故g(4)….

2.解:⑴顯然/⑶=4在[0,-8)上單調(diào)遞增，故/(x)eC

yfa=-a,

2

1I-1a=0

當(dāng)出=時(shí)，若/(x)eD.則可得揚(yáng)=~，解得<

22b=4

a<h,

故可找到3,田=[0,4>使得/(x)eD,:.f(x)=&wCcD

(2)顯然/(x)=?-/在[0,+8)上單調(diào)遞增，故/(x)eC

當(dāng)/(x)eD時(shí)/(x)在區(qū)間［a,加上的值域?yàn)?a--b

\[a+/=-a?

_；故f=(x在[。,+8)上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解

即《

4b+t=-b3

3

令〃=VX(M..O)，即g(〃)=在［0,+8)與橫坐標(biāo)軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

"解得.*°.

故?

A..0,4

?'的取值范圍是(一.,0

第九講函數(shù)的周期性

L解⑴由/(x)/(x+2)=13，知/i(尤+2)④x+4)=13.

.-?/(%+4)=/(%)，即/(%)是周期函數(shù).周期為4.

■■■/(99)=/(3-4x24)=/(3)=就13=三13.故選C

JV/乙

x,1+/U-1)

1+/。)1_

⑵.?/(%+1)==/(x-3).

1-/Wt1+/U-D/(X-1)

1-7U-1)

?.函數(shù)的周期為4,.-./(2021)=/(505x4+1)=/⑴=1.

2.解：1,對(duì)任意xeR都前(x+3)=------.

/(0

二/(x+6)=/(x+3+3)==———X=f(x)/(尤)是周期為6的周期函數(shù).

/(x+3)]

-/(%)

當(dāng)一3,,x<—1時(shí)J、(x)=-(x+2>,當(dāng)一L,x<3時(shí)J(無(wú))=x.

/(I)=1,/(2)=2,/(3)=/(-3)=-I,/(4)=/(-2)=0,/(5)=/(-I)=-l,/(6)=/(0)=0

/(l)+/(2)++/(6)=1.

?/1)+〃2)++/(2016)=lx萼=336.

6

而/(2017)+/(2018)+”2019)4/(2020)=/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=1+24+0=2.

/(1)+/(2)+…+7(2020)=336+2=338..

3解⑴,y=/(%)是以5為周期的周期函數(shù).，/(4)=/(4-5)=/(-I).

/(1)+/(2)++/(2020)=336+2=338.

又V=/(%)(-啜k1)是奇函數(shù),..?./⑴=-/(-I)=-/(4),.-./(1)+/(4)=0.

⑵當(dāng)xe[1,4]時(shí),由題意，可設(shè)f(x)=a(x-2)2-5(a豐0).

由/(1)+/(4)=0彳導(dǎo)〃(1_2)2_5+/4_2)2_5=0,解得。=2.

，/(x)=2(x—2)2—5(蜃/4).

⑶?「y=/(x)(—啜k1)是奇函數(shù)//(0)=0.

又y=/(%)(源!k1)是一次函數(shù),??可設(shè)/(%)=履(0M1).

/(1)=2(1—2>—5=—3，又/(I)=k-1=k,：.k=-3.

???當(dāng)-掇強(qiáng)1時(shí)/(x)=—3x,當(dāng)4領(lǐng)k6時(shí)，一1領(lǐng)k—51

，/(x)=/(%-5)=-3(x-5)=-3x+15.

當(dāng)6V通卵寸,l<x-54J(x)=/(X-5)=2[(X-5)-2]2-5=2(X-7)2-5,

[-3%+15,4M6

"。)12(%一7)2-5,6<&9

第十講函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用

1.解:設(shè)Xt,x26[-2,2]且X1<x2，則玉一々<0,-x2ef-2,2],

"王＜0由是定義在~2,2］上的奇函數(shù)得”6,⑷＜0.

%+(一冗2)玉一X?

/(%)-/(々)＞0,即/(玉)＞/(%2),可知函數(shù)/(%)在［一2,2］上是單調(diào)遞減函數(shù)

2,

由f(m-1)-/(I-2m)>0可得/(〃?-1)>/(I-2m),〈—2領(lǐng)1—2機(jī)2

m-\<l-2m

-掇加3,

即(一彳1釉,23『解得一個(gè)1‘〃2＜彳2，

2223

2

m＜一,

3

故實(shí)數(shù)的取值范圍是

L23J

3.解:(l)；/(x)為偶函數(shù)...f(~x)=f(x),bx^0,:.b^Q

?■-g(x)=一-廠,.?.函數(shù)g(x)為奇函數(shù).

bx—1

(2)①證明:由g(x)=-~—=x得方程a2x2+歷:+1=0(*)有不等實(shí)根.

