計(jì)算方法第四章逼近法

計(jì)算方法第四章逼近法第一頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一一、最優(yōu)平方逼近例1：距離0.511.522.533.54水深1.551.982.453.153.214.124.965.32第二頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一例2：化學(xué)反應(yīng)分子擴(kuò)散時(shí)間0.10.511.52濃度2.821.61.31.2第三頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一對(duì)于例2，設(shè)逼近函數(shù)形為：，該函數(shù)應(yīng)該與已知點(diǎn)的某種差距最小。記：，可求第四頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一如果取逼近函數(shù)形為：第五頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一同樣，對(duì)于例1，由于已知點(diǎn)幾乎分布在一直線上，所以，設(shè)擬合函數(shù)為第六頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一1.最小二乘擬合通常情況下，我們會(huì)遇到這樣的問(wèn)題：在研究某種客觀現(xiàn)象的時(shí)候，需要建立所描述對(duì)象的量之間的函數(shù)關(guān)系式。此時(shí)，我們對(duì)要研究的函數(shù)進(jìn)行一系列觀測(cè)，得到若干組觀測(cè)值，然后利用這些觀測(cè)值構(gòu)造函數(shù)表達(dá)式。顯然，由于觀測(cè)誤差等原因，構(gòu)造出的函數(shù)不可能?chē)?yán)格過(guò)這些觀測(cè)值的點(diǎn)。對(duì)此，我們要求構(gòu)造出的函數(shù)在觀測(cè)點(diǎn)上的值與觀測(cè)值差的平方和達(dá)到最小。這稱(chēng)為最小二乘擬合。第七頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一線性最小二乘問(wèn)題的一般提法：已知函數(shù)列線性無(wú)關(guān)，對(duì)于一組已知點(diǎn)（觀測(cè)值），求函數(shù)列的一個(gè)組合，使之在加權(quán)最小二乘的意義下最佳逼近這些點(diǎn)，即求系數(shù)，使下面的和取最?。哼@里，求和中加了數(shù)，代表求和的權(quán)重。稱(chēng)為基于函數(shù)列的對(duì)已知觀測(cè)點(diǎn)的一個(gè)最小二乘逼近。第八頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一注意到S實(shí)際上是關(guān)于的一個(gè)函數(shù)，欲取最小值，則如此得到一組方程，從中即可求出系數(shù)。引入記號(hào)：則得方程組：稱(chēng)為正規(guī)方程組，從中即可求出系數(shù)。第九頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一類(lèi)似，可以得到多元函數(shù)的線性最小二乘擬合：設(shè)多元函數(shù)列線性無(wú)關(guān)，一組測(cè)量數(shù)據(jù)為求擬合函數(shù)使最小。則擬合系數(shù)同樣滿(mǎn)足上頁(yè)藍(lán)色的方程。只不過(guò)第十頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一例3：觀測(cè)得到某函數(shù)一組數(shù)據(jù)，求其近似表達(dá)式：1234567891.782.242.743.744.455.316.928.8510.97第十一頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一設(shè)擬合函數(shù)為，引入變換，擬合函數(shù)為，數(shù)據(jù)變?yōu)椋旱谜?guī)方程組：1234567890.580.811.011.321.491.671.932.182.395第十二頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一最后結(jié)果如圖第十三頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一最小二乘擬合多項(xiàng)式：設(shè)有變量x

和y

的一組數(shù)據(jù)：對(duì)多項(xiàng)式，選擇適當(dāng)系數(shù)后，使達(dá)到最小的多項(xiàng)式,稱(chēng)為數(shù)據(jù)的最小二乘(平方)擬合多項(xiàng)式，或稱(chēng)為變量x

和y之間的經(jīng)驗(yàn)公式.第十四頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一顯然，S達(dá)到最小值，則記：得正規(guī)方程組(法方程)：第十五頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一2.內(nèi)積定義：設(shè)X為R上的線性空間，對(duì)于X中的任意兩個(gè)向量u，v，定義(u,v)，如果滿(mǎn)足下面條件：則稱(chēng)(u,v)為空間X上的一個(gè)內(nèi)積。第十六頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一例：n維空間中的兩個(gè)向量定義：證明：這是內(nèi)積。例：設(shè){i}

