微積分的創(chuàng)立

微積分的創(chuàng)立，被譽為“人類精神的最高勝利”。在18世紀，微積分進一步深入發(fā)展，這種發(fā)展與廣泛的應用緊密交織在一起，刺激和推動了許多數(shù)學新分支的產生，從而形成了“分析”這樣一個在觀念和方法上都具有鮮明特點的數(shù)學領域。在數(shù)學史上，18世紀可以說是分析的時代，也是向現(xiàn)代數(shù)學過渡的重要時期。18世紀微積分最重大的進步是由歐拉(LeonardEuler,1707—1783)作出的。歐拉在1748年出版的《無限小分析引論》(IntroductioinAnclysininfinitorum)以及他隨后發(fā)表的《微分學》(InstitutionsCalculidifferentials,1755)和《積分學》(InstitutionesCalculiintegralis，共3卷，1768—1770)是微積分史上里程碑式的著作，它們在很長時間里被當作分析課本的典范而普遍使用著。這三部著作包含了歐拉本人在分析領域的大量創(chuàng)造,同時引進了一批標準的符號如：f(x)—函數(shù)符號工—求和號e--自然對數(shù)底i--虛數(shù)號等等,對分析表述的規(guī)范化起了重要作用。歐拉出生于瑞士巴塞爾一個牧師家庭,13歲就進入巴塞爾大學,數(shù)學老師是約翰。伯努利。師生之間建立了極親密的關系,伯努利后來在給歐拉的一封信中這樣贊許自己這位學生在分析方面的青出于蘭：“我介紹高等分析時,它還是個孩子,而您正在將它帶大成人。”歐拉主要的科學生涯是在俄國圣彼德堡科學院(1727—1741；1766—1783)和德國柏林科學院(1741—1766)度過的。他對彼德堡科學院懷有特殊的感情,曾將自己的科學成就歸功于“在那兒擁有的有利條件”。歐拉是歷史上最多產的數(shù)學家。他生前發(fā)表的著作與論文有560余種,死后留下了大量手稿。歐拉自己說他未發(fā)表的論文足夠彼德堡科學院用上20年,結果是直到1862年即他去世80年后,彼德堡科學院院報上還在刊登歐拉的遺作。1911年瑞士自然科學協(xié)會開始出版歐拉全集,現(xiàn)已出版70多卷,計劃出齊84卷,都是大四開本。歐拉從18歲開始創(chuàng)作,到76歲逝世,因此單是收進全集的這些文稿,歐拉平均每天就要寫約1。5頁大四開紙的東西,而歐拉還有不少手稿在1771年的彼德堡大火中化為灰燼。歐拉28歲左眼失明,56歲雙目失明,他完全是依靠驚人的記憶和心算能力進行研究與寫作。與牛頓不同,歐拉一生結過兩次婚,是13個孩子的父親。1783年9月的一天,歐拉在與同事討論了天王星軌道計算以后疾病發(fā)作,喃喃自語道：“我要死了！”如巴黎科學院秘書孔多塞(M。Condorcet)形容的那樣，他“停止了計算，也停止了生命?！?8世紀數(shù)學家們以高度的技巧,將牛頓和萊布尼茲的無限小算法施行到各類不同的函數(shù)上，不僅發(fā)展了微積分本身，而且作出了許多影響深遠的新發(fā)現(xiàn)。在這方面，積分技術的推進尤為明顯。約翰。伯努利和歐拉在他們的論著中使用變量代換和部分分式等方法求出了許多困難的積分，這些方法已經(jīng)成為今天微積分教科書中求函數(shù)積分的常用方法。歐拉在1744年處理彈性問題時得到積分aft0(a+卩x+Yx2aft0這屬于后來所說的“橢圓積分”的范疇，它們既不能用代數(shù)函數(shù)，也不能用通常的初等超越函數(shù)(如三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等)表示出來。橢圓積分的一般形式是

P(x)dxR(x)(其中P(x)是x的有理函數(shù)，(x)則是一般的四次多項式)。歐拉就特殊類型的橢圓積分積累了大量結果。雖然微積分的創(chuàng)立者已經(jīng)接觸到了偏微商和重積分的概念，但將微積分算法推廣到多元函數(shù)而建立偏導數(shù)理論和多重積分理論的主要是18世紀的數(shù)學家。1720年，尼古拉。伯努利(NicolausBernoulliII1687—1759)證明了函數(shù)(x,y)在一定條件下，對x，y求偏導數(shù)其結果與求導順序無關。歐拉在1734年的一篇文章中也證明了同樣的事實。在此基礎上，歐拉在一系列的論文中發(fā)展了偏導數(shù)理論。