第三章的概念與性質(zhì)33冪函數(shù)

第三章 3.3冪函數(shù)

1.了解冪函數(shù)的概念，會(huì)求冪函數(shù)的解析式.課標(biāo)要求素養(yǎng)要求以五個(gè)常見(jiàn)冪函數(shù)為載體，歸納冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理素養(yǎng).課前預(yù)習(xí)課堂互動(dòng)分層訓(xùn)練內(nèi)容索引課前預(yù)習(xí)知識(shí)探究11.冪函數(shù)的概念點(diǎn)睛一般地，函數(shù)__________叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù).y＝xα冪函數(shù)的特征：①xα的系數(shù)為1；②xα的底數(shù)是自變量；③xα的指數(shù)為常數(shù)，只有同時(shí)滿(mǎn)足這三個(gè)條件，才是冪函數(shù).形如y＝(2x)α；y＝2x3，y＝x2＋b等函數(shù)都不是冪函數(shù).

2.冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)(1)五個(gè)冪函數(shù)的圖象：(2)冪函數(shù)的性質(zhì)：冪函數(shù)y＝xy＝x2y＝x3y＝y(tǒng)＝x－1定義域______________________________________值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}奇偶性__________________________單調(diào)性____x∈[0，＋∞)，____x∈(－∞，0]，____________x∈(0，＋∞)，____x∈(－∞，0)，____公共點(diǎn)都經(jīng)過(guò)點(diǎn)____________RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)奇偶奇非奇非偶奇增增減增增減減(1，1)點(diǎn)睛1.思考辨析，判斷正誤×(1)函數(shù)y＝－x2是冪函數(shù).(

)提示根據(jù)冪函數(shù)的定義.(2)冪函數(shù)y＝x2是偶函數(shù).(

)(3)冪函數(shù)y＝x－1是增函數(shù).(

)提示y＝x－1在(0，＋∞)和(－∞，0)上為減函數(shù).(4)冪函數(shù)都過(guò)點(diǎn)(0，0)，(1，1).(

)提示只有α>0時(shí)過(guò)(0，0)，(1，1)點(diǎn).√××2.(多選題)下列函數(shù)中是冪函數(shù)的有(

)CD解析A、B中的函數(shù)不符合冪函數(shù)的定義，選CD.3.已知冪函數(shù)y＝xα的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，4)，則f(－3)＝________.9解析由于冪函數(shù)y＝xα的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，4)，即2α＝4，解得α＝2，故f(－3)＝(－3)2＝9.3.17－1>3.71－14.3.17－1與3.71－1的大小關(guān)系為_(kāi)_______________.解析因?yàn)楹瘮?shù)y＝x－1在(0，＋∞)上是減函數(shù)，且3.17<3.71，所以3.17－1>3.71－1.課堂互動(dòng)題型剖析2題型一與冪函數(shù)的概念有關(guān)的問(wèn)題【例1】

(1)在函數(shù)y＝x－2，y＝2x2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為(

) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是冪函數(shù)，則m＝________.解析

(1)根據(jù)冪函數(shù)定義可知，只有y＝x－2是冪函數(shù)，所以選B.(2)因?yàn)閒(x)是冪函數(shù)，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1.B5或－1判斷一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為y＝xα(α為常數(shù))的形式，需滿(mǎn)足：①指數(shù)為常數(shù)，②底數(shù)為自變量，③xα系數(shù)為1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函數(shù)都不是冪函數(shù).反過(guò)來(lái)，若一個(gè)函數(shù)為冪函數(shù)，則該函數(shù)也必具有這一形式.思維升華解析

(1)設(shè)f(x)＝xα，因?yàn)閒(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2，∴f(－4)＝(－4)2＝16.(2)因?yàn)閒(x)＝ax2a＋1－b＋1是冪函數(shù)，所以a＝1，－b＋1＝0，即a＝1，b＝1，則a＋b＝2.16A題型二冪函數(shù)的圖象及其應(yīng)用B解析

