2022-2023學(xué)年黑龍江省大慶市高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年黑龍江省大慶市高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．（

）A．0 B． C． D．2【答案】A【分析】由誘導(dǎo)公式可以直接計(jì)算所得.【詳解】由誘導(dǎo)公式可得，，所以.故選：A2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（其中i為虛數(shù)單位）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可得解.【詳解】解：，則對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第一象限.故選：A.3．平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E滿足，則（

）A． B．-1 C．1 D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算結(jié)合平面向量基本定理分析求解.【詳解】由題意可得：，即，則.故選：D.4．如圖1，在高為的直三棱柱容器中，.現(xiàn)往該容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，水深為2，然后固定容器底面的一邊于地面上，再將容器傾斜，當(dāng)傾斜到某一位置時(shí)，水面恰好為（如圖2），則容器的體積為（

）A． B．3 C． D．6【答案】D【分析】設(shè)容器體積為，水的體積為，無(wú)水部分為三棱錐，體積為，，解得答案.【詳解】設(shè)容器體積為，水的體積為，無(wú)水部分為三棱錐，體積為，，故.故選：D5．已知向量，對(duì)任意的，恒有，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求得，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】由可得，又，令則上式等價(jià)于，對(duì)任意的恒成立，故，解得，解得，即；對(duì)A：由，故不成立，A錯(cuò)誤；對(duì)B：，不確定其結(jié)果，故不一定成立，B錯(cuò)誤；對(duì)C：，故，C正確；對(duì)D：，不確定其結(jié)果，故不一定成立，D錯(cuò)誤.故選：C.6．如圖，P是正方體面對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，下列直線中，始終與直線BP異面的是（

）A．直線 B．直線 C．直線 D．直線AC【答案】D【分析】根據(jù)異面直線得定義逐一分析判斷即可.【詳解】對(duì)于A，連接，設(shè)，由，當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，與共面；對(duì)于B，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，直線與直線相交；對(duì)于C，因?yàn)榍遥运倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，?dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，與共面；對(duì)于D，連接，因?yàn)槠矫妫矫?，平面，，所以直線BP與直線AC是異面直線.故選：D.7．在銳角中，角的對(duì)邊分別為，且滿足.若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先利用正弦定理進(jìn)行“邊化角”，而后通過(guò)代換減少變量，利用函數(shù)的值域即可解決問(wèn)題，特別注意這里不滿足基本不等式的應(yīng)用條件.【詳解】由正弦定理可知，①，又因?yàn)?，所以②，將②式代入①式可得，整理得，因?yàn)椋?，即，又因?yàn)?，所以，即可得又有恒成立恒成立，又因?yàn)槭卿J角三角形，所以,即，解得，所以，故.設(shè)，則易知在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，所以，故，即.故選：B8．在中，角的對(duì)邊分別為，且滿足為中點(diǎn).過(guò)點(diǎn)作交所在直線于，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，則，設(shè)，根據(jù)余弦定理得到，，計(jì)算，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)得到最值.【詳解】如圖所示：連接，則，設(shè)，中：，整理得到：，中：，故，，，即，當(dāng)時(shí)，有最大值為，此時(shí)可以滿足，則的最大值為.故選：A二、多選題9．已知是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若且，則B．若是平面內(nèi)不共線三點(diǎn)，，則C．若直線，直線，則與為異面直線D．若直線是異面直線，直線是異面直線，則直線異面【答案】AB【分析】確定，A正確，若推出和重合，得到B正確，CD選項(xiàng)都有多種情況，錯(cuò)誤，得到答案.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：若且，則，正確；對(duì)選項(xiàng)B：若，又，則和重合，不成立，正確；對(duì)選項(xiàng)C：直線，直線，則與為異面直線或或相交，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D：若直線是異面直線，直線是異面直線，則直線異面或相交或平行，錯(cuò)誤；故選：AB10．下列論斷中，正確的有（

