網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)課件

復(fù)雜系統(tǒng)與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)——網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)6.1復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的物理傳輸過(guò)程動(dòng)力學(xué)6.2網(wǎng)絡(luò)的同步6.1網(wǎng)絡(luò)上的物理傳輸過(guò)程動(dòng)力學(xué)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的傳播動(dòng)力學(xué)問(wèn)題是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究的一個(gè)重要方向。主要研究社會(huì)和自然界中各種復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的傳播機(jī)理與動(dòng)力學(xué)行為以及對(duì)這些行為高效可行的控制方法。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的傳播過(guò)程可以分為兩類(lèi)：不符合物質(zhì)或能量守恒的過(guò)程以及符合物質(zhì)或能量守恒的過(guò)程。首先介紹復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的流行病傳播機(jī)理，接著介紹復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的免疫策略，然后介紹復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的輿論傳播，最后介紹復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的數(shù)據(jù)包傳遞機(jī)理和擁塞控制。6.1.1復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的流行病傳播流行病傳播的速度很快，對(duì)社會(huì)的影響非常大，引起全社會(huì)的極大關(guān)注，如網(wǎng)絡(luò)病毒、人類(lèi)社會(huì)中的SARS、性病、艾滋病和謠言等等。在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上，最近的理論和實(shí)驗(yàn)都表明流行病的傳播閾值與網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的尺寸(節(jié)點(diǎn)數(shù))有著緊密聯(lián)系。在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)傳播動(dòng)力學(xué)的研究中，傳播閾值λc是理論和實(shí)驗(yàn)研究工作者特別關(guān)注的一個(gè)重要參量。對(duì)于尺寸非常大的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)而言，如果流行病的傳播概率大于該傳播閾值，那么受感染人數(shù)將占一個(gè)有限大小的比例，即傳染病會(huì)爆發(fā)且持續(xù)地存在；否則，受感染人數(shù)會(huì)呈指數(shù)衰減，其占總?cè)藬?shù)的比例將接近于0，即傳染病將會(huì)自然消失。流行病傳播的基本模型需要采用不同的數(shù)學(xué)模型來(lái)表征不同的傳播規(guī)律，它們是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)傳播動(dòng)力學(xué)研究的基礎(chǔ)。傳播模型中的每一類(lèi)個(gè)體都處于同一種狀態(tài)?；緺顟B(tài)包括：易感狀態(tài)(S)，即健康的狀態(tài)，但有可能被感染；感染狀態(tài)(I)，即染病的狀態(tài)，具有傳染性；移除狀態(tài)(R)，即感染后被治愈并獲得了免疫力或感染后死亡的狀態(tài)。處于移除狀態(tài)的個(gè)體不具有傳染性，也不會(huì)再次被感染，即不再對(duì)相應(yīng)動(dòng)力學(xué)行為產(chǎn)生任何影響，可以看作已經(jīng)從系統(tǒng)中移除。在真實(shí)系統(tǒng)中不同種類(lèi)的傳染病具有不同的傳播方式，研究它們的傳播行為通常采用不同的傳播模型SIS模型描述像感冒這類(lèi)治愈后患者不能獲得免疫力的疾病。此外計(jì)算機(jī)病毒也屬于這一類(lèi)型。個(gè)體分為兩類(lèi)：易感人群(S)和染病人群(I)。染病人群為傳染的源頭，它通過(guò)一定的概率λ把傳染病傳給易感人群。染病人群本身也有一定的概率u可以被治愈；易感人群一旦被感染，就又變成了新的傳染源。