1997-2019年考研數(shù)學(xué)一真題和答案合集

1997年真題

1997年全國碩士研究生招生考試試題

一、填空題(本題共5小題,每小題3分，滿分15分)

3sinx+%2cos—

(1)lim———、/=

x-^o(1+cos+X)?

(2)設(shè)幕級數(shù)￡%/的收斂半徑為3,則幕級數(shù)-1)2的收斂區(qū)間為:

n=0n=1

(3)對數(shù)螺線p=e，在點(p/)=(苕,處的切線的直角坐標(biāo)方程為.

'12-2\

(4)設(shè)A=4t3,3為3階非零矩陣，且A3=0,則￡=

V3-11J

(5)袋中有50個乒乓球，其中20個是黃球,30個是白球.今有兩人依次隨機(jī)地從袋中各取一球，取

后不放回，則第二人取得黃球的概率是.

二、選擇題(本題共5小題，每小題3分，滿分15分)

(1)二元函數(shù)(孫,)*在點(0,0)處()

I。，(％,y)=(0,0)

(A)連續(xù),偏導(dǎo)數(shù)存在.(B)連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在.

(C)不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在.(D)不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在.

,z

(2)設(shè)在區(qū)間［a,口上/(%)>0,/(％)<0,/(x)>0.令&=fy(x)dx,S2=f(b)(b-a),

S3=5[/(a)+/W](6-。),則()

(A)5,<S2<S3.(B)S2<S,<S3.

(C)S3<5j<S2.(D)S2<S3<S].

rx+2ir

(3)設(shè)尸(％)=Je'in'sin疝，則/(x)()

(A)為正常數(shù).(B)為負(fù)常數(shù).

(C)恒為零.(D)不為常數(shù).

c2,則三條直線+bxy+q09a2x+b2y+c2=0,

\C3/

a3x+b3y+c3=0(其中a：+中聲0,i=1,2,3)交于一點的充要條件是()

(A)%,%,%線性相關(guān).

(B)%,%,%線性無關(guān).

(C)秩=秩「(%,0；2).

(D)%,a2,a3線性相關(guān),%,a2線性無關(guān).

歷年考研數(shù)學(xué)真題解析及復(fù)習(xí)思路(數(shù)學(xué)一)

(5)設(shè)兩個相互獨立的隨機(jī)變量X和y的方差分別為4和2,則隨機(jī)變量3X-2K的方差是()

(A)8.(B)16.(C)28.(D)44.

三、(本題共3小題,每小題5分，滿分15分)

(1)計算/=/(彳+/)乩,其中。為平面曲線2z，繞z軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面與平面z=8

所圍成的區(qū)域.

(2)計算曲線積分￡(z-y)d%+(%-z)dy+(%-y)dz,其中C是曲線一葭從z軸正向

C(%-y+z=2,

往z軸負(fù)向看,C的方向是順時針的.

(3)在某一人群中推廣新技術(shù)是通過其中已掌握新技術(shù)的人進(jìn)行的.設(shè)該人群的總?cè)藬?shù)為W,在「=0

時刻已掌握新技術(shù)的人數(shù)為％。，在任意時刻t已掌握新技術(shù)的人數(shù)為,。)(將％Q)視為連續(xù)可微

變量)，其變化率與已掌握新技術(shù)人數(shù)和未掌握新技術(shù)人數(shù)之積成正比，比例常數(shù)人＞0,求,Q).

四、(本題共2小題，第(1)小題6分，第(2)小題7分，滿分13分)

(1)設(shè)直線'=0，在平面7T上,而平面77與曲面Z=爐+/相切于點(1,一2,5),求

a,b之值.

(2)設(shè)函數(shù)/(〃)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，而z=/(e'siny)滿足方程色4+t=e?、,求/(〃).

oxdy

五、(本題滿分6分)

設(shè)/(%)連續(xù),W(%)=(7(冊)山，且lim△包=4(4為常數(shù))，求,(％)并討論,(%)在久=0處的

Jox-?0x

連續(xù)性.

六、(本題滿分8分)

設(shè)%=2,a?+i=y(a?+=1,2,…)，證明:

(1)lima存在；

n―>8n

⑵級數(shù)￡[&_一1)收斂

七、(本題共2小題，第(1)小題5分，第(2)小題6分，滿分11分)

TT

(1)設(shè)5是秩為2的5x4矩陣,％=(l,l,2,3),a2=(-1,1,4,-l),a3=(5,-1,-8,9尸

是齊次線性方程組Bx=0的解向量，求Re=0的解空間的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基.

