線性代數(shù)行列式的展開計算

線性代數(shù)行列式的展開計算第一頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一第二頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一決這個問題,先學習余子式和代數(shù)余子式的概念.一般來說,低階行列式的計算比高階行列式的計算要簡便,于是,自然地考慮用低階行列式來表示高階行列式的問題.本節(jié)我們要解決的問題是,如何把高階行列式降為低階行列式,從而把高階行列式的計算轉(zhuǎn)化為低階行列式的計算.為了解第三頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一第三節(jié)行列式按行（列）展開一、余子式與代數(shù)余子式二、行列式按行（列）展開法則三、小結(jié)第四頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一例如一、余子式與代數(shù)余子式第五頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一啟示:三階行列式可按第一行“展開”.對式適當重新組合,易見該三階行列式也可按第一列“展開”.第六頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一余子式和代數(shù)余子式Aij

叫做元素aij

的代數(shù)余子式.定義

在n

階行列式中,把元素aij

所在的第i

行和第

j

列劃去后,剩下的元素按它們在原行列式中的相對位置組成的n–1階行列式叫做元素aij的余子式,記作Mij;Aij=(–1)i+jMij,記第七頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一在階行列式中，把元素所在的第行和第列劃去后，留下來的階行列式叫做元素的余子式，記作叫做元素的代數(shù)余子式．例如第八頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一第九頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一引理一個階行列式，如果其中第行所有元素除外都為零，那末這行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即．例如第十頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一定理1

行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和，即二、行列式按行（列）展開法則這個定理叫做行列式按行（列）展開法則.第十一頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一證明第十二頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一例1計算行列式解按第二行展開，得第十三頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一例2試按第三列展開計算行列式解將按第三列展開,則有其中第十四頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一解其中所以第十五頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一例3第十六頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一第十七頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一例4計算行列式解第十八頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一第十九頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一例5證明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式的每列都是某一個數(shù)的不同方冪，且自上而下方冪次數(shù)由0遞增至n-1第二十頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一證明對

n

作歸納法.當n=2時，結(jié)論成立.設(shè)對于n–1階范德蒙德行列式結(jié)論成立，現(xiàn)在來看

n階的情形.在n階范德蒙德行列式中，第n

行減去第n–1行的a1

倍，第n–1行減去第

n–2行的a1

倍.也就是由下而上依次地從每一行減去它上一行的a1

倍，有第二十一頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一按第1列展開，并把列的公因子(ai–a1)提出，得第二十二頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一上式右端行列式是n–1階范德蒙德行列式，按歸納法假設(shè)，它等于所有(ai–aj)因子的乘積，其中2≤

j<i

≤

n.故證畢第二十三頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一例6計算解第二十四頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一推論

行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.即ai1Aj1+ai2Aj2+···+ainAjn

=0,i

j

,或

a1iA1j

+a2iA2j+···+aniAnj=0,i

j.第二十五頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一有關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)：或其中第二十六頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一例取第一行元素第二十七頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一思考第四行各元素余子式之和為分析以表示中元素的余子式，則有第二十八頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一1.行列式按行（列）展開法則是把高階行列式的計算化為低階行列式計算的重要工具.

三、小結(jié)第二十九頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一1.

直接用定義公式計算;

2.

利用性質(zhì)化為三角行列式;

3.

利用展開式定理降階.到現(xiàn)在為止,我們已能計算任意階的行列式.行列式的計算是我們這一章的重點,也是同學們必須掌握的基本技能.行列式有以下三種計算方法:第三十頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一行列式時,應根據(jù)實際情況靈活選擇計算方法.

行列式的計算在這三種方法中,方法1

主要用于理論分析,很少用來計算具體的行列式,但對于低階行列式(如二階、三階)或有很多零元素的高階行列式,有時也可用此方法來計算;方法2

適用于行列式的階不確定的高階行列式的計算;方法3

主要用于階為已知的高階行列式的計算.當然在計算一個下面看幾個例子.第三十一頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一

下面舉幾個n

階行列式計算的例子.