函數(shù)y＝xα是冪函數(shù)，而y＝αx是一次函數(shù)，選項(xiàng)A，直線對(duì)應(yīng)函數(shù)y＝x，曲線對(duì)應(yīng)函數(shù)為y＝x－1；C解決冪函數(shù)圖象問(wèn)題應(yīng)把握的兩個(gè)原則(1)依據(jù)圖象高低判斷冪的指數(shù)大小，相關(guān)結(jié)論為：①在(0，1)上，冪的指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越靠近x軸(簡(jiǎn)記為指大圖低)；②在(1，＋∞)上，冪的指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸(簡(jiǎn)記為指大圖高).思維升華【訓(xùn)練2】

(1)如圖是冪函數(shù)y＝xm與y＝xn在第一象限內(nèi)的圖象，則(

)解析在(0，1)內(nèi)取同一值x0，作直線x＝x0，與各圖象有交點(diǎn)，如圖所示.根據(jù)點(diǎn)低指數(shù)大，有0<m<1，n<－1.A.－1<n<0<m<1 B.n<－1，0<m<1C.－1<n<0，m>1 D.n<－1，m>1BC【例3】

比較下列各組數(shù)中兩個(gè)數(shù)的大?。侯}型三利用冪函數(shù)的性質(zhì)比較大小比較冪值大小的兩種基本方法思維升華【訓(xùn)練3】

比較下列各組數(shù)的大小：(2)∵y＝x3是R上的增函數(shù)，且3.14<π，∴3.143<π3，∴－3.143>－π3.(1)試確定該函數(shù)的定義域，并指明該函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性；題型四冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用解∵m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*，∴m與m＋1中必定有一個(gè)為偶數(shù)，∴該函數(shù)的定義域?yàn)閇0，＋∞)，由冪函數(shù)的性質(zhì)，該函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增.∴m2＋m＝2，∴m＝1(m∈N*).解決冪函數(shù)的綜合問(wèn)題，應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：(1)充分利用冪函數(shù)的圖象、性質(zhì)，如圖象所過(guò)定點(diǎn)、單調(diào)性、奇偶性等；(2)注意運(yùn)用常見(jiàn)的思想方法，如分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合思想.思維升華【訓(xùn)練4】已知冪函數(shù)y＝f(x)＝x－2m2－m＋3，其中m∈{x|－2<x<2，x∈Z}，滿(mǎn)足： (1)是區(qū)間(0，＋∞)上的增函數(shù)； (2)對(duì)任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.

求同時(shí)滿(mǎn)足(1)，(2)的冪函數(shù)f(x)的解析式，并求x∈[0，3]時(shí)f(x)的值域.解

因?yàn)閙∈{x|－2<x<2，x∈Z}，所以m＝－1，0，1.因?yàn)閷?duì)任意x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù).當(dāng)m＝－1時(shí)，f(x)＝x2只滿(mǎn)足條件(1)而不滿(mǎn)足條件(2)；當(dāng)m＝1時(shí)，f(x)＝x0條件(1)，(2)都不滿(mǎn)足.當(dāng)m＝0時(shí)，f(x)＝x3條件(1)，(2)都滿(mǎn)足，且在區(qū)間[0，3]上是增函數(shù)，f(0)＝03＝0，f(3)＝33＝27，所以x∈[0，3]時(shí)，函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇0，27].1.冪函數(shù)在第一象限內(nèi)指數(shù)變化規(guī)律在第一象限內(nèi)直線x＝1的右側(cè)，圖象從上到下，相應(yīng)的冪的指數(shù)由大變??；在直線x＝1的左側(cè)，圖象從下到上，相應(yīng)的冪的指數(shù)由大變小.2.簡(jiǎn)單冪函數(shù)的性質(zhì) (1)所有冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，并且當(dāng)自變量為1時(shí)，函數(shù)值為1，即f(1)＝1. (2)如果α>0，冪函數(shù)在[0，＋∞)上有意義，且是增函數(shù). (3)如果α<0，冪函數(shù)在x＝0處無(wú)意義，在(0，＋∞)上是減函數(shù).

