江蘇省2022年高考數(shù)學(xué)考試真題與答案解析

江蘇省2022年高考：數(shù)學(xué)卷考試真題與答案解析一、選擇題本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，則（）A. B. C. D.答案：D詳解】，故，故選：D2.若，則（）A. B. C.1 D.2答案：D答案詳解：由題設(shè)有，故，故，故選：D3.在中，點D在邊AB上，．記，則（）A. B. C. D.答案：B答案詳解：因為點D在邊AB上，，所以，即，所以．故選：B．4.南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔時，相應(yīng)水面的面積為；水位為海拔時，相應(yīng)水面的面積為，將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔上升到時，增加的水量約為（）（）A. B. C. D.答案：C答案詳解：依題意可知棱臺的高為(m)，所以增加的水量即為棱臺的體積．棱臺上底面積，下底面積，∴．故選：C．5.從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為（）A. B. C. D.答案：D答案詳解：從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，共有種不同的取法，若兩數(shù)不互質(zhì)，不同的取法有：，共7種，故所求概率.故選：D.6.記函數(shù)的最小正周期為T．若，且的圖象關(guān)于點中心對稱，則（）A.1 B. C. D.3答案：A答案詳解：由函數(shù)的最小正周期T滿足，得，解得，又因為函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，所以，且，所以，所以，，所以.故選：A7.設(shè)，則（）A. B. C. D.答案：C答案詳解：設(shè)，因為，當(dāng)時，，當(dāng)時，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，設(shè)，則,令，，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，所以故選：C.8.已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（）A. B. C. D.答案：C答案詳解：∵球的體積為，所以球的半徑,設(shè)正四棱錐的底面邊長為，高為，則，,所以，所以正四棱錐的體積，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，又時，，時，,所以正四棱錐的體積的最小值為，所以該正四棱錐體積的取值范圍是.故選：C.

二、選擇題本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9.已知正方體，則（）A.直線與所成的角為 B.直線與所成的角為C.直線與平面所成的角為 D.直線與平面ABCD所成的角為答案：ABD答案詳解：如圖，連接、，因為，所以直線與所成的角即為直線與所成的角，因為四邊形為正方形，則，故直線與所成的角為，A正確；連接，因為平面，平面，則，因為，，所以平面，又平面，所以，故B正確；連接，設(shè)，連接，因為平面，平面，則，因為，，所以平面，所以為直線與平面所成的角，設(shè)正方體棱長為，則，，，所以，直線與平面所成的角為，故C錯誤；因為平面，所以為直線與平面所成的角，易得，故D正確.故選：ABD10.已知函數(shù)，則（）A.有兩個極值點 B.有三個零點C.點是曲線的對稱中心 D.直線是曲線的切線答案：AC答案詳解：由題，，令得或，令得，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以是極值點，故A正確；因，，，所以，函數(shù)在上有一個零點，當(dāng)時，，即函數(shù)在上無零點，綜上所述，函數(shù)有一個零點，故B錯誤；令，該函數(shù)的定義域為，，則是奇函數(shù)，是的對稱中心，將的圖象向上移動一個單位得到的圖象，所以點是曲線的對稱中心，故C正確；令，可得，又，當(dāng)切點為時，切線方程為，當(dāng)切點為時，切線方程為，故D錯誤.故選：AC11.已知O為坐標(biāo)原點，點在拋物線上，過點的直線交C于P，Q兩點，則（）A.C的準(zhǔn)線為 B.直線AB與C相切C. D.答案：BCD答案詳解：將點的代入拋物線方程得，所以拋物線方程為，故準(zhǔn)線方程為，A錯誤；，所以直線的方程為，聯(lián)立，可得，解得，故B正確；設(shè)過的直線為，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個交點，所以，直線的斜率存在，設(shè)其方程為，，聯(lián)立，得，所以，所以或，，又，，所以，故C正確；因為，，所以，而，故D正確.故選：BCD12.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（）A. B. C. D.答案：BC答案詳解：因為，均為偶函數(shù)，所以即，，所以，，則，故C正確；函數(shù)，的圖象分別關(guān)于直線對稱，又，且函數(shù)可導(dǎo)，所以，所以，所以，所以，，故B正確，D錯誤；若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯誤.故選：BC.三、填空題本題共4小題，每小題5分，共20分．13.的展開式中的系數(shù)為________________（用數(shù)字作答）．答案：-28答案詳解：因為，所以的展開式中含的項為，的展開式中的系數(shù)為-28故答案為：-2814.寫出與圓和都相切的一條直線的方程________________．答案：或或答案詳解：圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，兩圓圓心距為，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，如圖，當(dāng)切線為l時，因為，所以，設(shè)方程為O到l的距離，解得，所以l的方程為，當(dāng)切線為m時，設(shè)直線方程為，其中，，由題意，解得，當(dāng)切線為n時，易知切線方程為，故答案為：或或.

