高中數學(人教A版)教材《對數函數》導學課件1

對數函數的概念整體感知在4.2節(jié)中，我們用指數函數模型研究了呈指數增長或衰減變化規(guī)律的問題．對這樣的問題，在引入對數后，我們還可以從另外的角度，對其蘊含的規(guī)律作進一步的研究．新知探究問題1

在4.2.1的問題2中，我們已經研究了死亡生物體內碳14的含量y隨死亡時間x的變化而衰減的規(guī)律是函數（x≥

0）．進一步地，死亡時間x是碳14的含量y的函數嗎？你能設計一個方案來研究這個問題嗎？要判斷其是否為函數，首先要從函數的定義進行思考，然后考察其是否符合函數的定義．在考察的時候，一方面可以觀察圖象上進行定性的分析，另一方面可以依據函數的定義和性質進行定量的推理判斷．追問1

解決這個問題，顯然要依據函數的定義．那么依據定義應該怎樣進行判斷呢？新知探究函數的定義：設A，B是非空的實數集，如果對于集合A中的任意一個數x，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有唯一確定的數y和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數，記作y＝f(x)，x∈A．所以要判斷死亡時間x是否是碳14的含量y的函數，就要確定，對于任意一個y∈(0，1]，是否都有唯一確定的數x和它對應．追問2

若已知死亡生物體內碳14的含量，如何得知它死亡了多長時間呢？如右圖，觀察

的圖象，過y軸正半軸上任意一點(0，y0)（0＜y0≤1）作x軸的平行線，結合指數函數的單調性，這條平行線與

的圖象有幾個交點？這說明對任意一個y∈(0，1]，都有幾個x與其對應？能否將x看成是y的函數？新知探究所以要判斷死亡時間x是否是碳14的含量y的函數，就要確定，對于任意一個y∈(0，1]，是否都有唯一確定的數x和它對應．新知探究從圖象上看，這條平行于x軸的直線，與

的圖象至少有一個交點(x0，y0)，又因為指數函數

為減函數，所以這個交點是唯一的交點．這個交點的意義是，已知死亡生物體內碳14的含量為y0，則可以找到與其對應的唯一的一個死亡時間x0．這說明對任意一個y∈(0，1]，在[0，＋∞)上都有唯一確定的數x和它對應．所以x也是y的函數．高中數學（人教A版）教材《對數函數》導學課件1（公開課課件）高中數學（人教A版）教材《對數函數》導學課件1（公開課課件）追問3

能否求出生物死亡年數隨體內碳14含量變化的函數解析式？新知探究根據指數與對數的運算關系，可以將

這種對應關系，改寫為

．習慣上用x表示自變量，用y表示函數值，于是就得到函數

，它刻畫了時間y隨碳14含量x的衰減而變化的規(guī)律．新知探究問題2

對一般的指數函數y＝ax(a＞0，且a≠1)，根據指數與對數的運算關系，轉換成x＝logay(a＞0，且a≠1)，能否將x看成是y的函數？根據指數函數的性質，當0＜a＜1時，y＝ax單調遞減；當a＞1時，y＝ax單調遞增．所以考慮一般的指數函數y＝ax(a＞0，且a≠1)，對任意一個y∈(0，＋∞)，都有唯一確定的數x和它對應．因此，x也是y的函數．通常，我們用x表示自變量，y表示函數．為此，可將x＝logay(a＞0，且a≠1)改寫為：y＝logax(a＞0，且a≠1)．這就是對數函數．追問：如果用解析式法表示一個函數，除了要確定其解析式，還要確定其定義域，才能確定下來這個函數．現在我們已經確定了一般的對數函數的解析式為y＝logax(a＞0，且a≠1)，那么通過與指數函數對比，你能給出一般的對數函數的定義域嗎？定義：一般地，函數y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做對數函數（logarithmicfunction），其中x是自變量，定義域是(0，＋∞)．新知探究根據指數函數的定義域可知，在對數函數中，自變量x的取值范圍是(0，＋∞)．于是就得到了：高中數學（人教A版）教材《對數函數》導學課件1（公開課課件）高中數學（人教A版）教材《對數函數》導學課件1（公開課課件）新知探究例1

求下列函數的定義域：（1）y＝log3x2；（2）y＝loga(4－x)(a＞0，且a≠1)．追問：求解的依據是什么？據此求解的步驟是什么？求解的依據是對數函數y＝logax(a＞0，且a≠1)的定義域(0，＋∞)．那么（1）中的x2和（2）中的(4－x)的取值范圍就是(0，＋∞)，于是得到不等式，將定義域問題轉化為解不等式問題，進而求出定義域．高中數學（人教A版）教材《對數函數》導學課件1（公開課課件）高中數學（人教A版）教材《對數函數》導學課件1（公開課課件）新知探究例1