1748年歐拉用累次積分算出了表示一厚度為5c的橢圓薄片對其中心正上方一質點的引力的重積分：cdxdy(c2(c2+x2+y2^3/2積分區(qū)域由竺+21=1圍成。到1770年左右，歐拉已經(jīng)能給出計算二重定積分的一般程序。a2b218世紀通過研究發(fā)散級數(shù)獲得了一個重要常數(shù)“歐拉常數(shù)”丫，是歐拉討論如何用對數(shù)函數(shù)來逼近調和級數(shù)的和時得到的，它最簡單的表示形式為：lim1nlim1nt\11+—+—+23、一logn丿歐拉曾計算出y的近似值0。577218，但迄今我們還不能判定y究竟是有理數(shù)還是無理數(shù)。18世紀微積分發(fā)展的一個歷史性轉折，是將函數(shù)放到了中心的地位，而以往數(shù)學家們都以曲線作為微積分的主要對象。這一轉折首先也應歸功于歐拉，歐拉在《無限小分析引論》中明確宣布：“數(shù)學分析是關于函數(shù)的科學”，微積分被看作是建立在微分基礎上的函數(shù)理論。函數(shù)概念在17世紀已經(jīng)引入，牛頓《原理》中提出的“生成量”就是雛形的函數(shù)概念萊布尼茲首先使用了“函數(shù)”(function)這一術語。他把函數(shù)看成是“像曲線上點的橫坐標、縱坐標、切線長度、垂線長度等所有與曲線上的點有關的量”。最先將函數(shù)概念公式化的是約翰。伯努利。歐拉則將伯努利的思想進一步解析化，他在《無限小分析引論》中將函數(shù)定義為：“變量的函數(shù)是一個由該變量與一些常數(shù)以任何方式組成的解析表達式。”歐拉的函數(shù)定義在18世紀后期戰(zhàn)占據(jù)了統(tǒng)治地位。在這一定義的基礎上，函數(shù)概念本身大大豐富了。歐拉在《引論》中明確區(qū)分了代數(shù)函數(shù)與超越函數(shù)，將超越函數(shù)看成是以無限多次算術運算而得到的表達式，也就是說可用無窮級數(shù)表示的函數(shù)。歐拉還區(qū)分了顯函數(shù)與隱函數(shù)、單值函數(shù)與多值函數(shù)等。通過一些積分問題的求解，一系列新的超越函數(shù)被納入了函數(shù)的范疇。除了上面已提到的橢圓積分外，18世紀得到的最重要的超越函數(shù)還有r函數(shù)和B函數(shù)：r(n+1)=n!=j1(-logx)"dx=「x”e-xdx00B(m，n)=j1(1-x)m-1(1-x)n-1B(m，這兩個函數(shù)在歐拉《無限小分析》中都有論述，但歐拉早在1730年給哥德巴赫的一封信中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)它們。其中r函數(shù)是他用插值法將階乘概念推廣到非整數(shù)情形時得到的積分表達式，“r函數(shù)”的名稱及記號是勒讓德（1811）給出的。歐拉在1771年進一步建立了這兩個函數(shù)之間的關系：B（mB（m，n)r(m)r(n)r函數(shù)，b函數(shù)與橢圓積分等一起，是18世紀新發(fā)現(xiàn)的超越函數(shù)的重要例子，對于函數(shù)概念的拓廣多有影響。在18世紀，已有的初等函數(shù)包括三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)則被推廣到了復數(shù)領域，這也是受到了積分計算的激發(fā)。因為例如當人們用部分分式法則來求積分f一丄ax2+bx+c時，會導致形式為的積分，其中被積式的系數(shù)有可能是復數(shù)。由于這種積分在形式ex+f上可看作是對數(shù)函數(shù)，這就引起了關于什么是復數(shù)的對數(shù)和負數(shù)的對數(shù)的探討。1714年英國人柯茨（R。Cotes）得到了關系：iQiQ=log(cosQ+isinQe這一結果后又被歐拉獨立得到并寫進了《無限小分析引論》，《引論》中還發(fā)表了著名的公式：(cosQ±isinQ)n=cosnQ土isinnQ這公式現(xiàn)在也叫“悝莫弗公式”，悝莫弗在1707—1730年曾逐步得到了相當于這一公式的結果，但他僅隱含地寫出這一公式，歐拉首次明確地陳述了這一公式，并將n推廣到任意實數(shù)。這些公式不僅使人們能正確回答什么是復數(shù)的對數(shù)，更重要的是揭示了三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)之間的深刻聯(lián)系而形成了初等函數(shù)的統(tǒng)一理論。