有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計課件

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握線性相位FIR數(shù)字濾波器的特點2.掌握窗函數(shù)設(shè)計法3.了解頻率抽樣設(shè)計法4.了解FIR濾波器與IIR濾波器的比較第1頁/共261頁IIR濾波器的優(yōu)缺點IIR數(shù)字濾波器的優(yōu)點：

可以利用模擬濾波器設(shè)計的結(jié)果，而模擬濾波器的設(shè)計有大量圖表可查，方便簡單。IIR數(shù)字濾波器的缺點：

相位的非線性，將引起頻率的色散，若須線性相位，則要采用全通網(wǎng)絡(luò)進行相位校正,使濾波器設(shè)計變得復(fù)雜，成本也高。第2頁/共261頁FIR濾波器優(yōu)點

*H(z)永遠穩(wěn)定:設(shè)FIR濾波器單位沖激響應(yīng)h(n)長度為N，其系統(tǒng)函數(shù)H(z)為：

H(z)是z-1的N-1次多項式，它在z平面上有N-1個零點，原點z=0是N-1階重極點。

因此，H(z)永遠穩(wěn)定。穩(wěn)定和線性相位特性是FIR濾波器突出的優(yōu)點*可以做到嚴格線性相位*可以具有任意的幅度特性第3頁/共261頁為何要設(shè)計FIR濾波器（1）語音處理，圖象處理以及數(shù)據(jù)傳輸要求線性相位，任意幅度。（即要求信道具有線性相位特性）而FIR數(shù)字濾波器具有嚴格的線性相位，而且同時可以具有任意的幅度特性。（2)另外FIR數(shù)字濾波器的單位抽樣響應(yīng)是有限長的，因而濾波器一定是穩(wěn)定的，只要經(jīng)過一定的延時，任何非因果有限長序列都變成因果的有限序列。（3)FIR可以用FFT算法來實現(xiàn)過濾信號。第4頁/共261頁FIRDF設(shè)計任務(wù)、設(shè)計方法、設(shè)計思路設(shè)計思路:

根據(jù)設(shè)計指標(biāo)，求出所選運算結(jié)構(gòu)要求的h(n)或H(z)：

線性卷積和快速卷積型結(jié)構(gòu)，求FIRDF的h(n).

級聯(lián)和頻率采樣型結(jié)構(gòu)，求FIRDF的H(z).設(shè)計方法:*窗口設(shè)計法*頻率采樣設(shè)計法*切比雪夫等波紋逼近法X*計算機輔助設(shè)計法

X設(shè)計任務(wù)：選擇有限長度的h(n)

，使傳輸特性H(ej)滿足技術(shù)指標(biāo)要求第5頁/共261頁7.1線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件和特點

內(nèi)容：

FIR濾波器具有線性相位的條件及幅度特性以及零點、網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的特點。第6頁/共261頁Hg(ω)稱為幅度特性；()稱為相位特性。1.線性相位濾波器

------線性相位概念(7.1.1)(7.1.2)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)長度為N，系統(tǒng)傳輸函數(shù)為：第7頁/共261頁（1）幅度特性Hg(ω)

注意：Hg(ω)不同于|H(ejω)|,區(qū)別:

*Hg(ω)為ω的實函數(shù)，是標(biāo)量函數(shù)，可以包括正值、負值和零;*|H(ejω)|總是正值，而且是ω的偶對稱函數(shù)和周期函數(shù)。

兩者在某些ω值上相位相差π第8頁/共261頁（A）H(ejω)線性相位是指()是ω的線性函數(shù)，即

()＝－,

:群時延,為常數(shù)

(7.1.3)（B）如果θ(ω)滿足下式：

()＝－+0,0是起始相位

(7.1.4)

嚴格地說，此時θ(ω)不具有線性相位，但以上兩種情況都滿足群時延是一個常數(shù)，也稱這種情況為線性相位。（2）相位特性()()＝－

：第一類線性相位；A類()＝－+0

：第二類線性相位;B類(groupdelay)為群延遲函數(shù)θ0=－π/2是第二類線性相位特性常用的情況，所以本章僅介紹這種情況第9頁/共261頁

線性相位FIR濾波器的時域約束條件是指滿足線性相位時，對h(n)的約束條件。一般要求是h(n)實序列。2.線性相位FIR的時域約束條件第10頁/共261頁由式（7.1.5）得到:第一類線性相位FIR數(shù)字濾波器的相位函數(shù)

θ(ω)=－ωτ(7.1.6)（7.1.5）1)第一類線性相位對h(n)的約束條件第11頁/共261頁移項并用三角公式化簡得到:

將（7.1.6）式中兩式相除得到：

函數(shù)h(n)sinω(n－τ)關(guān)于求和區(qū)間的中心(N－1)/2奇對稱，是滿足（7.1.7）式的一組解。因為sinω(n－τ)關(guān)于n=τ奇對稱，如果取τ=(N－1)/2，則要求h(n)關(guān)于(N－1)/2偶對稱。即（7.1.7）第12頁/共261頁（7.1.8）

如果要求單位脈沖響應(yīng)為h(n)、長度為N的FIR數(shù)字濾波器具有第一類線性相位特性（嚴格線性相位特性），則h(n)應(yīng)當(dāng)關(guān)于n=(N－1)/2點偶對稱。

當(dāng)N確定時，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器的相位特性是一個確知的線性函數(shù)，即θ(ω)=－ω(N－1)/2。

N為奇數(shù)和偶數(shù)時,h(n)的對稱情況分別如表7.1.1中的情況1和情況2所示。第13頁/共261頁表7.1.1線性相位FIR數(shù)字濾波器的時域和頻域特性一覽第一類線性相位第14頁/共261頁第二類線性相位FIR數(shù)字濾波器的相位函數(shù)

θ(ω)=－π/2－ωτ函數(shù)h(n)cos［ω(n－τ)］關(guān)于求和區(qū)間的中心(N－1)/2奇對稱，是滿足式（7.1.9）的一組解，因為cos［ω(n－τ)］關(guān)于n=τ偶對稱，則要求h(n)關(guān)于(N－1)/2奇對稱。（7.1.9）2)第二類線性相位對h(n)的約束條件第15頁/共261頁（7.1.10）

如果要求單位脈沖響應(yīng)為h(n)、長度為N的FIR數(shù)字濾波器具有第二類線性相位特性，則h(n)應(yīng)當(dāng)關(guān)于n=(N－1)/2點奇對稱。

N為奇數(shù)和偶數(shù)時h(n)的對稱情況分別如表7.1.1中情況3和情況4所示。第16頁/共261頁表7.1.1線性相位FIR數(shù)字濾波器的時域和頻域特性一覽第二類線性相位第17頁/共261頁

設(shè)h(n)為實序列，將時域約束條件h(n)=±h(N－n－1)代入式（7.1.1），即可推導(dǎo)出線性相位條件對FIR數(shù)字濾波器的幅度特性Hg(ω)的約束條件。當(dāng)N取奇數(shù)和偶數(shù)時對Hg(ω)的約束不同，因此，對于兩類線性相位特性，分四種情況討論其幅度特性的特點。這些特點對正確設(shè)計線性相位FIR數(shù)字濾波器具有重要的指導(dǎo)作用3．線性相位FIR濾波器幅度特性Hg(ω)的特性幅度特性的特點就是線性相位FIR濾波器的頻域約束條件線性相位時域約束條件:h(n)=±h(N－n－1)第18頁/共261頁式中，[(N－1)/2]