(1)/2-12、

(2)已知手=1是矩陣A=5a3的一個特征向量.

1-1

17b-2)

(I)試確定參數(shù)及特征向量與所對應(yīng)的特征值;

1997年真題

（n）問A能否相似于對角陣?說明理由.

八、（本題滿分5分）

設(shè)A是兀階可逆方陣，將4的第i行和第j行對換后得到的矩陣記為B.

（1）證明3可逆；

（2）求A-

九、（本題滿分7分）

從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有3個交通崗,假設(shè)在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并

且概率都是設(shè)X為途中遇到紅燈的次數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布律、分布函數(shù)和數(shù)學(xué)期望.

十、（本題滿分5分）

設(shè)總體X的概率密度為

、j（e+i）d,o<x<1,

10,其他，

其中。>-1是未知參數(shù)，X,J2，…是來自總體X的一個容量為n的簡單隨機(jī)樣本，分別用矩估

計法和極大似然估計法求e的估計量.

歷年考研數(shù)學(xué)真題解析及復(fù)習(xí)思路(數(shù)學(xué)一)

1998年全國碩士研究生招生考試試題

一、填空題(本題共5小題,每小題3分，滿分15分)

/1、]x+%/1-x—2

(1)l?im-A/-1--+--------------=■

…x'

(2)設(shè)z=+yw(%+y),具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則.

(3)設(shè)/為橢圓a+^-=1，其周長記為a,則金(2到+3#+4y②)ds=.

(4)設(shè)4為九階矩陣，|4|片0,4*為A的伴隨矩陣,￡為九階單位矩陣.若4有特征值A(chǔ),則

(4*)2+￡必有特征值.

(5)設(shè)平面區(qū)域。由曲線y=上及直線y=0,x=l,x=e2所圍成，二維隨機(jī)變量(X；)在區(qū)域

X

。上服從均勻分布，則(x,y)關(guān)于x的邊緣概率密度在v=2處的值為.

二、選擇題(本題共5小題,每小題3分，滿分15分)

(1)設(shè)/(%)連續(xù)，則%［/(#一］2)山=()

(A)#(X2).(B)-叭%2).(C)2#(%2).(D)-2V(%2).

(2)函數(shù)/(%)=(x2-x-2)|?-x|不可導(dǎo)點的個數(shù)是()

(A)3.(B)2.(C)l.(D)0.

(3)已知函數(shù)y=y(x)在任意點，處的增量Ay=工整+a,且當(dāng)A%―0時,a是A%的高階無窮

1+x

小，夕(0)=E則。1)等于()

f

(A)2TT.(C)e.(D)are4.

4仇c、

是滿秩的，則直線土』=工與直線土力=尸4二

⑷設(shè)矩陣a2b2C2

%一01一02C]一%一03

<a3C3)

(A)相交于一點.(B)重合.(C)平行但不重合.(D)三面.

岡設(shè)4,8是兩個隨機(jī)曼件,且0<P(4)<>0,P(5|A))P(8］彳)，則必有()

(A)P(4|8)=P(A\B).(B)P(4I5)#P(Z|5).

(C)P(4B)=P(4)尸(5).(D)P(4B)#P⑷尸(5).

三、(本題滿分5分)

求直線/：三4=V==在平面八%-y+2Z-1=0上的投影直線Z。的方程，并求，。繞夕軸

11—1

旋轉(zhuǎn)一周所成曲面的方程.

1998年真題

四、(本題滿分6分)

確定常數(shù)入，使在右半平面%>0上的向量4(孫y)=2町(％4+y2)”一/(/+y2))為某二元函數(shù)

w(x,y)的梯度，并求u(%,y).

五、(本題滿分6分)

從船上向海中沉放某種探測器，按探測要求，需確定儀器的下沉深度y(從海平面算起)與下沉速度

”之間的函數(shù)關(guān)系.設(shè)儀器在重力作用下，從海平面由靜止開始鉛直下沉，在下沉過程中還受到阻

力和浮力的作用.設(shè)儀器的質(zhì)量為叫體積為國海水比重為p,儀器所受的阻力與下沉速度成正

比，比例系數(shù)為乂4>0).試建立y與0所滿足的微分方程，并求出函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=y(o).

