理論力學(xué)(哈工大版本)第二章平面力系課件

理論力學(xué)1精品課件理論力學(xué)2力系按作用線分布分為：平面力系、空間力系

平面力系：作用線分布在同一平面內(nèi)的力系。

空間力系：作用線分布在不同平面內(nèi)的力系。

力系按作用線匯交情況分為

①匯交力系

②平行力系(力偶系是其中的特殊情況

)

③一般力系(任意力系)精品課件理論力學(xué)31

1FR

F2

F2

22F2Fcos合力方向由正弦定理由余弦定理：由力的平行四邊形法則作圖（左），也可用力的三角形來作圖（右）?！?-1平面匯交力系A(chǔ)

FRF1F2

一、平面匯交力系合成的幾何法

1、兩個共點力的合成

FRAF2

F1力三角形1800-精品課件理論力學(xué)4F3F2F1F4AF2F3FRabF1cdF4eadF2F4

e

cF3

FRF1

b各力矢與合力矢構(gòu)成的多邊形稱為力多邊形。用力多邊形求合力的作圖規(guī)則稱為力的多邊形法則。力多邊形中表示合力矢量的邊稱為力多邊形的封閉邊。2、任意個共點力的合成力多邊形:各分力矢首尾相連，組成一個不封閉的力多邊形。封閉邊表示合力的大小和方向。精品課件理論力學(xué)5精品課件理論力學(xué)61

i1

i結(jié)論：平面匯交力系可簡化為一合力，其合力的大小與方向等于各分力的矢量和(幾何和)，合力的作用線通過匯交點。

用矢量式表示為：

FR

F

F2

Fn

F

3、平面匯交力系平衡的幾何法

平面匯交力系平衡的必要和充分條件是：

該力系的合力等于零。

FR

F

F2

Fn

F

0

上述方程的幾何表達(dá)為：該力系的力多邊形自行封閉。

用幾何方法求平面匯交力系平衡時，要做出自行封

閉的力多邊形，一般只適合三個力的平衡問題。精品課件OE

EA24

cmtan

arctan

140sin180

FB

F

750N理論力學(xué)[例]圖示是汽車制動機(jī)構(gòu)的一部分。司機(jī)踩到制動蹬上的力F=212

N，方向與水平面成

=450角。當(dāng)平衡時，DA鉛直，BC水平，試求拉桿BC所受的力。已知EA=24cm，

DE=6cm點E在鉛直F24cm6cmACBD線DA上

，又B

，C

，D都是光滑鉸鏈，O機(jī)構(gòu)的自重不計。EAOF

FDB

E

FB

D

7解：取制動蹬ABD作為研究對象，并畫出受力圖。

作出相應(yīng)的力多邊形。

F

FD

FBDE

6OE

24

1

4由力三角形圖可得

sin

精品課件FB

tan

0.577理論力學(xué)8

②取分離體畫受力圖∵當(dāng)碾子剛離地面時FA=0,拉力F最大,這時拉力F和自重P及約束力FB構(gòu)成一平衡力系。由平衡的幾何條件，力多邊形封閉，故

F

Ptan又由幾何關(guān)系：

P

cosr2

(rh)2

rhF=11.5kN，

FB=23.1kN所以[例]已知壓路機(jī)碾子重P=20kN，r

=60cm，欲拉過h=8cm的障礙物。求在中心作用的水平力F的大小和碾子對障礙物的壓力。

解：

①選碾子為研究對象

O

PAB

hF

r

FAFBFB

FP

精品課件理論力學(xué)9由作用力和反作用力的關(guān)系，碾子對障礙物的壓力等于23.1kN。

幾何法解題步驟：①選研究對象；②作出受力圖；

③作力多邊形；

④用幾何方法求出未知數(shù)。

幾何法解題不足：

①一般只適合三個力時的平衡；做出的

封閉多邊形為三角形，可用三角形的

正弦和余弦定理求解；

②不能表達(dá)各個量之間的函數(shù)關(guān)系。

下面我們研究力系合成與平衡的另一種方法：

解析法。精品課件F

Fx

Fy，

cosb

理論力學(xué)10反之，已知投影可求力的大小和方向二、平面匯交力系合成的解析法

1、力的投影已知力可求投影Fx=F·

cosqFy=F·

cosbF·

sinqFxyFy

O

q

分力：Fx投影：FxFy

Ab22力的大小Fx

Fy

F

Fcosq

方向余弦精品課件方向：

cos(FR

R,j)

，i)

，cos(F理論力學(xué)11

2、合力投影定理合力投影定理：合力在任一軸上的投影，等于各分力在同一

軸上投影的代數(shù)和。若以

Fx

,

Fy

表示力沿直角坐標(biāo)軸的正交分量，則：F

Fxi

Fy

j所以：FRx

FixFRy

Fiy合力的大小：作用點：FRx

FRFRy

FR為該力系的匯交點FR

(F

ix)2

(F

iy)2而各分力

Fx

Fxi，F(xiàn)y

Fy

j力的分解

F

Fx

Fy精品課件cosθ

0.7548cos

β

0.6556理論力學(xué)12112

2FR

FRx

FRy

171.3N

FRx

FRFRy

FRθ

40.99

，β

49.01[例]已知：圖示平面共點力系；求：此力系的合力。

解：用解析法

FRx

Fix

F

cos30

F2cos60

F3cos45

F4

cos45

129.3N

FRy

Fiy

F

sin30

F2sin60

F3sin45

F4

sin45

112.3NyF1F2F3F4x

300450

600450FR精品課件理論力學(xué)13

平面匯交力系平衡的必要和充分條件是：各力在兩個坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別等于零。3、平面匯交力系的平衡方程