SIS模型的感染機(jī)制可以用下式表示：s(t)，i(t)分布標(biāo)記群體中個(gè)體在時(shí)刻t處于S態(tài)和I態(tài)的密度，當(dāng)易感人群和感染人群充分混合時(shí)，其動(dòng)力學(xué)可以用下列微分方程組描述：此方程中存在一個(gè)閾值λc=α/β，當(dāng)λ<λc時(shí)其定態(tài)解為i(T)=0，而當(dāng)λ>λc時(shí)其定態(tài)解為i(T)>0，這里T為達(dá)到穩(wěn)定態(tài)的時(shí)間。SIR模型適合描述那些染病者在治愈后可以獲得終生免疫能力的疾病，如麻疹、腮腺炎、水痘、百日咳等，或者幾乎不可避免走向死亡的疾病，如艾滋病等。人群分為三類(lèi)：易感人群(S)、染病人群(I)和免疫人群(R)。不同于SIS模型，這里染病人群將不再變?yōu)橐赘腥巳憾且愿怕蕌變成免疫人群。在每一個(gè)給定的時(shí)間，個(gè)體處于三態(tài)之一，其動(dòng)力學(xué)方程如下：用s(t)，i(t)，r(t)分布標(biāo)記群體處于S態(tài)、I態(tài)、R態(tài)的密度。當(dāng)易感人群和染病人群充分混合時(shí)，SIR模型的動(dòng)力學(xué)可以用下列微分方程組描述：隨著時(shí)間進(jìn)行，感染人數(shù)將逐步增加。經(jīng)過(guò)充分長(zhǎng)的時(shí)間后，因?yàn)橐赘袀€(gè)體的不足使得感染個(gè)體也開(kāi)始減少，直至感染人數(shù)變?yōu)?，傳染過(guò)程結(jié)束。因此，SIR模型在穩(wěn)態(tài)時(shí)刻t=T的傳染密度r(T)和有效傳染率λ存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，且r(T)可以用來(lái)測(cè)量傳染的有效率。當(dāng)λ<λc時(shí)感染無(wú)法擴(kuò)散，而當(dāng)λ>λc時(shí)感染爆發(fā)。其他模型SI模型用于描述那些染病后不可能治愈的疾病，或?qū)τ谕蝗槐l(fā)尚缺乏有效控制的流行病，如黑死病及非典型肺炎。也就是說(shuō)，在SI模型中，個(gè)體一旦被感染就會(huì)永久處于感染狀態(tài)。SIRS模型適合于描述免疫期有限或者說(shuō)免疫能力有限的疾病。與SIR模型不同的是，在SIRS模型中，處于移除狀態(tài)的個(gè)體(治愈后具有免疫力)還會(huì)以概率γ失去免疫力。SEIR模型適合于描述具有潛伏態(tài)的疾病，如季節(jié)性感冒。與SIR模型不同，易感個(gè)體與感染個(gè)體接觸后先以一定概率α變?yōu)闈摲鼞B(tài)(E)，然后再以一定概率β變?yōu)楦腥緫B(tài)。均勻網(wǎng)中的流行病傳播按照度分布，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)可以分為均勻網(wǎng)絡(luò)和非均勻網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)。均勻網(wǎng)的度分布范圍不大，在某一平均值附近且度分布指數(shù)衰減，如隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)與小世界網(wǎng)絡(luò)。對(duì)于均勻網(wǎng)絡(luò)，其傳播動(dòng)力學(xué)通?？梢杂善骄鶊?chǎng)或均勻混合方法給出。本小節(jié)介紹均勻網(wǎng)絡(luò)中的流行病傳播規(guī)律，分別基于SIS和SIR兩種模型加以討論。1．基于SIS模型的情形均勻網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)節(jié)點(diǎn)的度近似等于網(wǎng)絡(luò)的平均度，即k≈＜k＞。對(duì)于SIS模型來(lái)說(shuō)，在每一個(gè)時(shí)間步，如果網(wǎng)絡(luò)中易感個(gè)體至少和一個(gè)感染個(gè)體相連，則它被感染的概率為α；同時(shí)，感染個(gè)體被治愈變?yōu)橐赘袀€(gè)體的概率為β。為了便于研究，這里對(duì)SIS模型作了兩個(gè)假設(shè)：(1)均勻混合假設(shè)：有效傳染率λ與系統(tǒng)中處于感染狀態(tài)的個(gè)體的密度ρ(t)成正比，即α和β都是常數(shù)。(2)假設(shè)病毒的時(shí)間尺度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于個(gè)體的生命周期，從而不考慮個(gè)體的出生和自然死亡。令有效傳染率(或叫有效傳播率)λ＝α／β，它是一個(gè)非常重要的參量。均勻網(wǎng)絡(luò)中存在一個(gè)傳播閾值λc。當(dāng)有效傳播率λ大于λc時(shí)，感染個(gè)體能夠?qū)⒉《緜鞑U(kuò)散，并使得整個(gè)網(wǎng)絡(luò)中感染個(gè)體的總數(shù)最終穩(wěn)定于某一平衡狀態(tài)，網(wǎng)絡(luò)此時(shí)處于激活相態(tài)(activephase)；當(dāng)有效傳播率λ小于λc時(shí)，感染個(gè)體的數(shù)量呈指數(shù)衰減，無(wú)法大范圍傳播，網(wǎng)絡(luò)此時(shí)處于吸收相態(tài)(absorbingphase)。