二次根式知識點(diǎn)例題分析難題拓展測試

二次根式的知識點(diǎn)匯總知識點(diǎn)一：二次根式的概念形如 （ ）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被開放數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、分式等代數(shù)式，但必須注意：因?yàn)樨?fù)數(shù)沒有平方根，所以 是 為二次根式的前提條件，如 ， ， 等是二次根式，而 ， 等都不是二次根式。例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1、x（x>0）、0、42、x-2、1、xy（≥，≥）．xyx0y0分析：二次根式應(yīng)滿足兩個(gè)條件：第一，有二次根號“ ”；第二，被開方數(shù)是正數(shù)或 0．知識點(diǎn)二：取值范圍1、 二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當(dāng)a≧0時(shí)， 有意義，是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開方數(shù)大于或等于零即可。2、 二次根式無意義的條件：因負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根，所以當(dāng) a﹤0時(shí)， 沒有意義。例2．當(dāng)x是多少時(shí)， 3x 1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？例3．當(dāng)x是多少時(shí)， 2x 3+ 1 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？x 1知識點(diǎn)三：二次根式 （ ）的非負(fù)性（ ）表示a的算術(shù)平方根，也就是說， （ ）是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即 0（ ）。注：因?yàn)槎胃?（ ）表示a的算術(shù)平方根，而正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù)， 0的算術(shù)平方根是0，所以非負(fù)數(shù)（ ）的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即 0（ ），這個(gè)性質(zhì)也就是非負(fù)-1-/28數(shù)的算術(shù)平方根的性質(zhì)，和絕對值、偶次方類似。這個(gè)性質(zhì)在解答題目時(shí)應(yīng)用較多，如若 ，則a=0,b=0；若 ，則a=0,b=0；若 ，則a=0,b=0。例4(1)已知y= 2 x+ x 2+5，求x的值．(2)若 a 1+ b 1=0，求a2004+b2004的值y知識點(diǎn)四：二次根式（ ） 的性質(zhì)1（ ）文字語言敘述為：一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個(gè)非負(fù)數(shù)。注：二次根式的性質(zhì)公式 （ ）是逆用平方根的定義得出的結(jié)論。上面的公式也可以反過來應(yīng)用：若，則，如：，.例1計(jì)算1．（3）22．（35）23．（5）24．（7）2262例2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式 :（1）x2-3 （2）x4-4 (3)2x2-3知識點(diǎn)五：二次根式的性質(zhì) 2文字語言敘述為：一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù)的絕對值。注：1、化簡 時(shí)，一定要弄明白被開方數(shù)的底數(shù) a是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，若是正數(shù)或0，則等于a本身，即 ；若a是負(fù)數(shù)，則等于 a的相反數(shù)-a,即 ；-2-/282、 中的a的取值范圍可以是任意實(shí)數(shù)，即不論 a取何值， 一定有意義；3、化簡 時(shí)，先將它化成 ，再根據(jù)絕對值的意義來進(jìn)行化簡。例1 化簡（1） 9 （2） (4)2 （3） 25 （4） (3)2例2填空：當(dāng)a≥0時(shí)，a2=_____；當(dāng)a<0時(shí)，a2=_______，并根據(jù)這一性質(zhì)回答下列問題．（）若a2，則a可以是什么數(shù)？（）若a2，則a是什么數(shù)？