期末考試復(fù)習(xí)概率論課件note

PART?={ω1,ω2,···,ωn,··· (1-隨量X:?→X(ωk)= xk∈R,k∈P({ωk})=pk0,k∈P(X=xk)=P({ωk})=

P(X=xk)= FX(x) P(X=xk) ∑P(X∈A) P(X= (1-Bernoulli?={ω1,ω2},P(ω1)=p,P(ω2)=q,p+q=1,p,q 且X(ω1)= X(ω2)= (1-1.1數(shù)字通信中，待傳輸?shù)男畔⑹恰?’和’1’。以傳輸?shù)男畔閱蝹€字節(jié)’0’為例，由于P(S(1)=s(1,↑))= P(S(1)=s(1,↓))=X(0)=c0+ P(X(1)=x(1,↑)= P(X(1)=x(1,↓)=x(1,↑)=(1+r)c0+c1s(1,x(1,↓)=(1+r)c0+c1s(1,

0c=s(1,↑)x(1,↓)?s(1,↓)x(1,↑), (1+r)(s(1,↑)?s(1,↓)0x(1,↑)?x(1,c1=s(1,↑)?s(1,↓) (1-x(1,↑)=[s(1,↑)?K]+, x(1,↓)=[s(1,↓)?K]+,1X(0)=1+r(πx(1,↑)+(1?π)x(1, (1-π=(1+r)s(0)?s(1,↓) (1-s(1,↑)?s(1,?={ω0,ω1,···,ωn},X(ωk)= (P(X=k)

npkk p+q=1,p>0,q> (1-k

P(M=k)

(n)(K

K,1, 二項分布的概率P(Xk)恰為(pq)n作二項式展開的第k（這是其稱為二項分布的原

P(X=k)=(p+q)n=P(X=k+ (n?P(X= =(k+1)q (1-因此，當(dāng)k<np?q時，概率P(X=k)隨k單調(diào)上升；反之，當(dāng)k>np?q時，概率P(X=k)隨k單調(diào)下降。因此，P(X=k)是k的單峰函數(shù)，峰值出現(xiàn)在?(n1)p?。如果(n1)p是整?1.4(動物生態(tài)學(xué))生物學(xué)家在研究野生動物行為時，常采用“標(biāo)記-重捕獲”(Mark-(P(N=k)=k

pk(1?)?檢驗中占有重要地位?？紤]兩組隨量{Xi,i=1,···,n}和{Yi,i=1,···,n}，假定對于所有的k1···n，Xk服從相同的分布FX，Yk服從相同的分布FY。檢驗的目的是判斷這兩種號。忽略Zk=0的情況（只考慮連續(xù)分布P(Zk>0)=P(Xk> P(Zk<0)=P(Xk<(P(N=k)=k

pk(1?)?1.6(可靠性)假定某型電子系統(tǒng)包含n個組件，系統(tǒng)保質(zhì)期內(nèi)各個組件的失效概率嚴(yán)格的計算進(jìn)行驗證。設(shè)p1?q，那么n( (Q=pn

n1+n22 =pn+1

n+

n+

12

?Q=?pnq+q1+1)p?n)+q22n(n+1)p?n(n?

Qn+1—Qn=n2q(?p2+p(p?nq)

nq(p?nq+1)),

—

=?n(n+1)2q<2Poisson居民人數(shù)、某個普通人每天接到的數(shù)目、書籍報內(nèi)出現(xiàn)的印刷錯誤等。Sim′eonDenis(InvestigationsintotheProbabilityofVerdictsinCriminalandCivilMatters)”中，首次提出?={ω0,ω1,···,ωn,···},X(ωk)=

P(X=k)=λk λ> (1-(P(N=k)=k

pk(1?kP(N=k) k!(n?

pk(1?

()n(n?1)···(n?k+ λ

λ 1?λkn(n?1)···(n?k+1) λ)?k λ=

1 1 令n→∞n(n?1)···(n?k+

→

λ1λn

→

λ1?

→λkP(N=k)→ofSmallNumber)。)exp(?2.5)+2.5?exp(?2.5)

2.52exp(?2.5)≈2Poisson分布的另一個重要應(yīng)用是對離散系統(tǒng)(DiscreteEventSystem)進(jìn)行建模。離散系統(tǒng)受時間驅(qū)動，系統(tǒng)狀態(tài)呈階躍式變化，系統(tǒng)的狀態(tài)變化發(fā)生在一串離散時間點

[k?n

t,n設(shè)在時間段S?[0,t)內(nèi)發(fā)生的離散次數(shù)為N(S)，則其中某一個子區(qū)間內(nèi)發(fā)生離散的概率滿足?k∈{1,2,···,n}P(N(k?

k))=1)=λt+ott ( t ( P(N([(k?

k))2)=ot((P(N([0,t))=k)=P(B1)+P(B1)

()nk

)k +o(

t1?n+o(

{N

(k?1)n

kt))n即

kt)) n∑

(k?1)

kt)) =no

(n()

t)k

t P(N([0,t))=k)

λt+o(

1 +o(

+no(令n

P(N([0,t))=k)

例1.8( 布”(TruncatedPoissonDistribution)來描述。λk P(N=k) k! (1-

Nn=0 K與二項分布有密切關(guān)聯(lián)的另外一種常用離散分布是超幾何分布(HypergeometricDistri-剩下N?K個黑球。從中無放回地抽取n個球，其中紅球的個數(shù)M是隨量，其服從的概K

N P(M=k)

n? max(0,n+K?N)kmin(K, (1-NnP(M=k)= k<max(0,n+K?N)或者k>min(K, (1- r( ==

r?k N? (

n?(N nK!(N?K)!(N?