平面匯交力系平衡的必要和充分條件是：

該力系的合力等于零。

F

ix

0

，

F

iy

0必有精品課件FBA

BC

11.35kN

F理論力學(xué)14[例]已知：F=3kN，l=1500mm，h=200mm，忽略自重；求：平衡時，壓塊C對工件與地面的壓力，AB桿受力。

解：AB、BC桿為二力桿，取銷釘B為對象。0FxFBA

cosq

FBC

cosq

0

FBA

FBC0

FBA

sinq

FBC

sinq

F

0

F

2sinq

得Fy解得精品課件理論力學(xué)15選壓塊C為對象0FCB

cosqFCx

011.25kN

Fl2hcotq

F

2FCx

Fx解得0Fy

解得F

CBsinq

FCy

0

F

Cy

1.5kN精品課件列平衡方程理論力學(xué)16[書2-3]如圖所示，重物G=20kN，用鋼絲繩掛在支架的滑輪B上，鋼絲繩的另一端繞在鉸車D上。桿AB與BC鉸接，并以鉸鏈A，C與墻連接。如兩桿與滑輪的自重不計并忽略摩擦和滑輪的大小，試求平衡時桿AB和BC所受的力。ABD3060CG解：取滑輪B為研究對象，忽略滑輪的大小，畫受力圖。xy

B3060FBAF1FBC11

F2Fx

0，

FBA

F

cos

60

F2

cos

30

0Fy

0，F(xiàn)BC

F

cos

30

F2

cos

60

0解方程得桿AB和BC所受的力:

FBA

0.366G

7.321kN

FBC

1.366G

27.32

kN當(dāng)由平衡方程求得某一未知力的值為負(fù)時，表示原先假定的該力指向和實際指向相反。精品課件理論力學(xué)17精品課件理論力學(xué)18§2-2

平面力對點之矩·

平面力偶MO(F)

Ohr

FA一、力對點之矩（力矩）

B

力F與點O位于同一平面內(nèi)，稱為力矩作用面。點O稱為矩心，點O到力作用線的垂直距離h

稱

為力臂。

力對點之矩是一個代數(shù)量，它的絕對值等于力的大小與力臂的乘積，它的正負(fù)可按下法確定：力使物體繞矩心逆時針轉(zhuǎn)動時為正，反之為負(fù)。移動效應(yīng)____

取決于力的大小、方向轉(zhuǎn)動效應(yīng)____取決于力矩的大小、轉(zhuǎn)向力對物體可以產(chǎn)生精品課件理論力學(xué)19①

MO(F)是代數(shù)量。②

MO(F)是影響轉(zhuǎn)動的獨立因素。

當(dāng)F=0或h=0時，

MO(F)

=0。

③

單位N·

m或kN·m

。

④

MO(F)

=2△AOB=F·

h，2倍△形面積。MO(F)

F

h力對點之矩+－MO(F)

Ohr

FAB精品課件y理論力學(xué)20FFxFyxyOqxAMO(F)

xFsinq

yF

cosq

xFy

yFx力矩的解析表達(dá)式i合力對坐標(biāo)原點之矩

MO(FR)

(xiF

iy

yF

ix)

二、合力矩定理與力矩的解析表達(dá)式合力對某點之矩，等于所有各分力對同一點之矩的代數(shù)和。MO(F)=MO(Fx)+MO(Fy)

按力系等效概念，上式必然成立，且適用于任何有合力存在的力系。精品課件理論力學(xué)21rhO[例]已知Fn=1400N,齒輪的節(jié)圓（嚙合圓）的半徑

r

=60mm，壓力角

=200，求力Fn對O點的矩。MO(Fn)FnhFnrcos

78.93Nm按力矩的定義得根據(jù)合力矩定理，將力Fn分解為圓周力Ft

和徑向力Fr

,rOFnFrFtMO(Fn)

MO(Fr)MO(Ft)

MO(Ft)

Fn

cos

r精品課件理論力學(xué)22精品課件理論力學(xué)23精品課件理論力學(xué)24精品課件理論力學(xué)25三、平面力偶及其性質(zhì)

由兩個大小相等、方向相反且不共線的平行力組成

的力系，稱為力偶，記為(F,

F?)。力偶的兩力之間的垂

直距離d

稱為力偶臂，力偶所在的平面稱為力偶作用面。精品課件理論力學(xué)26大?。篎R=F1+F2方向：平行于

F1、F2且指向一致作用點：C處確定C點，由合力距定理

MB(FR)

