平面圖形直觀圖的畫(huà)法及平面圖形中的解三角形

試卷第=page1010頁(yè)，總=sectionpages1212頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，總=sectionpages11頁(yè)平面圖形直觀圖的畫(huà)法先觀察下面的圖形，總結(jié)投影變化規(guī)律。投影規(guī)律：1.平行性不變;但形狀、長(zhǎng)度、夾角會(huì)改變；2.平行直線段或同一直線上的兩條線段的比不變3.在太陽(yáng)光下，平行于地面的直線在地面上的投影長(zhǎng)不變表示空間圖形的平面圖形，叫做空間圖形的直觀圖畫(huà)空間圖形的直觀圖，一般都要遵守統(tǒng)一的規(guī)則，1．斜二測(cè)畫(huà)法我們常用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)空間圖形及水平放置的平面多邊形的直觀圖．斜二測(cè)畫(huà)法是一種特殊的平行投影畫(huà)法．2．平面圖形直觀圖的畫(huà)法斜二測(cè)畫(huà)法的步驟：(1)在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點(diǎn)O.畫(huà)直觀圖時(shí)，把它們畫(huà)成對(duì)應(yīng)的x′軸和y′軸，兩軸交于點(diǎn)O′，且使∠x(chóng)′O′y′＝_45°(或135°)_，它們確定的平面表示_水平面．(2)已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫(huà)成_平行于x′軸或y′軸的線段．(3)已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變_，_垂直于x軸的線段，長(zhǎng)度為原來(lái)的_一半_．注意點(diǎn)：1．斜二測(cè)畫(huà)法中的“斜”和“二測(cè)”分別指什么？提示：“斜”是指在已知圖形的xOy平面內(nèi)垂直于x軸的線段，在直觀圖中均與x′軸成45°或135°；“二測(cè)”是指兩種度量形式，即在直觀圖中，平行于x′軸或z′軸的線段長(zhǎng)度不變；平行于y′軸的線段長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半。2．圓的斜二測(cè)畫(huà)法，其圖形還是圓嗎？提示：不是圓，是一個(gè)壓扁了的“圓”，即橢圓。3．立體圖形直觀圖的畫(huà)法由于立體圖形與平面圖形相比多了一個(gè)z軸，因此，用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)立體圖形的直觀圖時(shí)，圖形中平行于x軸、y軸或z軸的線段在直觀圖中分別畫(huà)成平行于x′軸、y′軸或z′軸的線段．平行于x軸和z軸的線段，在直觀圖中長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段，長(zhǎng)度為原來(lái)的一半．例１．用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的六邊形的直觀圖解：第一步：在六邊形ABCDEF中，取AD所在的直線為X軸，對(duì)稱軸MN所在的直線為Y軸，兩軸交于點(diǎn)O。畫(huà)相應(yīng)的X’軸和Y’軸，兩軸交于點(diǎn)O’，使∠x(chóng)’Oy’=45°第二步：以O(shè)’點(diǎn)為中心，在X’上去A’D’=AD，在y’軸上去M’N’=0.5MN。以點(diǎn)N’為中心，話B’C’平行于x’軸，并且等于BC，再以M’為中心，畫(huà)E’F’平行于X’軸，并且等于EF。第三步：連接A’B’,C’D’,E’F’,F’A’。第四步：擦去輔助線x’軸和y’軸，便獲得六邊形ABCDEF水平放置的直觀圖A’B’C’D’E’F’總結(jié)畫(huà)法規(guī)則：1、在空間圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸交于O點(diǎn)，再取z軸，使∠x(chóng)oz=900,且∠yoz=900；2、畫(huà)直觀圖時(shí)把它們畫(huà)成對(duì)應(yīng)的x’軸、y’軸和z’軸,它們交于O’,并使∠x(chóng)’oy’=450(或1350),∠x(chóng)’oz’=900,x’軸和y’軸所確定的平面表示水平平面。3、已知圖形中平行于x軸、y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫(huà)成平行于x’軸、y’軸或z’軸的線段。(即平行性不變）。4、已知圖形中平行于x軸和z軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變；平行于y軸的線段，長(zhǎng)度為原來(lái)的一半(即橫不變縱折半）。