第十四章排隊模型與仿真

第十四章排隊模型與仿真1第一頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期一SessionTopicsSystemCharacteristics系統(tǒng)特征MeasuresofSystemPerformance系統(tǒng)績效度量SomeQueuingModels一些排隊模型ApplicationofQueuingTheory排隊論的應用IntroductiontoSimulation仿真介紹TypesofSimulation仿真類型SimulationSteps仿真步驟ApplicationsofSimulation仿真應用第二頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期一QueuingTheory

排隊理論哪兒有排隊現(xiàn)象呢?機器等待修理電話忙音銀行排隊郵局排隊餐廳排隊商場排隊

第三頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期一14.1排隊模型的要素基本排隊系統(tǒng):顧客:一個挨著一個的到來,接受某種服務.隊列:等待的服務的顧客服務臺:提供服務第四頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期一一個例子:HerrCutter’sBarberShop赫爾卡特先生是一個德國理發(fā)師,他經(jīng)營著一家單人理發(fā)店.赫爾卡特先生每天早上8:00開始營業(yè).下表給出了這個排隊系統(tǒng)的的有關信息.CustomerTimeof

ArrivalHaircut

BeginsDuration

ofHaircutHaircut

Ends18:038:0317minutes8:2028:158:2021minutes8:4138:258:4119minutes9:0048:309:0015minutes9:1559:059:1520minutes9:3569:43———第五頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期一連續(xù)兩個顧客到達排隊系統(tǒng)的時間間隔稱為到達間隔時間(interarrivaltimes).到達時間的巨大差異對于排隊系統(tǒng)來說是很正常的.通常不可能預測要過多長時間下一個顧客才會到來.單位時間里顧客到達的期望數(shù)稱為平均到達率l(meanarrivalrate). l=顧客到達排隊系統(tǒng)的平均到達率到達時間間隔的平均值是: 1/l=到達間隔時間的期望

大多數(shù)的排隊模型假設到達間隔時間的概率分布的形式是指數(shù)分布.到達第六頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期一到達間隔時間的指數(shù)分布注意在曲線的最高點時間非常小,隨著時間變長曲線以“指數(shù)形式”下降.這表明低于均值的較小的到達間隔時間有大的可能性.而分布向右伸展很長表明比均值大得多的到達間隔時間出現(xiàn)的概率很小.對于大多數(shù)的排隊系統(tǒng),服務臺無法控制顧客何時到達.在這種情況下,顧客總的來說是隨機到達的.隨機到達意味著到達時間是完全無法憑感覺預測的,下一分鐘有顧客到達的概率和其他分鐘相同(不多也不少).從上一個到達發(fā)生經(jīng)過了多長時間并不重要.唯一符合隨機到達的到達間隔時間分布是指數(shù)分布.下一分鐘到達的概率完全不受上一次到達的影響的事實稱為無記憶性(lack-of-memoryproperty).指數(shù)分布具有無記憶性.第七頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期一隊列中的顧客數(shù)(numberofcustomersinthequeue)是等候服務的顧客數(shù)量.系統(tǒng)中的顧客數(shù)(numberofcustomersinthesystem)是隊列中的顧客數(shù)加上正在接受服務的顧客數(shù)量.隊列容量(queuecapacity)是隊列所能容納顧客的最大數(shù)量..無限隊列(infinitequeue)是為了應用的方便,可以容納無限數(shù)量的顧客的隊列..當容量很小,需要將其考慮在內(nèi)時,這個隊列就稱為有限隊列這個隊列(finitequeue).隊列第八頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期一先到先服務(FCFS):多種優(yōu)先權:隊列規(guī)則(queuediscipline)指:選擇隊列中的成員接受服務有順序

