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學必求其心得,業(yè)必貴于專精學必求其心得,業(yè)必貴于專精學必求其心得,業(yè)必貴于專精9.6空間向量及其運算(B)●知識梳理空間兩個向量的加法、減法法則類同于平面向量,即平行四邊形法則及三角形法則.a·b=|a||b|cos〈a,b〉。a2=|a|2.a與b不共線,那么向量p與a、b共面的充要條件是存在實數(shù)x、y,使p=xa+yb.a、b、c不共面,空間的任一向量p,存在實數(shù)x、y、z,使p=xa+yb+zc?!顸c擊雙基1.在以下四個式子中正確的有a+b·c,a·(b·c),a(b·c),|a·b|=|a||b|A。1個 B。2個 C。3個 D.0個解析:根據(jù)數(shù)量積的定義,b·c是一個實數(shù),a+b·c無意義。實數(shù)與向量無數(shù)量積,故a·(b·c)錯,|a·b|=|a||b||cos<a,b〉|,只有a(b·c)正確.答案:A2.設向量a、b、c不共面,則下列集合可作為空間的一個基底的是A.{a+b,b-a,a} B。{a+b,b-a,b}C。{a+b,b-a,c} D。{a+b+c,a+b,c}解析:由已知及向量共面定理,易得a+b,b-a,c不共面,故可作為空間的一個基底,故選C。答案:C3.在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中,向量、、是A.有相同起點的向量 B.等長的向量C。共面向量 D。不共面向量解析:∵-==,∴、、共面。答案:C4.已知a=(1,0),b=(m,m)(m>0),則〈a,b>=_____________。答案:45°5.已知四邊形ABCD中,=a-2c,=5a+6b-8c,對角線AC、BD的中點分別為E、F,則=_____________.解析:∵=++,又=++,兩式相加,得2=(+)+(+)+(+)?!逧是AC的中點,故+=0。同理,+=0?!?=+=(a-2c)+(5a+6b-8c)=6a+6b-10c.∴=3a+3b-答案:3a+3b-●典例剖析【例1】證明空間任意無三點共線的四點A、B、C、D共面的充分必要條件是:對于空間任一點O,存在實數(shù)x、y、z且x+y+z=1,使得=x+y+z。剖析:要尋求四點A、B、C、D共面的充要條件,自然想到共面向量定理.解:依題意知,B、C、D三點不共線,則由共面向量定理的推論知:四點A、B、C、D共面對空間任一點O,存在實數(shù)x1、y1,使得=+x1+y1=+x1(-)+y1(-)=(1-x1-y1)+x1+y1,取x=1-x1-y1、y=x1、z=y1,則有=x+y+z,且x+y+z=1.特別提示向量基本定理揭示了向量間的線性關系,即任一向量都可由基向量唯一的線性表示,為向量的坐標表示奠定了基礎.共(線)面向量基本定理給出了向量共(線)面的充要條件,可用以證明點共(線)面.本題的結(jié)論,可作為證明空間四點共面的定理使用?!纠?】在平行四邊形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,將它沿對角線AC折起,使AB與CD成60°角,求B、D間的距離.解:如下圖,因為∠ACD=90°,所以·=0.同理,·=0.因為AB與CD成60°角,所以〈,〉=60°或120°。因為=++,所以2=2+2+2+2·+2·+2·=2+2+2+2·=3+2×1×1×cos<,〉=4(〈,>=60°),2(<,>=120°)。所以||=2或,即B、D間的距離為2或?!纠?】在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中,BD1交平面ACB1于點E求證:(1)BD1⊥平面ACB1;(2)BE=ED1.證明:(1)我們先證明BD1⊥AC?!?++,=+,∴·=(++)·(+)=·+·=·-·=||2-||2=1-1=0.∴BD1⊥AC。同理可證BD1⊥AB1,于是BD1⊥平面ACB1。(2)設底面正方形的對角線AC、BD交于點M,則==,即2=.對于空間任意一點O,設=b,=m,=b1,=d1,則上述等式可改寫成2(m-b)=d1-b1或b1+2m=d1+2b。記==e.此即表明,由e向量所對應的點E分線段B1M及D1B各成λ(λ=2)之比,所以點E既在線段B1M(B1M面ACB1)上又在線段D1B上,所以點E是D1B與平面ACB1之交點,此交點E將D1B分成2與1之比,即D1E∶EB=2∶1.∴BE=ED1。思考討論利用空間向量可以解決立體幾何中的線線垂直、線線平行、四點共面、求長度、求夾角等問題?!耜J關訓練夯實基礎c,則下列式子中與相等的是A.-a+b+c B.a+b+cC.a-b+c D。-a-b+c解析:=+=+(+)=-+=c-a+b,故選A.答案:A2。O、A、B、C為空間四個點,又、、為空間的一個基底,則A。O、A、B、C四點不共線 B.O、A、B、C四點共面,但不共線C.O、A、B、C四點中任意三點不共線 D.O、A、B、C四點不共面解析:由基底意義,、、三個向量不共面,但A、B、C三種情形都有可能使、、共面.只有D才能使這三個向量不共面,故應選D.答案:D3.已知a+3b與7a-5b垂直,且a-4b與7a-2b垂直,則〈a,解析:由條件知(a+3b)·(7a-5b)=7|a|2-15|b|2+16a·b=0,及(a-4b)·(7a7|a|2+8|b|2-30a·b=0。