是為斜二測(cè)畫(huà)法。平面圖形直觀圖的畫(huà)法基本步驟：（1）建系；（2）畫(huà)軸；（3）作平行線段（橫不變縱減半）；（4）連線；（5）擦去輔助線（也可保留輔助線）；課堂檢測(cè)：1關(guān)于斜二測(cè)畫(huà)法的下列結(jié)論：（1）三角形的直觀圖還是三角形；（2）平行四邊形的直觀圖還是平行四邊形；（3）正方形的直觀圖還是正方形；（（4）菱形的直觀圖還是菱形其中正確的是（）A（1）（2）B（1）（3）C（3）（4）D（1）（2）（3）（4）2下列說(shuō)法中正確的是（）A水平放置的矩形的直觀圖可能是梯形B水平放置的梯形的直觀圖可能是平行四邊形C水平放置的平行四邊形的直觀圖可能是矩形D水平放置的菱形的直觀圖不可能是平行四邊形重要規(guī)律：在畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是關(guān)鍵，一般要使得平面多邊形盡可能多的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，以便于畫(huà)點(diǎn)；原圖中的共線點(diǎn)，在直觀圖中仍是共線點(diǎn)，原圖中的平行線，在直觀圖中仍是平行線．對(duì)于直觀圖，除了了解其畫(huà)圖規(guī)則外，還要了解原圖形面積S與其直觀圖面積S′之間的關(guān)系S′＝eq\f(\r(2),4)S，能進(jìn)行相關(guān)問(wèn)題的計(jì)算．已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為()A.eq\f(\r(3),4)a2B.eq\f(\r(3),8)a2C.eq\f(\r(6),8)a2D.eq\f(\r(6),16)a2解析：如圖①、②所示的實(shí)際圖形和直觀圖．由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)a，在圖②中作C′D′⊥A′B′于D′，則C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),8)a.∴S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.答案：D將直觀圖還原為平面圖把一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖，通過(guò)逆向思維，逆用斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則可還原為原來(lái)的圖形．例題2、如圖是一梯形OABC的直觀圖，其直觀圖面積為S，求梯形OABC的面積．【思路點(diǎn)撥】還原→求原圖形的高→求原圖形的面積【解】設(shè)O′C′＝h，則原梯形是一個(gè)直角梯形且高為2h.C′B′＝CB，O′A′＝OA.過(guò)C′作C′D⊥O′A′于D，則C′D＝eq\f(\r(2),2)h.由題意知eq\f(1,2)C′D(C′B′＋O′A′)＝S，即eq\f(\r(2),4)h(C′B′＋O′A′)＝S.又原直角梯形面積為S′＝eq\f(1,2)·2h(CB＋OA)＝h(C′B′＋O′A′)＝eq\f(4S,\r(2))＝2eq\r(2)S，所以梯形OABC的面積為2eq\r(2)S.注意：由直觀圖還原為平面圖形時(shí)，注意平行y′軸的線段，要變?yōu)?倍長(zhǎng)度．如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm是()A．正方形B．矩形C．菱形D．一般的平行四邊形解析：將直觀圖還原得?OABC，則∵O′D′＝eq\r(2)O′C′＝2eq\r(2)(cm)，OD＝2O′D′＝4eq\r(2)(cm)，C′D′＝O′C′＝2(cm)，∴CD＝2(cm)，OC＝eq\r(CD2＋OD2)＝eq\r(22＋4\r(2)2)＝6(cm)，OA＝O′A′＝6(cm)＝OC，故原圖形為菱形．答案：C立體圖形直觀圖的畫(huà)法斜二測(cè)畫(huà)法的步驟：（1）在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于o點(diǎn)．畫(huà)直觀圖時(shí)，把它畫(huà)成對(duì)應(yīng)的x′軸、y′軸，使，它確定的平面表示水平平面。（2）已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫(huà)成平行于x′軸或y′軸的線段．（3）已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變；平行于y軸的線段，長(zhǎng)度為原來(lái)的一半．