—4/>0,及aw(X得—>1,即----<—1,或----->1.

2a2a2a

又/(X)的對(duì)稱軸X=-3e(-1.1).故/(%)在(一1,1)上是單調(diào)函數(shù).

②玉,x?是方程(*)的根cr+hXy+1=0..0.hx^———1

同理g=-a2^-1,.\/(X))=co^+如+l=o￥；-a2x^=^a-a2>jxj.

同理/(%2)=(。.

a>0,

,；口a＞0,

要使芻＜％＜馬〈14?只需4即＜2

/\八。一。＜0.

/(工2)>0,

a<0,

3/、(4<0,

或〃玉)>0,即，八.解集為0.故a的取值范圍是(1,田).

//\na-a>0.

〔/(尤2)>。，

3.解:(1)由已知-2)=0.知an?一3-3)田+a-2=0成立.

又meR,/.A=(a-3)2一4a(a—2)..0,即3a2—2a-9?0,

解之得1領(lǐng)hI+；'，而。為負(fù)整數(shù).，a=-1.

/(X-2)=-X2+4X-3=-(x-2)2+1,/(x)=-x2+l.

(2)存在實(shí)數(shù)〃=一上滿足要求.

16

q(x)=~(f(x))2+1,F(x)=p-q(x)+F(x)=-p(f(x))2+/(x)-p(p<0)

?,~p>0,/.F(x)的圖像開(kāi)口向上.>(x)的對(duì)稱軸為f(x)=，一.

2P

對(duì)xe(-8,-3］.有/(x)e(-00,-8且/(%)在(-8,-3］上是增函數(shù).

對(duì)xe(-3,0)，有/(x)e(-8.1).且/(%)在該區(qū)間也是增函數(shù).

要使F(x)在(-?).-3］上是減函數(shù),必須有對(duì)稱軸，-…-8(p<0).即p,,-.

2〃16

要使F(x)在(-3,0)上是增函數(shù)必須有對(duì)稱軸，一”一8(〃<0).即〃…一上.?.〃=一-^.

2p1616

第十一講函數(shù)圖像變換與圖像法解題

1.解法一：由題意知/(x)=X2+WJC-1<0xG[m,m+1]恒成立.則蛆<1一爐作出函數(shù)y=如與

%=1-尤2的圖像如圖所示.

3

⑴當(dāng)機(jī).0時(shí)只需加?！?1）＜1-（/〃+1）2,即2M+3加＜0,解得一]＜加＜0,此時(shí)加€0；

⑵當(dāng)機(jī)＜0時(shí)只需「""',,解得一年＜機(jī)＜0,此時(shí)，〃e,0.

加（租+1）＜1-0+1）2212J

（V2、

綜上所述，實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是—-,0.

2

解法二：；函數(shù)/。）=/+如一1的圖像為開(kāi)口向上的拋物線,又對(duì)任意％6[m,加+1],都有/（X）＜0成立.

/(??)=2/7?2-1<0,V2

2，解得<根<0.

f(m+1)=2m"+3m<02

(五、

實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是―-,0.

2

1(1>」

2.解法一:當(dāng)時(shí),不等式/(x)+/x-7>1可化為2、+22>1.

2\2J

又結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖像易知該不等式顯然恒成立....X＞1適合;

2

當(dāng)月,o時(shí),不等式/。）+/1*―/）＞1可化為彳+1+（工一5]+1〉1,解得%＞—1,又X,,o,——＜甚，0適

合；

當(dāng)0<X,,—時(shí),不等式/(x)+/(尤一2>1可化為2、+(x-耳］+1〉1,即2、+x>/,

又結(jié)合函數(shù)y=2*+尤在區(qū)間（0,；內(nèi)單調(diào)遞增易知該不等式顯然恒成立,

：0＜%,；適合.綜上，所求x的取值范圍是（-；,+8

Y+1rC

〉1=/x>—)—)=?；

\)2,x>U,

由圖像變換可畫出y=與y=l-/（x）的圖像，

如圖所示，并求得交點(diǎn)坐標(biāo)為卜；，；）由圖可知，滿足小-g）>1—八尤）的解為（一；，+8）故所求》的

取值范圍是［-；,+8）.