兩式相減得46a·b=23|b|2,∴a·b=|b|2.代入上面兩個式子中的任意一個,即可得到|a|=|b|?!郼os<a,b〉===.∴〈a,b〉=60°。答案:60°4。試用向量證明三垂線定理及其逆定理。已知:如下圖,PO、PA分別是平面α的垂線和斜線,OA是PA在α內(nèi)的射影,aα,求證:a⊥PAa⊥OA。證明:設直線a上非零向量a,要證a⊥PAa⊥OA,即證a·=0a·=0.∵aα,a·=0,∴a·=a·(+)=a·+a·=a·.∴a·=0a·=0,即a⊥PAa⊥OA.評述:向量的數(shù)量積為零是證明空間直線垂直的重要工具.在應用過程中,常需要通過加、減法對向量進行轉(zhuǎn)換,當然,轉(zhuǎn)換的方向是有利于計算向量的數(shù)量積.5。直三棱柱ABC—A1B1C1中,BC1⊥AB1,BC1⊥A1C,求證:AB1=A證明:∵==·∴AB=AC.又A1A=B1B,∴A1C=AB評述:本題在利用空間向量來解決位置關系問題時,要用到空間多邊形法則、向量的運算、數(shù)量積以及平行、相等和垂直的條件.培養(yǎng)能力6。沿著正四面體OABC的三條棱、、的方向有大小等于1、2、3的三個力f1、f2、f3。試求此三個力的合力f的大小以及此合力與三條棱所夾角的余弦.解:用a、b、c分別代表棱、、上的三個單位向量,則f1=a,f2=2b,f3=3c,則f=f1+f2+f3=a+2b+3c,+6|a||c|cos<a,c〉+12|b||c|cos〈b,c〉=14+4cos60°+6cos60°+12cos60°=14+2+3+6=25?!啵黤|=5,即所求合力的大小為5,且cos<f,a〉====.同理,可得cos〈f,b〉=,cos〈f,c〉=.7.在空間四邊形ABCD中,求證:·+·+·=0.證法一:把拆成+后重組,·+·+·=(+)·+·+·=·+·+·+·=·(+)+·(+)=·+·=·(+)=·0=0.證法二:如下圖,設a=,b=,c=,則·+·+·=(b-a)·(-c)+(c-a)·b+(-a)·(c-b)=-b·c+a·c+c·b-a·b-a·c+a·b=0。評述:把平面向量的運算推廣到空間后,許多基本的運算規(guī)則沒有變。證法一中體現(xiàn)了向量的拆分重組技巧,要求較高;證法二設定三個向量為基底,而原式中所有向量化歸為關于a、b、c的式子,化簡時的思路方向較清楚。探究創(chuàng)新8.如下圖,已知四棱錐P—ABCD,PB⊥AD,側(cè)面PAD為邊長等于2的正三角形,底面ABCD為菱形,側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角為120°.(1)求點P到平面ABCD的距離;(2)求面APB與面CPB所成二面角的大小。(1)解:如下圖,作PO⊥平面ABCD,垂足為點O。連結(jié)OB、OA、OD,OB與AD交于點E,連結(jié)PE?!逜D⊥PB,∴AD⊥OB。∵PA=PD,∴OA=OD.于是OB平分AD,點E為AD的中點,∴PE⊥AD。由此知∠PEB為面PAD與面ABCD(2)解法一:如下圖建立直角坐標系,其中O為坐標原點,x軸平行于DA.P(0,0,),B(0,,0),PB中點G的坐標為(0,,),連結(jié)AG。又知A(1,,0),C(-2,,0)。由此得到=(1,-,-),=(0,,-),=(-2,0,0).于是有·=0,·=0,∴⊥,⊥。,的夾角θ等于所求二面角的平面角。于是cosθ==-,∴所求二面角的大小為π-arccos。BC,F(xiàn)G=BC.∵AD⊥PB,∴BC⊥PB,F(xiàn)G⊥PB。∴∠AGF是所求二面角的平面角.∵AD⊥面POB,∴AD⊥EG.又∵PE=BE,∴EG⊥PB,且∠PEG=60°。在Rt△PEG中,EG=PE·cos60°=,在Rt△GAE中,AE=AD=1,于是tan∠GAE==.又∠AGF=π-∠GAE,∴所求二面角的大小為π-arctan?!袼嘉蛐〗Y(jié)1.若表示向量a1,a2,…,an的有向線段終點和始點連結(jié)起來構(gòu)成一個封閉折圖形,則a1+a2+a3+…+an=0.2.應用向量知識解決幾何問題時,一方面要選擇恰當?shù)幕蛄?,另一方面要熟練地進行向量運算?!窠處熛螺d中心教學點睛1。要使學生正確理解空間向量的加法法則、減法法則以及空間向量的數(shù)量積,掌握空間向量平行、垂直的條件及三個向量共面及四點共面的條件。2??臻g中的任何一個向量都可以用不共面的三個向量線性表示,這三個向量也稱為一個基底.在證明兩個向量平行、垂直或求其夾角時,往往把它們用同一個基底來表示,從而實現(xiàn)解題的目的.拓展題例【例1】下列命題中不正確的命題個數(shù)是①若A、B、C、D是空間任意四點,則有+++=0②|a|-|b|=|a+b|是a、b共線的充要條件③若a、b共線,則a與b所在直線平行④對空間任意點O與不共線的三點A、B、C,若=x+y+z(其中x、y、z∈R),則P、A、B、C四點共面A.1 B。2 C.3 D.4解析:易知只有①是正確的,對于④,若O平面ABC,則、、不共面,由空間向量基本定理知,P可為空間任一點,所以P、A、B、C四點不一定共面.答案:C【例2】A是△BCD所在平面外一點,M、N分別是△ABC和△ACD的重心,若BD=4,試求MN的長.解:連結(jié)AM并延長與BC相交于E,連結(jié)AN并延長與CD相交于E,則E
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