MB(F

1)11AB

ACCB

代入

FR

F

F2FR

CB

F

AB

ACF2

CB

F

1性質(zhì)1：力偶沒有合力，本身又不平衡，是一個基本力學(xué)量。①兩個同向平行力的合力F2F1AB

FFR1F

FR2FRC精品課件理論力學(xué)271F'

FCBCACB

CA②兩個反向平行力的合力

大?。篎R=F1－F2方向：平行兩力且與較大的相同作用點：C處

CB

F

1

CA

F2

力偶無合力

FR=F'－F=0F2A

F1B

CFRABCF′

F若CB=CA=CB+d

成立，且d≠0，必有CB→∞

即合力作用點在無窮遠(yuǎn)處，不存在合力。精品課件理論力學(xué)28MO(F)MO(F)F(xd)Fx

Fd說明：①

M是代數(shù)量，有+、－；

②F、

d

都不獨立，只有力偶矩

M=±Fd

是獨立量；

③M的值M=±

2ABC

；

④單位：N?

m

由于O點是任取的M

Fd—+性質(zhì)2：力偶對其所在平面內(nèi)任一點的矩恒等于力偶矩，而與矩心的位置無關(guān)，因此力偶對剛體的效應(yīng)用力偶矩度量。ABOdCxF′F精品課件理論力學(xué)29

性質(zhì)3：平面力偶等效定理

作用在同一平面內(nèi)的兩個力偶，只要它的力偶矩的大小相等，轉(zhuǎn)向相同，則該兩個力偶彼此等效。===由上述證明可得下列兩個推論：①力偶可以在其作用面內(nèi)任意移動，而不影響它對剛體的

作用效應(yīng)。②只要保持力偶矩大小和轉(zhuǎn)向不變，可以任意改變力偶中

力的大小和相應(yīng)力偶臂的長短，而不改變它對剛體的作

用效應(yīng)。精品課件理論力學(xué)30

==

==精品課件理論力學(xué)31同平面內(nèi)力偶等效定理證明精品課件理論力學(xué)32dF

力偶的臂和力的大小都不是力偶的特征量，只有力偶矩才是力偶作用的唯一量度。今后常用如圖所示的符號表示力偶。M為力偶的矩。

F′=M=M精品課件理論力學(xué)33精品課件理論力學(xué)341M1

Fd1

F

3dM2

F2d2

F4dM1(F1，F(xiàn)?1)，

M2(F2，F(xiàn)'2)F

F

3

F4F

F

3F4

M

Fd

(F

3

F4)d

F

3d

F4d

M1

M2

在同平面內(nèi)的任意個力偶可以合成為一個合力偶，合力偶矩等于各個力偶矩的代數(shù)和。F′2F2d2F1′F′3F3四、平面力偶系的合成和平衡

F1

F

d1

4F′4dF′Fd精品課件

M35平面力偶系平衡的充要條件是:所有各力偶矩的代數(shù)和等于零。(力偶只能和力偶平衡)

nMn

Mi

i

i1即:

M

M1

M2

i0M即AB

D理論力學(xué)M45lABMFBFA精品課件FB

300N理論力學(xué)36

FB0.2m1m2

m3

m4

0FA

FB

300

N解:各力偶的合力偶矩為根據(jù)平面力偶系平衡方程有:

60

0.2

Mm1m2m3m4

4(15)60Nm由力偶只能與力偶平衡的性質(zhì)，力FA與力FB組成一力偶。[例]在一鉆床上水平放置工件,在工件上同時鉆四個等直徑的孔,每個鉆頭的力偶矩為

m1m2m3m415Nm求工件的總切削力偶矩和A

、B端水平約束力?精品課件12

F

C

C

C(Nm)24

18

2F

(Ncm)

0.255F理論力學(xué)37Mi

0

MAC

M

0F

C

3137N

2

22

2M

AC

F

Cd

F

C[例]圖示結(jié)構(gòu)，已知M=800N.m，求A、C兩點的約束力。

解：注意到CB為二力構(gòu)件，畫受力圖精品課件FA

C

F理論力學(xué)38解：1、

AD為二力桿。

2、研究對象：

整體M

lFA

F

C

[例]圖示桿系，已知M，l，求A、B處約束力。ACBDllMFA

lFCM作用在AD桿上又如何？ABDllMBC為二力桿FA

lC

FC

Mlsin4502M

l精品課件理論力學(xué)39AB

CDM1M2[例]不計自重的桿AB與DC在C處為光滑接觸,它們分別受力偶矩為M1與M2的力偶作用

，轉(zhuǎn)向如圖。問M1與M2的比值為多大，結(jié)構(gòu)才能平衡?

