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文檔簡介
§1模糊關系的定義與性質(zhì)設U,V是兩個論域,在普通集合論中,記做U與V的笛卡爾乘積??赡軤顟B(tài)集是由U與V中任意搭配所構(gòu)成,笛卡兒乘積集是兩集合元素之間的約束搭配。若給搭配以約束便體現(xiàn)了一種特殊關系。是笛卡兒集中的一個子集。
記定義3.1定義(模糊關系):稱的模糊子集為從U到V的一個模糊關系,記作稱U到V的模糊關系為U中的(二元)模糊關系。
模糊關系由其隸屬函數(shù)所刻畫。叫做具有關系的模糊程度。例1設身高的論域為
U={140,150,160,170,180}
單位:厘米
設體重的論域為
V={40,50,60,70,80}
單位:公斤表示身高與體重之間的相互關系。標準體重關系:體重(kg)=身高(cm)-100cm。模糊關系的表示:圖、表、函數(shù)、矩陣上述U與V的關系可用表來表示:40506070801401.00.80.20.10.01500.81.00.80.20.11600.20.81.00.80.21700.10.20.81.00.81800.00.10.20.81.0例:用矩陣表示模糊關系
U,V有限論域,用矩陣R來表示:,顯然
R叫模糊矩陣:例:用函數(shù)表示關系表示實數(shù)域上“遠遠大于的關系”例:二人博弈具有相同的策略集。
U=V={石頭,剪刀,布}
,勝為1,平為0.5,負為0用圖表示關系:石剪布布剪石布布剪剪石石對于同一論域上:布剪石
§2模糊矩陣的運算設表示全體n行m列的模糊矩陣。對任意:定義:分別叫做R與S的并,交,R的余矩陣。例:則:若對所有i,j成立,則稱R=S。模糊矩陣滿足下列性質(zhì):性質(zhì)1交換律:性質(zhì)2結(jié)合律:性質(zhì)3分配律:性質(zhì)4冪等律:性質(zhì)5吸收律:性質(zhì)6復原律:
記性質(zhì)7
稱S包含R記。如果對任意(i,j)都有。性質(zhì)8性質(zhì)9性質(zhì)10若,則性質(zhì)11
記若必有即對任意,記其中
稱為R的截矩陣。其所對應的關系叫的截關系。例則性質(zhì)14
證明:①②取性質(zhì)15
證:§3模糊關系的合成普通關系的合成
U:人群,Q:兄弟,R:父子,S:叔侄三個關系中有這樣的聯(lián)系:
x是z的叔叔至少有一個
,使y是x的哥哥而且y是z的父親我們稱叔侄關系是弟兄關系對父子關系的合成。記:叔侄=弟兄°父子→合成關系
一般地,設若:則稱關系S是關系Q對R的合成,記做有
用特征函數(shù)來表示,有由此,可以給出模糊關系合成的定義。定義3.2
設所謂對的合成,是指從U到W的一個模糊關系,記做,它具有隸屬函數(shù)當,記
對于有限論域:
定義模糊矩陣的乘積定義3.3(模糊矩陣乘積):設,則定義,使有
S叫矩陣Q對R的合成,也稱Q對R的模糊乘積。性質(zhì)16
對模糊矩陣有證:設則①
②
故性質(zhì)17模糊乘法滿足結(jié)合律性質(zhì)18
證:設有性質(zhì)18a
例:
性質(zhì)19性質(zhì)20定義3.4
1)叫自反關系,如果
2)叫作自反矩陣,如果3)包含R而有被任何包含R的自反矩陣所包含的自反矩陣,叫做R的自反閉包。記由自反閉包的定義可知:
a)
;
b)
;
c)
任意包含R的自反矩陣Q都滿足;
性質(zhì)21§4倒置關系與轉(zhuǎn)置矩陣
定義3.5
設,所謂的倒置是指:兄弟”關系是“弟兄”關系的倒置關系,“信任”是“被信任”的倒置關系。定義3.6
稱,是U中的對稱關系,如果是對稱關系,且僅當“朋友”是對稱關系?!安町悺笔菍ΨQ關系。“父子”就不是對稱關系。定義3.7
設稱是R的轉(zhuǎn)置矩陣,如果稱R為對稱矩陣,如果且有性質(zhì)22
性質(zhì)23性質(zhì)24性質(zhì)25
性質(zhì)26
證明:設
故又性質(zhì)27
對任意必為對稱,且被所有包含R的對稱矩陣所包含。證:故是對稱矩陣;又設Q是任意一個包含R的對稱矩陣,故
有:
∵Q對稱故故對稱閉包包含R而又被任何包含R的對稱矩陣所包含的對稱矩陣叫做R的對稱閉包,記s(R)。其結(jié)果為:由對稱閉包的定義可知:
a)
;
b)
;
c)
任意包含R的對稱矩陣Q都滿足例:
§5模糊關系的傳遞性普通關系中:R∈P(UU)稱為是具有傳遞性的,若
(u,v)∈R,(v,w)∈R(u,w)∈R定義3.8(模糊關系的傳遞性):設若對任意的λ∈[0,1]均有稱是具有傳遞性的。傳遞性的充分必要條件是:證:任給,取顯然由定義3.8知從而
顯然成立上式定理的右端乃是,故可得或傳遞關系是指:它包含著它與它自己的合成。定義3.9:設,稱R是傳遞矩陣,如果滿足.傳遞關系的性質(zhì):性質(zhì)1:若和是傳遞的,則也是傳遞的。證:和是傳遞的,