是一組正實(shí)數(shù)，定義：證明：這也是內(nèi)積。例：區(qū)間[a,b]上的所有連續(xù)函數(shù)全體構(gòu)成一個(gè)線性空間C[a,b],在這個(gè)空間上定義：證明：這是一個(gè)內(nèi)積。第十七頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一定理：設(shè)(u,v)為空間X上的一個(gè)內(nèi)積，對(duì)于空間中的一組向量，它們線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是下面的所謂Gram（克拉姆）矩陣非奇異。第十八頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一定義：設(shè)(u,v)為空間X上的一個(gè)內(nèi)積，對(duì)于X中的任意兩個(gè)向量u，v，如果(u,v)＝0，則稱(chēng)u

與v

正交。記為：

u

v。例：3維空間中，證明下面向量?jī)蓛烧焕簠^(qū)間[

-1,1]上的所有連續(xù)函數(shù)全體構(gòu)成一個(gè)線性空間C[-1,1]，證明任意一個(gè)奇函數(shù)與偶函數(shù)正交。例：C[-,]中，證明下面函數(shù)兩兩正交：1,cosx,sinx,cos2x,sin2x第十九頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一正交多項(xiàng)式定義：滿(mǎn)足的函數(shù)系稱(chēng)為正交函數(shù)系，如果該函數(shù)系是多項(xiàng)式，稱(chēng)為正交多項(xiàng)式系。1：[-,]中，1,cosx,sinx,cos2x,sin2x，cos3x,sin3x,…，cosnx,sinnx，…正交第二十頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一2：勒讓德(Legendre)多項(xiàng)式：[-1,1]上權(quán)為1的正交多項(xiàng)式第二十一頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一3.拉蓋爾(Laguerre)多項(xiàng)式：的正交多項(xiàng)式區(qū)間[0,）上權(quán)函數(shù)為第二十二頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一4.埃爾米特(Hermite)多項(xiàng)式：的正交多項(xiàng)式區(qū)間(-,)上權(quán)函數(shù)為第二十三頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一5.切比雪夫(Chebyshev)多項(xiàng)式：區(qū)間[-1,1]上權(quán)函數(shù)為的正交多項(xiàng)式第二十四頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一正交多項(xiàng)式的構(gòu)造對(duì)給定的有限點(diǎn)集X和權(quán){ωi}或區(qū)間[a,b]和權(quán)函數(shù)，定義了內(nèi)積后，可與向量的Schmite正交化類(lèi)似，通過(guò)函數(shù)組{1,x,…,xn,…}可構(gòu)造由給定內(nèi)積（離散型或連續(xù)型）定義的正交多項(xiàng)式，如下：設(shè)其中c10是待定常數(shù)。由設(shè)已構(gòu)造，兩兩正交，令由第二十五頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一

正交多項(xiàng)式的性質(zhì)1.線性無(wú)關(guān).證：假定存在常數(shù),使得推論：次數(shù)低于n次的多項(xiàng)式必與n次正交多項(xiàng)式正交.2.

n次正交多項(xiàng)式在正交區(qū)間[a,b]上有n個(gè)不同零點(diǎn).證：第二十六頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一3.對(duì)于最高次項(xiàng)系數(shù)為1的正交多項(xiàng)式，有三項(xiàng)遞推公式：第二十七頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一第二十八頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一[-1,1]與[a,b]上權(quán)函數(shù)為的正交多項(xiàng)式的關(guān)系。所以是[a,b]上權(quán)為1的正交多項(xiàng)式。如，[0,1]上的權(quán)為1的正交多項(xiàng)式系為☆利用三項(xiàng)遞推關(guān)系,可逐步構(gòu)造正交多項(xiàng)式,從而求出最優(yōu)平方逼近多項(xiàng)式。第二十九頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一函數(shù)的最優(yōu)平方逼近

已知一組在區(qū)間[a,b]上線性無(wú)關(guān)的函數(shù)求f(x)在此區(qū)間上基于這一組函數(shù)的最佳近似。此問(wèn)題實(shí)際是求已知函數(shù)的一個(gè)組合，使之與f(x)的距離最小,即第三十頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一例4：求在[0,1]上的一次最佳平方逼近多項(xiàng)式。解：直接計(jì)算,得方程：第三十一頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一用正交函數(shù)組作最佳平方逼近已知區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)f(x),以及一組正交函數(shù)組，易知最佳平方逼近為：第三十二頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一例5：求exp(x)在[-1,1]上的三次最佳逼近多項(xiàng)式。第三十三頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一例6：求函數(shù)f(x)=xexp(-x)在區(qū)間[0,10]上的三次最佳平方逼近多項(xiàng)式第三十四頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一第三十五頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一第三十六頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一第三十七頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一二、最優(yōu)一致逼近