例：用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)長(zhǎng),寬,高分別是4cm,3cm,2cm的長(zhǎng)方體ABCD-A’B’C’D’的直觀圖解：第一步：畫(huà)軸。畫(huà)x軸，y軸，z軸，三軸交于點(diǎn)O，使得∠x(chóng)Oy=45°，∠x(chóng)Oz=90°第二步：畫(huà)底面。以O(shè)為中心，在x軸上取線段MN，使得MN=4cm，在y軸上取線段PQ，使得PQ=1.5cm；分別國(guó)電M.N作y軸的平行線，過(guò)點(diǎn)P,Q作x軸的平行線，作出平行四邊形ABCD第三步：畫(huà)側(cè)棱，過(guò)點(diǎn)A,B,C,D,分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取2cm長(zhǎng)的線段AA’,BB’,CC’,DD’。第四步：成圖，連接A’,B’,C’,D’去掉輔助線，即可畫(huà)出直觀圖總結(jié)基本步驟：（1）畫(huà)軸；（2）畫(huà)底面；（3）畫(huà)側(cè)棱；（4）成圖；總結(jié)：斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則；關(guān)鍵是“平行性不變；橫不變縱折半”。利用正弦，余弦定理解三角形的一些平面圖形問(wèn)題 1．如圖,是直角斜邊上一點(diǎn),．（I）若,求角的大??；（II）若,且,求的長(zhǎng)．2．如圖，在平面四邊形中，，，，，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的長(zhǎng).3．如圖，在四邊形中，．（1）求邊的長(zhǎng)；（2）求的面積．4．如圖，在△ABC中，BC邊上的中線AD長(zhǎng)為3，且cosB＝，cos∠ADC＝－.(1)求sin∠BAD的值；(2)求AC邊的長(zhǎng)．5．如圖所示，在平面四邊形中，，，為邊上一點(diǎn)，，，，.（1）求的值；（2）求的長(zhǎng).6．如圖，在△中，點(diǎn)在邊上，，，,.（Ⅰ）求的長(zhǎng)；（Ⅱ）求△的面積．7．設(shè)銳角△的三內(nèi)角的對(duì)邊分別為向量，，已知與共線.（1）求角的大?。唬?）若，，且△的面積小于，求角的取值范圍.8．在中,內(nèi)角、、對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)分別為、、,已知．（1）求角；（2）若,求的取值范圍．9．（2012?東至縣一模）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C對(duì)邊長(zhǎng)分別是a，b，c，已知c=2，C=（Ⅰ）若△ABC的面積等于；（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面積．10．已知滿足．（1）將表示為的函數(shù)，并求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）已知三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，且，求面積的最大值．11．如圖，在中，，，，點(diǎn)在邊上，且．（1）求；（2）求線段的長(zhǎng)．本卷由系統(tǒng)自動(dòng)生成，請(qǐng)仔細(xì)校對(duì)后使用，答案僅供參考。本卷由系統(tǒng)自動(dòng)生成，請(qǐng)仔細(xì)校對(duì)后使用，答案僅供參考。答案第=page88頁(yè)，總=sectionpages88頁(yè)答案第=page11頁(yè)，總=sectionpages88頁(yè)參考答案1．（I）；（II）2.【解析】試題分析：（Ⅰ）由正弦定理求出,可得；（II）設(shè),在中,由余弦定理整理出關(guān)于x的方程,解方程求出,試題解析：（Ⅰ）在△ABC中,根據(jù)正弦定理,有.又所以.于是,所以.（Ⅱ）設(shè),則,,.于是,,在中,由余弦定理,得,即,得.故考點(diǎn)：正弦定理、余弦定理.2．（Ⅰ）;（Ⅱ）.【解析】試題分析：（Ⅰ）利用余弦定理，求出的值，再利用正弦定理即可求；（Ⅱ）由及（1）可求得的余弦值與正弦值，得用三角形內(nèi)角和定理及兩角和與差的正弦公式可求出，再利用正弦定理即可求的長(zhǎng).試題解析：（Ⅰ）在中，由余弦定理得：，即，解得：，或（舍），由正弦定理得：（Ⅱ）由（Ⅰ）有：，，所以,由正弦定理得：考點(diǎn)：1.正弦定理與余弦定理；2.三角恒等變換；3.三角形內(nèi)角和定理.3．（1）；（2）．【解析】試題分析：（1）在中，由余弦定理列出方程，即可求解邊的長(zhǎng)；（2）在中，由余弦定理，得，進(jìn)而得，利用三角形的面積公式，求解三角形的面積．