表示取不大于(N－1)/2的最大整數(shù)。僅當(dāng)N為奇數(shù)時，M=τ＝(N－1)/2。為了推導(dǎo)方便，引入兩個參數(shù)符號：

對于兩類線性相位、h(n)長度N的奇偶分為四類：1)h(n)=h(N-n-1)--偶對稱，N為奇數(shù)2)h(n)=h(N-n-1)--偶對稱，N為偶數(shù)3)h(n)=-h(N-n-1)--奇對稱，N為奇數(shù)4)h(n)=-h(N-n-1)--奇對稱，N為偶數(shù)第19頁/共261頁線性相位濾波器時域特性圖例1、N為奇數(shù)的偶對稱：例如N=11，對稱中心為n0123456789102、N為偶數(shù)的偶對稱：例如N=10，對稱中心為n01234567893、N為奇數(shù)的奇對稱：例如N=11，對稱中心為n0123456789104、N為偶數(shù)的奇對稱：例如N=10，對稱中心為n0123456789第20頁/共261頁情況1：h(n)=h(N－n－1),N為奇數(shù)h(n)=h(N－n－1)和θ(ω)=－ωτ代入式（7.1.1）和（7.1.2），得到:Hg()第21頁/共261頁

因為cos［ω(n-τ)］關(guān)于ω=0,π,2π三點偶對稱，所以Hg(ω)關(guān)于ω=0,π,2π三點偶對稱。

因此情況1可以實現(xiàn)各種（低通、高通、帶通、帶阻）濾波器。對于N=13的低通情況，Hg(ω)的一種例圖如表7.1.1中情況1所示。（7.1.11）幅度特性:第22頁/共261頁仿照情況1的推導(dǎo)方法得到:（7.1.12）式中，情況2：h(n)=h(N－n－1),N為偶數(shù)幅度特性:第23頁/共261頁

而且cos［ω(n－τ)］關(guān)于過零點奇對稱，關(guān)于ω=0和2π偶對稱。所以Hg(ω)關(guān)于ω=π奇對稱，關(guān)于ω=0和2π偶對稱。情況2不能實現(xiàn)高通和帶阻濾波器。

對N=12的低通情況，Hg(ω)如表7.1.1中情況2所示因為Ｎ是偶數(shù)，所以當(dāng)=時第24頁/共261頁將時域約束條件h(n)=－h(huán)(N－n－1)和θ(ω)=－

π/2－

代入式（7.1.1）和（7.1.2），并考慮h[(N-1/2)]=0，得到:情況3：h(n)=－h(huán)(N－n－1)，N為奇數(shù)第25頁/共261頁式中，N是奇數(shù)，τ=(N－1)/2是整數(shù)。

所以，當(dāng)ω=0，π,2π時，sin[ω(n－τ)]=0,而且sin[ω(n－τ)]關(guān)于過零點奇對稱。因此Hg(ω)關(guān)于ω=0,π,2π三點奇對稱。由此可見，情況3只能實現(xiàn)帶通濾波器。對N=13的帶通濾波器舉例，Hg(ω)如表7.1.1中情況3所示。幅度特性:第26頁/共261頁

式中，N是偶數(shù)，τ=(N－1)/2=N/2－1/2。所以，當(dāng)ω=0,2π時，sin［ω(n－τ)］=0；當(dāng)ω=π時，sin［ω(n－τ)］=(－1)n－N/2,為峰值點。而且sin［ω(n－τ)］關(guān)于過零點ω=0和2π兩點奇對稱，關(guān)于峰值點ω=π偶對稱。因此Hg(ω)關(guān)于ω=0和2π兩點奇對稱，關(guān)于ω=π偶對稱。

情況4不能實現(xiàn)低通和帶阻濾波器。對N=12的高通濾波器舉例，Hg(ω)如表7.1.1中情況4所示。情況4：h(n)=－h(huán)(N－n－1),N為偶數(shù)用情況3的推導(dǎo)過程可以得到:（7.1.13）幅度特性:第27頁/共261頁為了便于比較，將上面四種情況的h(n)及其幅度特性需要滿足的條件列于表7.1.1中。應(yīng)當(dāng)注意，對每一種情況僅畫出滿足幅度特性要求的一種例圖。例如，情況1僅以低通的幅度特性曲線為例。當(dāng)然也可以畫出滿足情況1的幅度約束條件（Hg(ω)關(guān)于ω=0,π,2π三點偶對稱）的高通、帶通和帶阻濾波器的幅度特性曲線。所以，僅從表7.1.1就認為情況1只能設(shè)計低通濾波器是錯誤的。第28頁/共261頁頻域特性表Typeh(n)NI情況1N為奇數(shù)II情況2N為偶數(shù)III情況3N為奇數(shù)IV情況4N為偶數(shù)第29頁/共261頁相位特性輔助序列適用幅度特性及特點N為奇數(shù)N為偶數(shù)N為奇數(shù)N為偶數(shù)低通高通帶通帶阻低通帶通帶通高通帶通四種線性相位FIR濾波器第30頁/共261頁四種線性相位濾波器第31頁/共261頁四種線性相位濾波器奇對稱單位沖激響應(yīng)h(n)=-h(N-n-1)第32頁/共261頁例1

如果系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為0≤n≤4其他n求FIR數(shù)字濾波器傳輸函數(shù)解：這是第一種情況的線性相位FIR數(shù)字濾波器該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為因為h(n)的長度N=5，群延遲是整數(shù)，τ(ω)=(N-1)/2=2。振幅相位群延遲第33頁/共261頁MATLABw=-0*pi:0.1:2*pi;n=0:4;x=1.^n;X=(exp(j*2*w)).*(sin(2.5*w))./(sin(0.5*w));subplot(221)stem(n,x,'.');title('Sequencex(n)');xlabel('Timeindexn');subplot(222)plot(w/pi,abs(X));title('MagnitudeofDTFTofx(n)');axis([0,2,0,max(abs(X))]);subplot(224)plot(w/pi,angle(X)),;title('PhaseofDTFTofx(n)');xlabel('Frequency*piinratians');axis([0,2,min(angle(X)),max(angle(X))]);第34頁/共261頁例2

系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為0≤n≤5其他n

求FIR數(shù)字濾波器傳輸函數(shù)振幅相位群延遲

解：h(n)為偶對稱且長度N=6，是第二種情況的線性相位FIR數(shù)字濾波器該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為h(n)的長度N=6，群延遲:τ(ω)=(N-1)/2=2.5第35頁/共261頁例3