15.若曲線有兩條過坐標(biāo)原點的切線，則a的取值范圍是________________．答案：答案詳解：∵，∴，設(shè)切點為,則,切線斜率,切線方程為：,∵切線過原點，∴,整理得：,∵切線有兩條，∴,解得或,∴的取值范圍是,故答案為：16.已知橢圓，C的上頂點為A，兩個焦點為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，，則的周長是________________．答案：13答案詳解：∵橢圓的離心率為，∴，∴，∴橢圓的方程為，不妨設(shè)左焦點為，右焦點為，如圖所示，∵，∴，∴為正三角形，∵過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，為線段的垂直平分線，∴直線的斜率為，斜率倒數(shù)為，直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，判別式，∴，∴，得，∵為線段的垂直平分線，根據(jù)對稱性，，∴的周長等于的周長，利用橢圓的定義得到周長為.故答案為：13.四、解答題本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列．（1）求的通項公式；（2）證明：．答案：（1）（2）見解析第（1）題解析：∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，∴,∴,∴當(dāng)時，，∴,整理得：,即,∴，顯然對于也成立，∴的通項公式；第（2）題解析：∴18.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）若，求B；（2）求的最小值．答案：（1）；（2）．第（1）題解析：因為，即，而，所以；第（2）題解析：由（1）知，，所以，而，所以，即有．所以．當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為．19.如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．

（1）求A到平面的距離；（2）設(shè)D為的中點，，平面平面，求二面角的正弦值．答案：（1）；（2）第（1）題解析：在直三棱柱中，設(shè)點A到平面的距離為h，則，解得，所以點A到平面的距離為；第（2）題解析：取的中點E,連接AE,如圖，因為，所以,又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，在直三棱柱中，平面，由平面，平面可得，，又平面且相交，所以平面，所以兩兩垂直，以B為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由（1）得，所以，，所以，則,所以的中點，則，,設(shè)平面的一個法向量，則，可取，設(shè)平面的一個法向量，則，可取，則，所以二面角的正弦值為.20.一醫(yī)療團(tuán)隊為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對照組1090（1）能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？（2）從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險程度的一項度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R．（?。┳C明：；（ⅱ）利用該數(shù)據(jù)，給出的估計值，并利用（?。┑慕Y(jié)果給出R的估計值．附，0.0500.0100.001k3.8416.63510.828答案：（1）答案見解析（2）（i）證明見解析；(ii)；第（1）題解析：由已知，又，，所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.第（2）題解析：(i)因為，所以所以，(ii)由已知，，又，，所以21.已知點在雙曲線上，直線l交C于P，Q兩點，直線的斜率之和為0．（1）求l的斜率；（2）若，求的面積．答案：（1）；（2）．第（1）題解析：因為點在雙曲線上，所以，解得，即雙曲線易知直線l的斜率存在，設(shè)，，聯(lián)立可得，，所以，，．所以由可得，，即，即，所以，化簡得，，即，所以或，當(dāng)時，直線過點，與題意不符，舍去，故．第（2）題解析：不妨設(shè)直線的傾斜角為，因為，所以，因為，所以，即，即，解得，于是，直線，直線，聯(lián)立可得，，因為方程有一個根為，所以，，同理可得，，．所以，，點到直線的距離，故的面積為．22.已知函數(shù)和有相同最小值．（1）求a；（2）證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．答案：（1）（2）見解析第（1）題解析：的定義域為，而，若，則，此時無最小值，故.的定義域為，而.當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)，故.當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)，故.因為和有相同的最小值，故，整理得到，其中，設(shè)，則，故為上的減函數(shù)，而，故的唯一解為，故的解為.綜上，.第（2）題解析：由（1）可得和的最小值為.當(dāng)時，考慮的解的個數(shù)、的解的個數(shù).設(shè)，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，設(shè)，其中，則，故在上為增函數(shù)，故，故，故有兩個不同的零點，即的解的個數(shù)為2.設(shè)，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，有兩個不同的零點即