六、(本題滿分7分)

計算『axdydz+(z+。)2ydy，其中石為下半球面％=_37一寸的上側(cè),a為大于零的常數(shù).

x(%2+y2+z2)2

七、(本題滿分6分)

7r.2F

sin7T

八、(本題滿分5分)

設(shè)正項數(shù)列｛4｝單調(diào)減少，且￡(-1尸Q”發(fā)散，試問級數(shù)￡r是否收斂?并說明理由.

九、(本題滿分6分)

設(shè)產(chǎn)=/(%)是區(qū)間［0,1］上的任一非負(fù)連續(xù)函數(shù).

(1)試證存在&G(0,1),使得在區(qū)間［0/。］上以/(%)為高的矩形面積，等于在區(qū)間［軟，1］上以

y=/(%)為曲邊的梯形面積.

(2)又設(shè)/(%)在區(qū)間(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且((%)>-電)，證明(1)中的狗是唯一的.

X

十、(本題滿分6分)

已知二次曲面方程X+ay2+z+2bxy+2xz+2yz=4可以經(jīng)過正交變換

y

\z/

化為橢圓柱面方程"+41=4,求a,6的值和正交矩陣P.

十一、(本題滿分4分)

設(shè)A是〃階矩陣，若存在正整數(shù)上使線性方程組Akx=0有解向量。，且4"力至0.證明：向量組

…,火-Z是線性無關(guān)的.

歷年考研數(shù)學(xué)真題解析及復(fù)習(xí)思路（數(shù)學(xué)一）

十二、（本題滿分5分）

已知線性方程組

aXaXaX

\\\+\22+???+if2n2n-0，

aXaXaX=

（［卜21l+222+…+2t2n2n0，

aXaX

、冊141+n22+,,?+n,2n2n-0

的一個基礎(chǔ)解系為（如也2,…也,2〃）\（陽也2,…也疝）\…，（如，時,…也QI試寫出線性方程組

瓦1%+612y2+…+=。，

（II）<"1%+622y2+***+，2,2/2n二0，

41%+42y2+…+bn2ny2n=0

的通解，并說明理由.

十三、（本題滿分6分）

設(shè)兩個隨機(jī)變量x,y相互獨立，且都服從均值為o,方差為十的正態(tài)分布，求隨機(jī)變量|x-y|的

方差.

十四、（本題滿分4分）

從正態(tài)總體N（3.4,62）中抽取容量為九的樣本，如果要求其樣本均值位于區(qū)間（1.4,5.4）內(nèi)的概

率不小于0.95，問樣本容量n至少應(yīng)取多大？

附表:標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表孰）

Z=L加為

Z1.281.6451.962.33

中（Z）0.9000.9500.9750.990

十五、（本題滿分4分）

設(shè)某次考試的考生成績服從正態(tài)分布,從中隨機(jī)地抽取36位考生的成績,算得平均成績?yōu)?6.5分,

標(biāo)準(zhǔn)差為15分.問在顯著性水平0.05下，是否可以認(rèn)為這次考試全體考生的平均成績?yōu)?0分?并

給出檢驗過程.

附表：2分布表尸|“71）Wtp（zi）}=p

匕5）、p

70.950.975

351.68962.0301

361.68832.0281

1999年真題

1999年全國碩士研究生招生考試試題

一、填空題(本題共5小題,每小題3分，滿分15分)

(1)-1)=_____.

?-*o\x%tanx/

(2)sin(%—山=.

(3)y"-4y=e2x的通解為y=.

(4)設(shè)〃階矩陣A的元素全為1,則A的〃個特征值是.

⑸設(shè)兩兩相互獨立的三事件4,8和。滿足條件："C=0,P(4)=尸(8)=P(C)<9,且已知

Q

P(AUBUC)=高,則P(4)=.

二、選擇題(本題共5小題，每小題3分，滿分15分)

(1)設(shè)/(%)是連續(xù)函數(shù),F(%)是/(*)的原函數(shù)，則()

(A)當(dāng)/(%)是奇函數(shù)時,F(%)必是偶函數(shù).

(B)當(dāng)/(%)是偶函數(shù)時,〃(％)必是奇函數(shù).

(C)當(dāng)/(%)是周期函數(shù)時,9(％)必是周期函數(shù).

(D)當(dāng)/(%)是單調(diào)增函數(shù)時］(%)必是單調(diào)增函數(shù).

1-COSX八

---二—,x>0,

(區(qū)其中g(shù)(4)是有界函數(shù)，則/(%)在4=0處()

x2g(x),%W0,

(A)極限不存在.(B)極限存在，但不連續(xù).

(C)連續(xù)，但不可導(dǎo).(D)可導(dǎo).