系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為h(n)=δ(n)-δ(n-2)，求FIR數(shù)字濾波器傳輸函數(shù)。振幅相位群延遲解：

h(n)為奇對稱且長度N=3，這是第三種情況的線性相位FIR數(shù)字濾波器該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為h(n)的長度N=3，群延遲:τ(ω)=(N-1)/2=1第36頁/共261頁例4系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為h(n)=δ(n)-δ(n-1)求FIR數(shù)字濾波器傳輸函數(shù)。振幅相位群延遲解：h(n)為奇對稱且長度N=2，這是第四種情況的線性相位FIR數(shù)字濾波器該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為h(n)的長度N=2，群延遲:τ(ω)=(N-1)/2=0.5第37頁/共261頁將h(n)=±h(N－1－n)代入上式,得到:（7.1.14）4.線性相位FIR數(shù)字濾波器的零點分布特點

M=N-1-n第38頁/共261頁

如z=zi是H(z)的零點，其倒數(shù)1/zi也必然是其零點；又因為h(n)是實序列，H(z)的零點必定共軛成對，因此zi*和（zi-1）*也是其零點。

線性相位FIR濾波器零點必定是互為倒數(shù)的共軛對，確定其中一個，另外三個零點也就確定了,如圖7.1.1中

。當(dāng)然，也有一些特殊情況，如圖7.1.1中z1、z2和z4情況。（7.1.14）第39頁/共261頁圖7.1.1線性相位FIR數(shù)字濾波器的零點分布第40頁/共261頁

(1)zi既不在實軸上，也不在單位圓上，則零點是互為倒數(shù)的兩組共軛對，如圖(a)所示。(4個)(2)zi不在實軸上，但是在單位圓上，則共軛對的倒數(shù)是它們本身，故此時零點是一組共軛對，如圖(b)所示。(2個)(3)zi在實軸上但不在單位圓上，只有倒數(shù)部分，無復(fù)共軛部分。故零點對如圖(c)所示。(2個)(4)zi既在實軸上又在單位圓上，此時只有一個零點，有兩種可能，或位于z=1，或位于z=-1，如圖(d)、(e)所示。

(1個)互為倒數(shù)的共軛對的四種可能性：第41頁/共261頁線性相位FIR濾波器的零點位置圖第42頁/共261頁線性相位濾波器的零點位置分布圖第43頁/共261頁由幅度響應(yīng)的討論可知:*第二種情況的線性相位濾波器由于Hg(π)=0，因此必然有單根z=-1。*第四種情況的線性相位濾波器由于Hg(0)=0,因此必然有單根z=1。*而第三種情況的線性相位濾波器由于Hg(0)=Hg(π)=0，因此這兩種單根z=±1都必須有。

了解了線性相位FIR濾波器的特點，便可根據(jù)實際需要選擇合適類型的FIR濾波器，同時設(shè)計時需遵循有關(guān)的約束條件。討論線性相位FIR濾波器的設(shè)計方法時，都要用到這些特點。

第44頁/共261頁

例一個FIR線性相位濾波器的單位脈沖響應(yīng)是實數(shù)的，且n<0和n>6時h(n)=0。如果h(0)=1且系統(tǒng)函數(shù)在z=0.5ejπ/3和z=3各有一個零點，H(z)的表達式是什么？H1(z)=(1-0.5ejπ/3

z-1)(1-0.5e-jπ/3z-1)=1-0.5z-1+0.25z-2

解:因為n<0和n>6時h(n)=0，且h(n)是實值，所以當(dāng)H(z)在z=0.5ejπ/3

有一個復(fù)零點時，則在它的共軛位置z=0.5e-jπ/3

處一定有另一個零點。這個零點共軛對產(chǎn)生如下的二階因子：第45頁/共261頁

線性相位的約束條件需要在這兩個零點的倒數(shù)位置上有零點，所以H(z)同樣必須包括如下的有關(guān)因子：

系統(tǒng)函數(shù)還包含一個z=3的零點，同樣線性相位的約束條件需要在z=1/3也有一個零點。于是，H(z)還具有如下因子：由此，我們有

最后，多項式中零階項的系數(shù)為A，為使h(0)=1，必定有：A=1。第46頁/共261頁FIR第一類線性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)x(n-(N/2-1))x(n-(N-1)/2)第47頁/共261頁FIR第二類線性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)第48頁/共261頁

設(shè)計FIR數(shù)字濾波器最簡單的方法是窗函數(shù)法。一般是先給定所要求的理想濾波器的頻率響應(yīng)Hd(ejω)，要求設(shè)計一個FIR濾波器頻率響應(yīng) ,去逼近理想的頻率響應(yīng)Hd(ejω)。7.2利用窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器

7.2.1窗函數(shù)法設(shè)計原理hd

(n)一般情況下是非因果無限長序列，需對其進行截短和因果化處理。第49頁/共261頁改變窗形狀改變窗長度誤差？窗函數(shù)法設(shè)計思路：時域方法無限長有限長第50頁/共261頁

設(shè)希望設(shè)計的濾波器傳輸函數(shù)為Hd(ejω),hd(n)是與其對應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)，因此一、窗函數(shù)法設(shè)計原理

1.構(gòu)造希望逼近的頻率響應(yīng)函數(shù)Hd(ejω)第51頁/共261頁2.求出hd(n)(7.2.2)相應(yīng)的單位取樣響應(yīng)hd(n)為:(7.2.1)設(shè)計的理想低通濾波器傳輸函數(shù)以設(shè)計低通濾波器為例:確定Hd(ejω)

a？a-延遲常數(shù)非因果無限長序列第52頁/共261頁w(n)——為窗函數(shù)，w(n)長度為N。

如果要求設(shè)計線性相位FIRDF，則要求h(n)關(guān)于(N-1)/2點偶對稱，而hd(n)關(guān)于n=a點偶對稱，所以要求a=(N-1)/2，且w(n)關(guān)于(N-1)/2點偶對稱。各種常用窗函數(shù)都滿足這種要求。

為了構(gòu)造一個長度為N的線性相位濾波器，只有將hd(n)截取一段，并保證截取的一段對(N-1)/2對稱。設(shè)截取的一段用h(n)表示，即

h(n)=hd(n)·w

(n)

(7.2.3)3.加窗得到FIRDF單位脈沖響應(yīng)h(n)第53頁/共261頁

實際實現(xiàn)的濾波器的單位取樣響應(yīng)為h(n),長度為N:

系統(tǒng)函數(shù)為H(z):

傳輸函數(shù):H(ejω):圖7.2.1理想低通的單位脈沖響應(yīng)及矩形窗w(n)=RN(n)aa第54頁/共261頁H(ejω)

與Hd(ejω)的誤差:截斷誤差

傅立葉級數(shù)系數(shù)h(n)是H(ejω)對應(yīng)的單位取樣響應(yīng):設(shè)計FIR濾波器是根據(jù)要求找到有限項個傅立葉級數(shù)系數(shù),以有限項傅立葉級數(shù)近似代替無限項傅立葉級數(shù)。

