畫法幾何與土木工程制圖chap

1畫法幾何及土木工程制圖第五章多面體2目錄§5-1棱柱和棱錐§5-2多面體表面上的點(diǎn)§5-3平面與多面體表面相交§5-4直線與多面體表面相交§5-5兩多面體表面相交§5-6同坡屋頂畫法3§5-1棱柱和棱錐

由若干平面所圍成的立體稱為多面體，它的每個表面都是多邊形。最常見的多面體是棱柱、棱錐和棱臺。

一、棱柱在一個多面體中，如果有兩個面相互平行，而其余每相鄰兩個面的交線都相互平行，這樣的多面體稱為棱柱。兩互相平行的面叫底面，其余的面叫棱面，相鄰兩棱面的交線叫棱線。棱線垂直于底面的棱柱稱為直棱柱，棱線與底面斜交的稱為斜棱柱。底面是正多邊形的直棱柱稱為正棱柱。

4§5-1棱柱和棱錐

下圖是正五棱柱在三個投影面上的投影。圖中五棱柱的底面平行于H面，后面的棱面平行于V面。

5§5-1棱柱和棱錐

下圖是斜三棱柱及其在兩投影面上的投影，該棱柱的底面為水平面，向上、向右、向前傾斜。

6§5-1棱柱和棱錐

二、棱錐一個多面體中，如果有一個面是多邊形，其余各面是具有一個公共頂點(diǎn)的三角形，這樣的多面體稱為棱錐。這個多邊形是棱錐的底面，各個三角形就是棱錐的棱面。如果棱錐的底面是一個正多邊形，而且頂點(diǎn)與正多邊形底面的中心的連線垂直于該底面，這樣的棱錐就稱為正棱錐。

7§5-1棱柱和棱錐

下圖是正三棱錐及其三面投影圖。圖中三棱錐的底面平行于H面，其后面的棱面垂直于W面。8§5-1棱柱和棱錐

三、棱臺

棱錐被平行于其底面的平面截割，截面與底面間的部分為棱臺。所以，棱臺的兩個底面彼此平行且相似，所有的棱線延長后相交于一點(diǎn)。

右圖是以矩形為底面的四棱臺的水平投影和正面投影。9§5-1棱柱和棱錐

這里展示出根據(jù)已知棱臺的兩投影作出其側(cè)面投影的情況。

10§5-2多面體表面上的點(diǎn)

根據(jù)立體表面上點(diǎn)的一個投影，利用面內(nèi)定點(diǎn)的方法，可以作出它的其他投影。凡是在投影圖中位于立體可見面上的點(diǎn)都是可見的，否則是不可見的。

例5-1已知三棱柱ABC表面上點(diǎn)D的水平投影和點(diǎn)E的正面投影，求作它們的其余兩投影。11§5-2多面體表面上的點(diǎn)

例5-2

已知三棱錐SABC的兩投影sabc和s′a′b′c′，以及該立體表面上的點(diǎn)D的正面投影d′，試作出該三棱錐的側(cè)面投影和點(diǎn)D的其余兩投影。12§5-2多面體表面上的點(diǎn)

例5-3

已知斜四棱柱ABCD的兩投影及其表面上線段EFG的水平投影efg，求作該線段的正面投影e′f′g′。13

截交線是封閉的多邊形。多邊形的各邊是截平面與多面體棱面及底面的交線，多邊形的各頂點(diǎn)則是截平面與多面體棱線和底邊的交點(diǎn)。求作平面與多面體截交線的問題可歸結(jié)為求多面體棱線及底邊與截平面的交點(diǎn)問題，或求多面體棱面及底面與截平面的交線問題。截平面、截交線、截?cái)嗝?

平面與立體相交，在立體表面上產(chǎn)生交線。與立體相交的平面稱為截平面，所產(chǎn)生的交線就叫截交線。截平面截切立體所得的由截交線圍成的圖形則稱為截?cái)嗝婊驍嗝妗?/p>

§5-3平面與多面體表面相交動畫14§5-3平面與多面體表面相交

一、特殊位置截平面與多面體相交當(dāng)截平面處于特殊位置時，截平面的具有積聚性的投影必與截交線在該投影面上的投影重合。這相當(dāng)于知道了截交線的一個投影，其余的投影可用表面定點(diǎn)的方法作出。

例5-4

已知五棱柱和垂直于V面的截平面P，求作被截后棱柱的三面投影和截?cái)嗝娴膶?shí)形。動畫15§5-3平面與多面體表面相交

注意:棱柱被截后，側(cè)面投影中b″5″和b″1″這兩段圖線應(yīng)予除去；棱線投影a″4″應(yīng)畫成虛線。提示:求截?cái)嗝鎸?shí)形時，是以截?cái)嗝嫱队暗倪吘€23和截?cái)嗝鎸?shí)形的邊線2131作為基準(zhǔn)線進(jìn)行作圖的。16§5-3平面與多面體表面相交