解:取桿AB為研究對象畫受力圖。BAC

60oM1FA60o

FC桿AB只受力偶的作用而平衡且C處為光滑面約束，則A處約束力的方位可定。FA

=

FC

=

F,

Mi=

0

AC

=

aFa-

M1=

0M1=

Fa(1)精品課件理論力學(xué)40

Mi=

0-0.5aF

+

M2=

0M2=

0.5

Fa(2)聯(lián)立(1)(2)兩式得:M1/M2=2取桿CD為研究對象。因C點約束力方位已定

,

則D點約束力方位亦可確定，畫受力圖。

FD

=

FC

=

FFC

60o60oAB

CDFDM2精品課件理論力學(xué)41精品課件理論力學(xué)42作用在剛體上的力可以平行移到同一剛體內(nèi)任意一點，但必須同時附加一個力偶。附加力偶的力偶矩等于原來的力對新作用點的矩。力線平移定理

§2-3

平面任意力系的簡化一、力線平移定理

A力F力偶（F，F(xiàn)）BM

A力系

F,F,FBF′F″

F′F

A[證]

力FBF＝＝精品課件理論力學(xué)43說明：①力線平移定理揭示了力與力偶的關(guān)系：力→

力+力偶

；

（例如一個力功絲時容易功壞螺紋或折斷絲錐）②力線平移的條件是附加一個力偶M，且M=F·

d

；③一個力和一個力偶也可合成為一個力，即力線平移定理的

反定理同樣成立：力

+力偶

→

力；④力線平移定理是力系簡化的理論基礎(chǔ)。精品課件理論力學(xué)44精品課件理論力學(xué)45OxyijOxyF2FnF1′F2

′Fn

′M2M1

FR

′MOF1

F1F2

F2Fn

FnM1

MO(F1)M2

MO(F2)Mn

MO(Fn)二、平面任意力系向一點的簡化

F1O任選O點為

簡化中心精品課件理論力學(xué)46平面任意力系平面匯交力系+平面力偶系向一點簡化1

i

1

1

i

其中平面匯交力系的合力為

FR

=

F+F2++Fn

=

F

+F2++Fn

=F

平面力偶系的合力偶為

MO

M1

M2

Mn

MO(F

)MO(F2)MO(Fn)

MO(F)平面匯交力系的合力FR′，不是原來任意力系的合力。平面力偶系的合力偶MO

也不是原來任意力系的合力偶。精品課件

R

R，

j)

iyFix方向：cos(F

，i)FR

R理論力學(xué)47原力系各力的矢量和，稱為原力系的主矢。(不是原力系的合力)原力系各力對簡化中心的矩，稱為原力系對簡化中心的主矩。

主矢與簡化中心位置無關(guān)(因主矢等于各力的矢量和)FR

2

2F

F，

cos(F移動效應(yīng)主矢iMO

M1

M2

M3

MO(F

1)MO(F2)MO(F)主矩主矢

1

1

iFR

=

F+F2++Fn

=

F

F2++Fn

=F精品課件理論力學(xué)48i大小：

MO

MO(F)主矩MO轉(zhuǎn)向：轉(zhuǎn)向規(guī)定+—轉(zhuǎn)動效應(yīng)雨搭

主矩一般與簡化中心有關(guān)

（因主矩等于各力對簡化中心之矩的代數(shù)和）固定端（插入端）約束車刀精品課件理論力學(xué)49精品課件理論力學(xué)50

一物體的一端完全固定在另一物體上所構(gòu)成的約束稱為固定端約束。（與固定鉸不同）MA

AFAy

AFAx

A

FAA

MAFAx、

FAy、

MA為固定端的約束力;FAx

、

FAy限制物體移動,

MA限制物體轉(zhuǎn)動。精品課件理論力學(xué)51精品課件理論力學(xué)52精品課件理論力學(xué)53精品課件理論力學(xué)54

三、平面任意力系簡化結(jié)果分析

平面任意力系向作用面內(nèi)一點簡化得一力和一力偶，該

力等于原力系的主矢，力偶矩等原力系對簡化中心的主矩。

下面針對主矢、主矩的不同情況分別加以討論。1、若FR

0,MO

0，則力系合成為合力偶，合力偶矩等于原力系對簡化中心的主矩MO，此時主矩與簡化中心的位置無關(guān)。2、若FR

0,MO

0，則力系合成為一個合力，主矢

FR

等于原力系的合力矢

FR

，合力FR通過簡化中心O點。（合力與簡化中心位置有關(guān)，換個簡化中心，主矩不為零）精品課件理論力學(xué)553、若

FR

0,MO

0，則力系仍合成為一個合力，合力等于原力系的主矢。作用點不在簡化中心。ooFR

MOoFR

FRooFR=o

=MO

FRd

i

d

FR

MO(FR)

FRd

MO

MO(F)

d合力矩定理4、若FR

0,MO

0,

則該力系平衡，下節(jié)專門討論。精品課件

q(x)dx

xq(x)dx

q(x)dx理論力學(xué)56

l0

l

0d

MO

FR

dxAOq(x)lxdxMO

l0主矢：

F

R

l0xq(x)dx主矩：

MO

力系可進(jìn)一步簡化為一合力，其作用線距O點的距離為：四、平行分布載荷的簡化

取O點為簡化中心，將力系向O點簡化。

dF

R

q(x)dxdF

RF

RFR精品課件結(jié)論：

①合力的大小等于線荷載所組成幾何

圖形的面積。

②合力的方向與線荷載的方向相同。

③合力的作用線通過荷載圖的形心。

理論力學(xué)l/2qF12ql

l/2F32l3lq1、均布荷載

F

ql

2、三角形荷載

F

3、梯形荷載lq257q1可以看作一個三角形荷載和一個均布荷載的疊加平行分布載荷簡化的特例精品課件2m理論力學(xué)58F1F2

F3F4OABCxy3m30°60°[例]在長方形平板的O，A，B，C點上分別作用著有四個力：F1=1kN，F(xiàn)2=2kN，F(xiàn)3=F4=3kN（如圖），試求以上四個力構(gòu)成的力系對O點的簡化結(jié)果，以及該力系的最后合成結(jié)果。解：求向O點簡化結(jié)果1.求主矢