牛頓和萊布尼茲的微積分是不嚴格的，特別在使用無限小概念上的隨意與混亂，這使他們的學說從一開始就受到懷疑和批評。1695年，荷蘭物理學家紐汶蒂（B。Nieuwentyt）在其著作《無限小分析》中指責牛頓的流數(shù)術敘述“模糊不清”，萊布尼茲的高階微分“缺乏根據(jù)”等。最令人震撼的抨擊是來自英國哲學家、牧師伯克萊，伯克萊（G。Berkeley，1685—1753）在1734年擔任克羅因（在今愛爾蘭境內）主教，同年發(fā)表小冊子《分析學家，或致一位不信神的數(shù)學家》（TheAnalyst，aDiscourseAddressedtoanInfidelMathematician），副題中“不信神的數(shù)學家”是指曾幫助牛頓出版《原理》的哈雷（E。Haley）。伯克萊在書中認為當時的數(shù)學家們以歸納代替演繹，沒有為他們的方法提供合法性證明。他集中攻擊牛頓流數(shù)論中關于無限小量的混亂假設，例如在首末比方法中，為了求幕xn的流數(shù)，牛頓假設x有一個增量。，并以它去除xn的增量n（n—1）得nxn-1+ xn-2。H—，然后又讓o“消失”，得到xn的流數(shù)nxn-1，伯克萊指出這里2關于增量o的假設前后矛盾，是“分明的詭辯”。他譏諷地問道：“這些消失的增量究竟是什么呢？它們既不是有限量，也不是無限小，又不是零，難道我們不能稱它們?yōu)橄帕康墓砘陠幔俊薄斗治鰧W家》的主要矛頭是牛頓的流數(shù)術，但對萊布尼茲的微積分也同樣竭力非難，認為其中的正確結論，是從錯誤的原理出發(fā)通過“錯誤的抵消”而獲得。伯克萊對微積分學說的攻擊主要是出于宗教的動機，目的是要證明流數(shù)原理并不比基督教義“構思更清楚”、“推理更明白”。但他的許多批評是切中要害的，在客觀上揭露了早期微積分的邏輯缺陷，刺激了數(shù)學家們?yōu)榻⑽⒎e分的嚴格基礎而努力。為了回答伯克萊的攻擊，在英國本土產生了許多為牛頓流數(shù)論辯護的著述，其中以麥克勞林《流數(shù)論》最為典型，但所有這些辯護都因堅持幾何論證而顯得軟弱無力。歐洲大陸的數(shù)學家們則力圖以代數(shù)化的途徑來克服微積分基礎的困難。在18世紀，這方面的代表人物是達郎貝爾、歐拉和拉格朗日。歐拉在《微分學》中提出了關于無限小的不同階零的理論，歐拉認為無限小就是零，但卻存在著“不同階的零”，也就是不同階的無限小，而“無限小演算只不過是不同無限小量的幾何比的研究?！彼麛嘌匀绻扇×诉@種觀點，“在這門崇高的科學中，我們就完全能保持最高度的數(shù)學嚴格性”。18世紀數(shù)學家們一方面努力探索使微積分嚴格化的途徑；一方面又往往不顧基礎問題的困難而大膽前進，大大擴展了微積分的應用范圍，尤其是與力學的有機結合，已成為18世紀數(shù)學的鮮明特征之一，這種結合的緊密程度是數(shù)學史上任何時期不能比擬的。當時幾乎所有數(shù)學家都不同程度地同時也是力學家。歐拉的名字同剛體運動與流體力學的基本方程相聯(lián)系；拉格朗日最享盛名的著作是《分析力學》（Traitedemechaniqueanalitique,1788）,它將力學變成分析的一個分支，拉普拉斯許多最重要的數(shù)學成果是包含在他的五大卷《天體力學》中,這種廣泛的應用成為新思想的源泉而使數(shù)學本身大大受惠,一系列新數(shù)學分支在18世紀成長起來。常微分方程是伴隨著微積分一起發(fā)展起來的,牛頓和萊布尼茲的著作中都處理過與常微分方程有關的問題。解一階常微分方程Mdx+Ndy=0的所謂“積分因子法”，先后由歐拉（1734—1735年間）和克萊洛（1739—1740年間）獨立地提出。他們的方法是將方程乘以一個叫“積分因子”的量而使它化為“恰當方程”恰當方程是指方程左端Mdx+Ndy恰好是某個函數(shù)z=f（x,y）的全微分dz=dx+dy。歐拉和克萊洛都給出方程是恰當?shù)臈ldx dy件：也=竺，并指出了如果方程是恰當?shù)?，它就可以積分。dy dx件：1728年，歐拉在一篇題為《將二階微分方程化為一階微分方程的新方法》的論文中，引進了著名的指數(shù)代換將三類相當廣泛的二階常微分方程化為一階方程，這是二階常微分方程系統(tǒng)研究的開始。高階常微分方程求解的重要突破，是歐拉1743年關于n階常系數(shù)線性齊次方程的完整解法。對于n階常系數(shù)方程dy d2y d3