楊輝三角形及組合數(shù)的性質(zhì)課件

一、楊輝三角形的構(gòu)造：二、楊輝三角形與組合數(shù)的性質(zhì)：三、楊輝三角形的其他性質(zhì)：1.遞推法2.通項(xiàng)公式法1.對(duì)稱性2.增減性3.拆并性4.可和性§109楊輝三角形及組合數(shù)的性質(zhì)1.楊輝三角與高爾頓釘板(彈子游戲)2.楊輝三角與縱橫圖3.其他概率與統(tǒng)計(jì)簡(jiǎn)述總體樣本抽樣估計(jì)推斷回歸分析相關(guān)分析分布列及期望概率計(jì)數(shù)計(jì)數(shù)問(wèn)題總述復(fù)雜的計(jì)數(shù)問(wèn)題簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問(wèn)題排列組合型計(jì)數(shù)原理型十大題型兩理兩數(shù)四原則十大題型遞推法①相鄰——捆綁法⑧錯(cuò)排：二元1種；三元2種；四元9種……②不鄰(相離)——插空法⑥分組相同元素——0-1法

不同元素——公式法

⑩染色——遞推法⑨定序——倍縮法(等概率法)；插空法兩理兩數(shù)四原則十大題型遞推法③在與不在④含與不含⑤至多與至少特殊優(yōu)先直接法正難則反間接法——⑦分配均勻分配非均勻分配先分組后分配分組1.相同元素的分組：2.不同元素的非均勻分組：3.不同元素的均勻分組：4.不同元素的混合分組：①將2n個(gè)不同元素均勻的分成2組,共有種分法②將3n個(gè)不同元素均勻的分成3組,共有種分法先均勻后非均勻參分配常規(guī)法處理分配1.不同元素的分配：2.相同元素的分配(分組)：先分組后分配將n個(gè)相同元素分成k組，共有種分法注：將n個(gè)相同元素看成是n個(gè)“0”然后將k-1個(gè)隔板“1”插入n-1個(gè)空位即可0000……00所以稱為0—1法；隔板法；擋板法0—1法含與不含：在與不在：至多與至少：

特殊優(yōu)先直接法正難則反間接法定

序

1.倍縮(等概率)法：本質(zhì)上、是不盡相異元素的全排列已知n個(gè)元素中，有m1個(gè)元素相同，又有m2個(gè)元素相同不盡相異元素的全排列公式則這n個(gè)元素所有的排列數(shù)為：

稱其為不盡相異元素的全排列……又有mk個(gè)元素相同(m1+m2+…+mk≤n)含與不含：在與不在：至多與至少：

特殊優(yōu)先直接法正難則反間接法定

序

1.倍縮(等概率)法：本質(zhì)上、是不盡相異元素的全排列2.逐個(gè)插空法：相鄰問(wèn)題捆綁法1.定義：n元中有m個(gè)元素要求排在一起的排列2.解法：先捆可鄰成大元次變個(gè)數(shù)全排列不鄰(相離)問(wèn)題插空法1.定義：n元中有m個(gè)元素都不能排在一起的排列2.解法：先排可鄰后插空多元切忌間接法二元可用間接法亮燈空位是變式相間問(wèn)題位置法相鄰相離綜合體一般解法位置法錯(cuò)排1.定義：某排列所有元素不在原位置的排列2.解法：①背誦法：②遞推法：a2＝1；a3＝2；a4＝9；a5＝44……

參新課課件§244的內(nèi)容……條型域染色,相鄰…32n1區(qū)域不能同色,則共有種染法如圖,用k種顏色染n塊區(qū)域，給涂圓中n塊區(qū)域涂色相鄰的區(qū)域不同色，則環(huán)型域染色①無(wú)心環(huán)型域:①公式法：②遞推法：參新課課件附錄37的內(nèi)容……如圖，用k種不同的顏色給涂圓中n塊區(qū)域涂色相鄰的區(qū)域不同色，則環(huán)型域染色①無(wú)心環(huán)型域:①公式法：②遞推法：參新課課件附錄37的內(nèi)容……如圖，用k種不同的顏色②有心環(huán)型域無(wú)心環(huán)型域先染心③其他型域：兩理兩數(shù)四優(yōu)先……傳球(踢毽子)問(wèn)題注1：該類問(wèn)題；解法甚多，可參新課件附錄37的內(nèi)容……注2：該類問(wèn)題等價(jià)于無(wú)心環(huán)型域的染色問(wèn)題可轉(zhuǎn)換成：k種顏色n塊區(qū)域的無(wú)心環(huán)型域的染色問(wèn)題k個(gè)人進(jìn)行傳球游戲，由甲先傳，經(jīng)過(guò)n次傳球后，球仍回到甲手中的傳球方法數(shù)復(fù)雜的計(jì)數(shù)問(wèn)題簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問(wèn)題排列組合型計(jì)數(shù)原理型十大題型計(jì)數(shù)問(wèn)題與二項(xiàng)式定理組合數(shù)的性質(zhì)及證法二項(xiàng)式定理通項(xiàng)公式展開(kāi)式兩理兩數(shù)四原則十大題型遞推法通項(xiàng)公式是重點(diǎn)前項(xiàng)為1賦值法①⑧③②④⑥⑤⑦