FR

，

建立如圖坐標(biāo)系Oxy。FR

x

Fx

F2

cos60F

3

F4

cos30

0.598

kN1FRy

=Fy

F

F2sin60F4sin300.768

kN所以，主矢的大小

x

yFR

FR2

FR2

0.794

kN精品課件cosFR

,

j=

=0.789d

0.51m理論力學(xué)59最后合成結(jié)果由于主矢和主矩都不為零，所以最后合成結(jié)果是一個合力FR。如右圖所示。主矢的方向：=0.614FR

x

FR

cosFR

,i=FR

,

i

52.1FR

y

FR

2.

求主矩MOMO

MOF

2F2

cos602F

3

3F4sin300.5kNm合力FR到O點的距離FR

FRMO

FR

CyxOAFR

,

j

37.9

BMOFR

FR精品課件理論力學(xué)60[例]重力壩受力如圖所示。設(shè)G1=450kN，G2=200kN，F(xiàn)1=300

kN，F(xiàn)2=70

kN。求力系的合力FR的大小和方向余弦,合力與基線OA的交點到O點的距離x，以及合力作用線方程。9m3m5.7m3mxyBCOq90F11.5m

G1

3.9mG2

AF2

解：

1、

求力系的合力FR的大小和方向余弦。

AB主矢的投影

F

FR

y

Fy

G1

G2

F2sinq

670.1

kN精品課件cosFR

,i

FxFR

cosFR

,

jFyFR

理論力學(xué)61ACFR

x

FR

MO

OFR

y所以力系合力FR的大小

FR

FR

(Fx)2

(Fy)2

709.4kN方向余弦

則有

0.328

0.945FR

,i

70.84FR

,

j

180

19.161力系對O點的主矩為

MO

MOF

F

3

mG11.5

mG23.9

m

2

355

kNm精品課件x

3.514mFR

xO70.8470.8462AOCFRFRyFRxxACFR

FR

y

理論力學(xué)MO

70.84o2、求合力與基線OA的交點到O點的距離

x。

由合力矩定理得MO

MO(FR)

MO(FRx)MO(FRy)其中

MO(FRx)

0故

MO

MO(FR

y)

FR

y

x

MO解得

FR

y精品課件理論力學(xué)633、求合力作用線方程。

設(shè)合力作用線上任一點的坐標(biāo)為（x，y)，AOCFRFRx

70.84xFRyxy將合力作用于此點，則

MO

MOFR

xFR

y

yFRx

xFx

yFy

可得合力作用線方程

2355kNm

670.1

kNx232.9kN

y即670.1

kNx232.9

kN

y2

355

kNm0精品課件R

(Fx)

(Fy)2F理論力學(xué)64§2-4平面任意力系的平衡條件及方程即：一、平面任意力系的平衡條件

平面任意力系平衡的必要和充分條件為：

力系的主矢FR

和對任一點的主矩

MO都等于零，

2MO

MO(Fi)精品課件

Fiy

0M

A(F)

0M

B(F)

0理論力學(xué)65上式只有三個獨立方程，只能求出三個未知數(shù)。二、平面任意力系的平衡方程

①基本式

Fix

0MO(Fi)

0

②二矩式Fx

0M

B(F)

0

條件：x

軸不

垂直

AB

連線

③三矩式M

A(F)

0MC(F)

0

條件：A，B，C

三點不共線精品課件bM

A

Fa

qb2

0FAx

qb理論力學(xué)66aq

[例]求圖示剛架的約束力。解：以剛架為研究對象，受力如圖。

A

Fx

0:FAx

qb

0

Fy

0:FAy

F

0

MA(F)

0:12解之得：

FAy

FMA

Fa

12

qb2F

FqAFAy

MAFAx精品課件67

Fy

0:FAy

FB

Fsinq

0MA(F)

0:FBaFsinq

(ab)M

0解之得：FAx

FcosqM

Fsinq(ab)

a

FB

理論力學(xué)M

Fbsinq

aFAy

[例]求圖示梁的支座約束力。

解：以梁為研究對象，受力如圖。

Fx

0:FAx

Fcosq

0ACb

FB

q

MaACFB

qMFBFAyFAx精品課件理論力學(xué)68

[例]

外伸梁的尺寸及載荷如圖所示，F(xiàn)1=2

kN，F(xiàn)2=1.5

kN，M

=1.2

kN·m，l1=1.5

m，l2=2.5

m，試求鉸支座A及支座B的約束力。F1l2l1llF2

60M

BFAxAx

yFAyFBF260F1

M

B3、解方程1解：1、取梁為研究對象，受力分析如圖

2、列平衡方程Fx

0

FAx

F2

cos

60

0

A

M

A(F)