）A．在中，若為鈍角，則B．在中，角的對(duì)邊分別為，若，則為等腰三角形C．已知向量是非零向量，則向量與向量共線存在不全為零的實(shí)數(shù)，使D．向量滿足，則或【答案】AC【分析】確定，根據(jù)三角函數(shù)得到單調(diào)性得到，A正確，取特殊值排除B，根據(jù)向量的運(yùn)算知C正確，當(dāng)，且時(shí)等式成立，D錯(cuò)誤，得到答案.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：，，，，故，同理，故，正確；對(duì)選項(xiàng)B：取，，則，滿足，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：非零向量與向量共線，則，即存在不全為零的實(shí)數(shù)，使；若，，，故向量與向量共線，正確；對(duì)選項(xiàng)D：當(dāng)，且時(shí)，，錯(cuò)誤.故選：AC11．如圖所示，在空間四邊形中，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)分別是邊上的三等分點(diǎn)，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．四點(diǎn)共面B．與異面C．與的交點(diǎn)可能在直線上，也可能不在直線上D．與的交點(diǎn)一定在直線上【答案】AD【分析】利用三角形中位線性質(zhì)、平行線分線段成比例的性質(zhì)可得，即可判斷A，B；由平面基本事實(shí)推理可判斷C，D.【詳解】在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E，H分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，則，且，點(diǎn)F，G分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且，則，且，因此，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面，故A正確，B錯(cuò)誤；，，即四邊形是梯形，則EF與GH必相交，交點(diǎn)為M，點(diǎn)M在EF上，而EF在平面ACB上，則點(diǎn)M在平面ACB上，同理點(diǎn)M在平面ACD上，則點(diǎn)M是平面ACB與平面ACD的公共點(diǎn)，而AC是平面ACB與平面ACD的交線，所以點(diǎn)M一定在直線AC上，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：AD.12．下列說(shuō)法正確的是（

）A．設(shè)是非零向量，且，則B．若為復(fù)數(shù)，則C．設(shè)是非零向量，若，則D．設(shè)為復(fù)數(shù)，若.，則【答案】BC【分析】確定或，A錯(cuò)誤，計(jì)算得到BC正確，舉反例，，得到D錯(cuò)誤，得到答案.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：是非零向量，且，則或，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B：設(shè)，，，，，正確；對(duì)選項(xiàng)C：，則，整理得到，正確；對(duì)選項(xiàng)D：取，，滿足，，錯(cuò)誤；故選：BC三、填空題13．已知向量，且，則___________.【答案】【分析】利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以，又，所以，解得，所以，?故答案為：.14．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是__________【答案】【分析】利用復(fù)數(shù)除法化簡(jiǎn)，由共軛復(fù)數(shù)的概念寫(xiě)出即可.【詳解】，∴.故答案為：四、雙空題15．已知三棱錐中，,，分別是的中點(diǎn)，是棱上（除端點(diǎn)外）的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_________；當(dāng)時(shí)，三棱錐體積為_(kāi)_________.

【答案】/【分析】（1）空間中距離之和的最值問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為平面中的距離問(wèn)題，將空間中的面展開(kāi)鋪平研究即可得；（2）解法一：三棱錐體積可以通過(guò)間接的方法獲得，因?yàn)椋?，只要求出三棱錐的體積即可，取的中點(diǎn)為，證明垂直于平面，即可用分割的方法求得體積；解法二：將三棱錐補(bǔ)形成長(zhǎng)方體，再利用切割法即可求得三棱錐的體積.【詳解】第1空：因?yàn)?，，所以將空間四邊形展開(kāi)鋪平可得平行四邊形，如圖所示：

在中，，，由余弦定理可得，，而，所以的最小值為.第2空：解法一：當(dāng)時(shí)，易知.取的中點(diǎn)為，連接，如圖所示：

因?yàn)椋?，所以，且；又因?yàn)?，，所以，且；故可知平面，即和分別為三棱錐和的高.在中，，，所以，故，所以.解法二：當(dāng)時(shí)，易知.因?yàn)?，，所以可以?gòu)造如圖所示的長(zhǎng)方體：

設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，則可知,解得，所以長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為，寬和高均，觀察圖形可知，三棱錐的體積為長(zhǎng)方體的體積減去四個(gè)全等的三棱錐的體積，故,.故答案為：；五、填空題16．如圖在棱長(zhǎng)為6的正方體中，分別是中點(diǎn)，在側(cè)面上（包括邊界），且滿足三棱錐的體積等于9，則的長(zhǎng)度的取值范圍__________.