例設(shè)證明遞推關(guān)系式

Dn

=nDn-1-

n-1n-1Dn-2(n>2).第三十二頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一按Dn

的第n

列展開,

得證明第三十三頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一展開,即為上式中n

的代數(shù)余子式是與Dn

同類型的n-1階行列式Dn-1

,而對n-1

的余子式按第n-1行第三十四頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一

n-1Dn-2

,

至此我們得到Dn

=nDn-1-n-1n-1Dn-2

.

證畢關(guān)系式在計算數(shù)學中常被引用.Dn

是常見的n

階三對角行列式,所證的遞推第三十五頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一

例計算n

階行列式第三十六頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一=D1+(n-1)=n+1.這是一個三對角行列式,

在這里i

=2,i

=i

=1(

i=1,2,···,n),由果可得

Dn=2Dn-1

-

Dn-2.適當移項可得關(guān)于Dn

的遞推關(guān)系式Dn

-

Dn-1=Dn-1

-

Dn-2=Dn-2

-

Dn-3=···=D2

-

D1.因

D2=4-1=3,D1=2,D2

-

D1=1,所以Dn=Dn-1+1=(Dn-2+1)+1=···

的結(jié)解第三十七頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一第四節(jié)Cramer法則一、非齊次與齊次線性方程組的概念二、Cramer法則三、小結(jié)第三十八頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一設(shè)線性方程組則稱此方程組為非

齊次線性方程組;此時稱方程組為齊次線性方程組.一、齊次與非齊次線性方程組的概念第三十九頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一二、Cramer法則定理1

如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，即第四十頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一其中Di是把系數(shù)行列式D中第i

列的元素用方程組右端的常數(shù)項代替后所得到的n階行列式，即那么線性方程組有解，并且解是唯一的，解可以表為第四十一頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一例1

用Cramer法則解方程組解:第四十二頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一第四十三頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一89-50第四十四頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一第四十五頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一程的個數(shù)與未知量的個數(shù)不等時,

就不能用克拉通過上述例子,

我們看到用克拉默法則求解線性方程組時,要計算n+1個n

階行列式,這個計算量是相當大的,

所以,

在具體求解線性方程組時,

很少用克拉默法則.另外,

當方程組中方默法則求解.第四十六頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一但這并不影響克拉默法則在線性方程組理論中的重要地位.克拉默法則不僅給出了方程組有唯一解的條件,

并且給出了方程組的解與方程組的系數(shù)和常數(shù)項的關(guān)系.第四十七頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一

定理1

如果線性方程組克拉默法則可敘述為下面的重要定理.式D

0,

則(1)一定有解,

且解是唯一的.二、線性方程組有解的條件定理1

的逆否定理為:定理1′如果線性方程組(1)

無解或有無窮個不同的解,則它的系數(shù)行列式必為零.的系數(shù)行列第四十八頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一全為零時,

線性方程組(1)叫做齊次線性方程組.線性方程組b1

,

b2

,

···

,

bn不全為零時,線性方程組(1)

叫做非齊次線性方程組;當b1

,

b2

,

···

,

bn

右端的常數(shù)項第四十九頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一對于齊次線性方程組(2)x1=x2=···=xn=0

一定是它的解,這個解叫做齊次線性方程組(2)

的零解.第五十頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一

定理2′如果齊次線性方程組(2)有非零如果一組不全為零的數(shù)是做齊次線性方程組(2)的非零解.

齊次線性方程組(2)一定有零解,但不一定有非零解.對于齊次線性方程組(2)

有以下定理.

定理2

如果齊次線性方程組(2)的系數(shù)行列式D

0,則齊次線性方程組(2)沒有非零解.解,則它的系數(shù)行列式必為零.的解,則它叫第五十一頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一例2

問取何值時，齊次方程組有非零解？解第五十二頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一齊次方程組有非零解，則所以