高一數(shù)學(xué)人教A版必修4課件：1.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)（二）

§1.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)(二)明目標(biāo)

知重點(diǎn)填要點(diǎn)記疑點(diǎn)探要點(diǎn)究所然內(nèi)容索引010203當(dāng)堂測(cè)查疑缺041.掌握y＝sinx，y＝cosx的最大值與最小值，并會(huì)求簡(jiǎn)單三角函數(shù)的值域和最值.2.掌握y＝sinx，y＝cosx的單調(diào)性，并能利用單調(diào)性比較大小.3.會(huì)求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間.明目標(biāo)、知重點(diǎn)函數(shù)y＝sinxy＝cosx圖象定義域

值域

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)[－1,1]填要點(diǎn)·記疑點(diǎn)[－1,1]RR對(duì)稱性對(duì)稱軸：

；對(duì)稱中心：

對(duì)稱軸：

；對(duì)稱中心：

奇偶性

周期性最小正周期：2π最小正周期：

(kπ，0)(k∈Z)x＝kπ(k∈Z)奇函數(shù)偶函數(shù)2π單調(diào)性在

上單調(diào)遞增；在

上單調(diào)遞減在

上單調(diào)遞增；在

上單調(diào)遞減最值在x＝

時(shí)，ymax＝1；在x＝

時(shí)，ymin＝－1在x＝

時(shí)，ymax＝1；在x＝

時(shí)，ymin＝－1＋2kπ][－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)2kπ(k∈Z)π＋2kπ(k∈Z)探要點(diǎn)·究所然情境導(dǎo)學(xué)周期性、奇偶性是正弦、余弦函數(shù)所具有的基本性質(zhì)，此外，正弦、余弦函數(shù)還具有哪些基本性質(zhì)呢？我們將對(duì)此作進(jìn)一步探究.探究點(diǎn)一正弦、余弦函數(shù)的定義域、值域?qū)б仪€：余弦曲線：由正弦、余弦曲線很容易看出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是實(shí)數(shù)集R.思考1觀察正弦曲線和余弦曲線，正弦、余弦函數(shù)是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分別為多少？答正弦、余弦函數(shù)存在最大值和最小值，分別是1和－1.思考2

當(dāng)自變量x分別取何值時(shí)，正弦函數(shù)y＝sinx取得最大值1和最小值－1?答對(duì)于正弦函數(shù)y＝sinx，x∈R有：思考3

當(dāng)自變量x分別取何值時(shí)，余弦函數(shù)y＝cosx取得最大值1和最小值－1?答對(duì)于余弦函數(shù)y＝cosx，x∈R有：當(dāng)且僅當(dāng)x＝2kπ，k∈Z時(shí)，取得最大值1；當(dāng)且僅當(dāng)x＝(2k＋1)π，k∈Z時(shí)，取得最小值－1.探究點(diǎn)二正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性思考1觀察正弦曲線，正弦函數(shù)在哪些區(qū)間上是增函數(shù)？在哪些區(qū)間上是減函數(shù)？如何將這些單調(diào)區(qū)間進(jìn)行整合？答正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都是周期函數(shù)，且周期都是2π，首先研究它們?cè)谝粋€(gè)周期區(qū)間上函數(shù)值的變化情況，再推廣到整個(gè)定義域.觀察圖象可知：推廣到整個(gè)定義域可得：思考2

觀察余弦曲線，余弦函數(shù)在哪些區(qū)間上是增函數(shù)？在哪些區(qū)間上是減函數(shù)？如何將這些單調(diào)區(qū)間進(jìn)行整合？答函數(shù)y＝cosx，x∈[－π，π]的圖象如圖所示：觀察圖象可知：當(dāng)x∈[－π，0]時(shí)，曲線逐漸上升，是增函數(shù)，cosx的值由－1增大到1；當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，曲線逐漸下降，是減函數(shù)，cosx的值由1減小到－1.推廣到整個(gè)定義域可得：當(dāng)x∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z時(shí)，余弦函數(shù)y＝cosx是增函數(shù)，函數(shù)值由－1增大到1；當(dāng)x∈[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z時(shí)，余弦函數(shù)y＝cosx是減函數(shù)，函數(shù)值由1減小到－1.探究點(diǎn)三函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A>0)的單調(diào)性思考1怎樣確定函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)的單調(diào)性？當(dāng)ω<0時(shí)，先利用誘導(dǎo)公式把x的系數(shù)轉(zhuǎn)化為正數(shù)后，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)確定單調(diào)區(qū)間的原則(即同則增，異則減)求解.余弦函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間類似可求.例1

利用三角函數(shù)的單調(diào)性，比較下列各組數(shù)的大小.(2)sin196°與cos156°；解sin196°＝sin(180°＋16°)＝－sin16°，cos156°＝cos(180°－24°)＝－cos24°＝－sin66°，∵0°<16°<66°<90°，∴sin16°<sin66°；從而－sin16°>－sin66°，即sin196°>cos156°.反思與感悟用正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的單調(diào)性比較大小時(shí)，應(yīng)先將異名化同名，把不在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的角用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間，再利用單調(diào)性來(lái)比較大小.跟蹤訓(xùn)練1

比較下列各組數(shù)的大小.(2)cos870°與sin980°.解cos870°＝cos(720°＋150°)＝cos150°，sin980°＝sin(720°＋260°)＝sin260°＝sin(90°＋170°)＝cos170°，∵0°<150°<170°<180°，∴cos150°>cos170°，即cos870°>sin980°.反思與感悟確定函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)單調(diào)區(qū)間的基本思想是整體換元思想，即將ωx＋φ視為一個(gè)整體.若x的系數(shù)ω為負(fù)，通常利用誘導(dǎo)公式化為正數(shù)再求解，有時(shí)還應(yīng)兼顧函數(shù)的定義域.解由題意得cos2x>0且y＝cos2x遞減.例3

求函數(shù)y＝sin2x－sinx＋1，x∈R的值域.解設(shè)t＝sinx，t∈[－1,1]，f(t)＝t2－t＋1.∵－1≤t≤1，∴當(dāng)t＝－1，即sinx＝－1時(shí)，ymax＝f(t)max＝3；反思與感悟形如f(x)＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)的函數(shù)值域問(wèn)題，可以通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)g(t)＝at2＋bt＋c在閉區(qū)間[－1,1]上的最值問(wèn)題.要注意，正弦、余弦函數(shù)值域的有界性，即當(dāng)x∈R時(shí)，－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1對(duì)值域的影響.跟蹤訓(xùn)練3

求函數(shù)y＝cos2x＋4sinx的最值及取到最大值和最小值時(shí)的x的集合.解y＝cos2x＋4sinx＝1－sin2x＋4sinx＝－sin2x＋4sinx＋1＝－(sinx－2)2＋5.當(dāng)堂測(cè)·查疑缺1234D2.下列不等式中成立的是(

)1234即sin2>cos1.故選D.D1234B12344.求函數(shù)y＝f(x)＝sin2x－4sinx＋5的值域.解設(shè)t＝sinx，則|t|≤1，f(x)＝g(t)＝t2－4t＋5(－1≤t≤1)，∴g(t)＝t2－4t＋5的對(duì)稱軸為t＝2，∴開(kāi)口向上，對(duì)稱軸t＝2不在研究區(qū)間(－1,1)內(nèi)，1234∴g(t)在(－1,1)上是單調(diào)遞減的，∴g(t)max＝g(－1)＝(－1)2－4×(－1)＋5＝10，g(t)min＝g(1)＝12－4×1＋5＝2，即g(t