【答案】【分析】根據(jù)題意計(jì)算，確定的軌跡為線段和點(diǎn)，分別計(jì)算點(diǎn)在線段上時(shí)和點(diǎn)時(shí)的范圍，得到答案.【詳解】設(shè)中邊的高為，連接，，則三棱錐的體積，故，和點(diǎn)到的距離為，故的軌跡為線段和點(diǎn)，

點(diǎn)在線段上時(shí)，為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，故到的最短距離為，最長(zhǎng)距離為；點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，綜上所述：的長(zhǎng)度的取值范圍為.故答案為：.六、解答題17．已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，，(1)求向量在方向上的投影向量的坐標(biāo)和數(shù)量投影；(2)若，，，請(qǐng)判斷C、D、E三點(diǎn)是否共線，并說(shuō)明理由.【答案】(1)坐標(biāo)，數(shù)量投影是(2)共線，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)投影向量和投影的公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解；（2）根據(jù)平面向量的共線的坐標(biāo)表示，得到，即可求解.【詳解】（1）解：由向量，可得則投影向量的坐標(biāo)是，，數(shù)量投影是，，即向量在方向上的數(shù)量投影是.（2）解：、、三點(diǎn)共線，理由：向量，因?yàn)?，，，可得，，，所以，，可得，所以、、三點(diǎn)共線.18．如圖，在正四棱錐中，是上的點(diǎn)且是的中點(diǎn)．求：(1)四棱錐的表面積；(2)三棱錐的體積．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求斜高，然后直接計(jì)算可得；（2）根據(jù)M、N的位置，將所求三棱錐體積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求三棱錐的體積.【詳解】（1）作，垂足為E，由正四棱錐性質(zhì)可知，E為BC中點(diǎn)，所以所以；（2）作平面ABCD，由正四棱錐性質(zhì)可知O為BD的中點(diǎn)因?yàn)樗杂质堑闹悬c(diǎn)，所以．19．如圖，在中，，，與的交點(diǎn)為M，過(guò)M作動(dòng)直線l分別交線段、于E、F兩點(diǎn).(1)用，表示；(2)設(shè)，.①求證：；②求的最小值.【答案】(1)(2)①證明過(guò)程見(jiàn)詳解；②.【分析】（1）利用三點(diǎn)共線列出方程，求解即可；（2）①利用向量的線性運(yùn)算即可證明；②利用基本不等式即可求解.【詳解】（1）由三點(diǎn)共線可得存在實(shí)數(shù)，使得，同理由三點(diǎn)共線可得存在實(shí)數(shù)，使得，所以，解得，所以.（2）①設(shè)，其中.所以，則，所以；②所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即時(shí)，取得最小值為.20．已知函數(shù)（其中）的最小正周期為，它的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若方程在上的解為，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)周期得到，根據(jù)對(duì)稱(chēng)中心得到，得到解析式.（2）確定，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性得到，代入解析式計(jì)算得到答案.【詳解】（1），，故，一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為，故，即，，故當(dāng)時(shí)，滿足條件，此時(shí)，故.（2），故，，且，即，.21．定義非零向量的“相伴函數(shù)”為，向量稱(chēng)為函數(shù)的“相伴向量”（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）．記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為．(1)設(shè)，請(qǐng)問(wèn)函數(shù)是否存在相伴向量，若存在，求出與共線的單位向量；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)已知點(diǎn)滿足：，向量的“相伴函數(shù)”在處取得最大值，求的取值范圍．【答案】(1)存在，或(2)【分析】（1）由題知，進(jìn)而根據(jù)相伴向量的定義求解即可；（2）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)得，進(jìn)而結(jié)合二倍角公式得，再令，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)值域求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，函?shù)存在相伴向量，，所以，與共線的單位向量為或.（2）的“相伴函數(shù)”，因?yàn)樵谔幦〉米畲笾?，所以，?dāng)，即時(shí)，有最大值，所以，，所以，因?yàn)?，，所以，所以，令，則，因?yàn)榫鶠樯系膯握{(diào)遞減函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，，所以，的取值范圍為.22．目前，中國(guó)已經(jīng)建成全球最大的5G網(wǎng)絡(luò)，無(wú)論是大山深處還是廣表平原，處處都能見(jiàn)到5G基站的身影.如圖，某同學(xué)在一條水平公路上觀測(cè)對(duì)面山項(xiàng)上的一座5G基站AB，已知基站高AB=50m，該同學(xué)眼高1.5m（眼睛到地面的距離），該同學(xué)在初始位置C處（眼睛所在位置）測(cè)得基站底部B的仰為37°，測(cè)得基站頂端A的仰角為45°.(1)求出山高BE（結(jié)果保留整數(shù)）；(2)如圖（第二幅），當(dāng)該同學(xué)面向基站AB前行時(shí)（保持在同一鉛垂面內(nèi)），記該同學(xué)所在位置C處（眼睛所在位置）到基站AB所在直線的距離CD=xm，且記在C處觀測(cè)基站底部B的仰