已知區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)f(x)，如果有n次多項(xiàng)式，使得所有n次多項(xiàng)式中，該多項(xiàng)式與函數(shù)f(x)在區(qū)間上的距離達(dá)到最小，則稱(chēng)該多項(xiàng)式為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的n次最優(yōu)一致逼近多項(xiàng)式。數(shù)學(xué)提法是：選取多項(xiàng)式使得偏差第三十八頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一定理1(切比雪夫):

n次多項(xiàng)式P(x)為區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)f(x)的最優(yōu)一致逼近多項(xiàng)式的充要條件是：f(x)-P(x)在該區(qū)間上以正負(fù)相間的符號(hào)依次取值為的點(diǎn)(稱(chēng)為交錯(cuò)點(diǎn)組)的個(gè)數(shù)不少于n+2個(gè).第三十九頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一證明:只證充分性,用反證法.設(shè)f(x)-pn*(x)在[a,b]上存在一個(gè)至少由n+2個(gè)點(diǎn)組成的交錯(cuò)點(diǎn)組，但pn*(x)不是最佳一致逼近元.不妨設(shè)Pn[a,b]中的元素qn(x)為最佳一致逼近元，即‖f(x)-qn(x)‖∞<‖f(x)-pn*(x)‖∞(1)令Q(x)=pn*(x)-qn(x)=[f(x)-qn(x)]-[(f(x)-pn*(x)]記{x1*,x2*,…,xn+2*}為誤差曲線函數(shù)f(x)-pn*(x)在[a,b]上的交錯(cuò)點(diǎn)組。第四十頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一由于

Q(xi*)=[f(xi*)-qn(xi*)]-[f(xi*)-pn*(xi*)]由(1)式可知,n次多項(xiàng)式Q(x)在點(diǎn)集{x1*,x2*,…,xn+2*}上的符號(hào)完全由f(x)-pn*(x)在這些點(diǎn)上的符號(hào)所決定。

又{x1*,x2*,…,xn+2*}為f(x)-pn*(x)的交錯(cuò)點(diǎn)組，即f(x)-pn*(x)

在這n+2個(gè)點(diǎn)上正負(fù)(或負(fù)正)相間至少n+1次，因此至少n+1次改變符號(hào)，故Q(x)也至少n+1次改變符號(hào)。這說(shuō)明n次多項(xiàng)式Q(x)至少在[a,b]上有n+1個(gè)根，矛盾，所以

‖f(x)-pn*(x)‖∞≤‖f(x)-qn(x)‖∞.

證畢.必要性證明，見(jiàn)王德人著《數(shù)值逼近引論》，1990第四十一頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一

定理2（最佳一致逼近元的惟一性）在Pn[a,b]中，若存在對(duì)函數(shù)f(x)∈C[a,b]的最佳一致逼近元，則唯一.證明:反證，設(shè)有2個(gè)最佳一致逼近元，分別是pn*和qn

則它們的平均函數(shù)也是一個(gè)最佳一致逼近元。第四十二頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一

令

En=‖f(x)-pn*(x)‖∞=‖f(x)-qn(x)‖∞.

由于

En≤‖f(x)-（pn*(x)+qn(x))/2‖∞≤1/2(‖f(x)-pn*(x)‖∞+‖f(x)-qn(x)‖∞)≤1/2(En+En)=En,這說(shuō)明也是對(duì)函數(shù)f(x)∈C[a,b]的最佳一致逼近元.現(xiàn)設(shè)誤差曲線函數(shù)f(x)-pn(x)在區(qū)間[a,b]上的一個(gè)交錯(cuò)點(diǎn)組為{x1,x2,…,xn+2}，則