.Themostcommonisfirst-come,first-served(FCFS).Otherpossibilitiesincluderandomselection,somepriorityprocedure,orevenlast-come,first-served.第九頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期一服務對于一個基本的排隊系統(tǒng),每一個顧客單獨接受一個服務者提供的服務.擁有多于一個服務臺的系統(tǒng)稱為多服務臺系統(tǒng),單服務臺系統(tǒng)只有一個服務臺.單服務臺多服務臺第十頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期一當一個顧客接受服務時,從服務開始到結束經(jīng)過的時間稱為服務時間(servicetime).每一位置顧客的服務時間是不同的.然而基本的排隊模型假設服務時間是一個特定的概率分布,與哪一個服務臺正在提供的服務無關.服務時間分布的平均值表示為:

1/m=期望服務時間

m

是平均服務率(meanservicerate).

m=一個連續(xù)工作的服務臺單位時間的服務量的期望值第十一頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期一一些服務時間的分布指數(shù)分布最應用最多的服務時間的概率分布.比其他分布分析容易得多.盡管這個分布在大多數(shù)情況下非常適合于到達間隔時間的分布,但對于服務時間實際是卻不全是這樣.當服務的提供是隨機的,指數(shù)分布是一個相當不錯的近似.Standarddeviation:s=Mean固定服務時間(ConstantServiceTimes)當排隊系統(tǒng)包含一系列固定順序的操作,對于每一位顧客要花費大約相同的時間時,固定服務時間是一個很好的近似.Standarddeviation:s=0.愛爾良分布(ErlangDistribution)波動量介于指數(shù)分布和固定分布之間的一個分布.有一個分布參數(shù)

k,稱為形狀參數(shù),它決定了標準差.Inparticular,s=mean/(k)第十二頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期一服務時間分布標準差與均值的關系DistributionStandardDeviationExponentialmeanDegenerate(constant)0Erlang,anyk(1/k)(Mean)Erlang,k=2(1/2)(Mean)Erlang,k=4(1/2)(Mean)Erlang,k=8(1/22)(Mean)Erlang,k=16(1/4)(Mean)第十三頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期一排隊模型的符號表示排隊模型通常用下列形式來表示:

服務時間的分布

—/—/—

服務臺數(shù)目

到達間隔時間的分布用于表示可能分布的符號是:

M=Exponentialdistribution(Markovian)

D=Degeneratedistribution(constanttimes)

Ek=Erlangdistribution(shapeparameter=k)

GI=Generalindependentinterarrival-timedistribution(anydistribution)

G=Generalservice-timedistribution(anyarbitrarydistribution)第十四頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期一SomeModels

一些模型單服務臺指數(shù)服務時間(M/M/1)單服務臺一般服務時間(M/G/1)

多服務臺指數(shù)服務時間(M/M/s)A/B/s到達分布服務臺數(shù)服務分布第十五頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期一模型假設的總結1、到達間隔時間是獨立的，服從一種特定的概率分布。2、所有到達的顧客都進入排隊系統(tǒng)，并等待直到服務結束。3、排隊系統(tǒng)有一個無限隊列，因此隊列將可以容納無限量的顧客。4、顧客服務優(yōu)先規(guī)劃是先到先服務。5、排隊系統(tǒng)擁有特定數(shù)量級的服務臺，每一個服務臺能夠為任意一位置顧客提供服務。6、每一位顧客由一個服務臺單獨提供服務。7、服務時間是獨立的，服從特定的概率分布。第十六頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期一排隊系統(tǒng)的一些例子系統(tǒng)類型 顧客 服務臺理發(fā)店 人 理發(fā)師銀行出納服務 人 出納ATM機服務 人 ATM機商店收銀臺 人 收銀員管道服務 阻塞的管道 管道工電影院售票窗口 人 售票員機場檢票處 人 航空公司代理人經(jīng)紀人服務 人 股票經(jīng)紀人CommercialServiceSystems