-----窗函數(shù)法也稱為傅立葉級數(shù)法周期函數(shù)第55頁/共261頁

Hd(ejω)是一個以2π為周期的函數(shù)，可以展為傅氏級數(shù)，即根據(jù)復(fù)卷積定理，得到：(7.2.4)Hd(ejω)和RN(ejω)分別是hd(n)和RN(n)的傅里葉變換二、窗函數(shù)法的性能分析H(ejω)=FT[h(n)]=FT[hd(n)RN(n)]w(n)=RN(n)第56頁/共261頁(7.2.5)矩形窗的幅度函數(shù)RN(n)的傅里葉變換：RN(ejω)——條件矩形窗的相位函數(shù)第57頁/共261頁理想低通濾波器的幅度特性Hd(ω)為Hd(ejω)寫成下式：hd(n)的傅里葉變換：Hd(ejω)幅度特性第58頁/共261頁

將H(ejω)寫成下式：

(7.2.6)濾波器幅度特性H

(ω)等于理想低通濾波器Hd(ω)與窗函數(shù)的幅度特性函數(shù)RN(ω)的卷積濾波器幅度特性第59頁/共261頁1000幅度特性加窗后的影響圖示窗函數(shù)的主瓣旁瓣旁瓣第60頁/共261頁

圖7.2.2矩形窗對理想低通幅度特性的影響

對hd(n)加矩形窗處理后，H(ω)和原理想低通Hd(ω)差別有以下兩點：

(1)在理想特性不連續(xù)點ω=ωc附近形成過渡帶。過渡帶的寬度，近似等于RN(ω)主瓣寬度，即4π/N。

(2)通帶內(nèi)增加了波動，最大的峰值在ωc-2π/N處。阻帶內(nèi)產(chǎn)生了余振，最大的負峰在ωc+2π/N處。在主瓣附近，RN(ω)可近似為第61頁/共261頁理想低通加窗后對幅度特性的影響：(1)理想幅度特性的陡直邊沿被加寬，形成過渡帶；過渡帶：是由窗函數(shù)的主瓣寬度引起的。

N越大－窗函數(shù)的主瓣寬度越小－過渡帶帶寬越小(2)過渡帶兩側(cè)附近產(chǎn)生起伏的肩峰和紋波；肩峰和紋波：是由窗函數(shù)的旁瓣引起的。

旁瓣相對值越大－紋波起伏就越大旁瓣相對值：完全取決與窗函數(shù)的形狀，與N無關(guān)。（吉布斯效應(yīng)）選用旁瓣幅度較小的窗函數(shù)結(jié)論：為了提高濾波器的性能，盡可能要求窗函數(shù)：i.主瓣寬度盡量窄－獲得較陡的過渡帶ii.旁瓣相對值盡量?。纳仆◣У钠椒€(wěn)度和增大阻帶的衰減

第62頁/共261頁吉布斯效應(yīng)

所設(shè)計濾波器的幅度函數(shù)在通帶和阻帶都呈現(xiàn)出振蕩現(xiàn)象，且最大波紋大約為幅度的9%，這個現(xiàn)象稱為Gibbs現(xiàn)象。

第63頁/共261頁7.2.2常用的窗函數(shù)

設(shè)h(n)=hd(n)w(n)式中w(n)表示窗函數(shù)。

本節(jié)主要介紹幾種常用窗函數(shù)的時域表達式、時域波形、幅度特性函數(shù)（衰減用dB計量）曲線，以及用各種窗函數(shù)設(shè)計的FIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)和損耗函數(shù)曲線。為了敘述簡單，我們把這組波形圖簡稱為“四種波形”。下面均以低通為例，Hd(ejω)取理想低通，ωc=π/2，窗函數(shù)長度N=31。為了描述方便，定義窗函數(shù)的幾個參數(shù):旁瓣峰值n—窗函數(shù)的幅頻函數(shù)|Wg(ω)|的最大旁瓣的最大值相對主瓣最大值的衰減值（dB）；過渡帶寬度Bg—用該窗函數(shù)設(shè)計的FIR數(shù)字濾波器（FIRDF）的過渡帶寬度；阻帶最小衰減s—用該窗函數(shù)設(shè)計的FIRDF的阻帶最小衰減。第64頁/共261頁1.矩形窗(RectangleWindow)wR(n)=RN(n)頻率響應(yīng)為主瓣寬度為4π/N,第一旁瓣比主瓣低13dB幅度函數(shù)（7.2.7）第65頁/共261頁2.三角形窗(BartlettWindow)

(7.2.8)其頻率響應(yīng)為

(7.2.9)主瓣寬度為8π/N,比矩形窗主瓣寬度增加一倍，但旁瓣卻小很多幅度函數(shù)為（7.2.10）三角窗的四種波形參數(shù)為:

n=－25dB;Bg=8π/N;s=－25dB第66頁/共261頁圖7.2.5三角窗的四種波形三角窗的四種波形參數(shù)為:

n=－25dB;Bg=8π/N;s=－25dB第67頁/共261頁3.漢寧(Hanning)窗——升余弦窗當(dāng)N1時，N-1≈N，這三部分之和，使旁瓣互相抵消，能量更集中在主瓣，它的最大旁瓣值比主瓣值約低31dB。但是代價是主瓣寬度比矩形窗的主瓣寬度增加一倍，即為8π/N。（7.2.11）第68頁/共261頁圖7.2.6漢寧窗的四種波形參數(shù)為:

n=－31dB;Bg=8π/N;

s=－44dB。第69頁/共261頁漢寧窗的幅度特性第70頁/共261頁

4.哈明(Hamming)窗——改進的升余弦窗其頻域函數(shù)WHm(ejω)為其幅度函數(shù)WHm(ω)為當(dāng)N>>1時，可近似表示為

與漢寧窗相比，主瓣寬度相同，為8π/N，但旁瓣又被進一步壓低，結(jié)果可將99.963%的能量集中在窗譜的主瓣內(nèi)，它的最大旁瓣值比主瓣值約低41dB。（7.2.12）第71頁/共261頁圖7.2.7哈明窗的四種波形改進的升余弦窗的能量更加集中在主瓣中，主瓣的能量約占99.96%，瓣峰值幅度為40dB，但其主瓣寬度和漢寧窗的相同，仍為8π/N。可見哈明窗是一種高效窗函數(shù)，所以MATLAB窗函數(shù)設(shè)計函數(shù)的默認窗函數(shù)就是哈明窗。波形參數(shù):n=－41dB;Bg=8π/N;

s=－53dB第72頁/共261頁5.布萊克曼(Blackman)窗(7.2.13)頻譜函數(shù)為幅度函數(shù)為(7.2.14)由5部分組成，使旁瓣互相抵消，能量更集中在主瓣，但代價是主瓣寬度比矩形窗的主瓣寬度增加3倍，即為12π/N。第73頁/共261頁圖7.2.8布萊克曼窗的四種波形波形參數(shù):

n=－57dB;Bg=12π/N;

s=－74dB。幅度函數(shù)由五部分組成，它們都是移位不同，且幅度也不同的WRg(ω)函數(shù)，使旁瓣再進一步抵消。旁瓣峰值幅度進一步增加，其幅度譜主瓣寬度是矩形窗的3倍。第74頁/共261頁6.凱塞—貝塞爾窗(Kaiser-BaselWindow)

以上五種窗函數(shù)都稱為參數(shù)固定窗函數(shù)，每種窗函數(shù)的旁瓣幅度都是固定的。凱塞—貝塞爾窗是一種參數(shù)可調(diào)的窗函數(shù)，是一種最優(yōu)窗函數(shù)。式中