（）a2，則1=a2=-a3>aa是什么數(shù)？例3當(dāng)x>2，化簡(x2)2-(12x)2．知識點(diǎn)六： 與 的異同點(diǎn)1、不同點(diǎn)： 與 表示的意義是不同的， 表示一個(gè)正數(shù)a的算術(shù)平方根的平方，而表示一個(gè)實(shí)數(shù)a的平方的算術(shù)平方根；在 中 ，而 中a可以是正實(shí)數(shù)，0，負(fù)實(shí)數(shù)。但 與 都是非負(fù)數(shù)，即 ， 。因而它的運(yùn)算的結(jié)果是有差別的，，而2、相同點(diǎn)：當(dāng)被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，即 時(shí)， = ； 時(shí)， 無意義，而 .知識點(diǎn)七：二次根式的乘除1、乘法 a· b＝ ab（a≥0，b≥0） 反過來： ab= a·b（a≥0，b≥0）aaaa2、除法b=b（a≥0，b>0）反過來，b=b（a≥0，b>0）（思考：b的取值與a相同嗎？為什么？不相同，因?yàn)閎在分母，所以不能為0）-3-/28例1．計(jì)算（1）45×71（3）9×271（2）×9（4）×632例2化簡（1）916（2）1681（3）9x2y2（4）54例3．判斷下列各式是否正確，不正確的請予以改正：（1） (4) (9) 4 9（）412××12×12×25=412=8322525=42525=425例4．計(jì)算：（1）12（2）3111（4）642（3）416388例5．化簡：329x5x（2）64b（4）（1）（3）2169y2649a264y例6．已知9x9x，且x為偶數(shù)，求（1+x）x25x4的值．x6x6x213、最簡二次根式應(yīng)滿足的條件：（1）被開方數(shù)不含分母或分母中不含二次根式；（2）被開方數(shù)中不含開得盡方的因數(shù)或因式（熟記20以內(nèi)數(shù)的平方；因數(shù)或因式間是乘積的關(guān)系，當(dāng)被開方數(shù)是整式時(shí)要先判斷是否能夠分解因式，然后再觀察各個(gè)因式的指數(shù)是否是2（或2的倍數(shù)），若是則說明含有能開方的因式，則不滿足條件，就不是最簡二次根式）例1．把下列二次根式化為最簡二次根式(1)35;(2)x2y4x4y2;(3)8x2y312-4-/284、化簡最簡二次根式的方法：把被開方數(shù)(或根號下的代數(shù)式)化成積的形式，即分解因式；化去根號內(nèi)的分母（或分母中的根號），即分母有理化；將根號內(nèi)能開得盡方的因數(shù)(或因式)開出來．（此步需要特別注意的是：開到根號外的時(shí)候要帶絕對值，注意符號問題）有理化因式：一般常見的互為有理化因式有如下幾類：① 與 ； ② 與 ；③ 與 ； ④ 與 ．說明：利用有理化因式的特點(diǎn)可以將分母有理化．13、同類二次根式：被開方數(shù)相同的（最簡）二次根式叫同類二次根式。判斷是否是同類二次根式時(shí)務(wù)必將各個(gè)根式都化為最簡二次根式。如8與18知識點(diǎn)八：二次根式的加減1、二次根式的加減法：先把各個(gè)二次根式化為最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式（即同類二次根式）進(jìn)行合并。（合并方法為：將系數(shù)相加減，二次根式部分不變），不能合并的直接抄下來。例1．計(jì)算（1） 8+ 18 （2） 16x+ 64x例2．計(jì)算（1）348-91+312（2）（48+20）+（12-5）3例3．已知4x22，求（2x9x2x）-（x21y）的值．+y-4x-6y+10=03+yy3x-5xx-5-/282、二次根式的混合運(yùn)算：先計(jì)算括號內(nèi)，再乘方（開方） ，再乘除，再加減3、二次根式的比較：（1）若 ，則有 ；（2）若 ，則有 ．3）將兩個(gè)根式都平方，比較平方后的大小，對應(yīng)平方前的大小例4．比較312與45的大小【典型例題】1、 概念與性質(zhì)例1、下列各式1）1,2)5,3)x22,4)4,5)(1)2,6)1a,7)a22a1，53其中是二次根式的是_________（填序號）．例2、求下列二次根式中字母的取值范圍x512（1）3x；（2）(x-2)例3、在根式1)a2b2;2)x;3)x2xy;4)27abc，5最簡二次根式是（）A．1)2) B．3)4) C．1)3) D．1)4)y18x8x11,求代數(shù)式xy2xy2的值。例4、已知：2yxyx-6-/28例5、已知數(shù)a，b，若 (a b)2=b－a，則( )A.a>b B.a<b C.a≥b D.a≤b2、二次根式的化簡與計(jì)算例1.將 根號外的a移到根號內(nèi)，得 ( )A. ； B.