(1

x,0這4W―,8

⑶設(shè)…?……ancosHIT%,-oo<%<+8,其中

12-2%,%<1,"

an=2^/(%)cosmrxdx,(n=0,1,2,…)，則S(一六)等于()

(A)y.(B)-j-.(C)*.⑴)一今.

(4)設(shè)A是znx九矩陣,3是幾x加矩陣，貝!J()

(A)當(dāng)m>九時，必有行列式||#0.

(B)當(dāng)加>兀時，必有行列式\AB|=0.

(C)當(dāng)葭>小時，必有行列式|45|#0.

(D)當(dāng)?！祄時，必有行列式|A3|=0.

歷年考研數(shù)學(xué)真題解析及復(fù)習(xí)思路(數(shù)學(xué)一)

(5)設(shè)兩個相互獨立的隨機(jī)變量X和y分別服從正態(tài)分布N(0,1)和N(1,1),則()

(A)P{X+VWO}=y.(B)P［X+VW1}=今

(c)PU-y^o}=；.(D)P{X-Y這1}=J.

乙乙

三、(本題滿分5分)

設(shè)y=y(%),z=z(%)是由方程z=xf(x+y)和尸(％,y,z)=0所確定的函數(shù)，其中/和尸分別具

有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)和一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求生.

四、(本題滿分5分)

求/=([e"siny-6(%+y)]d%+(excosy-Qx)dy,其中a,b為正的常數(shù),L為從點4(2a,0)沿曲

線^=，2a%-彳到點0(0,0)的弧.

五、(本題滿分6分)

設(shè)函數(shù)y(%)(%N0)二階可導(dǎo)且/(%)>0,y(0)=1.過曲線y=y(%)上任意一點P(*y)作該

曲線的切線及％軸的垂線，上述兩直線與光軸所圍成的三角形的面積記為3，區(qū)間［0/］上以

y=y(x)為曲邊的曲邊梯形面積記為S2,并設(shè)2SI-§2恒為1,求此曲線y=y(％)的方程.

六、(本題滿分6分)

試證：當(dāng)%>0時，(/一1)歷久N(%-I)2.

七、(本題滿分6分)

為清除井底的污泥，用纜繩將抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口.已知井深

30m,抓斗自重400N,纜繩每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度為

3m/s,在提升過程中，污泥以20N/s的速率從抓斗縫隙中漏掉.現(xiàn)將抓起污泥的

抓斗提升至井口，問克服重力需作多少焦耳的功？

(說明:①INxlm=lJ；m,N,s,J分別表示米，牛頓，秒，焦耳.②抓斗的高度及

位于井口上方的纜繩長度忽略不計.)

八、(本題滿分7分)

22

設(shè)S為橢球面》+1+z2=1的上半部分，點尸(叫y,z)ES,?r為S在點尸處的切平面，p(%九z)

為點。(0,0,0)到平面77的距離,求JfdS.

九、(本題滿分7分)

TT

設(shè)冊=|tan"%d%,

J。

1999年真題

(1)求￡-(a?+%+2)的值；

■=I〃

(2)試證:對任意的常數(shù)A>0,級數(shù)￡號收斂.

n=1n

十、(本題滿分8分)

/Q-1C、

設(shè)矩陣A=5b3，其行列式Ml=-1,又4的伴隨矩陣A*有一個特征值4°,屬于

\1-c0—a)

Ao的一個特征向量為。=(-1,-1,1)T,求a,6,c和A。的值.

十一、(本題滿分6分)

設(shè)A為機(jī)階實對稱矩陣且正定,3為mxn實矩陣,砂為B的轉(zhuǎn)置矩陣，試證：5[3為正定矩陣的

充分必要條件是B的秩r(B)=n.

十二、(本題滿分8分)

設(shè)隨機(jī)變量x與丫相互獨立，下表列出了二維隨機(jī)變量(x,y)的聯(lián)合分布律及關(guān)于x和關(guān)于丫的

邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值,試將其余數(shù)值填入表中的空白處.

%>2%P|X=%J=Pi.

1

%]

y

1

%2￥

i

P\Y=yj=p.j1

~6

十三、(本題滿分6分)

設(shè)總體X的概率密度為

…伊一，。<一

h其他，

X叢2,…，人是取自總體X的簡單隨機(jī)樣本.

(1)求。的矩估計量必

(2)求?的方差0(。).