I0(x)是零階第一類修正貝塞爾函數(shù)，可用下面級數(shù)計算：（7.2.15）第75頁/共261頁*一般I0(x)取15~25項，便可以滿足精度要求。*α參數(shù)可以控制窗的形狀。一般α加大，主瓣加寬，旁瓣幅度減小，典型數(shù)據(jù)為4<α<9。當(dāng)α=5.44時，窗函數(shù)接近哈明窗。α=7.865時，窗函數(shù)接近布萊克曼窗。在設(shè)計指標(biāo)給定時，可以調(diào)整值，使濾波器階數(shù)最低，所以其性能最優(yōu)。凱塞（Kaiser）給出的估算β和濾波器階數(shù)M(h(n)的長度N=M+1)的公式如下:（7.2.17）（7.2.16）第76頁/共261頁式中，Bt=|ωs－ωp|,是數(shù)字濾波器過渡帶寬度。應(yīng)當(dāng)注意，因為式（7.2.17）為階數(shù)估算，所以必須對設(shè)計結(jié)果進行檢驗。另外，凱塞窗函數(shù)沒有獨立控制通帶波紋幅度，實際中通帶波紋幅度近似等于阻帶波紋幅度。凱塞窗的幅度函數(shù)為（7.2.18）對的8種典型值，將凱塞窗函數(shù)的性能列于表7.2.1中，供設(shè)計者參考。由表可見,當(dāng)

=5.568時,各項指標(biāo)都好于哈明窗。6種典型窗函數(shù)基本參數(shù)歸納在表7.2.2中，可供設(shè)計時參考。第77頁/共261頁表7.2.1凱塞窗參數(shù)對濾波器的性能影

第78頁/共261頁表7.2.26種窗函數(shù)的基本參數(shù)Bt=A/NA=4A=8表中過渡帶寬和阻帶最小衰減是用對應(yīng)的窗函數(shù)設(shè)計的FIR數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)指標(biāo)。隨著數(shù)字信號處理的不斷發(fā)展，學(xué)者們提出的窗函數(shù)已多達幾十種，除了上述6種窗函數(shù)外，比較有名的還有Chebyshev窗、Gaussian窗［5,6］。第79頁/共261頁圖7.2.4常用的窗函數(shù)第80頁/共261頁

圖7.2.5常用窗函數(shù)的幅度特性(a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)漢寧窗；(d)哈明窗；(e)布萊克曼窗第81頁/共261頁

圖7.2.6理想低通加窗后的幅度特性(N=51,ωc=0.5π)(a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)漢寧窗；

(d)哈明窗；(e)布萊克曼窗第82頁/共261頁wn=boxcar(N)

％列向量wn中返回長度為N的矩形窗函數(shù)w(n)wn=bartlett(N)

％列向量wn中返回長度為N的三角窗函數(shù)w(n)wn=hanning(N)

％列向量wn中返回長度為N的漢寧窗函數(shù)w(n)wn=hamming(N) ％列向量wn中返回長度為N的哈明窗函數(shù)w(n)wn=blackman(N)

％列向量wn中返回長度為N的布萊克曼窗函數(shù)w(n)wn=kaiser(N,beta)

％列向量wn中返回長度為N的凱塞—貝塞爾窗函數(shù)w(n)

MATLAB信號處理工具箱提供了14種窗函數(shù)的產(chǎn)生函數(shù)，下面列出上述6種窗函數(shù)的產(chǎn)生函數(shù)及其調(diào)用格式：MATLAB第83頁/共261頁用窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器的步驟如下：

(1)根據(jù)對過渡帶及阻帶衰減的指標(biāo)要求，選擇窗函數(shù)的類型，并估計窗口長度N。

先按照阻帶衰減選擇窗函數(shù)類型。原則是在保證阻帶衰減滿足要求的情況下，盡量選擇主瓣窄的窗函數(shù)。然后根據(jù)過渡帶寬度估計窗口長度N。待求濾波器的過渡帶寬度Bt近似等于窗函數(shù)主瓣寬度，且近似與窗口長度N成反比，N≈A/Bt，A取決于窗口類型例如:矩形窗的A=4π，哈明窗的A=8π等，參數(shù)A的近似和精確取值參考表7.2.2。7.2.3用窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器的步驟第84頁/共261頁(2)構(gòu)造希望逼近的頻率響應(yīng)函數(shù)Hd(ejω)，即

對所謂的“標(biāo)準窗函數(shù)法”，就是選擇Hd(ejω)為線性相位理想濾波器（理想低通、理想高通、理想帶通、理想帶阻）。以低通濾波器為例，幅度特性Hdg(ω)應(yīng)滿足：（7.2.19）

理想濾波器的截止頻率ωc近似位于最終設(shè)計的FIRDF的過渡帶的中心頻率點，幅度函數(shù)衰減一半（約－6dB）。如果設(shè)計指標(biāo)給定通帶邊界頻率和阻帶邊界頻率ωp和ωs，3dB截止頻率一般?。海?.2.20）第85頁/共261頁(3)計算hd(n)。

I

如果給出待求濾波器的頻響函數(shù)為Hd(ejω)，那么單位脈沖響應(yīng)用下式求出：（7.2.21）II

如果Hd(ejω)較復(fù)雜，或者不能用封閉公式表示，則不能用上式求出hd(n)。對Hd(ejω)從ω=0到ω=2π采樣M點，采樣值為

，k=0,1,2,…,M－1，進行M點IDFT(IFFT)，得到：（7.2.22）根據(jù)頻域采樣理論，hdM(n)與hd(n)應(yīng)滿足如下關(guān)系：如果M選得較大，可以保證在窗口內(nèi)hdM(n)有效逼近hd(n)線性相位理想低通濾波器=(N－1)/2第86頁/共261頁(4)加窗得到設(shè)計結(jié)果：h(n)=hd(n)w(n)。第87頁/共261頁

【例7.2.1】用窗函數(shù)法設(shè)計線性相位高通FIRDF，要求通帶截止頻率ωp=π/2rad，阻帶截止頻率ωs=π/4rad，通帶最大衰減

p=1dB，阻帶最小衰減

s=40dB。第88頁/共261頁（2）構(gòu)造Hd(ejω):式中解

(1）選擇窗函數(shù)w(n)，計算窗函數(shù)長度N。已知阻帶最小衰減

s=40dB，由表（7.2.2）可知漢寧窗和哈明窗均滿足要求，選擇漢寧窗。本例中過渡帶寬度Bt≤ωp－ωs=π/4，漢寧窗的精確過渡帶寬度Bt=6.2π/N，所以要求Bt=6.2π/N≤π/4，解之得N≥24.8。對高通濾波器N必須取奇數(shù)，取N=25。由式（7.2.11）,有第89頁/共261頁（3）求出hd(n):將τ=12代入得第一項δ(n－12)對應(yīng)全通濾波器，第二項是截止頻率為3π/8的理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)，二者之差就是理想高通濾波器的單位脈沖響應(yīng)。這就是求理想高通濾波器的單位脈沖響應(yīng)的另一個公式。第90頁/共261頁（4）加窗:第91頁/共261頁