0

FBl2

M

Fl1

F2(l1

l2)sin

60

00Fy1FAy

FB

F

F2sin

60

0FAx

0.75kNFB

3.56kNFAy

0.261kN精品課件理論力學(xué)69[例]懸臂吊車如圖所示。橫梁AB長l＝2.5

m，重量P＝1.2

kN，拉桿CB的傾角＝30°，質(zhì)量不計，載荷Q＝7.5

kN。求圖示位置a＝2m時拉桿的拉力和鉸鏈A的約束力。精品課件FT

sin

l

P

Qa

0

(3)FT

(P

Qa)

13.2

kN理論力學(xué)70解：取橫梁AB為研究對象,受力如圖BE

PFTH

Q

FAyAFAxa

FAx

FT

cos

0

(1)FAy

FT

sin

PQ

0

(2)

Fx

0Fy

0

l2MA(F)

0

解得

1

l

sin

l

2

FAx

FT

cos

11.43kNFAy

QPFT

sin

2.1kN精品課件P

Q(l

a)FAy

l

0

(4)MC(F)

0FAx

tan

l

P

Qa

0

(5)理論力學(xué)71CBE

PFTHQ

FAyAFAxaMB(F)

0或分別取B和C為矩心列平衡方程得

l2

l2注意每個對象獨立的平衡方程只有3個。精品課件理論力學(xué)72為：Fy

0；

MO(F)

0平面平行力系的平衡方程也可表示為二矩式：

MA(F)

0；

MB(F)

0

其中AB連線不能與各力的作用線平行。Ox

平面平行力系為平面任意力系的特殊

y情況，當(dāng)它平衡時，也應(yīng)滿足平面任意力系的平衡方程，選如圖的坐標(biāo)，則

Fx＝0自然滿足。于是平面平行力系的平衡方程F2F1F3

Fn三、平面平行力系平衡方程

力的作用線在同一平面且相互平行的力系稱平面平行力系。精品課件理論力學(xué)73FAG1[例]

一種車載式起重機(jī)，車重G1=

26kN，起重機(jī)伸臂重G2

=

4.5kN，起重機(jī)的旋轉(zhuǎn)與固定部分共重G3

=

31kN。尺寸如圖所示。設(shè)伸臂在起重機(jī)對稱面內(nèi)，且放在圖示位置，試求車子不致翻倒的最大起吊重量Gmax。

G3

G2

GFBAB3.0

m2.5

m1.8

m2.0

m精品課件理論力學(xué)74解：

1、取汽車及起重機(jī)為研究對象，受力分析如圖。2、列平衡方程GG2FAG1G3AB3.0

m2.5

m1.8

m2.0

m

FBF

0FA

FB

GG1

G2

G3

0

MBF

0

G(2.5m3m)G22.5mG

12mFA(1.8m2m)

0精品課件理論力學(xué)754、不翻倒的條件是：FA≥0，

所以由上式可得故最大起吊重量為Gmax=

7.5

kN3、聯(lián)立求解

13.8FA

2G1

2.5G2

5.5GG≤

15.5GG2

FA2G1

2.5G2

7.5kNG1G3AB3.0

m2.5

m1.8

m2.0

m

FB精品課件理論力學(xué)76當(dāng)：獨立方程數(shù)目≥未知數(shù)數(shù)目時，是靜定問題（可求解）

獨立方程數(shù)目<未知數(shù)數(shù)目時，是靜不定問題（超靜定問題）

§2-5

靜定與靜不定

物系的平衡一、靜定與靜不定問題的概念兩個獨立方程，只能求兩個獨立未知數(shù)。

平面

力偶系

平面任意力系

平面匯交力系F

x

0F

y

0i

Mi

0

一個獨立方程，只能求一個獨立未知數(shù)。

F

x

0

F

y

0

三個獨立方程，只能求三個獨立未知數(shù)。MO(F

)

0精品課件理論力學(xué)77精品課件理論力學(xué)78

靜不定問題在變形體力學(xué)（材力,結(jié)力,彈力）中用位移諧調(diào)條件來求解。精品課件理論力學(xué)79

二、物體系統(tǒng)的平衡問題物體系統(tǒng)（物系）：由若干個物體通過約束所組成的系統(tǒng)。

外力：外界物體作用于系統(tǒng)上的力叫外力。

內(nèi)力：系統(tǒng)內(nèi)部各物體之間的相互作用力叫內(nèi)力。

外力、內(nèi)力都是某研究對象而言的，

對不同的研究對象而言，可轉(zhuǎn)換。精品課件理論力學(xué)80物系平衡的特點：

①物系靜止，物系中每個單體也是平衡的；

②每個單體可列3個平衡方程，整個系統(tǒng)可列

3n個方程（設(shè)物系中有n個物體）

解物系問題的一般方法：由整體局部由局部整體由問題性質(zhì)決定精品課件理論力學(xué)81三、解題步驟與技巧

解題步驟①選研究對象②畫受力圖（受力分析）②

取矩點最好選在未知力的交叉點上；③選坐標(biāo)、取矩點、列

平衡方程。

④

解方程求出未知數(shù)③

充分發(fā)揮二力桿的直觀性；④

靈活使用合力矩定理。

解題技巧①

選坐標(biāo)軸最好是未知力投影軸；四、注意問題

力偶在坐標(biāo)軸上的投影不存在；

力偶矩M

=常數(shù)，它與坐標(biāo)軸和取矩點的選擇無關(guān)。精品課件6例

：先以CD為研究對象，受力如圖。MC

D

3q

0(F)