所以在均勻網(wǎng)絡(luò)中，存在一個(gè)正的傳播閾值以將激活相態(tài)和吸收相態(tài)明確地分隔開(kāi)。不失一般性，令β＝1(這種做法只是改變演化時(shí)間的尺度)，利用平均場(chǎng)理論，均勻網(wǎng)絡(luò)中被感染個(gè)體的密度隨時(shí)間的演化滿足如下方程：式中第一項(xiàng)表示感染個(gè)體以單位速率減少(因?yàn)榧僭O(shè)概率β＝1)，第二項(xiàng)表示單個(gè)感染個(gè)體產(chǎn)生的新感染個(gè)體的平均密度，它與有效傳播率、節(jié)點(diǎn)(個(gè)體)的平均度＜k＞及感染節(jié)點(diǎn)與易感節(jié)點(diǎn)連接的概率ρ(t)[1-ρ(t)]成正比。式中，ρ為感染個(gè)體的穩(wěn)態(tài)密度。可以解得，均勻網(wǎng)絡(luò)流行病傳播的閾值為：而且滿足由此可見(jiàn)，傳播閾值與平均度成反比。這很好理解，因?yàn)榻佑|的人越多，被感染的幾率就越大，故降低平均度是控制傳染病傳播的一個(gè)有效手段。2.基于SIR模型的情形對(duì)于SIR模型來(lái)說(shuō)，處于易感狀態(tài)、感染狀態(tài)和移除狀態(tài)的個(gè)體的密度s(t)、i(t)和r(t)滿足如下約束條件：同樣令λ＝α／β，β＝1(這種做法只是改變演化時(shí)間的尺度)，在與SIS模型相同的假設(shè)條件下，易感個(gè)體、感染個(gè)體和免疫個(gè)體(處于移除狀態(tài)的個(gè)體)的密度滿足：不同于SIS模型，這里傳染效率是以最終感染人口r∞(t趨于無(wú)窮大時(shí)r(t)的值)來(lái)衡量的。當(dāng)λ＜λc時(shí)，r∞在非常大的人口極限下為無(wú)窮??；而當(dāng)λ＞λc時(shí)，疾病傳播并感染有限比例的人群。在初始條件r(0)＝0與s(0)≈1下，由上式容易得到：將此結(jié)果與約束條件式相結(jié)合，可得到總感染人數(shù)滿足下列自治方程：為了得到非零解，必須滿足下列條件：這個(gè)條件等價(jià)于限制λ＞λc，其閾值在這個(gè)特殊情形下取λc＝＜k＞-1。在λ＝λc處進(jìn)行泰勒展開(kāi)，可得傳染效率為：上面兩種模型討論可見(jiàn)：對(duì)于均勻網(wǎng)絡(luò)，有效傳染率存在一個(gè)大于零的臨界值，當(dāng)有效傳染率大于傳播閾值時(shí)，疾病可以在網(wǎng)絡(luò)中傳播，并可以持久的存在，當(dāng)有效傳染率小于傳播閾值，疾病則在網(wǎng)絡(luò)中消亡。非均勻網(wǎng)中的流行病傳播在無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中，無(wú)論流行病的傳染性是多么弱，流行病仍然能夠爆發(fā)并且持續(xù)的存在。在無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中，由于度分布滿足冪律分布，一個(gè)隨機(jī)選取的節(jié)點(diǎn)傾向于連接關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)或連接度大的節(jié)點(diǎn)，因此度大的節(jié)點(diǎn)就容易感染，然后作為種子去感染其他人，從而導(dǎo)致比均勻網(wǎng)絡(luò)上更快的流行病傳播。為了刻畫(huà)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋵?duì)流行病傳播的影響，通常將節(jié)點(diǎn)按照度來(lái)分組，相同度的節(jié)點(diǎn)成為一組。本小節(jié)分別基于SIS模型和SIR模型兩種情形介紹非均勻網(wǎng)絡(luò)中的流行病傳播規(guī)律。1．基于SIS模型的情形設(shè)ρk(t)表示t時(shí)刻度為k的節(jié)點(diǎn)組中感染節(jié)點(diǎn)的密度，則它滿足如下微分方程：式中第一項(xiàng)為湮滅項(xiàng)，感染群體以單位速率減少(假設(shè)概率β＝1)；第二項(xiàng)為產(chǎn)生項(xiàng)，它正比于有效傳播率、易感人群的密度[1-ρk(t)]、節(jié)點(diǎn)的度k以及任意鄰居被感染的概率。其中，任意鄰居被感染的概率記作Θ(ρ(t))，它表示從一個(gè)度為k的節(jié)點(diǎn)連到度為任意k'的節(jié)點(diǎn)的聯(lián)合概率p(k'|k)ρk'(t)的平均。從而上式可重新描述為：設(shè)ρk為度為k的節(jié)點(diǎn)組中感染個(gè)體的穩(wěn)態(tài)密度。顯然，ρk只是λ的函數(shù)，因而穩(wěn)態(tài)時(shí)相應(yīng)地概率Θ也變?yōu)棣说碾[函數(shù)。利用穩(wěn)態(tài)條件

