高中數(shù)學(xué)-3.3.3-最大值與最小值課件-蘇教版選修11-

一、填空題（每題4分，共24分）1.(2010·吉林高二檢測）若函數(shù)f（x）=-x3+3x2+9x+a在區(qū)間［-2,-1］上的最大值為2，則它在該區(qū)間上的最小值為____.【解析】f′（x）=-3x2+6x+9=-3(x2-2x-3)=-3(x+1)(x-3)，令f′(x)=0,得x=-1或x=3f(-1)=1+3-9+a=a-5,f(-2)=8+12-18+a=a+2由題意知f(-2)＝f(x)max=2+a=2∴a=0∴f(x)min＝f(-1)=a-5=-5.答案：-52.（2010·泰州高二檢測）函數(shù)y=x+2cosx在區(qū)間［0，］上的最大值是____.【解析】y′=1-2sinx，令y′=0，則x=∴f()=+f(0)=2,f()=故y=x+2cosx在區(qū)間［0,］上的最大值為+答案：

+3.函數(shù)f（x）=x3-3x+1在閉區(qū)間［-3,0］上的最大值、最小值分別是____.【解析】f′（x）=3x2-3=3(x+1)(x-1),令f′（x）=0,則x＝-1或x=1（舍去）f(-1)=3,f(0)=1,f(-3)=-17,∴f(x)max=f(-1)=3，f(x)min=f(-3)=-17.答案:3,-174.若函數(shù)f(x)=x3-3x-a在區(qū)間［0,3］上的最大值、最小值分別為m、n，則m-n=____.【解析】∵f′(x)=3x2-3,∴當(dāng)x＞1或x＜-1時f′(x)＞0,當(dāng)-1＜x＜1時，f′(x)＜0，∴f(x)在［0,1］上單調(diào)遞減，在［1,3］上單調(diào)遞增.∴f(x)min=f(1)=1-3-a=-2-a=n.又∵f(0)=-a,f(3)=18-a,∴f(0)＜f(3),∴f(x)max=f(3)=18-a=m,∴m-n=18-a-(-2-a)=20.答案：205.在區(qū)間［2］上，函數(shù)f(x)=x2+px+q與g(x)=2x+在同一點(diǎn)取得相同的最小值，那么f(x)在［2］上的最大值是)____.【解析】g′(x)=2-令g′(x)=0得x=1,∴g(1)=2+1=3,g()=5,g(2)=∴當(dāng)x=1時，g(x)取最小值3.∵1∈［2］且不是區(qū)間的端點(diǎn).∴x=1是f(x)=x2+px+q的對稱軸.∴-=1,p=-2.q=4,∴f(x)=x2-2x+4,它在［2］上的最大值為f(2)=4.答案：46.若不等式+x2>3x+a對任意x∈［0,2］恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為____.

【解題提示】解答本題可將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值問題.【解析】原不等式可化為a<+x2-3x,令f(x)=+x2-3x,則a<f(x)min,由f′(x)=x2+2x-3=0得x1=-3,x2=1,當(dāng)x∈［0,1］時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈［1,2］時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,∴當(dāng)x=1時,f(x)取最小值∴a<答案：(-∞,)二、解答題（每題8分，共16分）7.（2010·濟(jì)南高二檢測）已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+5，若當(dāng)x=時,y=f(x)有極值，曲線y=f(x)在點(diǎn)（1，f(1))處的切線斜率為3.（1）求a,b的值；（2）求y=f(x)在［-4,1］上的最大值和最小值.【解析】(1)f′(x)=3x2+2ax+b.由題意，得解得（2）由（1）知f(x)=x3+2x2-4x+5,所以f′(x)=3x2+4x-4=(x+2)(3x-2),令f′(x)=0，得x1=-2,x2=列表如下：∴f(x)在［-4,1］上的最大值為13，最小值為-11.8.（2010·贛州高二檢測）已知函數(shù)f(x)=ex-x,（1）求f(x)的最小值；（2）設(shè)不等式f(x)＞ax的解集為P，且{x|0≤x≤2}P，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】（1）f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=ex-1,令f′(x)＞0，解得x＞0;令f′(x)＜0,解得x＜0.從而f(x)在(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞減，在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.所以，當(dāng)x=0時，f(x)取得最小值1.（2）因?yàn)椴坏仁絝(x)＞ax的解集為P,且{x|0≤x≤2}P,所以，對任意的x∈［0,2］，不等式f(x)＞ax恒成立，由f(x)＞ax,得(1+a)x＜ex.當(dāng)x=0時，上述不等式顯然成立，故只需考慮x∈(0,2］的情況.將(1+a)x＜ex變形為a＜令g(x)=則g′(x)=令g′(x)＞0，解得x＞1;令g′(x)＜0,解得x＜1.從而g(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，在(1,2］內(nèi)單調(diào)遞增.所以,當(dāng)x=1時，g(x)取得最小值e-1,從而，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,e-1).9.（10分）若存在實(shí)常數(shù)k和b,使得函數(shù)f（x）和g（x）對其定義域上的任意實(shí)數(shù)x分別滿足:f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b,則稱直線l:y=kx+b為函數(shù)f（x）和g（x）的“隔離直線”.已知h（x）=x2,

（x）=2elnx（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）求F（x）=h（x）-

（x）的極值;（2）函數(shù)h（x）和

（x）是否存在隔離直線?若存在,求出此隔離直線的方程;若不存在,請說明理由.【解析】（1）∵F（x）=h（x）-

（x）=x2-2elnx（x＞0）,∴當(dāng)x=

時,F′（x）=0.∵當(dāng)0＜x＜

時,F′（x）＜0,此時函數(shù)F（x）遞減;當(dāng)x＞

時,F′（x）＞0,此時函數(shù)F（x）遞增,∴當(dāng)x=

時,F（x）取極小值,其極小值為0.（2）由（1）可知函數(shù)h（x）和

（x）的圖象在x=

處有公共點(diǎn),因此若存在h（x）和

（x）的隔離直線,則該直線過這個公共點(diǎn).設(shè)隔離直線的斜率為k,則直線方程為y-e=k（x-

）,即y=kx+e-k由h（x）≥kx+e-k

（x∈R）,可得x2-kx-e+k

≥0當(dāng)x∈R時恒成立.∴Δ=（k-2

）2,∴由Δ≤0,得k=2下面證明

（x）≤2

x-e當(dāng)x＞0時恒成立.令G（x）=

（x）-2

x+e=2elnx-2

x+e,則G′（x）

當(dāng)x=

時,G′（x）=0.∵當(dāng)0＜x＜

時,G′（x）＞0,