－ ； C.－ ； D.1例2.把（a－b） －a－b化成最簡二次根式例3、計(jì)算：例4、先化簡，再求值：11b5151abba(ab)，其中a=，b=．22例5、如圖，實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置，化簡 ：-7-/28a2 b2 (a b)23、比較數(shù)值（1）、根式變形法當(dāng)a 0,b 0時(shí)，①如果a b，則 a b；②如果a b，則 a b。例1、 比較35與53的大小。（2）、平方法當(dāng)a 0,b 0時(shí)，①如果a2 b2，則a b；②如果a2 b2，則a b。例2、比較32與23的大小。3）、分母有理化法通過分母有理化，利用分子的大小來比較。例3、比較2與1的大小。32114）、分子有理化法通過分子有理化，利用分母的大小來比較。例4、比較 15 14與 14 13的大小。（5）、倒數(shù)法例5、比較 7 6與 6 5的大小。-8-/28（6）、作差比較法在對兩數(shù)比較大小時(shí)，經(jīng)常運(yùn)用如下性質(zhì)：①a b 0 a b；②a b 0 a b例6、比較 2 1與2的大小。3 1 34、規(guī)律性問題例1.觀察下列各式及其驗(yàn)證過程：，驗(yàn)證： ；驗(yàn)證: .（1）按照上述兩個(gè)等式及其驗(yàn)證過程的基本思路，猜想 4 4的變形結(jié)果，并進(jìn)行驗(yàn)證；15（2）針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用 n(n≥2，且n是整數(shù))表示的等式，并給出驗(yàn)證過程 .例3、已知a>b>0，a+b=6 ab，則 a b的值為（）a bA． 2 B．2 C． 2 D．12 2例4、甲、乙兩個(gè)同學(xué)化簡 時(shí)，分別作了如下變形：甲： = = ；乙： = 。其中（ ）A.甲、乙都正確 B.甲、乙都不正確 C.只有甲正確 D.只有乙正確課堂練習(xí)：-9-/28使式子x4有意義的條件是。2. 當(dāng)__________時(shí)， x 2 1 2x有意義。3.若1有意義，則m的取值范圍是。mm14.當(dāng)x__________時(shí)，1x2是二次根式。5.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：x49__________,x222x2__________。6. 若 4x2 2x，則x的取值范圍是。7.已知x222x，則x的取值范圍是。8. 化簡： x2 2x 1x 1的結(jié)果是。9.當(dāng)1x25時(shí)，x1x5_____________。10.把a(bǔ)1的根號外的因式移到根號內(nèi)等于。a11.使等式x1x1x1x1成立的條件是。12.若ab1與a2b4互為相反數(shù)，則ab2005_____________。13.在式子xx0,2,y1y2,2xx0,33,x21,xy中，二次根式有（）2A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)14.下列各式一定是二次根式的是（）A.7B.32mC.a21D.ab15.若2a3，則2a2等于（）2a3A. 5 2a B. 1 2a C. 2a 5 D. 2a 1-10-/2816.若Aa24A（）4，則A. a2 4 B. a2 2 C. a2 22 D. a2 4217.若a1，則3）1a化簡后為（A.a1a1B.1a1aC.a11aD.1aa118.能使等式xx成立的x的取值范圍是（）x2x2A.x2B.x0C.x2D.x219.計(jì)算：2a212的值是（）12aA.0B.4a2C.24aD.24a或4a221.若xyy24y40，求xy的值。22. 當(dāng)a取什么值時(shí)，代數(shù)式 2a 1 1取值最小，并求出這個(gè)最小值。24.已知x23x10，求x212的值。x225. 已知a,b為實(shí)數(shù)，且 1 a b 1 1 b 0，求a2005 b2006的值?；啠?.a3b5a0,b02.xy3.a3a21xya-11-/28二次根式的乘除1. 當(dāng)a 0，b 0時(shí)， ab3 __________。2. 若 2mn2和 33m2n2都是最簡二次根式，則 m _____,n ______。3. 計(jì)算： 2 3 ________; 36 9 __________。4. 計(jì)算： 48 3 27 3 _____________。5. 長方形的寬為 3，面積為2 6，則長方形的長約為（精確到 0.01）。6. 下列各式不是最簡二次根式的是（ ）A.a21B.2x1C.2bD.0.1y47. 