⑩

⑨

異底冪同底冪特殊冪冪的運(yùn)算性質(zhì)二項(xiàng)式定理的展開(kāi)式前項(xiàng)后項(xiàng)“＋”相連展開(kāi)共有n＋1三塊組成每一項(xiàng)前降后升和為n注1：注2：小指數(shù)(n≤6)的展開(kāi)式：(a+b)1=a+b(a+b)2=a2+2ab+b2

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

(a+b)4=a4+4a4b+6a2b2+4ab3+b4(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b51510105111121133114641注3：………………………………注2：上下前后及某項(xiàng)知四有一兩頭同(中間差)二項(xiàng)式定理——通項(xiàng)公式注1：有關(guān)概念：②系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)：①項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)：類似于學(xué)號(hào)與同學(xué)的關(guān)系;容斥關(guān)系稱為二項(xiàng)式系數(shù)一、求指定項(xiàng)：三、整除：二、求系數(shù)：1.要靈活選用展開(kāi)式與通項(xiàng)公式：四、證明等式(不等式)：五、近似計(jì)算：2.要靈活選用先變形后展開(kāi)：1.求指定項(xiàng)的系數(shù)：2.求系數(shù)和(差)：賦值法、導(dǎo)數(shù)法……等同于求指定項(xiàng)……二項(xiàng)式定理的應(yīng)用欲證An能被x整除然后將(kx±b)n

展開(kāi)整理成,先構(gòu)造：An＝(kx±b)n

(kx±b)n＝x(……)+x0

的形式即可一、楊輝三角形的構(gòu)造：二、楊輝三角形與組合數(shù)的性質(zhì)：三、楊輝三角形的其他性質(zhì)：1.遞推法2.通項(xiàng)公式法1.對(duì)稱性2.增減性3.拆并性4.可和性§109楊輝三角形及組合數(shù)的性質(zhì)1.楊輝三角與高爾頓釘板(彈子游戲)2.楊輝三角與縱橫圖3.其他

1

11一、楊輝三角形的構(gòu)造：1.遞推法：146411211331…………………………15101051

1615201561

172135352171

每行除兩端1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)的和2.通項(xiàng)公式法中的上下標(biāo)，類似于點(diǎn)的坐標(biāo)……橫看，斜看……如圖，在由二項(xiàng)式系數(shù)所構(gòu)成的楊輝三角形中，第___行中從左至右第14個(gè)數(shù)與第15個(gè)數(shù)的比為2∶3(1)(2004年上海春考）析：第n行從左到右的數(shù)分別為則解得n＝34即即二、楊輝三角形與組合數(shù)的性質(zhì)：1.對(duì)稱性2.增減性3.拆并性4.可和性左右對(duì)稱拋物線左增右減中間大拆并要連同上大下＋1②①系數(shù)求和賦值法方法要熟正負(fù)1

②①2.將三角形內(nèi)的某些數(shù)或“挖去”……如何利用楊輝三角形來(lái)推斷有關(guān)性質(zhì)？1.有橫看，縱看，斜看；有連續(xù)看，隔行看，用其他數(shù)代換等手段變形后再觀察其性質(zhì)有局部看，整體看；立體看……

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1520101064①對(duì)稱性114②增減性11左右對(duì)稱拋物線左增右減中間大

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1520101064①對(duì)稱性114②增減性11③拆并性拆并要連同上大下＋1③拆并性(2)(3)證明：法1：用階乘式展開(kāi)……法2：從n＋1個(gè)不同元素中取出r＋1個(gè)元素的其中含A元素的組合數(shù)是不含A元素的組合數(shù)是所以組合數(shù)是

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1………………………………

152010106411411拆并性的推廣：

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1464115101051

1615201561172135352171

18285670562881193684126126843691………………

++++++④可和性(4)證明：系數(shù)求和賦值法方法要熟正負(fù)1

①②證明①：令a=b=1,代入即得證明②：令a=－b=1,代入得即可和性：(5)《選修2-3》課本P：35

練習(xí)1

②①解①：原式＝解②：原式＝一、楊輝三角形的構(gòu)造：二、楊輝三角形與組合數(shù)的性質(zhì)：三、楊輝三角形的其他應(yīng)用：1.楊輝三角與高爾頓釘板(彈子游戲)①楊輝三角與高爾頓釘板(《選修2-3》P：70)高爾頓1822－1911，英國(guó)科學(xué)家，達(dá)爾文的表弟他是一位醫(yī)生和人類學(xué)家……一、楊輝三角形的構(gòu)造：二、楊輝三角形與組合數(shù)的性質(zhì)：三、楊輝三角形的其他應(yīng)用：1.楊輝三角與高爾頓釘板(彈子游戲)2.楊輝三角與縱橫圖AB(6)某城市的部分街道如圖，縱橫各有三條路從A走到B有多少種不同的走法？(只能由左到右，由上向下行走)析1：將上圖順時(shí)針轉(zhuǎn)45度，使A在正上方，B在正下方然后在交叉點(diǎn)標(biāo)上相應(yīng)的楊輝三角數(shù)AB111112336析2：有趣的是B點(diǎn)所標(biāo)的楊輝三角數(shù)6，正好是答案6析3：可見(jiàn)楊輝三角與縱橫路線圖有著天然的聯(lián)系如圖，縱橫各分別為m、n條路AB楊輝三角與縱橫圖從A走到B的最短不同路徑(只能由左到右，由上向下行走)有