2022-2023學(xué)年安徽省A10聯(lián)盟高二下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年安徽省A10聯(lián)盟高二下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．在正項等比數(shù)列中，，則的公比等于（

）A． B．2 C．4 D．2【答案】B【分析】設(shè)數(shù)列的公比為，利用計算可得答案.【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，則，解得（負值舍去）.故選：B.2．設(shè)，則（

）A． B． C．5 D．20【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的計算方法求解即可.【詳解】，即.故選：A.3．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則“在上有兩個零點”是“在上有兩個極值點”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】結(jié)合充分、必要條件定義及極值點的概念即可可判斷.【詳解】只有當(dāng)在上有兩個變號零點時，在上才有兩個極值點，故充分性不成立；若在上有兩個極值點，則在上有兩個變號零點，則在上至少有兩個零點，故必要性不成立.綜上，“在上有兩個零點”是“在上有兩個極值點”的既不充分也不必要條件，故選：D.4．傳說古代希臘的畢達哥拉斯在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題：把叫做三角形數(shù)；把叫做正方形數(shù)，則下列各數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別寫出三角形數(shù)和正方形數(shù)的通項公式，根據(jù)通項公式可得答案.【詳解】三角形數(shù)：，可得其通項公式為；正方形數(shù)：，可得其通項公式為，均無正整數(shù)解，且，所以，，是正方形數(shù)不是三角形數(shù)，又，既是三角形數(shù)，又是正方形數(shù).故選：A.5．某廠安排名工人到三個崗位值班，每名工人只去一個崗位，每個崗位至少安排名工人，則安排工人甲?乙到同一個崗位值班的方法數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先將人分為個小組，再將個小組安排到三個崗位即可.【詳解】依題意，可分兩步安排：第一步，將人分為個小組，按小組人數(shù)可分為人、人、人和人、人、人兩類，人、人、人分組，甲、乙同組，另外人中，選出人同組，有種方法，人、人、人分組，除甲、乙的另外人中，選出人與甲、乙同組，剩余人各自一組，有種方法，∴第一步共有種方法；第二步，將組分別安排到三個崗位，有種方法，∴滿足題意的安排方法數(shù)有種.故選：B.6．已知數(shù)列的前項和為，則（

）A．-1012 B．1012 C．-2024 D．2024【答案】C【分析】寫出前4項找出的規(guī)律，再分組求和即可.【詳解】，則，，，依次類推，，.故選：C.7．已知，則被10除所得的余數(shù)為（

）A．9 B．3 C．1 D．0【答案】C【分析】根據(jù)二項式定理可得，再利用二項展開式求解即可.【詳解】，，又，都是10的倍數(shù)，被10除所得的余數(shù)為1.故選：C8．在等比數(shù)列中，，函數(shù)，則（

）A．0 B．1 C． D．【答案】D【分析】令，則根據(jù)求導(dǎo)可得，再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】令，則，，數(shù)列是等比數(shù)列，且，.故選：D.二、多選題9．若曲線的一條切線垂直于直線，則切點的坐標(biāo)可以是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)曲線的一條切線垂直于直線，求出切點處切線的斜率，推出對應(yīng)的切點的橫坐標(biāo)，即可確定切點的坐標(biāo).【詳解】由題意，在直線中，設(shè)切點為，在中，，一條切線垂直于直線∴，解得，當(dāng)時，，此時點的坐標(biāo)為；當(dāng)時，，此時點的坐標(biāo)為.故選：BC.10．下列各式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】對于A，由可判斷；對于B，根據(jù)二項式系數(shù)和公式可判斷；對于CD，根據(jù)排列數(shù)的計算公式可驗證.【詳解】對于A，由得，A正確；對于B，，B錯誤；對于C，，C錯誤；對于D，，D正確.故選：AD11．已知正項數(shù)列前n項和為，且滿足（

