高考數(shù)學(xué)關(guān)于平面向量數(shù)量積運(yùn)算的三類(lèi)題型課件

專(zhuān)題4三角函數(shù)與平面向量第

20

練關(guān)于平面向量數(shù)量積運(yùn)

算的三類(lèi)經(jīng)典題型平面向量數(shù)量積的運(yùn)算是平面向量的一種重要運(yùn)算，應(yīng)用十分廣泛，對(duì)向量本身，通過(guò)數(shù)量積運(yùn)算可以解決位置關(guān)系的判定、夾角、模等問(wèn)題，另外還可以解決平面幾何、立體幾何中許多有關(guān)問(wèn)題，因此是高考必考內(nèi)容，題型有填空題，也在解答題中出現(xiàn)，常與其他知識(shí)結(jié)合，進(jìn)行綜合考查.題型分析高考展望體驗(yàn)高考高考必會(huì)題型高考題型精練欄目索引體驗(yàn)高考解析答案12345解析如圖所示，由題意，得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°.12345解析答案12345解析由(a－b)⊥(3a＋2b)得(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b2＝0.即3|a|2－|a|·|b|·cosθ－2|b|2＝0，12345解析3.(2015·陜西改編)對(duì)任意向量a，b，①|(zhì)a·b|≤|a||b|；②|a－b|≤||a|－|b||；③(a＋b)2＝|a＋b|2；④(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.以上關(guān)系式中不恒成立的是______.解析

對(duì)于①，由|a·b|＝||a||b|cos〈a，b〉|≤|a||b|恒成立；對(duì)于②，當(dāng)a，b均為非零向量且方向相反時(shí)不成立；對(duì)于③、④容易判斷恒成立.√12345解析答案4.(2016·課標(biāo)全國(guó)乙)設(shè)向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，則m＝________.解析

由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，得a⊥b，所以m×1＋1×2＝0，得m＝－2.－212345解析答案返回高考必會(huì)題型題型一平面向量數(shù)量積的基本運(yùn)算解析答案9解析答案13點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng)(1)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算有兩種形式：一是依據(jù)長(zhǎng)度和夾角，二是利用坐標(biāo)運(yùn)算，具體應(yīng)用哪種形式由已知條件的特征來(lái)選擇.注意兩向量a，b的數(shù)量積a·b與代數(shù)中a，b的乘積寫(xiě)法不同，不應(yīng)該漏掉其中的“·”.(2)向量的數(shù)量積運(yùn)算需要注意的問(wèn)題：a·b＝0時(shí)得不到a＝0或b＝0，根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)有|a|2＝a2，但|a·b|≤|a|·|b|.解析答案解析題型二利用平面向量數(shù)量積求兩向量夾角例2

(1)設(shè)a，b為非零向量，|b|＝2|a|，兩組向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2個(gè)a和2個(gè)b排列而成.若x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4的所有可能取值中的最小值為4|a|2，則a與b的夾角為_(kāi)_______.解析答案解析設(shè)a與b的夾角為θ，由于xi，yi(i＝1,2,3,4)均由2個(gè)a和2個(gè)b排列而成，①S＝2a2＋2b2；②S＝4a·b；③S＝|a|2＋2a·b＋|b|2.∵|b|＝2|a|，∴①中S＝10|a|2，②中S＝8|a|2cosθ，③中S＝5|a|2＋4|a|2cosθ.易知②最小，即8|a|2cosθ＝4|a|2，點(diǎn)評(píng)(2)已知向量a，b滿足|a|＝2|b|≠0，且關(guān)于x的函數(shù)f(x)＝－2x3＋3|a|x2＋6a·bx＋5在R上單調(diào)遞減，則向量a，b的夾角的取值范圍是________.解析答案解析

設(shè)向量a，b的夾角為θ，因?yàn)閒(x)＝－2x3＋3|a|x2＋6a·bx＋5，所以f′(x)＝－6x2＋6|a|x＋6a·b，又函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減，所以f′(x)≤0在R上恒成立，所以Δ＝36|a|2－4×(－6)×(6a·b)≤0，因?yàn)閍·b＝|a||b|·cosθ，且|a|＝2|b|≠0，點(diǎn)評(píng)求向量的夾角時(shí)要注意：(1)向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律.(2)數(shù)量積大于0說(shuō)明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說(shuō)明兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不能共線時(shí)，兩向量的夾角為鈍角.點(diǎn)評(píng)解析答案變式訓(xùn)練2

若非零向量a，b滿足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，則a與b的夾角為_(kāi)_______.

120°題型三利用數(shù)量積求向量的模及4a2－4a·b＋b2＝10，又向量a，b的夾角為45°，且|a|＝1，解析答案點(diǎn)評(píng)解析答案5點(diǎn)評(píng)解析方法一以點(diǎn)D為原點(diǎn)，分別以DA、DC所在直線為x、y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)DC＝a，DP＝x.∴D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，解析點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng)返回解析答案高考題型精練1234567891011解析答案解析由題知四邊形ABCD的邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都為1，點(diǎn)E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，則EF平行于BD，1234567891011解析答案又∵0°≤∠ABC≤180°，∴∠ABC＝30°.30°1234567891011解析答案解析由A，B，C在圓x2＋y2＝1上，且AB⊥BC，∴AC為圓的直徑，設(shè)B(x，y)，71234567891011解析答案1234567891011解析答案5.已知i，j為互相垂直的單位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且a，b的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是_______________________.解析∵a，b的夾角為銳角，∴a·b＝1×1＋(－2)λ＞0且1×(－2)－1×λ≠0，1234567891011解析答案解析∵(a＋b)⊥a，1234567891011解析答案由于上式對(duì)任意單位向量e都成立.∴6≥(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝12＋22＋2a·b.1234567891011解析答案1234567891011解析答案解析如圖，設(shè)點(diǎn)O在AB，AC上的射影分別是點(diǎn)D，E，它們分別為AB，AC的中點(diǎn)，連結(jié)OD，OE.由數(shù)量積的幾何意義，即2x＋6y＝3，將兩式相加可得6x＋9y＝5.5123456789101110.設(shè)a＝(－1,1)，b＝(x,3)，c＝(5，y)，d＝(8,6)，且b∥d，(4a＋d)⊥c.(1)求b和c；解析答案解∵b∥d，∴6x－24＝0，∴x＝4.∵4a＋d＝(4,10)，(4a＋d)⊥c，∴5×4＋10y＝0，y＝－2，∴b＝(4,3)，c＝(5，－2).1234567891011(2)求c在a方向上的投影；解析答案1234567891011(3)求λ1和λ2，使c＝λ1a＋λ2b.解析答案解∵c＝λ1a＋λ2b，12