商業(yè)服務系統(tǒng)第十七頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期一系統(tǒng)類型 顧客 服務臺秘書服務 雇員 秘書復印服務 雇員 復印機計算機編程服務 雇員 程序員大型計算機 雇員 計算機急救中心 雇員 護士傳真服務 雇員 傳真機物料處理系統(tǒng) 貨物 物料處理單元維護系統(tǒng) 設備 維修工人質(zhì)檢站 物件 質(zhì)檢員InternalServiceSystem

內(nèi)部服務系統(tǒng)第十八頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期一系統(tǒng)類型 顧客 服務臺公路收費站 汽車 收費員卡車裝貨地 卡車 裝貨工人港口卸貨區(qū) 輪船 卸貨工人等待起飛的飛機 飛機 跑道航班服務 人 飛機出租車服務 人 出租車電梯服務 人 電梯消防部門 火災 消防車停車場 汽車 停車空間急救車服務 人 急救車TransportationServiceSystem

運輸服務系統(tǒng)第十九頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期一14.3排隊系統(tǒng)的績效測度當顧客是提供服務的組織(內(nèi)部服務系統(tǒng))的內(nèi)部顧客時,第一個測度比較重要.在這種情況下,讓顧客等待會損失生產(chǎn)力,損失的生產(chǎn)力直接與等待的顧客顧客數(shù)量有關.

商業(yè)服務系統(tǒng)(外部顧客接受商業(yè)組織的服務)會認為第二個測度更加重要.對于這樣的排隊系統(tǒng),一個重要的目標是保持顧客滿意.比起已經(jīng)有多少顧客在等待,顧客更關心他們會等多久.使顧客等待時間過長會導致未來業(yè)務利潤損失.

平均顧客等待個數(shù)

平均顧客等待時間系統(tǒng)利用率第二十頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期一定義績效測度

λ =顧客到達率

μ =服務率(1/μ=平均服務時間) Lq =隊列中的顧客數(shù)

L =系統(tǒng)中平均顧客數(shù)(包括正在接受服務的顧客)

Wq =隊列中平均等待時間

W =包括服務的平均等待時間

Pn =有

n

個顧客在系統(tǒng)的概率 ρ =系統(tǒng)利用率這些定義假設排隊系統(tǒng)處于平衡狀態(tài).考慮整個排隊系統(tǒng)(L和W)或僅僅是隊列(Lq和Wq),這取決于排隊系統(tǒng)本身.對于醫(yī)院的急診室和消防部門,隊列可能更重要.對于一個內(nèi)部服務系統(tǒng),整個排隊系統(tǒng)更加重要.第二十一頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期一系統(tǒng)利用率系統(tǒng)中平均顧客數(shù)隊列中平均等待時間包括服務的平均等待時間BasicRelationships基本關系第二十二頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期一14.4案例研究:杜皮特公司問題杜皮特公司(DupitCorporation)在辦公復印機市場上長期牌領導地位.杜皮特公司有一個服務部門,負責為公司的顧客提供高質(zhì)量的服務支持,在需要的時候維修公司的設備.這項工作由公司的技術服務代表在顧客所在地進行.Currentpolicy:

每一位技術代表的地域應當有足夠的設備,合得技服務代表在大約75%的時間里處于維修工作狀態(tài)(或在到維修地點的路上)..當連續(xù)工作時,每一個技術服務代表應當能夠平均一天修4臺設備(每臺設備平均需要2小時,包括先進時間)為了使顧客的等待時間最短.每一個工作日平均要接到3個維修電話.公司的設備平均50個工作日需要一次維修,因此要為每一個技術服務代表負責的區(qū)域指定大約150臺設備.提出的新的服務標準:在技術服務代表開始前往顧客所在地修理設備之前,顧客的平均等待時間不應超過2小時.第二十三頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期一解決問題可供選擇的方案ApproachSuggestedbyJohnPhixitt:個性目前的政策,降低期望技術服務代表進行維修工作的時間百分率.這涉及到簡單地降低分配給每一個技術服務代表的設備的數(shù)量以及增加更多的技術服務代表.這個方法可以使得過去為公司服務得很好的服務部門的工作方式能夠延續(xù)下去,同時還可以提高服務水平,滿足市場上新的需求.ApproachSuggestedbytheVicePresidentforEngineering:為技術服務代表提供新的裝備,這樣可以大大降低所需的較長時間的修理時間盡管這很昂貴,但顯著地縮短平均維修時間.ApproachSuggestedbytheChiefFinancialOfficer:將現(xiàn)在的單個技術服務代表負責區(qū)域轉(zhuǎn)變?yōu)檩^大的區(qū)域.由多個技術服務代表提供服務.在忙的時候通過團隊支持可以大縮短平均維修等待時間而不需要雇用新的技術服務代表.ApproachSuggestedbytheVicePresidentforMarketing:授予這種新的打印復印機的所有者比其他公司的顧客優(yōu)先接受服務的權利.第二十四頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期一每一個技術服務代表的排隊系統(tǒng)Thecustomers:需要修理的設備.Customerarrivals:打給每一個技術服務代表要求修理的電話.Thequeue:顧客所在地等待修理的所有設備.Theserver:技術服務代表.Servicetime:

技術服務代表花在一臺設備上的總時間,包括到等待維修設備所在地的行進時間和維修時間.(因此,當技術服務代表開始前往設備所在地時,這臺設備就可以視為已經(jīng)離開隊列進入服務系統(tǒng)了)第二十五頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期一單服務臺排隊模型

l =到達排隊系統(tǒng)的顧客的平均到達率

=單位時間期望到達顧客數(shù)

1/l =期望到達間隔時間

m =平均服務率

=單位時間期望服務完成的顧客數(shù)

1/m =期望服務時間

r =有效因子(利用率)

=它代表了一個服務臺用于服務顧客的的平均時間比例

=l/m第二十六頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期一假設:到達時間服從均值為1/l的指數(shù)分布.服務時間服從均值為1/m的指數(shù)分布.排隊系統(tǒng)只有一個服務臺.系統(tǒng)中期望的顧客數(shù): L=r/(1–

r)=l/(m

–l)顧客在系統(tǒng)中的期望等待時間 W=(1/l)L=1/(m–l)顧客在隊列中的期望等待時間

Wq

=W–1/m=l/[m(m–l)]在隊列中的期望顧客數(shù)

Lq

=lWq=l2/[m(m–l)]=r2/(1–r)Model1(M/M/1)系統(tǒng)空閑的概率:系統(tǒng)中有n個顧客的概率:第二十七頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期一TheM/M/1Model系統(tǒng)中恰好有n個顧客的概率

Pn=(1–r)rn

這樣就有,

P0=1–r

P1=(1–r)r

P2=(1–r)r2

:

:系統(tǒng)中等待時間超過t的概率 P(W>t)=e–m(1–r)tfort≥0隊列中等待時間超過t的概率

P(Wq>t)=re–m(1–r)tfort≥0第二十八頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期一電子表格:杜皮特公司的M/M/1模型第二十九頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期一JohnPhixitt’s方法(ReduceMachines/Rep)新的服務標準是:每一個服務開始前的平均等待時間降為2小時.(i.e.,Wq

≤1/4

工作日).JohnPhixitt’s的建議是:降低技術服務代表的有效因子以適應新的服務要求.