歷年考研數(shù)學(xué)真題解析及復(fù)習(xí)思路(數(shù)學(xué)一)

2000年全國碩士研究生招生考試試題

一、填空題(本題共5小題,每小題3分，滿分15分)

(2)曲面％2+2/+3/=21在點(1,-2,2)處的法線方程為.

(3)微分方程％y"+3/=0的通解為.

，121.J

已知方程組

(4)23a+2x23無解，則a

\1a-2voJ

(5)設(shè)兩個相互獨立的事件4和B都不發(fā)生的概率為5,4發(fā)生B不發(fā)生的概率與8發(fā)生4不發(fā)生

的概率相等，則P(4)=

二、選擇題(本題共5小題,每小題3分，滿分15分)

(1)設(shè)/(%),g(%)是恒大于零的可導(dǎo)函數(shù)，且/'(%)g(乃-/(%)((%)<0,則當(dāng)a<%<6時,有()

(A)/(%)g(6)〉f(b)g(x).(B)/(%)g(a)>/(a)g(%).

(C)/(%)g(x)>f(b)g(b).(D)f(4)g(%)>/(a)g(a).

(2)設(shè)S：d+/+/2=Q2(ZNO),M為s在第一卦限中的部分，則有()

(A)JJxdS=4JJ^xdS.(B)JydS=4J^xdS.

SS]SSi

(C)JzdS=4JxdS.(D)J%yzdS=4^xyzdS.

ssxsSi

(3)設(shè)級數(shù)￡%收斂，則必收斂的級數(shù)為()

n=1

(A)t(-I)"--(B)f說.

n=ln?=1

800

U

(c)2(2n-1-〃2R)?(D)￡(%+—).

n=1n=1

(4)設(shè)口維列向量組內(nèi)，…,4(m<n)線性無關(guān)，則幾維列向量組區(qū)，…,4線性無關(guān)的充分必要

條件為()

(A)向量組,，…,a”可由向量組⑸，…￡?線性表示.

(B)向量組用，…,從可由向量組名線性表示.

(C)向量組/與向量組回，…,B1tt等價.

(D)矩陣A=(%,???,%.)與矩陣5=(⑸，…,4)等價.

(5)設(shè)二維隨機(jī)變量(x,y)服從二維正態(tài)分布，則隨機(jī)變量§=x+y與4=x-y不相關(guān)的充分

必要條件為()

(A)E(X)=￡(r).(B)E(%2)-[E(X)]2=E(y2)-[￡(D]2.

(C)E(X2)=E(y2).(D)E(￥)+[E(X)]2=E(y2)+[E(Y)]2.

2000年真題

三、(本題滿分5分)

1

(2+exsin%)

求lim------T+丁丁

+e,?XU

四、（本題滿分5分）

設(shè)z=/（%九二）+g（Z）,其中/具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),g具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求普

五、（本題滿分6分）

計算曲線積分/=i*邛，其中￡是以點（1,0）為中心，尺為半徑的圓周（尺>1）,取逆時針方向.

六、（本題滿分7分）

設(shè)對于半空間％>0內(nèi)任意的光滑有向封閉曲面S,都有

#叭化）dydz-xyf（x）dzdx-e2xzdxdy=0,

s

其中函數(shù)/（%）在（0,+00）內(nèi)具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且=1.求/（%）.

%—>0+

七、（本題滿分6分）

求幕級數(shù)￡—-4-7T7-的收斂區(qū)間，并討論該區(qū)間端點處的收斂性.

八、（本題滿分7分）

設(shè)有一半徑為的球體,。是此球的表面上的一個定點，球體上任一點的密度與該點到距離的

RPPo

平方成正比（比例常數(shù)人>0）,求球體的重心位置.

九、（本題滿分6分）

設(shè)函數(shù)/（%）在［0,汨上連續(xù)，且［7（％）ck=0,1/（x）cos%d%=0.試證:在（01）內(nèi)至少存在兩個

不同的點廓清使/（專

2,1）=/（f2）=0.

十、（本題滿分6分）

000)

設(shè)矩陣A的伴隨矩陣A*=°1°。，且A3A-1=BA"+3E,其中E為4階單位矩陣，求

1010

%

-30

矩陣氏

歷年考研數(shù)學(xué)真題解析及復(fù)習(xí)思路（數(shù)學(xué)一）

十一、（本題滿分8分）

某試驗性生產(chǎn)線每年一月份進(jìn)行熟練工與非熟練工的人數(shù)統(tǒng)計，然后將1熟練工支援其他生產(chǎn)部

門,其缺額由招收新的非熟練工補(bǔ)齊.新、老非熟練工經(jīng)過培訓(xùn)及實踐至年終考核有I"成為熟練

工.設(shè)第兀年一月份統(tǒng)計的熟練工和非熟練工所占百分比分別為乙和力,記成向量

（1）求與『］的關(guān)系式并寫成矩陣形式:「m

（2）驗證功=［）,%=（一］1）是A的兩個線性無關(guān)的特征向量，并求出相應(yīng)的特征值；

（3）當(dāng),］=:時，求,用）.