可得：(*)對(duì)于非關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)，概率P(k'｜k)滿足：則Θ(λ)可以寫(xiě)成如下自治方程：利用上式，容易求得Θ(λ)，再代入(*)式可以解得ρk。最終的感染個(gè)體穩(wěn)態(tài)密度ρ則可由下式估算：另外，由自治方程可得：(**)顯然，該式存在一個(gè)平凡解Θ(λ)＝0。如果要使該方程存在一個(gè)非平凡解，必須滿足：即于是，可求得非均勻網(wǎng)上SIS傳播模型的閾值為：對(duì)該閾值可理解如下：當(dāng)λ＜λc，若(**)式中Θ(λ)≠0，則由Θ(λ)＞0可知：故式(**)的第二項(xiàng)肯定大于0，故當(dāng)λ＜λc時(shí)只有Θ(λ)＝0才能使(**)式成立。所以，只有當(dāng)λ≥λc時(shí)，才能由第二項(xiàng)得到不為0的Θ(λ)。對(duì)于規(guī)模無(wú)限大的具有度分布P(k)∝k-γ(γ≤3)的網(wǎng)絡(luò)，＜k2＞=∞，對(duì)應(yīng)的λc=0。由此可見(jiàn)，在無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中，無(wú)論傳染概率多么小，流行病都能持久存在，這個(gè)結(jié)果很好地解釋了為什么病毒與輿論可以在Internet與社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中傳播的如此快。2.基于SIR模型的情形假設(shè)一個(gè)度為k的節(jié)點(diǎn)組中處于易感狀態(tài)、感染狀態(tài)和移除狀態(tài)的個(gè)體的密度分別表示為sk(t)、ik(t)和rk(t)，則它們滿足約束關(guān)系：與SIS模型分析類(lèi)似，令

