高等數(shù)學(xué)-不定積分及換元法課件

第三章不定積分

不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的計(jì)算高等數(shù)學(xué)2023/6/7一、原函數(shù)二原函數(shù)與不定積分的概念三不定積分的性質(zhì)四基本積分表3.1不定積分的概念與性質(zhì)一、原函數(shù)的概念引例：已知物體的運(yùn)動(dòng)方程為,則物體運(yùn)動(dòng)的即時(shí)速度為;如果已知物體的速度方程為,則物體運(yùn)動(dòng)的位移如何計(jì)算呢?例設(shè)曲線通過點(diǎn)（2，5），且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程.解設(shè)曲線方程為根據(jù)題意知

1、定義如果在區(qū)間內(nèi)的每一點(diǎn)處,有或則稱是在區(qū)間內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)。

例如:因?yàn)?/p>

所以是在內(nèi)的一個(gè)原函數(shù).問題：(1)原函數(shù)是否唯一？(2)若不唯一它們之間有什么關(guān)系?2、原函數(shù)的性質(zhì)1）如果有，則2）如果，則。結(jié)論：如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有原函數(shù)，則有無窮多個(gè)原函數(shù)，且所有的原函數(shù)可用式子表示?！粼瘮?shù)存在的充分條件

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I內(nèi)連續(xù)，則函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)一定有原函數(shù)。二、不定積分的概念

函數(shù)f(x)在區(qū)間I內(nèi)的所有的原函數(shù)構(gòu)成的集合，稱為函數(shù)f(x)在區(qū)間I內(nèi)的不定積分，記作。即注：鑒于原函數(shù)不唯一，積分方法不同得到的原函數(shù)形式不一定相同，只要相差一個(gè)常數(shù)即可。驗(yàn)證積分的方法：積分后的結(jié)果求導(dǎo)看是否等于被積函數(shù)任意常數(shù)被積表達(dá)式積分號(hào)積分變量解由于,所以的一個(gè)原函數(shù)，所以解因?yàn)橛刹欢ǚe分的定義，可知結(jié)論：微分運(yùn)算與積分的運(yùn)算是互逆的.三、不定積分的性質(zhì)或1、2、

設(shè)曲線通過點(diǎn)（2，5），且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程.

解設(shè)曲線方程為根據(jù)題意知.由曲線通過點(diǎn)（2，5）所求曲線方程為代入上式，得函數(shù)的原函數(shù)的圖形稱為的積分曲線顯然，求不定積分得到一積分曲線族.◆基本積分表P94

◆不定積分的計(jì)算方法

直接積分法、換元積分法、分部積分法第一類換元積分法第二類換元積分法3.2不定積分的計(jì)算不能漏寫積分常數(shù)一、直接積分法

例題：解原式練習(xí)：◆在括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，使等式成立3.2、換元積分法該復(fù)合函數(shù)不能直接積分我們有形式不一致公式被積函數(shù)不能變，變積分變量若被積表達(dá)式能湊成如下形式：一般地，要求又不能直接利用公式即因此，這種計(jì)算不定積分的方法又稱為湊微分法，積分公式注意：使用此公式的關(guān)鍵在于從被積函數(shù)中分離出因子該方法利用復(fù)合函數(shù)微分的逆過程◆幾個(gè)常用的三角公式利用湊出例：例

求解例

求證解（一）（使用了三角函數(shù)恒等變形）解（二）由上題結(jié)果可知類似地可推出補(bǔ)充公示2、第二換元法

湊微分法是通過中間變量將積分化成,下面要介紹的換元積分法是通過變量代換將積分化為積分第二換元法中用來代換的可導(dǎo)且存在反函數(shù)注:例

求解換元后得解其中

求例

求令解其中說明以上幾例所使用的均為三角代換，即第二換元.三角代換的目的是去掉根式.一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有可令可令可令去根式屬于第二換元法解令則原式直接令根式為u，化根式為有理式例2求不定積分解則例3求不定積分令原式直接令根式為u，化根式為有理式

求積分3.3分部積分法兩邊同時(shí)取積分或?qū)懗煞植糠e分公式利用分部積分公式求函數(shù)積分，關(guān)鍵恰當(dāng)選取被積函數(shù)哪個(gè)為哪個(gè)為由導(dǎo)數(shù)乘積公式移項(xiàng)，得

求積分如果令顯然，選擇不當(dāng)，積分更難進(jìn)行.解利用分部積分公式代入公式失?。。?）容易積出.（1）一般要考慮下面兩點(diǎn)：和選取分部積分公式可以連續(xù)使用

求積分解（再次使用分部積分法）由公式注：多次利用分部積分公式求積分時(shí)，要令同類型的函數(shù)為u

求思考：恰當(dāng)選取從而確定v函數(shù)解：令由分部積分公式

求解：設(shè)代入公式解：令由公式解（一）例求不定積分原式所以思考：令解（二）：原式=此時(shí)的選擇任意◆一般規(guī)律令冪函數(shù)為兩次使用分部積分公式，返回到原積分，變形，得解

注意：第二次使用分部積分公式時(shí)，u與dv的選擇，必須與第一次的選擇同類。令冪函數(shù)為選擇方式可以任意解舉例求不定積分原式所以解例求不定積分原式利用分部積分公式求下列函數(shù)的不定積分積分解例求不定積分原式解例求不定積分原式所以.

兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù).有理函數(shù)的定義：其中都是非負(fù)整數(shù)；及都是實(shí)數(shù)，并且三、有關(guān)有理分式函數(shù)的積分假定分子與分母之間沒有公因式有理函數(shù)是真分式；

有理函數(shù)是假分式；有理函數(shù)有以下性質(zhì)：

1）利用多項(xiàng)式除法,假分式可以化成一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和.例如，我們可將化為多項(xiàng)式與真分式之和2）多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)可分解為若干一次因式和二次因式乘積的形式根據(jù)性質(zhì)2，真分式有如下分解形式1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)真分式總可以分解成幾個(gè)最簡(jiǎn)式之和確定系數(shù)A、B方法一（比較系數(shù)法)

方法二（賦值法）

令得令得兩種方法都能得到例如：解：3）含有重因式的真分式的積分賦值法確定系數(shù)3）含二次因式的真分式同理用賦值法，得

求積分解相似題型練習(xí)：◆求不定積分方法小結(jié)1、直接積分法——變形、用公式（14+2）2第一類換元積分法——湊微分3第二類換元積分法——利用三角代換，化無理根式為有理式含根式的4、分部積分法（公式法）5、有理分式函數(shù)方法不唯一，具體情況具體分析積分結(jié)果不一定唯一（一）填空題1、

。是可導(dǎo)函數(shù)，且則=

。，則

。是的一個(gè)原函數(shù)，2、設(shè)3、如果4、如果，則