第三章-模糊關系課件

§1模糊關系的定義與性質(zhì)設U，V是兩個論域，在普通集合論中，記做Ｕ與Ｖ的笛卡爾乘積?？赡軤顟B(tài)集是由Ｕ與Ｖ中任意搭配所構(gòu)成，笛卡兒乘積集是兩集合元素之間的約束搭配。若給搭配以約束便體現(xiàn)了一種特殊關系。是笛卡兒集中的一個子集。

記定義3.1定義(模糊關系)：稱的模糊子集為從U到V的一個模糊關系，記作稱U到V的模糊關系為U中的（二元）模糊關系。

模糊關系由其隸屬函數(shù)所刻畫。叫做具有關系的模糊程度。例1設身高的論域為

U={140，150，160，170，180}

單位：厘米

設體重的論域為

V={40，50，60，70，80}

單位：公斤表示身高與體重之間的相互關系。標準體重關系：體重（kg）=身高（cm）-100cm。模糊關系的表示：圖、表、函數(shù)、矩陣上述U與V的關系可用表來表示:40506070801401.00.80.20.10.01500.81.00.80.20.11600.20.81.00.80.21700.10.20.81.00.81800.00.10.20.81.0例：用矩陣表示模糊關系

U，V有限論域，用矩陣R來表示：，顯然

R叫模糊矩陣：例：用函數(shù)表示關系表示實數(shù)域上“遠遠大于的關系”例：二人博弈具有相同的策略集。

U=V={石頭，剪刀，布}

，勝為1，平為0.5，負為0用圖表示關系：石剪布布剪石布布剪剪石石對于同一論域上：布剪石

§2模糊矩陣的運算設表示全體n行m列的模糊矩陣。對任意：定義：分別叫做R與S的并，交，R的余矩陣。例：則：若對所有i，j成立，則稱R=S。模糊矩陣滿足下列性質(zhì)：性質(zhì)1交換律：性質(zhì)2結(jié)合律：性質(zhì)3分配律：性質(zhì)4冪等律：性質(zhì)5吸收律：性質(zhì)6復原律：

記性質(zhì)7

稱S包含R記。如果對任意（i，j）都有。性質(zhì)8性質(zhì)9性質(zhì)10若，則性質(zhì)11

記若必有即對任意，記其中

稱為R的截矩陣。其所對應的關系叫的截關系。例則性質(zhì)14

證明：①②取性質(zhì)15

證：§3模糊關系的合成普通關系的合成

U：人群，Q：兄弟，R：父子，S：叔侄三個關系中有這樣的聯(lián)系：

x是z的叔叔至少有一個

，使y是x的哥哥而且y是z的父親我們稱叔侄關系是弟兄關系對父子關系的合成。記：叔侄=弟兄°父子→合成關系

一般地，設若：則稱關系S是關系Q對R的合成，記做有

用特征函數(shù)來表示，有由此，可以給出模糊關系合成的定義。定義3.2

設所謂對的合成,是指從U到W的一個模糊關系,記做，它具有隸屬函數(shù)當，記

對于有限論域:

定義模糊矩陣的乘積定義3.3(模糊矩陣乘積)：設，則定義，使有

S叫矩陣Q對R的合成，也稱Q對R的模糊乘積。性質(zhì)16

對模糊矩陣有證：設則①

②

故性質(zhì)17模糊乘法滿足結(jié)合律性質(zhì)18

證：設有性質(zhì)18a

例：

性質(zhì)19性質(zhì)20定義3.4

1）叫自反關系，如果

2）叫作自反矩陣，如果3）包含R而有被任何包含R的自反矩陣所包含的自反矩陣，叫做R的自反閉包。記由自反閉包的定義可知：

a)

；

b)

；

c)

任意包含R的自反矩陣Q都滿足；

性質(zhì)21§4倒置關系與轉(zhuǎn)置矩陣

定義3.5

設，所謂的倒置是指：兄弟”關系是“弟兄”關系的倒置關系，“信任”是“被信任”的倒置關系。定義3.6

稱，是U中的對稱關系，如果是對稱關系，且僅當“朋友”是對稱關系?！安町悺笔菍ΨQ關系。“父子”就不是對稱關系。定義3.7

設稱是R的轉(zhuǎn)置矩陣，如果稱R為對稱矩陣，如果且有性質(zhì)22

性質(zhì)23性質(zhì)24性質(zhì)25

性質(zhì)26

證明：設

故又性質(zhì)27

對任意必為對稱，且被所有包含R的對稱矩陣所包含。證：故是對稱矩陣；又設Q是任意一個包含R的對稱矩陣，故

有：

∵Q對稱故故對稱閉包包含R而又被任何包含R的對稱矩陣所包含的對稱矩陣叫做R的對稱閉包，記s(R)。其結(jié)果為：由對稱閉包的定義可知：

a)

；

b)

；

c)

任意包含R的對稱矩陣Q都滿足例：

§5模糊關系的傳遞性普通關系中：R∈P（UU）稱為是具有傳遞性的，若

(u，v)∈R，(v，w)∈R(u，w)∈R定義3.8(模糊關系的傳遞性):設若對任意的λ∈[0,1]均有稱是具有傳遞性的。傳遞性的充分必要條件是：證：任給，取顯然由定義3.8知從而

顯然成立上式定理的右端乃是,故可得或傳遞關系是指：它包含著它與它自己的合成。定義3.9：設，稱R是傳遞矩陣，如果滿足.傳遞關系的性質(zhì)：性質(zhì)1：若和是傳遞的，則也是傳遞的。證：和是傳遞的,