例5-5

已知正三棱錐SABC和水平面P、正垂面Q，求作此三棱錐被P、Q兩平面截割后的三面投影圖。

動畫17§5-3平面與多面體表面相交

二、一般位置截平面與多面體相交當(dāng)截平面處于一般位置時，通?？勺鞒龆嗝骟w各棱線和底邊與截平面的交點(diǎn)，然后連成截交線。

例5-6求作一般位置截平面△DEF與三棱錐SABC的交線18§5-3平面與多面體表面相交

提示:可作出輔助投影使截平面積聚成直線。求出棱錐棱線及底邊與截平面的交點(diǎn)，即可連成截交線。最后，要分清投影中各線段的可見性。

19§5-4直線與多面體表面相交

直線與多面體表面相交，產(chǎn)生交點(diǎn)，稱為貫穿點(diǎn)。對于凸多面體來說，有兩個貫穿點(diǎn)。一、直線或多面體表面的投影具有積聚性的情況

當(dāng)直線與多面體表面相交而多面體表面的投影具有積聚性時，則在具有積極性的那個投影上，可直接定出貫穿點(diǎn)的一個投影。

例5-7

作出直線AB與四棱柱CDEF的貫穿點(diǎn)。

解：棱面的H投影有積聚性，底面的V投影有積聚性，所以可直接確定與棱面交點(diǎn)K的H投影k和與底面交點(diǎn)M的V投影m’。動畫20§5-4直線與多面體表面相交

例5-8

已知三棱錐SABC和正垂線DE的三投影，求作貫穿點(diǎn)。

解：貫穿點(diǎn)K、M的V投影與直線的V投影重合，利用表面定點(diǎn)可作出它們的其余投影。21§5-4直線與多面體表面相交

二、直線和多面體表面的投影均無積聚性的情況

在直線和多面體表面的投影均無積聚性的情況下，解決問題的思路跟求直線與平面的交點(diǎn)問題時一樣，要過已知直線作輔助平面，作出輔助平面與多面體表面的截交線，已知直線與截交線的交點(diǎn)就是所求的貫穿點(diǎn)?？梢杂猛队懊娲怪泵孀鳛檩o助平面。

例5-9

作出直線DE與三棱柱ABC的貫穿點(diǎn)。22§5-4直線與多面體表面相交

提示:本例過直線DE作輔助正垂面

R為好。

動畫23§5-5兩多面體表面相交

一、概說

兩立體表面相交，產(chǎn)生交線，稱為相貫線。立體相交的問題主要就是作出它們的相貫線。全貫:一個立體全部貫穿另一個立體互貫:兩個立體互相貫穿24§5-5兩多面體表面相交

兩個凸多面體相貫，在一般情況下，相貫線是封閉的空間折線，也可能是平面多邊形。全貫時，通常有兩條交線；互貫時，則有一條交線。特殊情況下交線可能是不封閉的，求兩多面體相貫線的問題可歸結(jié)為求直線與平面的交點(diǎn)和求兩平面交線的問題。注意:兩立體相貫后應(yīng)把它們視為一個整體，因而一立體位于另一立體內(nèi)的部分是不存在的，不應(yīng)畫出。相貫線不封閉25§5-5兩多面體表面相交

二、作圖舉例

例5-10

已知三棱錐SABC和三棱柱DEF的三投影，求作它們的相貫線。

（解題過程請翻頁看動畫）26§5-5兩多面體表面相交動畫27§5-5兩多面體表面相交

例5-11

作出三棱錐SEFG與四棱柱ABCD的相貫線。（解題過程請看動畫）

動畫28§5-5兩多面體表面相交

利用圖解展開圖進(jìn)行連點(diǎn)和區(qū)分相貫線各段可見性的方法:

將棱柱各棱面的展開示意圖豎直地畫出，該圖是假定沿棱柱的B棱剖開后畫出的，所以圖中B棱出現(xiàn)兩次；將棱錐的展開示意圖橫著疊畫在棱柱的展開圖上。然后把求得的點(diǎn)畫到這個圖的棱線和對應(yīng)的棱面上。連點(diǎn)時只有位于同一四邊形格子內(nèi)的點(diǎn)才能相連。利用該圖還能判別可見性。

29§5-6同坡屋頂畫法

在坡屋頂中，如果每個屋面對水平面的傾角相同，而且房屋四周的屋檐同高，那么，由這種屋面所構(gòu)成的屋頂稱為同坡屋頂。

30§5-6同坡屋頂畫法同坡屋頂具有下列一些特點(diǎn)：１、如屋檐平行的兩屋面相交，它們一定相交于水平的屋脊，其水平投影與兩屋檐的水平投影等距。２、凡是屋檐相交的兩屋面必相交于傾斜的屋脊或天溝，其水平投影應(yīng)通過兩屋檐水平投影的交點(diǎn)而且是它們的角平分線。如果兩屋檐正交，則在水平投影中斜脊或天溝成為與屋檐成45°角的直線。３、當(dāng)屋頂上有兩條交線時，表明這是由三個平面相交而得出的，而三相交平面的三條交線必共點(diǎn)，所以過兩交線的交點(diǎn)一定有第三條直線存