十二、（本題滿分8分）

某流水生產(chǎn)線上每個產(chǎn)品不合格的概率為P（0<p<1）,各產(chǎn)品合格與否相互獨立，當(dāng)出現(xiàn)一個不

合格產(chǎn)品時即停機(jī)檢修.設(shè)開機(jī)后第一次停機(jī)時已生產(chǎn)了的產(chǎn)品個數(shù)為X.求X的數(shù)學(xué)期望E（X）

和方差D（X）.

十三、（本題滿分6分）

設(shè)某種元件的使用壽命X的概率密度為

2e-2（j）,%

/（町。）=

0,x<0,

其中。>o為未知參數(shù).又設(shè)%1/2,…，冊是X的一組樣本觀測值,求參數(shù)e的最大似然估計值.

2001年真題

2001年全國碩士研究生招生考試試題

一、填空題(本題共5小題,每小題3分，滿分15分)

(1)設(shè)y=eYC|Sin%+Gcos%)(G，C2為任意常數(shù))為某二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解,

則該方程為.

(2)設(shè)==啟+。+z?,貝!jdiv(gradr)|(i_2>2)=.

(3)交換二次積分的積分次序/(x,y)d%=.

(4)設(shè)矩陣4滿足屋+A-4￡=O,其中E為單位矩陣，則(A-EL=

(5)設(shè)隨機(jī)變量X的方差為2,則根據(jù)切比雪夫不等式有估計刊\X-EW|221這.

(A)dz=3d%+dy.

(0,0)

(B)曲面z=f(x,y)在點(0,0,7(0,0))的法向量為面,1,1).

(C)曲線『=八”")’在點(0,0,/(0,0))的切向量為(1,0,3).

(D)曲線。二"*'，)，在點(0,0,『(0,0))的切向量為(3,0,1).

=0

(3)設(shè)八0)=0,則/(%)在點％=0可導(dǎo)的充要條件為()

(A)lim5/(1-cosh)存在.(B)lim1/(1-eA)存在.

DhDn

(C)-sin/0存在.(D)］而1［/(2/0-/(/!)］存在.

A—>0hh—*Ofl

歷年考研數(shù)學(xué)真題解析及復(fù)習(xí)思路(數(shù)學(xué)一)

(\111\M000\

110°°，則A與5(

(4)設(shè)4=)

111000

VI11H<0000>

(A)合同且相似.(B)合同但不相似.

(C)不合同但相似.(D)不合同且不相似.

(5)將一枚硬幣重復(fù)擲〃次，以x和y分別表示正面向上和反面向上的次數(shù)，則X和y的相關(guān)系數(shù)

等于()

(A)-1.(B)0.(C)y.(D)l.

三、(本題滿分6分)

4farctane”,

求J-/~也

四、(本題滿分6分)

設(shè)函數(shù)z=/(%,〉)在點(1,1)處可微，且=1,半=2,學(xué)=3,奴工)=/(%,/(%,%)).

dx(i.i)為a#

求；/(%)|.

d%L=i

五、(本題滿分8分)

(1+J8n

設(shè)/(%)=丁-arctan**,0,試將展開成久的寨級數(shù)，并求級數(shù)￡的和.

Icn=l1-4兀2

1,X=0,

六、(本題滿分7分)

計算I=，(/-z2)d%+(2z2-%2)dy+(3%2-/)dz,其中L是平面%+y+z=2與柱面

1%I+lyI=1的交線，從z軸正向看去,L為逆時針方向.