）A．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 B．C．?dāng)?shù)列不是等差數(shù)列 D．【答案】ABD【分析】根據(jù)給定的遞推公式，結(jié)合求出數(shù)列的通項公式，再逐項判斷作答.【詳解】數(shù)列中，，，當(dāng)時，，則，即，因此，而，解得，即數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，A，B都正確；，，，于是，數(shù)列是等差數(shù)列，C錯誤；，D正確.故選：ABD【點睛】思路點睛：給出與的遞推關(guān)系，求，常用思路是：一是利用轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，再求其通項公式；二是轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，先求出與n之間的關(guān)系，再求.12．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有3個零點，則實數(shù)的值可以為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】CD【分析】將問題轉(zhuǎn)化為方程恰有3個實數(shù)根，再討論時可得有1個根，進而當(dāng)時，方程有2個實數(shù)根，再構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析單調(diào)性與最值即可.【詳解】令，解得，故問題轉(zhuǎn)化為方程恰有3個實數(shù)根.當(dāng)時，令，解得，故當(dāng)時，方程有2個實數(shù)根.令，即，顯然不是該方程的根，.令，則，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，故當(dāng)時，有極小值6，而時，，當(dāng)，且時，，故實數(shù)的取值范圍為.故選：CD三、填空題13．在的展開式中，含的項的系數(shù)為__________.【答案】135【分析】利用通項公式計算可得答案.【詳解】在展開式中，第項為，，令，得含有的項的系數(shù)為故答案為：135.14．某鄉(xiāng)村道路上有12盞照明路燈，為了節(jié)約用電，需要關(guān)閉其中兩兩不相鄰的4盞，但考慮行人夜間出行安全，兩端的路燈不能關(guān)閉，則關(guān)燈方案的種數(shù)為__________.（用數(shù)字作答）【答案】35【分析】利用插空法求解即可.【詳解】由題意得，讓4盞需要關(guān)閉的燈插空到8盞亮燈的7個空中，有種關(guān)燈方案.故答案為：3515．已知等差數(shù)列的前項和為，若，公差，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值，則的取值范圍是__________.【答案】【分析】根據(jù)題意可得，進而可得，再根據(jù)公式可得的取值范圍.【詳解】由題意得，，即，解得.又，的取值范圍是.故答案為：16．如圖，某款酒杯的上半部分為圓錐，且該圓錐的軸截面是面積為的正三角形．若在該酒杯內(nèi)放置一個圓柱形冰塊，要求冰塊高度不超過酒杯口高度，當(dāng)放置的圓柱形冰塊的體積最大時，其高度為__________．【答案】【分析】首先根據(jù)題意作出平面圖，由圓錐的軸截面的面積求出圓錐底面半徑，易知冰塊體積最大時上底與杯口齊平，設(shè)圓柱形冰塊的底面圓半徑為，其中，表示出高，得出圓柱體積關(guān)于的表達式，由導(dǎo)數(shù)確定體積最大時半徑的值，即可得出此時圓柱的高．【詳解】由題意作出圓錐軸截面的平面圖，如圖所示，過等邊三角形頂點作，則，，設(shè)圓錐底面圓的半徑為，則，，所以，因為圓錐的軸截面是面積為，所以，解得,易知冰塊體積最大時上底與杯口齊平，設(shè)圓柱形冰塊的底面圓半徑為，其中，高為，則，在中，，則，設(shè)圓柱形冰塊的體積為，則.設(shè)，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，在處取得極大值，也是最大值，即，所以，故當(dāng)放置的圓柱形冰塊的體積最大時，其高度為，故答案為：．四、解答題17．若，其中.(1)求實數(shù)的值；(2)求.【答案】(1)(2)【分析】（1）寫出展開式的通項，得到的表達式即可求出實數(shù)的值；（2）將代入展開式，求出到項的和，即可求出.【詳解】（1）由題意，在中，，∵展開式的通項為，∴，解得：.（2）由題意及（1）得，在中，令，得，18．已知數(shù)列滿足：.(1)求的通項公式；(2)若數(shù)列是等比數(shù)列，且，求關(guān)于的表達式.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷得數(shù)列是等差數(shù)列，計算公差，再寫出通項公式即可；（2）根據(jù)（1）寫出數(shù)列的通項公式，再根據(jù)等比數(shù)列計算公比，寫出等比數(shù)列的通項公式，兩式相等即可得關(guān)于的表達式.【詳解】（1）所以數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則，.所以數(shù)列的通項公式為.（2）由（1）知.因為數(shù)列是等比數(shù)列，且，數(shù)列的公比，由等比數(shù)列的通項公式可得，19．（1）用五種不同的顏色給下圖中的四塊區(qū)域涂色，要求相鄰的區(qū)域顏色不同，則一共有多少種不同的涂色方法？（2）記正方體中兩條平行的棱為一對“平行棱”，現(xiàn)從正方體所有棱中任取4條，要求至少得到2對“平行棱”，則一共有多少種不同的取法？【答案】（1）180；（2）207【分析】（1）分選擇四種和三種顏色兩種情況討論求解再求和即可；（2）正方體中一共有3組，每組4條分別平行的直線，滿足條件的“平行棱”可能有2，3，6對，再分別求解求和即可.【詳解】（1）若選擇四種顏色，則有種不同的涂色方法；若選擇三種顏色，則有種不同的涂色方法，故一共有種不同的涂色方法.（2）正方體中一共有3組，每組4條分別平行的直線，則：若4條棱中恰有2對“平行棱”，則2對分別來自不同2組，每組2條，不同的取法有種；若4條棱中恰有3對“平行棱”，則3對分別來自不同2組，一組1條，一組3條，則不同的取法有種；若4條棱中恰有6對“平行棱”，則6對均來自同一組，一組4條，則不同的取法有種.故從所有棱中任取4條，且至少得到2對“平行棱”一共有種不同的取法.20．若函數(shù)，且為偶函數(shù).(1)求的值；(2)設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間.【答案】(1)(2)單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是【分析】（1）求出，利用其為偶函數(shù)可得答案；（2）求出，分別令、可得答案.【詳解】（1），為偶函數(shù)，則，又；（2）由（1）知，則，則，令，得，或；令，得，故的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是.21．已知數(shù)列的前項和為，滿足且.(1)求證：是等比數(shù)列；(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，求證：.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用關(guān)系求得，注意驗證的情況，由等比數(shù)列定義證結(jié)論；（2）由（1）得，再應(yīng)用裂項相消法求，即可證結(jié)論.【詳解】（1）由得：，兩式相減得，則，所以，又，則，解得，滿足，綜上，，又，所以是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）知：，則，，由，故.22．已知函數(shù).(