實際設(shè)計時一般用MATLAB工具箱函數(shù)?？烧{(diào)用工具箱函數(shù)fir1實現(xiàn)窗函數(shù)法設(shè)計步驟（2）～（4）的解題過程。

(1)fir1是用窗函數(shù)法設(shè)計線性相位FIR數(shù)字濾波器的工具箱函數(shù)，以實現(xiàn)線性相位FIR數(shù)字濾波器的標(biāo)準窗函數(shù)法設(shè)計。這里的所謂“標(biāo)準”，是指在設(shè)計低通、高通、帶通和帶阻FIR濾波器時，Hd(ejω)分別表示相應(yīng)的線性相位理想低通、高通、帶通和帶阻濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)。因而將所設(shè)計的濾波器的頻率響應(yīng)稱為標(biāo)準頻率響應(yīng)。7.2.4窗函數(shù)法的MATLAB設(shè)計函數(shù)簡介第92頁/共261頁

Fir1的調(diào)用格式及功能：

·hn=fir1(M,wc)，返回6dB截止頻率為wc的M階（單位脈沖響應(yīng)h(n)長度N=M+1）FIR低通（wc為標(biāo)量）濾波器系數(shù)向量hn，默認選用哈明窗。濾波器單位脈沖響應(yīng)h(n)與向量hn的關(guān)系為

h(n)=hn(n+1)n=0,1,2,…,M而且滿足線性相位條件:h(n)=h(N－1－n)。其中wc為對π歸一化的數(shù)字頻率，0≤wc≤1。當(dāng)wc=［wcl,wcu］時，得到的是帶通濾波器，其－6dB通帶為wcl≤ω≤wcu。第93頁/共261頁

hn=fir1(M,wc,′ftype′)，可設(shè)計高通和帶阻FIR濾波器。當(dāng)ftype=high時，設(shè)計高通FIR濾波器；當(dāng)ftype=stop，且wc=［wcl,wcu］時，設(shè)計帶阻FIR濾波器。應(yīng)當(dāng)注意，在設(shè)計高通和帶阻FIR濾波器時，階數(shù)M只能取偶數(shù)（h(n)長度N=M+1為奇數(shù)）。不過，當(dāng)用戶將M設(shè)置為奇數(shù)時，fir1會自動對M加1。

·hn=fir1(M,wc,window)，可以指定窗函數(shù)向量window。如果缺省window參數(shù)，則fir1默認為哈明窗。例如:hn=fir1(M,wc,bartlett(M+1))，使用Bartlett窗設(shè)計；

hn=fir1(M,wc,blackman(M+1))，使用blackman窗設(shè)計；

hn=fir1(M,wc,'ftype',window)，通過選擇wc、ftype和window參數(shù)（含義同上），可以設(shè)計各種加窗濾波器。第94頁/共261頁(2)fir2為任意形狀幅度特性的窗函數(shù)法設(shè)計函數(shù)，用fir2設(shè)計時，可以指定任意形狀的Hd(ejω)，它實質(zhì)是一種頻率采樣法與窗函數(shù)法的綜合設(shè)計函數(shù)。主要用于設(shè)計幅度特性形狀特殊的濾波器（如數(shù)字微分器和多帶濾波器等）。用help命令查閱其調(diào)用格式及調(diào)用參數(shù)的含義。第95頁/共261頁

例7.2.1

的設(shè)計程序ep721.m如下:％ep721.m:例7.2.1用窗函數(shù)法設(shè)計線性相位高通FIR數(shù)字濾波器

wp=pi/2;ws=pi/4;

Bt=wp-ws; ％計算過渡帶寬度

N0=ceil(6.2*pi/Bt);％根據(jù)表7.2.2漢寧窗計算所需h(n)長度N0，ceil(x)取大于等于x的最小整數(shù)

N=N0+mod(N0+1,2);％確保h(n)長度N是奇數(shù)

wc=(wp+ws)/2/pi;％計算理想高通濾波器通帶截止頻率(關(guān)于π歸一化)

hn=fir1(N-1,wc,'high',hanning(N)); ％調(diào)用fir1計算高通FIR數(shù)字濾波器的h(n)

第96頁/共261頁

％繪圖部分M=1024;hk=fft(hn,M);n=0:N;subplot(2,2,1);stem(n,hn,'.');line([0,30],[0,0])xlabel('n');ylabel('h(n)');k=1:M/2;w=2*(0:M/2-1)/M;subplot(2,2,2);plot(w,20*log10(abs(hk(k))));axis([0,1,-80,5]);xlabel('w/pi');ylabel('20lg|Hg(w)|');gridon第97頁/共261頁運行程序得到h(n)的25個值:

h(n)=［－0.0004 －0.00060.0028

0.0071

－0.0000 －0.0185－0.0210

0.0165

0.06240.0355

0.1061

－0.2898 0.6249－0.2898

－0.1061 0.03550.0624

0.0165

－0.0210

0.0185－0.0000

0.0071 0.0028－0.0006－0.0004］圖7.2.9高通FIR數(shù)字濾波器的h(n)波形及損耗函數(shù)曲線第98頁/共261頁

【例7.2.2】對模擬信號進行低通濾波處理，要求通帶0≤f≤1.5kHz內(nèi)衰減小于1dB，阻帶2.5kHz≤f≤∞上衰減大于40dB。希望對模擬信號采樣后用線性相位FIR數(shù)字濾波器實現(xiàn)上述濾波，采樣頻率Fs=10kHz。用窗函數(shù)法設(shè)計滿足要求的FIR數(shù)字低通濾波器，求出h(n)，并畫出損耗函數(shù)曲線。為了降低運算量，希望濾波器階數(shù)盡量低。第99頁/共261頁

阻帶截止頻率為阻帶最小衰減為

s=40dB（2）用窗函數(shù)法設(shè)計FIR數(shù)字低通濾波器，為了降低階數(shù)選擇凱塞窗。根據(jù)式（7.2.16）計算凱塞窗的控制參數(shù)為解

（1）確定相應(yīng)的數(shù)字濾波器指標(biāo):通帶截止頻率為第100頁/共261頁指標(biāo)要求過渡帶寬度Bt=ωs－ωp=0.2π，根據(jù)式（7.2.17）計算濾波器階數(shù)為取滿足要求的最小整數(shù)M=23。所以h(n)長度為N=M+1=24。但是，如果用漢寧窗，h(n)長度為N=40。理想低通濾波器的通帶截止頻率ωc=(ωs+ωp)/2=0.4π，所以由式（7.2.2）和式（7.2.3）,得到:式中，w(n)是長度為24（

=3.395）的凱塞窗函數(shù)。第101頁/共261頁實現(xiàn)本例設(shè)計的MATLAB程序為ep722.m。％例7.2.2用凱塞窗函數(shù)設(shè)計線性相位低通FIR數(shù)字濾波器

fp=1500;fs=2500;rs=40;

wp=2*pi*fp/Fs;ws=2*pi*fs/Fs;