4,解:如圖所示，作出函數(shù)/（龍）"左段”的圖像（暫且將加視為定值，圖像相對(duì)確定，稱為“靜”）,而其"右段"

是以（m,4〃?-nr）為頂點(diǎn)的拋物線的右半支，考慮到點(diǎn)（m,ni）與點(diǎn)（加,4m-m2）相對(duì)位置的不確定性，將

4機(jī)-機(jī)2視為變量稱之為"動(dòng):以點(diǎn)（加，㈤的制約點(diǎn)（租,4帆-加2）的"動(dòng)"，在如圖所示的3種情況

中，只有③切題，實(shí)質(zhì)上也就是固定點(diǎn)（加,加），當(dāng)點(diǎn)（加,4加一加2）在直線x=〃z上運(yùn)動(dòng)時(shí)，只要其在點(diǎn)（加,加）

的下方必存在直線y=匕與函數(shù)/（x）的圖像有3個(gè)交點(diǎn)，故4加一加2〈加，而m>o彳導(dǎo)機(jī)>3，即m的取值范

圍為（3,+8）.

第十二講指數(shù)函數(shù)的常見(jiàn)題型

-\+b-2X+1

L解:⑴「f(x)是奇函數(shù)“；./(())=0,即--=0,解得匕=1，從而/(x)=——，又由/(I)=-/(-I)

2+a2+a

1-1

-2+1。

知-----=——，解得a-2,:.a-2,b-1.

4+a\+a

—2E4-111

⑵解法一：由⑴知/(x)=廣工=-5+五工？①

由①式易知/(X)在(-00,+00)上為減函數(shù)

又：/(X)是奇函數(shù)，從而不等式/(/一2。+/(2產(chǎn)一女)<0等價(jià)于

f(t2_2。<-/(2/—勾=/(—2/②

.?/(x)是減函數(shù)，由②式推得戶一2f>-2/+匕

即對(duì)一切feR有3產(chǎn)-2/-攵>0.從而判別式△=4+12左<0,解得攵<—J

,1_92—2(+1—*—kI1

解法二：由(1)知/(X)=三)?又由題設(shè)條件得―+—<0.

2一+222~2,+'+222~k+'+2

222,2-i

即(2雷-"1+2)(-2-1)+(2-2Z-1+2)(-2+l)<0.

整理得2*-2T>1,因底數(shù)2>1,故3/一2r-Z>0對(duì)一切tGR均成立.

從而判別式A=4+12%<0.解得％<—；.

2.解:⑴當(dāng)a=1時(shí),/*)=1+2、+4*是(0,+8)上的單調(diào)增函數(shù).

./(x)的值域?yàn)?3,+8).

/(龍)不是(0,+8)上的有界函數(shù)：對(duì)于任意的正數(shù)例>0,/(幻>4\故只要4、>知,即》>1(唱4M,就

有/(x)=l+2'+4、>4'>M.

(2)由題意知」/(x)I,,3對(duì)任意的XG(-00,0］都成立.

即—3領(lǐng)i+a-2A+4V3在xe(—8,0］時(shí)都成立.

4_4')(2

a…———,S.a?\--2'.

A

V2/maxI'2/m,.n

令t=27(0,1］。6(—%0］),

-4-￡

則

2V

-JF在(0,1］上單調(diào)遞減且大于0.-+4在(0,1］上單調(diào)遞增

T-4*1+—j=-5.即Q..

max=-.一5

I2、J

2

而然-r在(-00,0］上單調(diào)遞減.

?

A|=l..\-5i!h1

min

即。的取值范圍是

1-m-2v\-mti2

(3)令￡=2%口,2](%￡[0川)廁g(x)------------=----------=-1+——

l+m-2^1+mtl+〃if

2融()2.即鴻1—2曉m虹)l-m

.m>0,.\-1+X=1+4X

1+2/n1+m1+2m1+m

若0<〃4,g,則|g(x)|”了且能取等號(hào)(x=0時(shí)取)；T..l-m

\+m

?1,

右二</%,1,

2

2m-1

lg(x)l”

「.2m-1/、1+2機(jī)2m-1l-m_4〃?2-2

則,…一(",>0,

l-m1+2m1+m(1+277/)(1+m)

lg(x)l,,

l+m

\—m2加一1

當(dāng)me時(shí)，丁…■;一；當(dāng)機(jī)￡

14-7711+2機(jī)

…3?—1rrr/、m-1t/、ic2m—1..…、

有想.1,則龐一g(x)------,|g(x)I?--(x=1時(shí)取等號(hào)).

l+2m1+m\+2m

.T2m-1

1+2m

綜上所述,上界的取值范圍是當(dāng)，方72-時(shí)為\-m]

g(x)T0<a-------，+8；

1+m)

2m-1]

當(dāng)機(jī)〉時(shí)為---------,+8.

1+2m/

第十三講反函數(shù)的概念題型與解題策略