，可以得到下列動(dòng)力學(xué)演化方程：上述方程組初始條件為rk(0)=0、ik(0)=i0和sk(0)=1-i0。在極限i0→0時(shí)，我們可取ik(0)≈0，sk(0)≈1。在該近似條件下，由演化方程的第一個(gè)方程可得：其中，

為如下的輔助函數(shù)(考慮演化方程的第三個(gè)方程)：其導(dǎo)數(shù)可簡(jiǎn)化為：由此我們得到了關(guān)于

的一個(gè)自治方程，它在給定的P(k)條件下可以求解。一旦得到

，就可以得到

，從而由

可得：由于

得到

，從而可以得到關(guān)于

的自治方程：為了得到非平凡解(非零解)，必須滿足如下條件：于是從而得到閾值為這個(gè)結(jié)果與SIS模型完全相同。在SIS傳播模型下，比較在相同平均度條件下WS小世界網(wǎng)絡(luò)與BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的傳播規(guī)律(傳染率λ和感染個(gè)體的穩(wěn)態(tài)密度ρ的關(guān)系)，如下圖所示。

WS小世界網(wǎng)絡(luò)和BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的傳播規(guī)律比較BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)m=3，其平均度為2m等于6，取WS小世界網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)＜k＞=6。可見(jiàn)，BA網(wǎng)絡(luò)的傳染率連續(xù)而平滑地過(guò)渡到0，說(shuō)明無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)不存在正傳播閾值。對(duì)于BA網(wǎng)絡(luò)，只要傳染率大于0，病毒都能傳播并最終維持在一個(gè)穩(wěn)定態(tài)，這也反映了BA網(wǎng)絡(luò)對(duì)病毒傳播的脆弱性。ρλ幾種網(wǎng)絡(luò)傳播臨界值比較群落網(wǎng)結(jié)構(gòu)對(duì)流行病傳播的影響社團(tuán)結(jié)構(gòu)一般都具有群落結(jié)構(gòu)，群落可以由同事、朋友、同學(xué)或俱樂(lè)部成員等組成。在社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中，各群落內(nèi)部成員聯(lián)系緊密；相反，在不同群落之間則聯(lián)系較少。群落網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)示意圖如圖所示。群落結(jié)構(gòu)的存在必然影響流行病的傳播。本小節(jié)重點(diǎn)探討群落結(jié)構(gòu)對(duì)流行病傳播的影響。含三個(gè)社團(tuán)的社團(tuán)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)示意圖(社團(tuán)內(nèi)實(shí)線連接，社團(tuán)間虛線連接)社會(huì)網(wǎng)絡(luò)通常具備高的集聚系數(shù)，群落內(nèi)的連線密度高，而群落間的連線密度低。假設(shè)我們將產(chǎn)生一個(gè)含有N個(gè)節(jié)點(diǎn)、m個(gè)組的群落網(wǎng)模型，提出如下簡(jiǎn)單方法來(lái)構(gòu)造群落網(wǎng)絡(luò)：步驟1：初始化。將N個(gè)節(jié)點(diǎn)隨機(jī)分成m個(gè)組，每組內(nèi)的節(jié)點(diǎn)數(shù)為ni(i=1，2，…，m)，即

步驟2：群落內(nèi)連線。每個(gè)組內(nèi)的節(jié)點(diǎn)間以概率p連線，從而組i內(nèi)的連線數(shù)為。步驟3：群落間連線。任意兩個(gè)組間的節(jié)點(diǎn)間以概率q連線，從而組i和組j間的連線數(shù)為。通過(guò)上述構(gòu)造方法，最終得到的網(wǎng)絡(luò)總邊數(shù)為

令序參量σ=p／q表示群落化的程度，則對(duì)于群落網(wǎng)絡(luò)應(yīng)該有σ>>１。如果σ=1，則上述方法得到的網(wǎng)絡(luò)將退化為一般的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)。如果給定總邊數(shù)M、總節(jié)點(diǎn)數(shù)N及群落劃分方案和序參量σ，則概率p和q可由下式給定：社團(tuán)網(wǎng)絡(luò)上的流行病傳播用SIS模型來(lái)討論流行病在群落網(wǎng)中的傳播規(guī)律。假定易感個(gè)體以概率α與每個(gè)周?chē)母腥緜€(gè)體接觸。若節(jié)點(diǎn)vj處于易感狀態(tài)且有kj個(gè)鄰居，它們中有kinf個(gè)處于感染狀態(tài)，則在每個(gè)時(shí)間步，節(jié)點(diǎn)vj將以概率