0:3FFD

3qFB

1

F

3qFAy

1

F

1

q理論力學(xué)

3

2

2再以整體為研究對象，受力如圖。

Fx

0:FAx

0Fy

0:FAy

FB

FD

F

4q

0

M

A(F)

0:

8FD

4FB

2F

4q6

0Cq

B22F[例]求圖示多跨靜定梁的支座約束力。

解

AD3FCxqFFAxFAyFD

82FB

1q22

2解得CFCy

DFDCBAD精品課件Fy

0

FC

E

0q

Fq

M

FE

0理論力學(xué)83qBDMFCH

l/8El/4A

l/8l/4l/4[例]

組合梁AC和CE用鉸鏈C相連，A端為固定端，E端為活動鉸鏈支座。受力如圖所示。已知：

l

=8

m，F(xiàn)=5

kN，均布載荷集度q=2.5

kN/m，力偶矩的大小M=

5

kN?m，試求固端A，鉸鏈C和支座E的約束力。

l4

3.列平衡方程MCF

0

l

l

l

4

8

24.聯(lián)立求解

FE=2.5

kN，

FC=2.5

kN解:1.取CE段為研究對象

2.受力分析如圖Ml/4

ql/4

CFC

EFED精品課件Fy

0FA

C

F

q

0F理論力學(xué)846.列平衡方程。FA=

15

kN，MA=

－2.5

kN5.取AC段為研究對象，受力分析如圖。l4MAF

0

l

l

3l

l

8

4

8

27.聯(lián)立求解FMAql/4BACHl/8

l/8FAFC

精品課件a例5FBy

2aFaqa

3a

0FAy

1

qa

1

FFBy

1

F

3qa理論力學(xué)[例]求圖示三鉸剛架的支座約束力。解：以整體為研究對象，受力如圖。Fx

0:

FAx

FBx

F

0CqaaAFFAxFAyB

qCB

85AFFBxFBy

Fy

0:

FAy

FBy

qa

0

M

A(F)

0:

2解得：

4

22

4精品課件a例

以

5

AC為研究對象，受力如圖。FAx

FAy

1

qa

1

FFBx

1

F

1

qa理論力學(xué)86再

MC(F)

0:

FAxaFAya

0

解得：

4

2

2

4

FCxFCy

AFAyFFAxCCBqaaAF精品課件87[例]A，B，C，D處均為光滑鉸鏈，物塊重為G，通過繩子繞過滑輪水平地連接于桿AB的E點，各構(gòu)件自重不計，試求B處的約束力。

FAxFCxFAy

FCyG解得F

Cx

2.5G

解、1.取整體為研究對象。

2.受力分析如圖

3.列平衡方程MAF

0

5rG2rF

Cx

0MCF

0

5rG2rFAx

0

解得FAx

2.5G

若理論力學(xué)精品課件精品課件F

0

FME

A

22l

P

l

0理論力學(xué)89D

KCABEⅠⅡ

P[例]

如圖所示，DC=CE=AC=CB=2l；定滑輪半徑為R，動滑輪半徑為r，且R=2r=l,

q

=45°已知重力P

。試求：A，E支座的約束力及BD桿所受的力。解、1.

選取整體研究對象，受力分析如圖所示。FA

q

FExFEy522.列平衡方程

Fx

0

FA

cos

45

FEx

0

Fy

0

FAsin45

FEy

P

03.解平衡方程得P513P8

852

8FA

精品課件FK

式中理論力學(xué)904.

選取DCE研究對象，受力分析如ED

KCAB

EDKCqⅠⅡP圖所示。

5.列平衡方程

MCF

0FEyFExFDB

FKFCyFCxFDB

cos

45

2l

FK

l

FEx

2l

0

P

2

6.解平衡方程

32P

FDB

8順時鐘取正若取AB為對象，如何畫受力圖？精品課件ba7例

：先以BC為研究對象，受力如圖。F

C

FBM

A

F(ab)

1qa

FBa

0

F,

FAy

A

qa,

M理論力學(xué)91[例]

求圖示結(jié)構(gòu)固定端的約束力。

解B

M

0:F

CbM

0

M

b

再以AB部分為研究對象，受力如圖。

Fx

0:FAx

F

FB

0

Fy

0:FAy

qa

0

MA(F)

0

2

2

F

FB

求得

MFAx

bCqFABq

MB

C

M

B

a

FB

AFAy

FCF'B

F

MAFAx精品課件aFDa

q(2ab)2

0FAx

理論力學(xué)92Fx

0:

FAx

FD

0

Fy

0:

FAy

q(2ab)

0

M

A(F)