K!(N?K)!(N? (K?k)!N!((N?K)?(n?(K?k)!N!((N?n)?(K?(K(K?1)···(K?k+1))((N?K)(N?K+1)···(N?K?(n?k)+= N(N?1)···(N?n+1)K(K?1)···(K?k+N(N?1)···(N?k+

(N?K)((N?K)+1)···((N?K)?(n?k)+1)→(1?(N?k)(N?k?1)···(N?n+ N? ( n?P(M=k) (N n

npk(1?p)n?k,) N?H(n,k,N,K)

n?(N (1-nH(n,k,N,K)=H(n,n?k,N,N? H(n,k,N,K)=H(N?n,K?k,N, (1-

H(n,k,N,K)=H(K,k,N, 例1.10(質(zhì)量控制)產(chǎn)品的質(zhì)量檢查是工業(yè)企業(yè)所的重要問題。假設(shè)某個批次待品數(shù)目M所服從的分布是超幾何分布。 N?P(M=k)

n?(N n常用的檢驗原則是：設(shè)立門限C，如果MC，則認(rèn)為該批次產(chǎn)品的次品率合格，接受該批命中第一槍為止，總共發(fā)射的槍數(shù)N服從的概率分布為P(N=k)=k1? 牌（例如主）過程中，從開始到上手拿到大小王為止所需要的局?jǐn)?shù)等等。

P(N>n)

(1?)p?= P(N>m+P(N> =P(N>例1.11(購物券收集)某商場n種購物券，每一次在該商場購物，即可獲得一張種此類推，我們得到將所有購物券收集齊全所需要的購物次數(shù)Y是若干個隨量的和，即Y=1+X1+···+們所關(guān)心的首次出現(xiàn)所需要的等待時間，而負(fù)二項分布則刻畫所關(guān)心的多次出現(xiàn)中n槍為止，總共發(fā)射的槍數(shù)N服從的概率分布為(k?1P(N=k)

n?

pn(1?kn 0<p<1,k=n,n+1,n+2,··· 參數(shù)n1時即為幾何分布（事實上，負(fù)二項分布的參數(shù)n可以取任意實數(shù)。負(fù)二項分布的如果令X=N?nP(X=k)=P(N=k+n)

(k+n?n?

pn(1? k=0,1,2,··· ∞

∞(?n)(?n?1)···(?n?k+(x+y)

?nx?n?kykk

kyk ∞(k+nP(X=k) n?

)1pn(1?

(k+n?1)···n

(1?

(?n)(?n?1)···(?n?k+

(?1)k(1? =pn(1+p?1)?n=分布(ShiftNegativeBinomialDistribution)。

p= n+λ

k+n?

pn(1?p)k

(k+n?1)·· 1 n? λ+ λ+λk(k+n?1)···n λ=

(λ+

1λ+(k+n?1) n?

p(1?p)k

Part的漲跌幅度是固定的，設(shè)S(n)是第n個時刻的價格，則S(n+1)服從Bernoulli分布P(S(n+1)=uS(n))= P(S(n+1)=dS(n))=1?定性的常數(shù)，滿足u>1>d>0。容易看出，多個周期內(nèi)的價格變化呈現(xiàn)出如下的樹狀 則S(n,j)=jj定價原理，X(n,j)可以由其兩個子節(jié)點X(n+1,j)和X(n+1,j+1)（分別對應(yīng)未來一個周期X(n,j)=1(πX(n+1,j)+(1?π)X(n+1,j+ (1-R=π=R? (1-u?

1n(X(0,0)

Rn

nπk(1?π)n?kX(n, (1-kX(n,k)=kdn?k?

n(X(0,0)

Rn

nπk(1?π)n?kuknS? (1-k

n(kΦ(a;n,p)k

npk(1??k (1-

X(0,0)=SΦ(a:n,π′)?K?nn, (1-a=min{l∈N:S(n,l)> π′=uπ Rk-Shles，或者lk-Shles-Meton是由Bk，Scholes和Mton共同出的連續(xù)時間定價，該是隨機(jī)金融學(xué)中最基本也是最重要的之一。由于Blak于195年不幸，Sholes和Mton因該于1997年了obl經(jīng)濟(jì)學(xué)獎。由于BlakShles和Mton在導(dǎo)出時，主要使用的隨機(jī)分析工具不為廣大所熟CxRos和Rubntn使用這里介紹的初等方法，首先得到了(-33)lk-Soles從而讓濟(jì)學(xué)能夠泛地理解和接受較為艱深的Bk-Shols-Merton理論做出了巨大貢獻(xiàn)。這三人于199年發(fā)表的文章tnPrcng:ASmp?dAppoah”也成為了率高的金融學(xué)文之一。(kFn,k=nk這其實很直觀，選出k個孩子，讓他們拿走自己的帽子，然后讓剩下n?k個孩子都拿錯。 = Fn?k,0

(n?

Mn,k=子的帽子中隨機(jī)地選出l?k個插上羽毛。令Hn,k為恰有k個孩子拿到了自己的帽子，且帽子Hn,k

(lkpk(1? (l l?k(l?

jj

(n?k)!k!

k j =p∑(?1)

利用換元vljk

(n?l)!(l?k?l=j+

(n?l)!(l?k?

k=

=(n?k?j?k j

nkj

Mn?k?j,v= =p∑(?

Hn,k

pk (1-普通匹配問題是這里問題中p=1的特例。Part=X服從超幾何分布，參數(shù)為(N,n,K)，計算P(X=k1)/P(Xk)，并分析該量隨k設(shè)離散隨量X服從如下分布P(X=k)