變?yōu)楦腥緺顟B(tài)。同時(shí)每個(gè)感染節(jié)點(diǎn)以概率β變?yōu)橐赘袪顟B(tài)。同前面的討論一樣，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，這里令λ=α／β，β=1。假定初始時(shí)有一粒種子，則它的每個(gè)鄰居將以λ的概率被感染，然后再感染它們的鄰居。一定時(shí)間后，感染達(dá)到穩(wěn)態(tài)。對(duì)于λ＜λc，穩(wěn)態(tài)為0；而對(duì)于λ＞λc，穩(wěn)態(tài)為非零。由于群落網(wǎng)絡(luò)的非均勻結(jié)構(gòu)，最終的狀態(tài)依賴(lài)于選取的種子及網(wǎng)絡(luò)構(gòu)型，因此有意義的結(jié)果必須為對(duì)各種網(wǎng)絡(luò)構(gòu)型及各種初始條件的平均。對(duì)具有σ>>１的群落網(wǎng)，當(dāng)λ較小時(shí)，傳播會(huì)限制在種子所在的群落內(nèi)。從統(tǒng)計(jì)意義上看，可以認(rèn)為種子被均勻選取在每個(gè)社團(tuán)。對(duì)于每個(gè)特定的群落i，其閾值λc(i)由其平均連線數(shù)決定。當(dāng)群落間的連線遠(yuǎn)小于群落內(nèi)的連線時(shí)，有且此關(guān)系對(duì)所有的種子成立。整個(gè)系統(tǒng)的λc為不同構(gòu)型及不同實(shí)現(xiàn)的平均，即對(duì)不同的種子平均，因此λc與p間的定量關(guān)系為λc～1／p。其中a為一常數(shù)。因此λc與M成反比。對(duì)于給定的M，上式可被寫(xiě)為：這就是λc對(duì)群落程度σ的依賴(lài)關(guān)系。隨著群落度的降低，流行病的傳播閾值將增加并在隨機(jī)網(wǎng)時(shí)達(dá)到極大值。換句話說(shuō)，流行病在隨機(jī)網(wǎng)上比在群落網(wǎng)上更不容易爆發(fā)。通過(guò)前面的討論，還可以得到一個(gè)結(jié)論：傳染病本身的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)和個(gè)體所在的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)共同決定了流行病的傳染行為和傳染過(guò)程。無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)是很容易受到病毒感染而導(dǎo)致病毒流行的，因此選擇合適的免疫策略顯得非常重要。人們針對(duì)免疫策略作了較多的研究，通常根據(jù)節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)中的地位(例如以節(jié)點(diǎn)的度來(lái)衡量)來(lái)關(guān)注節(jié)點(diǎn)的選擇。下面簡(jiǎn)要介紹復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的三種免疫策略：隨機(jī)免疫、目標(biāo)免疫和熟人免疫。隨機(jī)免疫完全隨機(jī)地選取網(wǎng)絡(luò)中的一部分節(jié)點(diǎn)進(jìn)行免疫。免疫節(jié)點(diǎn)不會(huì)再被感染，所以它們不會(huì)再影響它們的鄰居。針對(duì)均勻網(wǎng)絡(luò)，容易得出隨機(jī)免疫的免疫臨界值為：對(duì)于無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)來(lái)說(shuō)，推導(dǎo)，可以得到此時(shí)隨機(jī)免疫的免疫臨界值gc為顯然，隨著網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的無(wú)限增長(zhǎng)，無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的＜k2＞→∞，其傳播閾值λc趨于0，而免疫臨界值gc趨于1。這表明，如果對(duì)于無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)采取隨機(jī)免疫策略，則需要對(duì)網(wǎng)絡(luò)幾乎所有節(jié)點(diǎn)都實(shí)施免疫才能保證最終消滅病毒傳染。目標(biāo)免疫根據(jù)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的不均勻特性，選取少量度最大的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行免疫。就BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)而言，目標(biāo)免疫對(duì)應(yīng)的免疫臨界值為：上式表明，即使傳染率λ在很大的范圍內(nèi)取不同的值，都可以得到很小的免疫臨界值。因此，有選擇地對(duì)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行目標(biāo)免疫，其臨界值要比隨機(jī)免疫小得多。

對(duì)BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)采取隨機(jī)免疫和目標(biāo)免疫的對(duì)比上圖橫坐標(biāo)為免疫密度g，縱坐標(biāo)為ρg/ρ0，ρ0表示網(wǎng)絡(luò)未加免疫的穩(wěn)態(tài)感染密度，ρg為網(wǎng)絡(luò)中加入比例為g的免疫節(jié)點(diǎn)后的穩(wěn)態(tài)感染密度。可以看出，隨機(jī)免疫和目標(biāo)免疫在無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中存在著明顯的臨界值差別。在隨機(jī)免疫情況下，隨著免疫密度g的增大，最終的被感染程度下降緩慢，只有當(dāng)g=1時(shí)，才能使被感染數(shù)為零。而在目標(biāo)免疫的情況下，gc≈0.16，這意味著只要對(duì)少量度很大節(jié)點(diǎn)進(jìn)行免疫，就能消除無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中的病毒擴(kuò)散。熟人免疫:對(duì)隨機(jī)選出的節(jié)點(diǎn)的鄰居進(jìn)行免疫，該策略基本思想是：從N個(gè)節(jié)點(diǎn)中隨機(jī)選出比例為s的節(jié)點(diǎn)，再?gòu)拿恳粋€(gè)被選出的節(jié)點(diǎn)中隨機(jī)選擇它的某個(gè)鄰居節(jié)點(diǎn)進(jìn)行免疫。