已知xy 0，化簡二次根式 x y的正確結(jié)果為（ ）x2A. y B. y C. y D. y8. 對于所有實(shí)數(shù)a,b，下列等式總能成立的是（ ）A.ab2B.a2b2ababC.a2b22b2D.ab2a2ab9. 23和 32的大小關(guān)系是（ ）A.2332B.2332C.2332D.不能確定10.對于二次根式x29，以下說法中不正確的是（）A.它是一個(gè)非負(fù)數(shù)B.它是一個(gè)無理數(shù)-12-/28C.它是最簡二次根式 D. 它的最小值為3計(jì)算：1.2 32 2.5x 3x33.5ab 4a3b a 0,b 0 4.a3b6 aba 0,b 021.3 二次根式的加減1. 下列根式中，與 3是同類二次根式的是（ ）A.24B.12C.318D.22.下面說法正確的是（）A. 被開方數(shù)相同的二次根式一定是同類二次根式 B. 8與 80是同類二次根式C. 2與 1不是同類二次根式D.同類二次根式是根指數(shù)為2的根式503.與a3b不是同類二次根式的是（）A.abb1bB.C.abD.2aa34.下列根式中，是最簡二次根式的是（）-13-/28A.0.2bB.12a12bC.x2y2D.5ab25.若1x2，則44xx2x22x1化簡的結(jié)果是（）A.2x1B.2x1C.3D.-36.若18x2xx210，則x的值等于（）2xA.4B.2C.2D.47.若3的整數(shù)部分為x，小數(shù)部分為y，則3xy的值是（）A.333B.3C.1D.38. 下列式子中正確的是（ ）A. 5 2 7 B. a2b2abC.axbxabxD.68432329. 在 8, 12, 18, 20中，與 2是同類二次根式的是。10.若最簡二次根式a12a 5與 3b 4a是同類二次根式，則 a ____,b ____。一個(gè)三角形的三邊長分別為8cm,12cm,18cm，則它的周長是cm。12.若最簡二次根式34a21與26a21是同類二次根式，則a______。2313.已知x32,y32，則x3yxy3_________。14.已知x3，則x2x1________。315.322000322001______________。計(jì)算：-14-/28⑴.21231151248⑵.4854233113333⑶.7437432⑷.122223512131213計(jì)算及化簡：122abab2ab⑴.1⑵.aaababaa⑶.xyyxyxxy⑷.a2abbaabbaxyyxyxxyababbabab18.已知：x32,y32，求x3xy2x2y3的值。3232x4y2x3y2-15-/2819.已知：a1110，求a21的值。aa220.已知x3yx29，求x1的值。x2013y-16-/28一、選擇題（每題2分，共20分）1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）A.7B.32mC.x21D.3ab2.如果52x是二次根式，那么x應(yīng)滿足的條件是（）A.x5B.x5C.x≥5D.x≤522223.當(dāng)x=3時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)沒有意義的是（）A.x3B.3xC.x23D.3x24.化簡二次根式(3)26得（）A.36B.36C.18D.65.等式(a1)(1a)a1?1a成立的條件是（）A.a1B.a1C.1<a1D.1a16.下列各式計(jì)算正確的是（）A.83?23163B.53?5256C.43?22 86 D.43?22 857.若A (a2 9)4，則 A等于（ ）A.a2 3 B.(a2 3)2 C.(a2 9)2 D.a2 98.化簡251等于（）4-17-/28A.等式

51B.101C.5D.11012222xx成立的條件是（）1x1xA.x 0 B.x<1 C.0 x<1 D.x 0且x 110.當(dāng)a 3時(shí)，化簡 (2a 1)2 (a 3)2的結(jié)果是（ ）A.3a2 B. 3a 2 C.4a D.a4二、填空題（每題3分，共24分）11.如果1是二次根式，則x的取值范圍是。1x12.若n<0，則代數(shù)式 27m3n2=。13.化簡75=，0.0449=，5=。810.251215114.計(jì)算275 4 348=。271a8a，則a。15.已知12a28618416.若2m與2m3是同類二次根式，則m=。6417. (a 2)2 2 a成立的條件是。18.若n<m，則 m2 2mn n2=。-18-/28三、解答題(共56分)分別指出x取哪些實(shí)數(shù)時(shí)，式子有意義。（每小題3分，共6分）（1）12；（2）2x；xx1計(jì)算（每小題4分，共16分）（1）4510811125；（2）32(6331176)32352610（3）(4ba2a3b)(3ab9ab)（4）1121n2(m>n)baamnmnm-19-/2821.已知xy5，x?y3，計(jì)算yxxy