Lowerr=l/m,untilWq

≤1/4day,

where

l=(指定給每一位技術服務代表的設備數(shù))/50.由于l的降低引起了Wq的降低,使得Wq

≤1/4天的最大的l值是使得Wq等于1/4天的l值.找出這個值的最容易的方法是用Excel模板進行試算,嘗試各種l值,直到找到一個使得Wq=0.25值.第三十頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期一JohnPhixitt’s方法(ReduceMachines/Rep)將l從3降到2需要將指派給每一位技術服務代表的設備數(shù)從容不迫50降低到100.100是難免滿足Wq

≤1/4天的最大值.在l=2,μ=4的條件下,每一位技術代表的有效因子將只有:第三十一頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期一TheM/G/1Model假設:到達間隔時間服從均值為1/l的指數(shù)分布..服務時間可能是任意形式的概率分布..不需要明確概率分布的具體形式,只需要估計這個分布的均值(1/m)和標準差(s).排隊系統(tǒng)只有一個服務臺.系統(tǒng)中有0個顧客(即系統(tǒng)空閑)的概率是: P0=1–r隊列中的期望等待的顧客數(shù):

Lq

=[l2s2

+r2]/[2(1–r)]系統(tǒng)中的期望等待顧客數(shù): L=Lq+r隊列中的期望等待時間:

Wq

=Lq

/l系統(tǒng)中的期望等待時間: W=Wq

+1/m第三十二頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期一M/G/1模型不同服務時間分布的s

和Lq

值DistributionMeansModelLqExponential1/m1/mM/M/1r2/(1–r)Degenerate(constant)1/m0M/D/1(1/2)[r2/(1–r)]Erlang,withshapeparameterk1/m(1/k)(1/m)M/Ek/1(k+1)/(2k)[r2/(1–r)]第三十三頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期一將M/G/1模型應用于工程副總裁提出的建議(NewEquipment)新的服務標準是:每一個服務開始前的平均等待時間降為2小時.(i.e.,Wq

≤1/4

工作日).VicePresidentforEngineering建議技術服務代表提供新式的設備以大大降低需要較長時間的修理工作.這樣做會使平均維修時間有所降低,也會大大降低維修時間的波動.在獲得了更多的信息并進一步分析之后,對服務時間分布作出了如下估計:均值從1/4天降到

1/5

天.標準差從1/4

降到

1/10

天.第三十四頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期一將M/G/1模型應用于工程副總裁提出的建議(NewEquipment)第三十五頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期一14.6一些多服務臺排隊模型

M/M/s假設:到達間隔時間服從均值為1/l的指數(shù)分布.服務時間服從均值1/m的指數(shù)分布.對于一個排隊系統(tǒng)可以選擇任意數(shù)量的服務臺(denotedbys).對于多服務臺,有效因子的計算公式為

r=l/sm

l=單位時間期望到達顧客

sm=當所有的s個服務臺都連續(xù)工作時,單位時間期望服務完成量.第三十六頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期一ValuesofLfortheM/M/sModelforVariousValuesofs第三十七頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期一CFO建議的方法(CombineIntoTeams)新的服務標準是:每一個服務開始前的平均等待時間降為2小時.(i.e.,Wq

≤1/4

工作日).TheChiefFinancialOfficer建議將目前的單人技術服務表區(qū)域合并為一些較大的區(qū)域,由多位技術服務代表一起提供服務..每一個區(qū)域2個技術服務代表的情況:設備數(shù)=300(versus150before)平均到達率l=6 (versusl=3before)平均服務率m=4 (asbefore)服務臺數(shù)s=2 (versuss=1before)有效因子r=l/sm=0.75 (asbefore)第三十八頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期一M/M/s

模型應用于CFO’s的建議

(兩個技術服務代理)第三十九頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期一應用于CFO的建議(三個技術服務代理)新的服務標準是:每一個服務開始前的平均等待時間降為2小時(i.e.,Wq

≤1/4

工作日).TheChiefFinancialOfficer建議將目前的單人技術服務表區(qū)域合并為一些較大的區(qū)域,由多位技術服務代表一起提供服務..每一個區(qū)域3個技術服務代表的情況:設備數(shù)=450 (versus150before)平均到達率l=9 (versusl=3before)平均服務率m=4 (asbefore)服務臺數(shù)s=3 (versuss=1before)有效因子r=l/sm=0.75 (asbefore)第四十頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期一應用于CFO的建議(三個技術服務代理)第四十一頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期一杜皮特公司問題不同大小的區(qū)域?qū)猈q