課堂小結(jié)分層訓(xùn)練素養(yǎng)提升3一、選擇題1.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增的函數(shù)是(

)C解析由于y＝x－1和y＝x都是奇函數(shù)，故B，D不合題意.B3.如圖所示，曲線C1與C2分別是函數(shù)y＝xm和y＝xn在第一象限內(nèi)的圖象，則下列結(jié)論正確的是(

)AA.n<m<0 B.m<n<0C.n>m>0 D.m>n>0解析

由圖象可知，兩函數(shù)在第一象限內(nèi)遞減，故m<0，n<0.由冪函數(shù)圖象的特點(diǎn)知n<m，故n<m<0.4.(多選題)下列結(jié)論正確的是(

)ADA.冪函數(shù)的圖象不可能在第四象限內(nèi)B.當(dāng)n＝0時(shí)，冪函數(shù)y＝xn的圖象是一條直線C.當(dāng)n>0時(shí)，冪函數(shù)y＝xn是增函數(shù)D.當(dāng)n<0時(shí)，冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的函數(shù)值隨x增大而減小解析當(dāng)x>0時(shí)，y>0；當(dāng)x<0時(shí)，y>0或y<0，故冪函數(shù)的圖象不可能在第四象限內(nèi)，故A正確；當(dāng)n＝0時(shí)，y＝xn中x≠0，故其圖象是去掉點(diǎn)(0，1)的一條直線，故B錯(cuò)誤；y＝x2在(－∞，0)上是減函數(shù)，在(0，＋∞)上是增函數(shù)，故C錯(cuò)誤；冪函數(shù)y＝xn，當(dāng)n<0時(shí)，在第一象限內(nèi)函數(shù)值隨x增大而減小，故D正確.故選AD.5.(多選題)已知函數(shù)f(x)＝xα的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4，2)，則下列命題正確的有(

)ACD二、填空題(－∞，0)6.已知2.4α>2.5α，則α的取值范圍是_____________.解析

因?yàn)?<2.4<2.5，而2.4α>2.5α，所以y＝xα在(0，＋∞)上為減函數(shù).故α<0.(3，5]②(1)偶函數(shù)；(2)值域是{y|y∈R，且y≠0}；(3)在(－∞，0)上是增函數(shù).如果給出的三個(gè)性質(zhì)中，有兩個(gè)正確，一個(gè)錯(cuò)誤，則他研究的函數(shù)是________(填序號(hào)).解析對(duì)于函數(shù)①f(x)＝x－1，這是一個(gè)奇函數(shù)，值域是{y|y∈R，且y≠0}，在(－∞，0)上是減函數(shù)，所以三個(gè)性質(zhì)中有兩個(gè)不正確；對(duì)于函數(shù)②f(x)＝x－2，這是一個(gè)偶函數(shù)，其值域是{y|y∈R，且y>0}，在(－∞，0)上是增函數(shù)，所以三個(gè)性質(zhì)中有兩個(gè)正確，符合條件；同理可判斷③④中函數(shù)不符合條件.三、解答題9.已知函數(shù)f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m為何值時(shí)，函數(shù)f(x)是：(1)正比例函數(shù)；(2)反比例函數(shù)；(3)冪函數(shù).解

設(shè)f(x)＝xα，g(x)＝xβ.由圖象知，當(dāng)x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)時(shí)，f(x)>g(x)；當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)＝g(x)；當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f(x)<g(x).CABC13.已知冪函數(shù)f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋2在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，函數(shù)g(x)＝2x－k. (1)求m的值； (2)當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，記f(x)，g(x)的值域分別為集合A，B，若A∪B＝A