En=|f(xk)-pn(xk)|=1/2|(f(xk)-pn*(xk))+(f(xk)-qn(xk))|第四十三頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一若對(duì)某一個(gè)k,1≤k≤n+2，f(xk)-pn*(xk)≠f(xk)-qn(xk)，那么上式兩個(gè)差中至少有一個(gè)達(dá)不到En或-En，從而En＝|f(xk)-pn(xk)|≤1/2(|f(xk)-pn*(xk)|)+|f(xk)-qn(xk)|)<1/2(‖f(x)-pn*(x)‖∞+‖f(x)-qn(x)‖∞)＝1/2(En+En)=En.矛盾！所以f(xk)-pn*(xk)=f(xk)-qn(xk),

即

pn*(xk)=qn(xk),

k=1,2,…，n+2.而pn*(x),qn(x)∈Pn[a,b]，故必有Pn*(x)=qn(x).

證畢.第四十四頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一切比雪夫多項(xiàng)式的性質(zhì)性質(zhì)1：切比雪夫多項(xiàng)式為區(qū)間[-1,1]上關(guān)于權(quán)的正交多項(xiàng)式。性質(zhì)2：三項(xiàng)遞推關(guān)系第四十五頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一性質(zhì)3：是最高次項(xiàng)系數(shù)為的n次多項(xiàng)式。為偶函數(shù)，為奇函數(shù)。證：由性質(zhì)2，用歸納法即知結(jié)論成立。性質(zhì)4：在[-1,1]上有n個(gè)零點(diǎn)證：第四十六頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一性質(zhì)5：在[-1,1]上,且在交錯(cuò)的取得最大值1和最小值–1。這些點(diǎn)稱(chēng)為偏差點(diǎn)。證:

性質(zhì)6：設(shè)Pn(x)為最高次項(xiàng)系數(shù)為1的n次多項(xiàng)式，則這個(gè)性質(zhì)稱(chēng)為Chebyshev多項(xiàng)式的最小模性質(zhì).證:取f(x)=0,由Chebyshev定理可知結(jié)論成立.第四十七頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一利用性質(zhì)2可以得到第四十八頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一關(guān)于最佳一致逼近多項(xiàng)式的求解問(wèn)題（1）當(dāng)f(x)為[-１,１]上的n+1次多項(xiàng)式時(shí)，求f(x)在Pn[-１,１]中的最佳一致逼近多項(xiàng)式。不妨記f(x)=b0+b1x+…+bn+1xn+1,|x|≤1,設(shè)pn(x)為最佳一致逼近元，由于首項(xiàng)系數(shù)為1的n+1次Chebyshev多項(xiàng)式T*n+1(x)的無(wú)窮模最小（性質(zhì)6），所以考慮兩種特殊情形:第四十九頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一例7

設(shè)f(x)=4x4+2x３-５x２+8x-5/2，|x|≤1.求f(x)在P3[-1,1]中的最佳一致逼近元p3(x).

解:由f(x)的表達(dá)式可知b４＝４,首項(xiàng)系數(shù)為1的4次Chebyshev多項(xiàng)式T4(x)＝x４－x２＋1/8.由(1)得p3(x)=f(x)-4T4(x)=2x３-x２+8x-3.

●對(duì)區(qū)間為[a,b]的情形，作變換x=(b-a)t/2+(b+a)/2(*)后,對(duì)變量為t的多項(xiàng)式用(1)求得Pn(t)，然后再作(*)式的反變換得到[a,b]上的最佳一致逼近多項(xiàng)式。第五十頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一（2）逼近多項(xiàng)式為低次多項(xiàng)式時(shí)關(guān)于交錯(cuò)點(diǎn)組的定理定理3

設(shè)pn*(x)∈Pn[a,b]為對(duì)f(x)∈C[a,b]的最佳一致逼近元.若f(n+1)(x)在區(qū)間[a,b]上不變號(hào)，則x=a和b為誤差曲線函數(shù)f(x)-pn(x)在區(qū)間[a,b]上交錯(cuò)點(diǎn)組中的點(diǎn)。證明：（用反證法）若點(diǎn)a(點(diǎn)b類(lèi)似)不屬于交錯(cuò)點(diǎn)組，那么在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在n+1個(gè)點(diǎn)屬于交錯(cuò)點(diǎn)組.若f(x)足夠光滑，由交錯(cuò)點(diǎn)組的定義，可以證得(a,b)內(nèi)的交錯(cuò)點(diǎn)必為誤差曲線函數(shù)