無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中免疫臨界值隨冪律指數(shù)的變化情況10.80.60.40.2022.533.5γgc復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的輿論演化動(dòng)力學(xué)輿論及其特性輿論是由許許多多的社會(huì)個(gè)體的意見(jiàn)相互作用而形成的，其發(fā)展變化受到自然、社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、文化、政治、法律等各種因素的影響，它的演化過(guò)程具有：復(fù)雜性開(kāi)放性不確定性非平衡性自組織性等特性。協(xié)議是社會(huì)群體中非常重要的方面之一，每天的日常生活都需要人們達(dá)到共識(shí)，而協(xié)議使得組織更協(xié)調(diào)有效并可以擴(kuò)展在社會(huì)上的影響力。輿論傳播的動(dòng)力學(xué)行為也服從SIR模型。但是它的三種狀態(tài)和流行病中的三種狀態(tài)S、I、R代表：不知道消息的人群，知道消息的并有能力繼續(xù)傳播消息的人群，及知道消息但已經(jīng)失去傳播能力或興趣的人群。假設(shè)網(wǎng)絡(luò)上有N個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)代表一個(gè)可傳播消息的個(gè)人，他們傳播消息的行為方式如下：如果得到了一個(gè)消息(I態(tài))，那么他就有興趣把這個(gè)消息傳播出去，在傳播過(guò)程中，他將隨機(jī)地從鄰居中選取一人并將消息傳給他，如果這個(gè)鄰居不知道這個(gè)消息(S態(tài))，則該鄰居就得到此消息(I態(tài))，并進(jìn)行下一輪的傳播。但如果他的鄰居已經(jīng)知道了這個(gè)消息，那么傳播消息的人會(huì)認(rèn)為該消息失去了繼續(xù)傳播的價(jià)值，并失去傳播該消息的興趣(R態(tài))。整個(gè)過(guò)程可由以下關(guān)系簡(jiǎn)單地表示出來(lái)：假設(shè)在一個(gè)有限網(wǎng)絡(luò)中所有的節(jié)點(diǎn)都處于S態(tài)，在某一時(shí)刻突然有一個(gè)節(jié)點(diǎn)得到了一個(gè)新的消息，它將成為I態(tài)。那么按照上面所定義的規(guī)則，這個(gè)消息將在網(wǎng)絡(luò)中傳播，直到最終網(wǎng)絡(luò)中沒(méi)有I態(tài)的節(jié)點(diǎn)為止。稱(chēng)這個(gè)狀態(tài)為終態(tài)。對(duì)于相同平均度的網(wǎng)絡(luò)，無(wú)標(biāo)度網(wǎng)比隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)具有更多度大的節(jié)點(diǎn)，因此無(wú)標(biāo)度網(wǎng)中的消息可較容易的傳遞給大節(jié)點(diǎn)然后再到其他節(jié)點(diǎn)。一旦大節(jié)點(diǎn)處于I態(tài)或R態(tài)，其他節(jié)點(diǎn)因?yàn)橐暂^大概率連接到它們，從而更容易變成R態(tài)；而隨機(jī)網(wǎng)則沒(méi)有這個(gè)特點(diǎn)。因此，輿論在無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上的傳播要比在隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)上結(jié)束得快，從而導(dǎo)致無(wú)標(biāo)度網(wǎng)的總感染密度比隨機(jī)網(wǎng)的小。網(wǎng)絡(luò)的同步早在三百多年前，物理學(xué)家惠更斯在給父親的信里提到他臥病在床的幾天中驚奇的發(fā)現(xiàn)，掛在同一個(gè)橫梁上的兩個(gè)鐘擺在一段時(shí)間以后會(huì)出現(xiàn)同步的擺動(dòng)現(xiàn)象。這種現(xiàn)象發(fā)生的原因是它們通過(guò)懸掛其上的橫粱相互作用。除了這種兩個(gè)個(gè)體相互作用產(chǎn)生的同步現(xiàn)象之外，很多重要的同步現(xiàn)象出現(xiàn)在多體系統(tǒng)中。隨著對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究的深入，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的同步問(wèn)題開(kāi)始被廣泛關(guān)注?？紤]一個(gè)耦合動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是一個(gè)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。系統(tǒng)中的各個(gè)節(jié)點(diǎn)在與外界孤立時(shí)，其演化方式是混沌的。初始時(shí)刻，各個(gè)點(diǎn)的狀態(tài)隨機(jī)分布，各不相同，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的過(guò)渡之后，各點(diǎn)的狀態(tài)可能會(huì)趨于相同，達(dá)到同步態(tài)。