七、(本題滿分7分)

設(shè)丁=/(%)在(-1,1)內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且/"(%)片0,試證：

(1)對于(-1,1)內(nèi)的任一4#0,存在唯一的8(%)e(0,1),使/(%)=/(0)+獷，(火光)4)成立;

(2)lim8(%)=

%—*o2

八、(本題滿分8分)

設(shè)有一高度為Me)&為時間)的雪堆在融化過程中，其側(cè)面滿足方程Z=h(t)一2(金娑)(設(shè)長

做X)

度單位為厘米，時間單位為小時)，已知體積減少的速率與側(cè)面積成正比(比刎系數(shù)0.9),問高度為

2001年真題

130（厘米）的雪堆全部融化需多少小時？

九、（本題滿分6分）

設(shè)％，合2,6為線性方程組Ax=0的一個基礎(chǔ)解系，31=0%+t2a2,P2=tla2+t2a3,--,

P,=力1%+力2%,其中?也為實常數(shù)試問公心滿足什么關(guān)系時，⑸，魚，…,民也為心=0的一個

基礎(chǔ)解系.

十、（本題滿分8分）

已知3階矩陣4與3維向量x,使得向量組Mx線性無關(guān),且滿足

A3X=3Ax-2A2X.

（1）記尸=（*,加,42%），求3階矩陣3,使4=尸8尸-1；

（2）計算行列式|A+E|.

H—、（本題滿分7分）

設(shè)某班車起點站上客人數(shù)X服從參數(shù)為入（入＞0）的泊松分布，每位乘客在中途下車的概率為

P（O＜P＜i）,且中途下車與否相互獨立.以y表示在中途下車的人數(shù)，求：

（1）在發(fā)車時有n個乘客的條件下,中途有m人下車的概率；

（2）二維隨機(jī)變量（x,y）的概率分布.

十二、（本題滿分7分）

設(shè)總體X服從正態(tài)分布陽",/）（。＞0）,從該總體中抽取簡單隨機(jī)樣本X,12,…，4＜九22）,

其樣本均值為X=^2X,求統(tǒng)計量Y=t（X,+X2X）2的數(shù)學(xué)期望E（y）.

2rli=1i=i

歷年考研數(shù)學(xué)真題解析及復(fù)習(xí)思路(數(shù)學(xué)一)

2002年全國碩士研究生招生考試試題

一、填空題(本題共5小題,每小題3分，滿分15分)

⑴廣告=—.

(2)已知函數(shù)y=y(%)由方程e，+6町+/一1=0確定，則<(0)=

(3)微分方程yy"+(<)2=0滿足初始條件y=1,/=)的特解是______.

X=Ox=02

x+

(4)已知實二次型/(%1,%2,x3)=a(%,+%2+3)4%1%2+4町％3+4%2%3經(jīng)正交變換X=均可化

成標(biāo)準(zhǔn)形7=64,則。=

(5)設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布陽","2)(。>0),且二次方程/+4y+工=0無實根的概率為

則從=?

二、選擇題(本題共5小題,每小題3分，滿分15分)

(1)考慮二元函數(shù)/(%,y)的下面4條性質(zhì)：

①/(明義)在點(軟,為)處連續(xù)；②在點(％。,為)處的兩個偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)；

③/(明義)在點(軟,為)處可微；④/(%,夕)在點(%。,九)處的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在.

若用“PnQ”表示可由性質(zhì)夕推出性質(zhì)Q,則有()

⑴②"③二①.(B)③二②二①.(⑴③二④二①.⑺③二①二④.

⑵設(shè)40O(n=1,2,3,…),且則;=1,則級數(shù)￡(_1嚴(yán)/+:)()

(A)發(fā)散(B)絕對收斂.

(C)條件收斂.(D)收斂性根據(jù)所給條件不能判定.

(3)設(shè)函數(shù)y=/(%)在(0,+8)內(nèi)有界且可導(dǎo)，則()

(A)當(dāng)=0時，必有l(wèi)imf(%)=0.

X—?+?x->4-00

(B)當(dāng)存在時，必有l(wèi)im/(%)=0.

%—>+oox—?+00

(C)當(dāng)=0時，必有=0.

x->0+%-*0+

(D)當(dāng)limf\x)存在時，必有l(wèi)imfix')=0.

x—*0+%-+0+

(4)設(shè)有三張不同平面的方程如%+3￥+。/=bifi=1,2,3,它們所組成的線性方程組的系數(shù)矩

陣與增廣矩陣的秩都為2,則這三張平面可能的位置關(guān)系為()

(A)(B)(C)(D)

2002年真題

(5)設(shè)乂和也是任意兩個相互獨立的連續(xù)型隨機(jī)變量，它們的概率密度分別為，(％)和人(力),分

布函數(shù)分別為K(%)和尸2(%),則()

(A)工(%)+人(%)必為某一隨機(jī)變量的概率密度.

(B)/1(x)A(x)必為某一隨機(jī)變量的概率密度.