的值。（5分）22.已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足 a 1|b 1| c2 4c 4 0，求a100 b100 c3的值。（5分）23.若ab 5 2 1，ab 2，求代數(shù)式 (a 1)(b 1)的值。（6分）-20-/2824.已知A1,B12,求11的值。（6分）32232A1B125.已知a1110，求a21aa2

的值。（6分）綜合、運(yùn)用、診斷一、填空題11． 2x表示二次根式的條件是 ______．x12．使2x1有意義的 x的取值范圍是______．13．已知 x 1 1 x y 4，則xy的平方根為______．-21-/2814．當(dāng)x=－2時(shí)， 1 2x x2 1 4x 4x2＝________．二、選擇題15．下列各式中，x的取值范圍是x＞2的是()．A．x2B．1C．1D．1x2x2x1216．若|x 5|2 y 2 0，則x－y的值是( ) ．A．－7B．－5C．3D．7三、解答題17．計(jì)算下列各式：(1)(3.14π)2;(2)(32)2;(3)[(2)1]2;(4)(3)2.30.52218．當(dāng)a=2，b=－1，c=－1時(shí)，求代數(shù)式bb4ac的值．2a拓廣、探究、思考19．已知數(shù) a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示：化簡： a2 |a c| (c b)2 | b|的結(jié)果是：______________________．20．已知△ABC的三邊長 a，b，c均為整數(shù)，且 a和b滿足 a 2 b2 6b 9 0.試求△ABC的c邊的長．-22-/28綜合、運(yùn)用、診斷一、填空題9．定義運(yùn)算“ @”的運(yùn)算法則為： x@y xy 4,則(2@6)@6=______．10．已知矩形的長為 25cm，寬為10cm，則面積為______cm2．11．比較大?。?(1)3 2_____23；(2)5 2______4 3；(3)－22_______－ 6．二、選擇題12．若 a2b ab成立，則a，b滿足的條件是( ) ．A．a(chǎn)＜0且b＞0B．a(chǎn)≤0且b≥0C．a(chǎn)＜0且b≥0D．a(chǎn)，b異號13．把4 23根號外的因式移進(jìn)根號內(nèi)，結(jié)果等于 ( ) ．4A． 11B． 11C． 44D．211三、解答題14．計(jì)算：(1)53xy3 6x _______；(2) 27a2 9a2b2 _______；21112)_______．(3)122_______；(4)3(33215．若(x－y＋2)2與 x y 2互為相反數(shù)，求(x＋y)x的值．拓廣、探究、思考16．化簡：(1)( 2 1)10( 2 1)11 ________；(2) ( 3 1) ( 3 1) _________．-23-/28綜合、運(yùn)用、診斷一、填空題7．化簡二次根式：11(1)26________(2)_________(3)4_________838．計(jì)算下列各式，使得結(jié)果的分母中不含有二次根式：(1)122__________(4)x_______(2)_________(3)__________5x235y9．已知31.732,則127_________．(結(jié)果精確到0．001)______；3二、選擇題2，則a與b的關(guān)系為()．10．已知a31，b31A．a(chǎn)=bB．a(chǎn)b=1C．a(chǎn)=－bD．a(chǎn)b=－111．下列各式中，最簡二次根式是 ( ) ．A．1a24D．5a2bB．C．xxyb三、解答題ba3;(2)2y;(3)ab12．計(jì)算：(1)ab12xyabab313．當(dāng)x 4 2,y 4 2時(shí)，求 x2 2xy y2和xy2＋x2y的值．-24-/28拓廣、探究、思考14．觀察規(guī)律：11,1123,并求值．232,213223(1)1_______；(2)1_______；(3)1_______．7221110nn115．試探究a2、(a)2與a之間的關(guān)系．綜合、運(yùn)用、診斷一、填空題12．已知二次根式 ab4b與 3a b是同類二次根式， (a＋b)a的值是______．13．2 8ab3與6b a無法合并，這種說法是______的．(填“正確”或“錯(cuò)誤”)3 2b二、選擇題14．在下列二次根式中，與 a是同類二次根式的是 ( ) ．A． 2aB． 3a2C． a3D．