是傳遞的。性質(zhì)2：若是傳遞的，也是傳遞的。證：∵是傳遞的∴∴也是傳遞的。傳遞閉包：包含R而又被任意包含R的傳遞矩陣所包含的傳遞矩陣，叫做R的傳遞閉包。記t(R)

由傳遞閉包的定義可知：

a)

；

b)

；

c)

任意包含R的對稱矩陣Q都滿足性質(zhì)28：對任意的，總有證：⑴t(R)具有傳遞性R?RR

；⑵t(R)基于R產(chǎn)生

傳遞關系的性質(zhì)：性質(zhì)1若和是傳遞的，則也是傳遞的。證：是傳遞的，

性質(zhì)2若是傳遞的，也是傳遞的。證：∵是傳遞的∴∴也是傳遞的

2）設Q是任意包含R的傳遞矩陣又∵Q是傳遞矩陣由于k的任意性知引理3.1

設則

證明：一般情況下

當m>n時，上式右端的足碼必有重復出現(xiàn)；當m>n時，上式足碼i,j1,j2,….jm-1k(m+1)個，不同的足碼只能有n個。于是

即當m>n

例:已知，求傳遞閉包。解：

§6相似矩陣相似矩陣：自反、對稱的矩陣叫做相似矩陣。定理３.1

設為相似矩陣，則對于任意k≥n均有證明：（需證）

R是自反的，（1≤i≤n）則故有從而當k≥n時

又∵由定義故且相似矩陣求傳遞閉包的方法：需便可得到傳遞閉包。

n=30

需要5次便可得到。

例：求相似矩陣的傳遞閉包

§7模糊等價關系普通的等價關系：同時具備自反、對稱、傳遞三性的關系。普通的等價關系決定一個分類：彼此等價的元素同屬一類。所謂U的一個分類是指：可將U分成若干個子集使得定義3.10叫做U上的一個模糊等價關系,如果它是自反、對稱、傳遞的模糊關系，叫做等價矩陣，如果它是自反、對稱、傳遞的模糊矩陣。

定理3.2

是等價矩陣,當且僅當對任意,

都是等價的布爾矩陣。證：⑴R自反自反（顯然）⑵R對稱對稱若，不妨設，取便有

從而。（）顯然。

⑶R傳遞傳遞（由傳遞性定義）描述了一個普通等價關系。定理3.3

若0≤λ<μ≤1,則所分出的每一個類必是所分出的某一類的子類。證:

亦即:

若i、j按歸為一類，則按亦歸為一類。

λ從1降至0，分類由細變粗，逐步歸并，形成一個動態(tài)的聚類圖。設U={Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ}

1）

2）

3）R是等價矩陣。令λ由1降至0，寫出，按分類，i與j

歸為同類

相應的分類Ⅰ}，{Ⅱ}，{Ⅲ}，{Ⅳ}，{Ⅴ}。

相應的分類Ⅰ，Ⅲ}，{Ⅱ}，{Ⅳ}，{Ⅴ}。相應的分類Ⅰ，Ⅲ}，{Ⅱ}，{Ⅳ，Ⅴ}。

相應的分類Ⅰ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ}，{Ⅱ}。相應的分類Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ}。

§8聚類分析定義：對事物按一定要求進行分類的數(shù)學方法，叫做聚類分析。聚類分析有許多方法，我們采用模糊等價關系進行聚類分析。一、等價聚類步驟1：根據(jù)樣本集合U中元素的屬性，建立模糊關系R。（將詳細討論）步驟2：求R的遞歸閉包t(R)，它就是R的模糊等價關系(需證明)

步驟3：根據(jù)實際問題的要求，選定一個恰當?shù)?求就是普通的等價關系

步驟4：求出商集，它對應著U的一個劃分,即是一種分類。定理：若是相似矩陣，則t(R)=e(R),其中e(R)是R的等價閉包。

e(R):包含R,而又被任一包含R的等價矩陣所包含的最小的等價矩陣證明：1．證明t(R)是等價的，

a.

所以t(R)是自反的；

b.利用

即t(R)是對稱的。

c.t(R)顯然是傳遞的；所以t(R)是一等價矩陣。

2．證明t(R)被任一Q所包含證：設Q為包含R的任一等價矩陣,

故Q是傳遞的，

3．t(R)

顯然包含R

故t(R)=e(R)為等價閉包。二、模糊關系的建立-----校定設被分類的每一對象由一組數(shù)據(jù)來表征，則的相似程度可按實際情況，從下列方式中選擇一種來確定。

1)數(shù)量積

2)夾角余弦

3)相關系數(shù)

4)指數(shù)相似系數(shù)

5)非參數(shù)方法

6)最大最小方法

7)算術平均最小方法8)幾何平均最小方法

9)絕對值指數(shù)方法10)絕對值倒數(shù)方法

11)

絕對值減數(shù)方法

12)

主觀評定法打分

例：A=(5,5,3,2)B=(2,3,4,5)C=(5,5,2,3)D=(1,5,3,1)

E=(2,4,5,1)

取論域U={A,B,C,D,E}

按（11）方法建立相似關系（C=0.1）

R是相似矩陣，不能直接分類，對它進行改造。是等價矩陣

三、聚類分析的其它方法1.直接聚類法由此不需改造R直接根據(jù)聚類原則得到聚類圖。聚類原則：ui和uj在水平上同類在R圖中存在一條權重不低于的路連接uiuj

例：設U=Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ}，表示父、子、女、鄰居、母。?、蠛廷醮嬖谝粭l路{Ⅰ}{Ⅱ}{ⅢⅤ}{Ⅳ}；?。á?，Ⅴ）（Ⅲ，Ⅴ）（Ⅱ，Ⅲ）存在路，故{Ⅰ}{ⅡⅢⅤ}{Ⅳ}

取