是傳遞的。性質(zhì)2:若是傳遞的,也是傳遞的。證:∵是傳遞的∴∴也是傳遞的。傳遞閉包:包含R而又被任意包含R的傳遞矩陣所包含的傳遞矩陣,叫做R的傳遞閉包。記t(R)
由傳遞閉包的定義可知:
a)
;
b)
;
c)
任意包含R的對稱矩陣Q都滿足性質(zhì)28:對任意的,總有證:⑴t(R)具有傳遞性R?RR
;⑵t(R)基于R產(chǎn)生
傳遞關系的性質(zhì):性質(zhì)1若和是傳遞的,則也是傳遞的。證:是傳遞的,
性質(zhì)2若是傳遞的,也是傳遞的。證:∵是傳遞的∴∴也是傳遞的
2)設Q是任意包含R的傳遞矩陣又∵Q是傳遞矩陣由于k的任意性知引理3.1
設則
證明:一般情況下
當m>n時,上式右端的足碼必有重復出現(xiàn);當m>n時,上式足碼i,j1,j2,….jm-1k(m+1)個,不同的足碼只能有n個。于是
即當m>n
例:已知,求傳遞閉包。解:
§6相似矩陣相似矩陣:自反、對稱的矩陣叫做相似矩陣。定理3.1
設為相似矩陣,則對于任意k≥n均有證明:(需證)
R是自反的,(1≤i≤n)則故有從而當k≥n時
又∵由定義故且相似矩陣求傳遞閉包的方法:需便可得到傳遞閉包。
n=30
需要5次便可得到。
例:求相似矩陣的傳遞閉包
§7模糊等價關系普通的等價關系:同時具備自反、對稱、傳遞三性的關系。普通的等價關系決定一個分類:彼此等價的元素同屬一類。所謂U的一個分類是指:可將U分成若干個子集使得定義3.10叫做U上的一個模糊等價關系,如果它是自反、對稱、傳遞的模糊關系,叫做等價矩陣,如果它是自反、對稱、傳遞的模糊矩陣。
定理3.2
是等價矩陣,當且僅當對任意,
都是等價的布爾矩陣。證:⑴R自反自反(顯然)⑵R對稱對稱若,不妨設,取便有
從而。()顯然。
⑶R傳遞傳遞(由傳遞性定義)描述了一個普通等價關系。定理3.3
若0≤λ<μ≤1,則所分出的每一個類必是所分出的某一類的子類。證:
亦即:
若i、j按歸為一類,則按亦歸為一類。
λ從1降至0,分類由細變粗,逐步歸并,形成一個動態(tài)的聚類圖。設U={Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,Ⅴ}
1)
2)
3)R是等價矩陣。令λ由1降至0,寫出,按分類,i與j
歸為同類
相應的分類Ⅰ},{Ⅱ},{Ⅲ},{Ⅳ},{Ⅴ}。
相應的分類Ⅰ,Ⅲ},{Ⅱ},{Ⅳ},{Ⅴ}。相應的分類Ⅰ,Ⅲ},{Ⅱ},{Ⅳ,Ⅴ}。
相應的分類Ⅰ,Ⅲ,Ⅳ,Ⅴ},{Ⅱ}。相應的分類Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,Ⅴ}。
§8聚類分析定義:對事物按一定要求進行分類的數(shù)學方法,叫做聚類分析。聚類分析有許多方法,我們采用模糊等價關系進行聚類分析。一、等價聚類步驟1:根據(jù)樣本集合U中元素的屬性,建立模糊關系R。(將詳細討論)步驟2:求R的遞歸閉包t(R),它就是R的模糊等價關系(需證明)
步驟3:根據(jù)實際問題的要求,選定一個恰當?shù)?求就是普通的等價關系
步驟4:求出商集,它對應著U的一個劃分,即是一種分類。定理:若是相似矩陣,則t(R)=e(R),其中e(R)是R的等價閉包。
e(R):包含R,而又被任一包含R的等價矩陣所包含的最小的等價矩陣證明:1.證明t(R)是等價的,
a.
所以t(R)是自反的;
b.利用
即t(R)是對稱的。
c.t(R)顯然是傳遞的;所以t(R)是一等價矩陣。
2.證明t(R)被任一Q所包含證:設Q為包含R的任一等價矩陣,
故Q是傳遞的,
3.t(R)
顯然包含R
故t(R)=e(R)為等價閉包。二、模糊關系的建立-----校定設被分類的每一對象由一組數(shù)據(jù)來表征,則的相似程度可按實際情況,從下列方式中選擇一種來確定。
1)數(shù)量積
2)夾角余弦
3)相關系數(shù)
4)指數(shù)相似系數(shù)
5)非參數(shù)方法
6)最大最小方法
7)算術平均最小方法8)幾何平均最小方法
9)絕對值指數(shù)方法10)絕對值倒數(shù)方法
11)
絕對值減數(shù)方法
12)
主觀評定法打分
例:A=(5,5,3,2)B=(2,3,4,5)C=(5,5,2,3)D=(1,5,3,1)
E=(2,4,5,1)
取論域U={A,B,C,D,E}
按(11)方法建立相似關系(C=0.1)
R是相似矩陣,不能直接分類,對它進行改造。是等價矩陣
三、聚類分析的其它方法1.直接聚類法由此不需改造R直接根據(jù)聚類原則得到聚類圖。聚類原則:ui和uj在水平上同類在R圖中存在一條權重不低于的路連接uiuj
例:設U=Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,Ⅴ},表示父、子、女、鄰居、母。?、蠛廷醮嬖谝粭l路{Ⅰ}{Ⅱ}{ⅢⅤ}{Ⅳ};?。á?,Ⅴ)(Ⅲ,Ⅴ)(Ⅱ,Ⅲ)存在路,故{Ⅰ}{ⅡⅢⅤ}{Ⅳ}
取
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