(C)F,(x)+K(%)必為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù).

(D)F1(X)F2(X)必為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù).

三、(本題滿分6分)

設(shè)函數(shù)/(%)在4=0的某鄰域內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且/(0)盧0,1(0)r0,若+9(2/0-

/(0)在九一0時是比九高階的無窮小，試確定a,6的值.

四、(本題滿分7分)

rarctanx

e"dt在點(0,0)處的切線相同，寫出此切線方程，并求極限

JQi

lim步(2).

n-fcc'71/

五、(本題滿分7分)

計算二重積分Jemax/Md允dy,其中。={(孫>)|0

D

六、(本題滿分8分)

設(shè)函數(shù)/(%)在(-8,+8)內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)乂是上半平面(>>0)內(nèi)的有向分段光滑曲線,

其起點為(a,b),終點為(c,d).記

/=[—[1+y2/(xy)]d%+與[力?(町)-1]孫

北yy

(1)證明曲線積分/與路徑L無關(guān)；

(2)當(dāng)ab=cd時，求/的值.

七、(本題滿分7分)

3693n

(1)驗證函數(shù)y(x)=1+言■+言■+含'+,,?+(；、,+,,,(8<X<+00)滿足微分方程

3!6!9!(3兀)！

/++y=ex；

(2)利用(1)的結(jié)果求幕級數(shù)￡品的和函數(shù).

n=0

八、(本題滿分7分)

設(shè)有一小山,取它的底面所在的平面為％Oy坐標(biāo)面，其底部所占的區(qū)域為O={(肛夕)I/+/一町

W75},小山的高度函數(shù)為乂孫y)=75-X2-y2+xy.

(1)設(shè)為區(qū)域0上一點，問在該點沿平面上什么方向的方向?qū)?shù)最大?若記此方

向?qū)?shù)的最大值為g(x0,y0)，試寫出g(x0,y0)的表達(dá)式.

歷年考研數(shù)學(xué)真題解析及復(fù)習(xí)思路（數(shù)學(xué)一）

（2）現(xiàn)欲利用此小山開展攀巖活動，為此需要在山腳尋找一上山坡度最大的點作為攀登的起點.

也就是說，要在。的邊界線d+F一劃=75上找出使（1）中的g（肛y）達(dá)到最大值的點.試確定

攀登起點的位置.

九、（本題滿分6分）

已知4階方陣4=（%,%,%,4）,%,%%%均為4維列向量，其中％%%線性無關(guān),

%=2a2-a3.如果尸=%+%+%+。4,求線性方程組Ax=尸的通解.

十、（本題滿分8分）

設(shè)4,5為同階方陣，

（1）如果A,5相似，試證4,8的特征多項式相等.

（2）舉一個2階方陣的例子說明（1）的逆命題不成立.

（3）當(dāng)4,3均為實對稱矩陣時，試證（1）的逆命題成立.

十一、（本題滿分7分）

設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

〃\ITCOS與，。這％wF,

I。，其他，

對X獨立地重復(fù)觀察4次，用y表示觀察值大于三的次數(shù)，求〃的數(shù)學(xué)期望.

十二、（本題滿分7分）

設(shè)總體X的概率分布為

X0123

P仍20（1-。）仍1-20

其中e（o<e<5）是未知參數(shù)，利用總體x的如下樣本值

3,1,3,0,3,1,2,3,

求e的矩估計值和最大似然估計值.

2003年真題

2003年全國碩士研究生招生考試試題

一、填空題(本題共6小題,每小題4分，滿分24分)

(1)lim(cos%).

%—>0

(2)曲面z=%2+/與平面2%+4y-z=0平行的切平面的方程是.

00

(3)設(shè)%2=WG/OS-TTW%WF),則。2=.

n=0

(4)從R2的基4=到基區(qū)=魚=(j的過渡矩陣為.

(5)設(shè)二維隨機(jī)變量(x,y)的概率密度為

6%,0WXW”1,

/(%,y)=

0,其他，

則p|x+y這1}=

(6)已知一批零件的長度X(單位:cm)服從正態(tài)分布從中隨機(jī)地抽取16個零件，得到長

度的平均值為40(cm),則從的置信度為0.95的置信區(qū)間是:

(注:標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值中(1.96)=0.975,0(1.645)=0.95.)

二、選擇題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分)

(1)設(shè)函數(shù)/(%)在(-8,+8)內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示，則F

/(%)有()\/

(A)一個極小值點和兩個極大值點.