Bt=ws-wp;%計算過渡帶寬度

alph=0.5842*(rs-21)^0.4+0.07886*(rs-21);%根據(jù)(7.2.16)式計算kaiser窗的控制參數(shù)α

N=ceil((rs-8)/2.285/Bt);%根據(jù)(7.2.17)式計算kaiser窗所需階數(shù)Nwc=(wp+ws)/2/pi;%計算理想高通濾波器通帶截止頻率(關(guān)于π歸一化）

hn=fir1(N,wc,kaiser(N+1,alph));%調(diào)用kaiser計算低通FIRDF的h(n)

第102頁/共261頁％以下繪圖部分M=1024;hk=fft(hn,M);n=0:N;subplot(2,2,1);stem(n,hn,'.');line([0,30],[0,0])xlabel('n');ylabel('h(n)');k=1:M/2;w=2*(0:M/2-1)/M;subplot(2,2,2);plot(w,20*log10(abs(hk(k))));axis([0,1,-80,5]);xlabel('w/pi');ylabel('20lg|Hg(w)|');gridon第103頁/共261頁運行程序得到h(n)的24個值:h(n)=［0.0039

0.0041－0.0062－0.01470.0000

0.0286

0.0242－0.0332－0.0755

0.0000

0.19660.3724

0.3724

0.1966－0.0000－0.0755－0.0332

0.02420.0286

0.0000－0.0147－0.0062

0.0041

0.0039］圖7.2.10低通FIR數(shù)字濾波器的h(n)波形及損耗函數(shù)曲線第104頁/共261頁

【例7.2.3】窗函數(shù)法設(shè)計一個線性相位FIR帶阻濾波器。要求通帶下截止頻率ωlp=0.2π，阻帶下截止頻率ωls=0.35π，阻通帶上截止頻率ωus=0.65π，通帶上截止頻率ωup=0.8π，通帶最大衰減

p=1dB，阻帶最小衰減

s=60dB。

第105頁/共261頁解之得N=80。調(diào)用參數(shù)解

本例直接調(diào)用fir1函數(shù)設(shè)計。因為阻帶最小衰減

s=60dB，所以選擇布萊克曼窗，再根據(jù)過渡帶寬度選擇濾波器長度N，布萊克曼窗的過渡帶寬度Bt=12π/N，所以第106頁/共261頁設(shè)計程序為ep723.m，參數(shù)計算也由程序完成。％ep723.m:例7.2.3用窗函數(shù)法設(shè)計線性相位帶阻FIR數(shù)字濾波器

wlp=0.2*pi;wls=0.35*pi;wus=0.65*pi;wup=0.8*pi;%設(shè)計指標(biāo)參數(shù)賦值

B=wls-wlp;%過渡帶寬度

N=ceil(12*pi/B);%計算階數(shù)N,ceil(x)為大于等于x的最小整數(shù)wp=［(wls+wlp)/2/pi,(wus+wup)/2/pi］;%設(shè)置理想帶通截止頻率

hn=fir1(N,wp,‘stop’,blackman(N+1));%帶阻濾波器要求h(n)長度為奇數(shù)，所以取N+1％繪圖部分第107頁/共261頁％繪圖部分M=1024;hk=fft(hn,M);n=0:N;subplot(2,2,1);stem(n,hn,'.');xlabel('n');ylabel('h(n)');gridonk=1:M/2+1;w=2*(0:M/2)/M;subplot(2,2,2);plot(w,20*log10(abs(hk(k))));axis([0,1,-90,5]);xlabel('w/pi');ylabel('20lg|Hg(w)|');gridon第108頁/共261頁圖7.2.11帶阻FIR數(shù)字濾波器的h(n)波形及損耗函數(shù)曲線程序運行結(jié)果:

N=81由于h(n)數(shù)據(jù)量太大，因而僅給出h(n)的波形及損耗函數(shù)曲線，如圖7.2.11所示。第109頁/共261頁

例用矩形窗、漢寧窗和布萊克曼窗設(shè)計FIR低通濾波器，設(shè)N=11,ωc=0.2πrad。N=11解：用理想低通作為逼近濾波器：用矩形窗設(shè)計：第110頁/共261頁用漢寧窗設(shè)計：用布萊克曼窗設(shè)計：

低通幅度特性第111頁/共261頁優(yōu)點窗口法設(shè)計的主要優(yōu)點是簡單，使用方便。窗口函數(shù)大多有封閉的公式可循，性能、參數(shù)都已有表格、資料可供參考，計算程序簡便，所以很實用。缺點是通帶和阻帶的截止頻率不易控制。

窗口法設(shè)計的優(yōu)點缺點第112頁/共261頁常用的理想濾波器1.理想低通濾波器頻率響應(yīng)：單位脈沖響應(yīng)：第113頁/共261頁2.理想高通濾波器頻率響應(yīng)：單位脈沖響應(yīng)：高通濾波器相當(dāng)于一個全通濾波器減去一個低通濾波器第114頁/共261頁頻率響應(yīng)：單位脈沖響應(yīng)：3.理想帶通濾波器帶通濾波器相當(dāng)于兩個低通濾波器相減，其中一個低通濾波器截止頻率為c2，另一個截止頻率為c1第115頁/共261頁頻率響應(yīng)：單位脈沖響應(yīng)：4.理想帶阻濾波器帶阻濾波器相當(dāng)于一個低通濾波器（截止頻率為c1）加一個高通濾波器（截止頻率為c2）第116頁/共261頁解

AFDF技術(shù)指標(biāo)ωp=0.3πrad，ωs=0.46πrad，

as=45dB查表可知,海明窗和布萊克曼窗均可提供大于45dB的阻帶衰減，但海明窗具有較小的過渡帶從而具有較小的長度N。根據(jù)題意，所要設(shè)計的濾波器的過渡帶為

由表可知，利用海明窗設(shè)計的濾波器的過渡帶寬

Δω=8π/N例

根據(jù)下列技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計一個FIR低通濾波器。

通帶截止頻率p=30πrad/s，

阻帶截止頻率

s=46πrad/s，阻帶衰減as=45dB。Ts=0.01s第117頁/共261頁3dB通帶截止頻率ωc理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)為海明窗為

低通濾波器單位脈沖響應(yīng)的長度為取取N=51則所設(shè)計的濾波器的單位脈沖響應(yīng)為第118頁/共261頁解

查表可知，海明窗和布萊克曼窗均可提供大于50dB的衰減。但海明窗具有較小的過渡帶從而具有較小的長度N。根據(jù)題意，所要設(shè)計的濾波器的過渡帶為

由表可知，利用海明窗設(shè)計的濾波器的過渡帶寬

Δω=8π/N，例根據(jù)下列技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計一個FIR低通濾波器。

通帶截止頻率ωp=0.2π，通帶允許波動ap=0.25dB；

阻帶截止頻率ωs=0.3π，阻帶衰減as=50dB。第119頁/共261頁3dB通帶截止頻率為

理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)為海明窗為低通濾波器單位脈沖響應(yīng)的長度為或取第120頁/共261頁則所設(shè)計的濾波器的單位脈沖響應(yīng)為N=80所設(shè)計的濾波器的頻率響應(yīng)為