值的比較技術服務代表數(shù)設備數(shù)lmsrWq11503410.750.75workday(6hours)23006420.750.321workday(2.57hours)34509430.750.189workday(1.51hours)從表中可以看到,在不改變有效因子的情況下Wq值隨著技術服務代表(服務臺)的數(shù)量的上升而急劇下降.s=2的Wq值比s=1的Wq值一半還要小,s=3的Wq值大約是s=1的1/4.第四十二頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期一M/D/S模型一些排隊系統(tǒng)的服務時間不像M/M/S模型假設的那樣波動那么大.在一些情況中,服務時間根本就沒有波動或幾乎沒有波動).M/D/S模型就是為這種情況設計的.假設:除了現(xiàn)在所有服務時間都相同之外,其他與M/M/S模型相同.固定服務時間是1/μ.當為每一位顧客提供的服務完全相同時就會出現(xiàn)固定服務時間.當服務臺是機器設備時,服務時間可能是完全沒有波動的.如果服務者是人,為所有的顧客提供相同常規(guī)服務,固定服務時間的假設也可以作為合理的類似.當S=1時M/D/1模型的Lq值僅僅是M/M/1模型的一半.當S>1時,兩個多服務臺模型之間也有類似的Lq值的差異.計算M/D/S模型的各種績效測度的過程要比M/M/S模型復雜得多.第四十三頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期一M/D/s

中不同服務臺數(shù)s對應的L值第四十四頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期一M/Ek/2模型中不同形狀參數(shù)k對應的L值當服務時間有些波動,但不象指數(shù)分布那樣劇烈時,M/Ek/S

模型提供了一個介于M/M/S和M/D/S模型的相當好的中間類型.假設:除了服務時間服從均值為1/μ和形狀參數(shù)為k(k=1,2,…)的愛爾朗分布外,與M/M/S模型相同.形狀參數(shù)為k(k=1,2,…)的愛爾朗分布的標準差σ為:當σ遠小于平均值時,取適當k(k=1,2,…)值M/Ek/S模型可以提供比M/M/S模型準確的結果.第四十五頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期一M/Ek/2模型中不同形狀參數(shù)k對應的L值第四十六頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期一14.7有優(yōu)先權的排隊模型一般假設:有兩類或更多類的顧客.每一類都具有一個優(yōu)先級(priorityclass).優(yōu)先級1的顧客將比優(yōu)先級2的顧客優(yōu)先接受服務.如果優(yōu)先級2的顧客將具有優(yōu)先于優(yōu)先級3的顧客的權利.除了在較高優(yōu)先級的顧客后面接受服務外,同一優(yōu)先級內(nèi)的顧客服從先到先服務的規(guī)則.因此,在一個優(yōu)先級內(nèi)接受服務的優(yōu)先權是以已經(jīng)在排隊系統(tǒng)中花費的等待時間為基礎的.

兩種類型的優(yōu)先權無強制的優(yōu)先規(guī)則(Nonpreemptivepriorities):當一個服務臺開始為一個顧客服務時,服務必須在不被打斷的條件下完成,即使在服務的過程中有更高優(yōu)先級的顧客到來.然而,這個服務一完成,如果隊列中有顧客,將根據(jù)優(yōu)先權從中選出一個顧客進行服務.被選中的顧客是在具有最高優(yōu)先級的顧客中等待時間最長的一個.強制優(yōu)先規(guī)則(Preemptivepriorities):當一個具有更高優(yōu)先權的顧客進入系統(tǒng)時,正在接受服務的最低優(yōu)先級的顧客被擠出(退回到隊列中).第四十七頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期一強制優(yōu)先規(guī)則排隊模型附加假設:強制優(yōu)先級如上所述.對于優(yōu)先級i(i=1,2,…,n),這個優(yōu)先級顧客的到達間隔時間服從均值為1/li的指數(shù)分布.不管優(yōu)先級是多少,所有服務時間服從均值為1/m,的指數(shù)分布.排隊系統(tǒng)有一個服務臺.服務臺的有效因子為:

r=(l1+l2+…+ln)/m使用優(yōu)先級的原因是降低高優(yōu)先級顧客的等待時間.這樣做的代價是增加低優(yōu)先級顧客的等待時間.第四十八頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期一無強制優(yōu)先規(guī)則排隊模型附加假設:無強制優(yōu)先級如上所述.對于優(yōu)先級i(i=1,2,…,n),這個優(yōu)先級顧客的到達間隔時間服從均值為1/li的指數(shù)分布.不管優(yōu)先級是多少,所有服務時間服從均值為1/m,的指數(shù)分布.排隊系統(tǒng)有一個服務臺.服務臺的有效因子

r=(l1+l2+…+ln)/sm第四十九頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期一將無強制優(yōu)先規(guī)則排隊模型應用于營銷副總裁的建議(PriorityforNewCopiers)新的服務標準是:每一個服務開始前的平均等待時間降為2小時.(i.e.,Wq

≤1/4

工作日).營銷副總裁建議,給打印——復印機高于其他設備的接受服務的優(yōu)先權。這樣建議的一個理由是打印——復印機有很多的關鍵功能，如果這臺設備的停機等待維修時間與其他設備一樣長，其擁有者是無法忍受的。兩個優(yōu)先級的平均到達率：

l1=1位顧客(打印——復印機)每天 (now)

l2=2顧客(其他機器)每天 (now)在這幾年里這種打印機——復印機的比例會逐漸上升到頂峰，在這種情況下，平均到達率會變?yōu)椋?/p>

l1=1.5顧客(打印機——復印機)每天 (later)

l2=1.5顧客(其他機器)每天 (later)第五十頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期一無強制規(guī)則排隊模型應用于杜皮特公司營銷副總裁的建議(CurrentArrivalRates)使用優(yōu)先級后，因為每一個技術服務代表的平均服務率不變，因此對其最好的估計仍然是每個工作日μ=4位顧客。在公司目前的單人技術服務代表負責區(qū)域的政策下，每一個區(qū)域的排隊系統(tǒng)有一個服務臺（S=1）。由于不管是現(xiàn)在還是以后λ1+λ2=3，有效因子的值始終是第五十一頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期一無強制規(guī)則排隊模型應用于杜皮特公司營銷副總裁的建議(FutureArrivalRates)第五十二頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期一無強制優(yōu)先規(guī)則應用于杜皮特公司問題時的期望等待時間sWhenl1l2mrWqforPrinterCopiersWq

forOtherMachines1Now1240.750.25workday(2hrs.)1workday(8hrs.)1Later1.51.540.750.3workday(2.4hrs.)1.2workday(9.6hrs.)2Now2440.750.107workday(0.86hr.)0.439workday(3.43hrs.)2Later3340.750.129workday(1.03hrs.)0.514workday(4.11hrs.)3Now3640.750.063workday(0.50hr.)0.252workday(2.02hrs.)3Later4.54.540.750.076workday(0.61hr.)0.303workday(2.42hrs.)第五十三頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期一決策：采納第四個建議管理層的結論建議人建議增加的成本約翰保持單人負責區(qū)域，但是將每個區(qū)域指派的設備數(shù)從150減少到100每年3億美元工程副總裁保持現(xiàn)在的單人負責區(qū)域一次性成本5億美元首席財務官變?yōu)槿素撠焻^(qū)域沒有，除了較大區(qū)域的缺點營銷副總裁變?yōu)閮扇素撠焻^(qū)域，給打印——復印機維修優(yōu)先權沒有，除了較大區(qū)域的缺點第五十四頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期一14.8關于設計排隊系統(tǒng)的一些啟示啟示1