試題解析：（1）在中，由余弦定理，得，即，解之得或（舍去），所以；（2）由已知，，所以，在中，由余弦定理，得，所以，所以．考點(diǎn)：正弦定理與余弦定理的應(yīng)用．4．(1);(2).【解析】試題分析：(1)根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式由,可求得,的值.因?yàn)?可由正弦的兩角差公式求得的值.(2)在中可由正弦定理求得的長(zhǎng),即的長(zhǎng),然后再在中用余弦定理求得的長(zhǎng).試題解析：解：(1)因?yàn)?，所?又，所以，所以(2)在中，由得，解得.故，從而在中，由，得.考點(diǎn)：1兩角和差公式;2正弦定理,余弦定理.【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題主要考查的是正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和差公式，屬于中檔題．解題時(shí)一定要注意角的范圍，三角形內(nèi)角的正弦值均為正,否則很容易失分．高考中經(jīng)常將三角變換與解三角形知識(shí)綜合起來(lái)命題，期中關(guān)鍵是三角變換，而三角變換中主要是“變角、變函數(shù)名和變運(yùn)算形式”，其中的核心是“變角”，即注意角之間的結(jié)構(gòu)差異，彌補(bǔ)這種結(jié)構(gòu)差異的依據(jù)就是三角公式．5．（1）；（2）．【解析】試題分析：（1）在中，由余弦定理求解，再利用正弦定理求出；（2）利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式與和角公式求出的值，再在中，．試題解析：(Ⅰ)在中，由余弦定理得：，整理得：即，又由正弦定理得，即，所以．(Ⅱ)因?yàn)?，所以，又，所以所以在中，．考點(diǎn)：正、余弦定理的應(yīng)用；三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式及和角公式的應(yīng)用．6．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】試題分析：(Ⅰ)設(shè)，則．因?yàn)?，，，所以，由余弦定理得．因?yàn)?，即．解得．所以的長(zhǎng)為；（Ⅱ）由(Ⅰ)，所以可得正確答案.試題解析：(Ⅰ)在中，因?yàn)椋O(shè)，則．在中，因?yàn)?，，，所以．在中，因?yàn)?，，，由余弦定理得．因?yàn)?，所以，即．解得．所以的長(zhǎng)為.（Ⅱ）由（Ⅰ）求得，．所以，從而,所以．考點(diǎn)：余弦定理及三角形面積公式.7．（1）（2）【解析】試題分析：（Ⅰ）利用向量平行，得到關(guān)于A的關(guān)系式，利用二倍角公式、兩角差的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)，求出角A的大??；（Ⅱ）通過(guò)，，且△ABC的面積小于，得到B的余弦值的范圍，然后求角B的取值范圍試題解析：（1）因?yàn)榕c共線，則即所以即為銳角，則，所以（2）因?yàn)?，，則.由已知，，即.因?yàn)槭卿J角，所以，即，故角的取值范圍是考點(diǎn)：1.三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值；2.解三角形【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）由余弦定理得,所以；（2）利用正弦定理得,利用誘導(dǎo)公式和輔助角公式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求范圍.試題解析：（1）∵,由余弦定理得,∵,∴∵,∴（2）由余弦定理得,∴,∴；∵,∴,．所以考點(diǎn)：正弦定理、余弦定理、三角變換.9．（Ⅰ）a=2，b=2；（Ⅱ）S=．【解析】試題分析：（Ⅰ）由C的度數(shù)求出sinC和cosC的值，利用余弦定理表示出c2，把c和cosC的值代入得到一個(gè)關(guān)于a與b的關(guān)系式，再由sinC的值及三角形的面積等于，利用面積公式列出a與b的另一個(gè)關(guān)系式，兩個(gè)關(guān)系式聯(lián)立即可即可求出a與b的值；（Ⅱ）由三角形的內(nèi)角和定理得到C=π﹣（A+B），進(jìn)而利用誘導(dǎo)公式得到sinC=sin（A+B），代入已知的等式中，左邊利用和差化積公式變形，右邊利用二倍角的正弦函數(shù)公式變形，分兩種情況考慮：若cosA為0，得到A和B的度數(shù)，進(jìn)而根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出a與b的值；若c