濾波器長N=80，實際阻帶衰減為As=53dB，通帶波動為Ap=0.0316dB，均滿足設(shè)計要求。dB第121頁/共261頁低通濾波器設(shè)計結(jié)果理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)hd(n)海明窗函數(shù)實際低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)實際低通濾波器的幅頻特性|H(ejω)第122頁/共261頁例用窗函數(shù)法設(shè)計線性相位高通FIRDF，技術(shù)指標(biāo)如下：通帶截止頻率：ωp=/2rad阻帶截止頻率：ωs=/4rad通帶最大衰減：αp=1dB阻帶最小衰減：

αs=40dB第123頁/共261頁解(1)選擇窗函數(shù)w(n)

已知阻帶最小衰減αs=40dB，由表可知漢寧窗和海明窗均滿足要求——選海明窗。本例中過渡帶寬度Δ≤ωp-ωs=π/4，海明窗的過渡帶寬度Δ=8π/N,所以要求

解之得N≥32 對高通濾波器，N必須取奇數(shù)，所以，N=33。第124頁/共261頁其中

第125頁/共261頁(3)求出hd(n):

δ(n-16)對應(yīng)全通濾波器:τ=16所以第126頁/共261頁(4)加窗：第127頁/共261頁-ωc≤ω-ω0≤ωc

０≤ω<ω0-ωc,ω0+ωc<ω≤π

（1）設(shè)計N為奇數(shù)時的h(n)。（2）設(shè)計N為偶數(shù)時的h(n)。（3）若改用海明窗設(shè)計，求以上兩種形式的h(n)表達式。

例用矩形窗設(shè)計一個線性相位帶通濾波器第128頁/共261頁解

根據(jù)該線性相位帶通濾波器的相位

可知該濾波器只能是h(n)=h(N-1-n)即h(n)偶對稱的情況，h(n)偶對稱時，可為第一類和第二類濾波器，其頻響第129頁/共261頁

（1）當(dāng)N為奇數(shù)時，h(n)=h(N-1-n)，可知H(ejω)為第一類線性相位濾波器，H(ω)關(guān)于ω=0,π,2π有偶對稱結(jié)構(gòu)。題目中僅給出了Hd(ejω)在0～π上的取值，但用傅里葉反變換求hd(n)時，需要Hd(ejω)在一個周期［-π,π］或［0,2π］上的值，因此,Hd(ejω)需根據(jù)第一類線性相位濾波器的要求進行擴展，擴展結(jié)果為ω0-ωc≤ω≤ω0+ωc,-ω0-ωc≤ω≤-ω0+ωc-ω0+ωc<ω<ω0-ωc,-π≤ω<-ω0-ωc,ω0+ωc<ω≤π第130頁/共261頁則

h(n)=hd(n)RＮ(n)第131頁/共261頁

(2)N

為偶數(shù)時，H(ejω)為第二類線性相位濾波器，H(ω)關(guān)于ω=0呈偶對稱。所以,Hd(ejω)在［-π,π］之間的擴展同上，則hd(n)也同上，即:第132頁/共261頁(3)若改用海明窗

N為奇數(shù)時

N為偶數(shù)時

上面兩個表達式形式雖然完全一樣，但由于N為奇數(shù)時，對稱中心點α=(N-1)/2為整數(shù)，N為偶數(shù)時，α為非整數(shù)，因此N在奇數(shù)和偶數(shù)情況下，濾波器的單位脈沖響應(yīng)的對稱中心不同，在0≤n≤N-1上的取值也完全不同。第133頁/共261頁MATLAB工具箱函數(shù)實現(xiàn)設(shè)計指標(biāo)---fir1()fir2()

fir1是用窗函數(shù)法設(shè)計線性相位FIRDF的工具箱函數(shù)調(diào)用格式如下：

hn=fir1(N,wc,′ftype′,window) fir1實現(xiàn)線性相位FIR濾波器的標(biāo)準窗函數(shù)法設(shè)計?！皹?biāo)準”是指在設(shè)計低通、高通、帶通和帶阻FIR濾波器時，Hd(ejω)分別取相應(yīng)的理想低通、高通、帶通和帶阻濾波器，故而設(shè)計的濾波器的頻率響應(yīng)稱為標(biāo)準頻率響應(yīng)。第134頁/共261頁

hn=fir1(N,wc)可得到截止頻率為wc的N階(單位脈沖響應(yīng)h(n)長度為N+1)FIR低通濾波器，默認(缺省參數(shù)windows)選用hammiing窗。其單位脈沖響應(yīng)h(n)為

h(n)=hn(n+1),n=0,1,2,…,N

而且滿足線性相位條件：

h(n)=h(N-1-n)

其中wc為對π歸一化的數(shù)字頻率，0≤wc≤1。 當(dāng)wc=［wc1,wc2］時，得到的是帶通濾波器，其通帶為wc1≤ω≤wc2。第135頁/共261頁hn=fir1(N,wc,′ftype′)可設(shè)計高通和帶阻濾波器。

·當(dāng)ftype=high時，設(shè)計高通FIR濾波器；

·當(dāng)ftype=stop時，設(shè)計帶阻FIR濾波器。

注意:在設(shè)計高通和帶阻濾波器時，階數(shù)N只能取偶數(shù)(h(n)長度N+1為奇數(shù))。不過，當(dāng)用戶將N設(shè)置為奇數(shù)時，fir1會自動對N加1。

hn=fir1(N,wc,window)可以指定窗函數(shù)向量window。如果缺省window參數(shù)，則fir1默認為hamming窗?？捎玫钠渌昂瘮?shù)有Boxcar,Hanning,Bartlett,Blackman,Kaiser和Chebwin窗。這些窗函數(shù)的使用很簡單(可用help命令查到)，例如：

hn=fir1(N,wc,bartlett(N+1))使用Bartlett窗設(shè)計；

hn=fir1(N,wc,chebwin(N+1,R))使用Chebyshev窗設(shè)計。

hn=fir1(N,wc,′ftype′,window)通過選擇wc、ftype和window參數(shù)(含義同上)，可以設(shè)計各種加窗濾波器。第136頁/共261頁

Fir2可以指定任意形狀的Hd(ejω),用help命令查閱其調(diào)用格式。

Fir2(N,f,m,window)f頻率向量，其值在0～1之間，m

是和f相對應(yīng)的所希望的幅頻相應(yīng)。

window缺省時自動選用Hamming窗。第137頁/共261頁7.3利用頻率采樣法設(shè)計FIR濾波器

頻率取樣法設(shè)計思想：基本原理：（頻域采樣理論）一個有限長序列，可以通過其頻譜的等間隔采樣值準確地恢復(fù)出原有序列。設(shè)計過程：在頻域中，對理想的頻率響應(yīng)等間隔采樣；以Hd(k)作為實際濾波器頻率特性的采樣值H(k)，(k=0,1,…，N-1)由H(k)通過IDFT變換可求出有限長序列h(n)、H(z)、H(ejω)第138頁/共261頁頻率采樣結(jié)構(gòu)誤差？增加過渡點增加采樣點頻率采樣法思路：頻域方法直接型結(jié)構(gòu)第139頁/共261頁設(shè)希望逼近的濾波器的頻響函數(shù)用Hd(ejω)表示，對它在ω=0到2π之間等間