人們研究的重點(diǎn)是：網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是如何影響其同步能力的。主要介紹多種不同混沌同步方式的定義，包括完全同步、廣義同步、相位同步和滯后同步等。混沌同步的定義通俗的講，同步是指兩個(gè)或多個(gè)系統(tǒng)，在外部驅(qū)動(dòng)或者相互耦合的作用下。調(diào)整它們的某個(gè)動(dòng)態(tài)性質(zhì)以達(dá)到具有相同性質(zhì)的過(guò)程。所謂混沌同步，指的是對(duì)于從不同的初始條件出發(fā)的兩個(gè)混沌系統(tǒng)，隨著時(shí)間的推移，它們的軌跡逐漸一致。一組動(dòng)力單元(全同或者不全同)，通過(guò)一定的相互作用或者外界的驅(qū)動(dòng)，使得它們的某種運(yùn)動(dòng)性質(zhì)趨于相同，我們就說(shuō)這組單元達(dá)到了同步。同步廣泛存在于自然界和社會(huì)生活中，常見(jiàn)的同步的例子有：惠更斯擺、螢火蟲(chóng)的同步發(fā)光、蛙的齊鳴、心肌細(xì)胞和大腦神網(wǎng)絡(luò)的同步，以及眾人長(zhǎng)時(shí)間鼓掌導(dǎo)致掌聲頻率趨于同步。(精確)同步：兩個(gè)或多個(gè)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，除了自身的演化外，其間還有相互作用（耦合），這種作用既可以是單向的，也可以是雙向的。當(dāng)滿足一定條件時(shí)，在耦合的影響下，這些系統(tǒng)的狀態(tài)輸出就會(huì)逐漸趨同進(jìn)而完全相等，稱(chēng)為同步（精確同步）。廣義的同步還包括相同步和頻率同步等等。復(fù)雜系統(tǒng)中的同步主要有兩大類(lèi)：完全同步和廣義同步，前者兩個(gè)相同單元研究得比較多，兩個(gè)不同單元研究得比較少；后者包括部分同步，如相同步、滯后同步、頻率同步等。對(duì)于系統(tǒng)其中，X＝（x1，x2，...，xn）T∈Rn，Y＝（y1，y2，...，ym）T∈Rm。系統(tǒng)的軌道關(guān)于性質(zhì)gx和gy同步，如存在與時(shí)間無(wú)關(guān)映射h：Rn×Rm→Rk，使得對(duì)于上述的統(tǒng)一定義，根據(jù)X和Y的不同情況可以給出四種不同同步的相應(yīng)定義：完全同步、相位同步、滯后同步和廣義同步。完全同步：兩個(gè)耦合的相同系統(tǒng)，隨著時(shí)間的演化，若同步表現(xiàn)為兩個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)變量完全相等，我們稱(chēng)之為完全同步。相位同步：混沌運(yùn)動(dòng)是被限制在某一局域的振蕩運(yùn)動(dòng)，對(duì)著這種運(yùn)動(dòng)，人們可以從相位和振幅兩個(gè)側(cè)面來(lái)描述系統(tǒng)的狀態(tài)。1996年，Rosenblum等人發(fā)現(xiàn)了一種相同步，即耦合的混沌振子在一定的條件下，其相位會(huì)達(dá)到同步，但其振幅幾乎沒(méi)有關(guān)聯(lián)。若系統(tǒng)（5.18）的解為振蕩型的，它們具有相位φx和φy，稱(chēng)兩個(gè)子系統(tǒng)達(dá)到相位同步，如果存在兩個(gè)正整數(shù)p、q，使得其中ε是一個(gè)很小的正數(shù)。滯后同步：對(duì)于系統(tǒng)，稱(chēng)其兩個(gè)子系統(tǒng)達(dá)到滯后同步（延時(shí)同步），需要滿足m＝n，且存在與時(shí)間無(wú)關(guān)的常數(shù)τ，使得廣義同步：對(duì)于不全同的系統(tǒng)在一定的條件下驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)間存在的關(guān)系，對(duì)于系統(tǒng)，稱(chēng)其兩個(gè)子系統(tǒng)達(dá)到關(guān)于性質(zhì)h廣義同步，如果存在連續(xù)映射h：。使得針對(duì)線性耦合網(wǎng)絡(luò)上的同步問(wèn)題，Pecora和Carroll提出了主穩(wěn)定函數(shù)判據(jù)。他們首先假設(shè)：(1)所有的耦合振子都是完全相同的，(2)從每個(gè)振子提取的用于耦合其它振子的函數(shù)也是完全相同的，(3)同步流形是不變流形，(4)節(jié)點(diǎn)的耦合方式使在同步流形附近系統(tǒng)可以線性化。假設(shè)(1)和(3)是為了保證相空間中同步超平面的存在，假設(shè)(2)是為了使動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性圖象更加清晰具體，假設(shè)(4)是為了更好地應(yīng)用線性近似這一研究耦合系統(tǒng)最常用的方法。在此基礎(chǔ)上，Pecora和Carroll完成了耦合振子系統(tǒng)的同步穩(wěn)定性分析，提出用主穩(wěn)定性函數(shù)方法確定動(dòng)力學(xué)網(wǎng)絡(luò)同步的穩(wěn)定性。下面我們介紹主穩(wěn)定性函數(shù)的定義及其使用方法?？紤]一個(gè)由N