排列組合與二項(xiàng)式定理知識(shí)點(diǎn)

高中數(shù)學(xué)第十章-排列組合二項(xiàng)定理考試內(nèi)容：

分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理．

排列．排列數(shù)公式．

組合．組合數(shù)公式．組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)．

二項(xiàng)式定理．二項(xiàng)展開式的性質(zhì)．

考試要求：

（1）掌握分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理，并能用它們分析和解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題．

（2）理解排列的意義，掌握排列數(shù)計(jì)算公式，并能用它解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題．

（3）理解組合的意義，掌握組合數(shù)計(jì)算公式和組合數(shù)的性質(zhì)，并能用它們解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題．

（4）掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)展開式的性質(zhì)，并能用它們計(jì)算和證明一些簡(jiǎn)單的問題．§10.排列組合二項(xiàng)定理知識(shí)要點(diǎn)一、兩個(gè)原理.1.乘法原理、加法原理.2.可以有重復(fù)元素的排列.從m個(gè)不同元素中，每次取出n個(gè)元素，元素可以重復(fù)出現(xiàn)，按照一定的順序排成一排，那么第一、第二……第n位上選取元素的方法都是m個(gè)，所以從m個(gè)不同元素中，每次取出n個(gè)元素可重復(fù)排列數(shù)m·m·…m=mn..例如：n件物品放入m個(gè)抽屜中，不限放法，共有多少種不同放法？（解：種）二、排列.1.⑴對(duì)排列定義的理解.定義：從n個(gè)不同的元素中任取m(m≤n)個(gè)元素，按照一定順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.⑵相同排列.如果；兩個(gè)排列相同，不僅這兩個(gè)排列的元素必須完全相同，而且排列的順序也必須完全相同.⑶排列數(shù).從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素排成一列，稱為從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列數(shù)，用符號(hào)表示.⑷排列數(shù)公式：注意：規(guī)定0!=1規(guī)定2.含有可重元素的排列問題.對(duì)含有相同元素求排列個(gè)數(shù)的方法是：設(shè)重集S有k個(gè)不同元素a1，a2,…...an其中限重復(fù)數(shù)為n1、n2……nk，且n=n1+n2+……nk,則S的排列個(gè)數(shù)等于.例如：已知數(shù)字3、2、2，求其排列個(gè)數(shù)又例如：數(shù)字5、5、5、求其排列個(gè)數(shù)？其排列個(gè)數(shù).三、組合.1.⑴組合：從n個(gè)不同的元素中任取m(m≤n)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.⑵組合數(shù)公式：⑶兩個(gè)公式：①②①?gòu)膎個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素后就剩下n-m個(gè)元素，因此從n個(gè)不同元素中取出n-m個(gè)元素的方法是一一對(duì)應(yīng)的，因此是一樣多的就是說從n個(gè)不同元素中取出n-m個(gè)元素的唯一的一個(gè)組合.（或者從n+1個(gè)編號(hào)不同的小球中，n個(gè)白球一個(gè)紅球，任取m個(gè)不同小球其不同選法，分二類，一類是含紅球選法有一類是不含紅球的選法有）②根據(jù)組合定義與加法原理得；在確定n+1個(gè)不同元素中取m個(gè)元素方法時(shí)，對(duì)于某一元素，只存在取與不取兩種可能，如果取這一元素，則需從剩下的n個(gè)元素中再取m-1個(gè)元素，所以有C，如果不取這一元素，則需從剩余n個(gè)元素中取出m個(gè)元素，所以共有C種，依分類原理有.⑷排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別.聯(lián)系：都是從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素.區(qū)別：前者是“排成一排”，后者是“并成一組”，前者有順序關(guān)系，后者無順序關(guān)系.⑸①幾個(gè)常用組合數(shù)公式②常用的證明組合等式方法例.i.裂項(xiàng)求和法.如：（利用）ii.導(dǎo)數(shù)法.iii.數(shù)學(xué)歸納法.iv.倒序求和法.只包含某r個(gè)元素中的s個(gè)元素。先C后A策略，排列；組合.II.排列組合常見解題策略：①特殊元素優(yōu)先安排策略；②合理分類與準(zhǔn)確分步策略；③排列、組合混合問題先選后排的策略（處理排列組合綜合性問題一般是先選元素，后排列）；④正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化策略；⑤相鄰問題插空處理策略；⑥不相鄰問題插空處理策略；⑦定序問題除法處理策略；⑧分排問題直排處理的策略；⑨“小集團(tuán)”排列問題中先整體后局部的策略；⑩構(gòu)造模型的策略.2.組合問題中分組問題和分配問題.①均勻不編號(hào)分組：將n個(gè)不同元素分成不編號(hào)的m組，假定其中r組元素個(gè)數(shù)相等，不管是否分盡，其分法種數(shù)為（其中A為非均勻不編號(hào)分組中分法數(shù)）.如果再有K組均勻分組應(yīng)再除以.例：10人分成三組，各組元素個(gè)數(shù)為2、4、4，其分法種數(shù)為.若分成六組，各組人數(shù)分別為1、1、2、2、2、2，其分法種數(shù)為②非均勻編號(hào)分組:n個(gè)不同元素分組，各組元素?cái)?shù)目均不相等，且考慮各組間的順序，其分法種數(shù)為例：10人分成三組，各組人數(shù)分別為2、3、5，去參加不同的勞動(dòng)，其安排方法為：種.若從10人中選9人分成三組，人數(shù)分別為2、3、4，參加不同的勞動(dòng)，則安排方法有種③均勻編號(hào)分組：n個(gè)不同元素分成m組，其中r組元素個(gè)數(shù)相同且考慮各組間的順序，其分法種數(shù)為.例：10人分成三組，人數(shù)分別為2、4、4，參加三種不同勞動(dòng)，分法種數(shù)為④非均勻不編號(hào)分組：將n個(gè)不同元素分成不編號(hào)的m組，每組元素?cái)?shù)目均不相同，且不考慮各組間順序，不管是否分盡，其分法種數(shù)為…例：10人分成三組，每組人數(shù)分別為2、3、5，其分法種數(shù)為若從10人中選出6人分成三組，各組人數(shù)分別為1、2、3，其分法種數(shù)為.五、二項(xiàng)式定理.1.⑴二項(xiàng)式定理：.展開式具有以下特點(diǎn)：項(xiàng)數(shù)：共有項(xiàng)；系數(shù)：依次為組合數(shù)每一項(xiàng)的次數(shù)是一樣的，即為n次，展開式依a的降幕排列，b的升幕排列展開.⑵二項(xiàng)展開式的通項(xiàng).展開式中的第項(xiàng)為：.⑶二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).①在二項(xiàng)展開式中與首未兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等；②二項(xiàng)展開式的中間項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大.I.當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間項(xiàng)是第項(xiàng)，它的二項(xiàng)式系數(shù)最大；II.當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間項(xiàng)為兩項(xiàng)，即第項(xiàng)和第項(xiàng)，它們的二項(xiàng)式系數(shù)最大.③系數(shù)和：附：一般來說為常數(shù)）在求系數(shù)最大的項(xiàng)或最小的項(xiàng)時(shí)均可直接根據(jù)性質(zhì)二求解.當(dāng)時(shí)，一般采用解不等式組的系數(shù)或系數(shù)的絕對(duì)值）的辦法來求解.⑷如何來求展開式中含的系數(shù)呢？其中且把視為二項(xiàng)式，先找出