0

1

2解之得：

q(2ab)2

FD

2a

q(2ab)2

2aFAy

q(2ab)aaA

EFB[例]

組合結(jié)構(gòu)如圖所示，求支座約束力和各桿的內(nèi)力。

q2

CFB3

q

A

ED

12

C3FAxFDD

1

b

FAy精品課件a理論力學(xué)931Fx

0:

F

F

3cos45

0Fy

0:

F2

F

3sin45

0q(2ab)2

2aF3

2q(2ab)

2aF2

F1F2F3Cy45°x2q(2ab)

2aF

1

FD

再以鉸C為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。aaA

EFBqD

1

b2

C3精品課件FB

1000N94MA(F)

0:1

4FB

2F2

6F

0解得：

2m2m2m[例]

圖示結(jié)構(gòu)，各桿在A、E、F、G處均為鉸接，B處為光滑接觸。在C、D兩處分別作用力F1和F2，且F1＝F2＝500

N，

2m

2m

2m

解：先以整體為研究對象，受力如圖。ADEHGBCF1F2F1

F2理論力學(xué)ADEHGBCFAxFAyFB精品課件例

9

M(F)

0:2F2

2FHy

0FHy

F2

500

N理論力學(xué)95最后以桿BG為研究對象，受力如圖。MG(F)

0:

4FB

2FHy

2FHx

0解得：

FHx

1500

N再以DH為研究對象，受力如圖。

D

E

F2解得：FHxFEy

FHyE

FExHFBHGBFGyFGxF'HyF'Hx

2m2m2m2m2m2mAHEGBCF1D

F2精品課件FAyl

W

l

FT

sin45

l

0理論力學(xué)96BC[例]三根等長同重均質(zhì)桿(重W)

在鉛垂面內(nèi)以鉸鏈和繩EG構(gòu)成正方形。已知：E、G是AB、BC中點，AB水平，求解1：取AB分析，受力如圖。不妨設(shè)桿長為l。(1)

MB(F)

0:

2

2再以整體為研究對象，受力如圖。(2)

Fy

0:FAy

FDy

3W

0FByFBxABFAx繩EG的張力。

FAyWFTWWFAx

FAyA

WFDx

FDyDABCDEG精品課件例

M10

F)

0:FDyl

W

l

0F

Cx

l

FTsin45

l

0理論力學(xué)97(3)2聯(lián)立求解(1)、(2)、(3)得：F

T

4

2W

最后以DC為研究對象，受力如圖。

C(FCyFCxDCFDxFDyW解2：先以BC為研究對象，受力如圖。(4)2再以DC為研究對象，受力如上圖。F'CxF'CyF'BxF'ByBW

CMB(F)

0:F'TFx

0(5)FDx

F

Cx

0ABCD精品課件例

后

10

整體為研究對象，受力如圖。FDxl

2W

l

Wl

0理論力學(xué)98聯(lián)立求解(4)、(5)、(6)即可的同樣結(jié)果。最

以(6)2MA(F)

0:BCWWWFAx

FAyAFDx

FDyDBCAD精品課件l例11M

A

Bl

F

l

0(F)

0:FFAy

1

FFB

2

F理論力學(xué)99[例]

三無重桿AC、BD、CD如圖鉸接，B處為光滑接觸，ABCD為正方形，在CD桿距C三分之一處作用一垂直力F，求鉸鏈

E

處的約束力。解：先以整體為研究對象，受力如圖。

Fx

0:FAx

0

Fy

0:FAy

FB

F

0

2

3解得：33FlD2l/3CAEFD

BCABEFAxFAyFB精品課件例

法1

11

先以DC為研究對象。MD

Cy

l

F

0(F)

0:FFCy

2

FFEy

1

FMC(F)

0:FEx

l

F

l

FEy

l

0理論力學(xué)100EFD2l/3CB下面用不同的方法求鉸鏈

E

的受力。

方

：2l

3

3再以BDC為研究對象。

Fy

0:FEy

FB

F

Cy

F

02

3

2

3FEx

F類似地，亦可以DC為研究對象，求FDy，再以ACD為研究對象求解。D2l/3CFDxFDyFCxF

FCyFExFEyFCy

FCxFB精品課件例11MFAxl

FEx

l

FEy

l

F

2l

0FAxl

FAyl

FEx

l

FEy

l

0聯(lián)立求解以上兩方程即得同樣結(jié)果。

類似地，亦可以BDC和BD為研究對象，

進(jìn)行求解。

理論力學(xué)F2l/3D

CF'ExF'EyFDy

EFAxFDx

FAy

ACFAy

AF'Ex

E

F'EyFAxF'CxF'Cy

101方法2：分別以ACD和AC為研究對象。

ACD上

D(F)

0:

2

2

3AC上

MC(F)

0:

2

2精品課件例11FE1

2

2

FFAxl

FE2

2

l

FAyl

0FE

2

2

F

FE2理論力學(xué)10232

3用FE1、FE2表示的約束力和用FEx、FEy表示的約束力本質(zhì)上是同一個力。AFAxFAy

CF'Cy

F'Cx

EF'E2F'E1EF'D