求下列函數的定義域：（1）y＝log3x2；（2）y＝loga(4－x)(a＞0，且a≠1)．解：（1）因為x2＞0，即x≠0，所以函數y＝log3x2的定義域是{x|x≠0}．（2）因為4－x＞0，即x＜4，所以函數y＝loga(4－x)的定義域是{x|x＜4}．高中數學（人教A版）教材《對數函數》導學課件1（公開課課件）高中數學（人教A版）教材《對數函數》導學課件1（公開課課件）新知探究例2

假設某地初始物價為1，每年以5%的增長率遞增，經過y年后的物價為x．（1）該地的物價經過幾年后會翻一番？（2）填寫下表，并根據表中的數據，說明該地物價的變化規(guī)律．物價x12345678910年數y0

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假設某地初始物價為1，每年以5%的增長率遞增，經過y年后的物價為x．（1）該地的物價經過幾年后會翻一番？對于（1），先寫出x關于y的函數，再根據對數與指數間的關系，轉換為y關于x的函數．解：（1）由題意可知，經過y年后物價x為x＝(1＋5%)y，即x＝1.05y(y∈[0，＋∞))．由對數與指數間的關系，可得y＝log1.05x，x∈[1，＋∞)．高中數學（人教A版）教材《對數函數》導學課件1（公開課課件）高中數學（人教A版）教材《對數函數》導學課件1（公開課課件）新知探究例2

假設某地初始物價為1，每年以5%的增長率遞增，經過y年后的物價為x．（1）該地的物價經過幾年后會翻一番？對于（1），先寫出x關于y的函數，再根據對數與指數間的關系，轉換為y關于x的函數．解：由計算工具可得，當x＝2時，y≈14．所以，該地區(qū)的物價大約經過14年后會翻一番．高中數學（人教A版）教材《對數函數》導學課件1（公開課課件）高中數學（人教A版）教材《對數函數》導學課件1（公開課課件）新知探究例2

假設某地初始物價為1，每年以5%的增長率遞增，經過y年后的物價為x．對于（2），利用計算工具，快速填好表格，探索發(fā)現，隨著x的增長，y的增長在減緩．（2）填寫下表，并根據表中的數據，說明該地物價的變化規(guī)律．物價x12345678910年數y0

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假設某地初始物價為1，每年以5%的增長率遞增，經過y年后的物價為x．（2）填寫下表，并根據表中的數據，說明該地物價的變化規(guī)律．物價x12345678910年數y0

解：（2）根據函數y＝log1.05x，x∈[1，＋∞)，利用計算工具，可得表：由表中的數據可以發(fā)現，該地區(qū)的物價隨時間的增長而增長，但大約每增加1倍所需要的時間在逐漸縮?。?42328333740434547高中數學（人教A版）教材《對數函數》導學課件1（公開課課件）高中數學（人教A版）教材《對數函數》導學課件1（公開課課件）歸納小結問題3

回顧本節(jié)課，談談我們是怎么得到對數函數概念的？對數函數的現實背景是什么？（1）本節(jié)課我們先通過4.2.1的問題2中所闡述的實際問題，利用圖象上x與y的對應關系，并結合指數函數的單調性，理解x也是y的函數，再利用指數與對數的運算關系依據函數的定義，從交換自變量與函數值“地位”的方向進行研究，得到對數函數的概念．高中數學（人教A版）教材《對數函數》導學課件1（公開課課件）高中數學（人教A版）教材《對數函數》導學課件1（公開課課件）歸納小結問題3

回顧本節(jié)課，談談我們是怎么得到對數函數概念的？對數函數的現實背景是什么？（2）對數函數與指數函數是密不可分的．對于呈指數增長或衰減變化的問題，我們可以用指數函數進行描述，還可以從對數函數的角度進行描述，從而能夠更全面地研究其中蘊含的規(guī)律．高中數學（人教A版）教材《對數函數》導學課件1（公開課課件）高中數學（人教A版）教材《對數函數》導學課件1（公開課課件）目標檢測求下列函數的定義域：1（1）

；（2）

；（3）

；（4）(a＞0，且a≠1)．答案：（1）

．（2）

．（3）

．（4）

．目標檢測畫出下列函數的圖象：2（1）；（2）

；答案：（1）圖略，定義域為R