靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法

靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法第一頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二§3.5靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題，唯一性定理

Electrostatic-FieldBoundary-ValueProblems,UniquenessTheorem邊值問(wèn)題：在給定的邊界條件下，求解位函數(shù)的泊松方程或拉普拉斯方程，以得到任意點(diǎn)位函數(shù)或場(chǎng)強(qiáng)；

本節(jié)內(nèi)容

3.5.1邊值問(wèn)題的類型

3.5.2惟一性定理

第二頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二

靜態(tài)場(chǎng)問(wèn)題已知場(chǎng)域邊界上各點(diǎn)電位值分布型問(wèn)題給定場(chǎng)源分布，求任意點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)或位函數(shù)；邊值型問(wèn)題給定邊界條件，求解位函數(shù)的泊松方程或拉普拉斯方程，以得到任意點(diǎn)位函數(shù)或場(chǎng)強(qiáng)；靜態(tài)場(chǎng)問(wèn)題第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件一、二類邊界條件的線性組合，即已知場(chǎng)域邊界上各點(diǎn)電位的法向?qū)?shù)第三頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二一、靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題及其分類

1.邊值問(wèn)題的分類----根據(jù)場(chǎng)域邊界條件的不同狄利克雷問(wèn)題：給定整個(gè)場(chǎng)域邊界上的電位函數(shù)值（第一類）聶曼問(wèn)題：給定待求位函數(shù)在邊界上的法向?qū)?shù)值

（第二類）混合邊值問(wèn)題：給定邊界上的位函數(shù)及其法向?qū)?shù)的線性組合（第三類）第四頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二2.邊值條件包括：場(chǎng)域的邊界條件銜接條件----不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件周期邊界條件自然邊界條件（無(wú)界空間）第五頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二

邊值條件

自然邊界條件（無(wú)界空間）

周期邊界條件

銜接條件

----不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件，如第六頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例：（第一類邊值問(wèn)題）（第三類邊值問(wèn)題）例：第七頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二計(jì)算法實(shí)驗(yàn)法圖解法邊值型問(wèn)題解法解析法數(shù)值法有限差分法有限元法邊界元法矩量法…鏡像法分離變量法復(fù)變函數(shù)法格林函數(shù)法…§3.5靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題，唯一性定理3.邊值型問(wèn)題的解法第八頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二二、惟一性定理UniquenessTheorem

即，滿足邊界條件的泊松方程或拉普拉斯方程的解是惟一的?！?.5靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題，唯一性定理

在場(chǎng)域V的邊界面S上給定或的值，則泊松方程或拉普拉斯方程在場(chǎng)域V具有惟一值。

惟一性定理的表述

惟一性定理的重要意義

給出了靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題具有惟一解的條件

為靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題的各種求解方法提供了理論依據(jù)

為求解結(jié)果的正確性提供了判據(jù)第九頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二§3.6鏡像法

ImageMethod鏡像法的基本原理接地導(dǎo)體平面的鏡像點(diǎn)電荷對(duì)無(wú)限大介質(zhì)平面的鏡像導(dǎo)體球面的鏡像導(dǎo)體圓柱面的鏡像線電流對(duì)無(wú)限大磁介質(zhì)平面的鏡像本節(jié)內(nèi)容第十頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二

當(dāng)有電荷存在于導(dǎo)體或介質(zhì)表面附近時(shí)，導(dǎo)體和介質(zhì)表面會(huì)出現(xiàn)感應(yīng)電荷或極化電荷，而感應(yīng)電荷或極化電荷將影響場(chǎng)的分布。非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代1.

問(wèn)題的提出

幾個(gè)實(shí)例q一、鏡像法的基本原理

接地導(dǎo)體板附近有一個(gè)點(diǎn)電荷，如圖所示。q′非均勻感應(yīng)電荷等效電荷第十一頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二

接地導(dǎo)體球附近有一個(gè)點(diǎn)電荷，如圖。非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代

接地導(dǎo)體柱附近有一個(gè)線電荷。情況與上例類似，但等效電荷為線電荷。q非均勻感應(yīng)電荷q′等效電荷

結(jié)論：所謂鏡像法是將不均勻電荷分布的作用等效為點(diǎn)電荷或線電荷的作用。

問(wèn)題：這種等效電荷是否存在？這種等效是否合理？第十二頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二2.鏡像法的原理鏡像法概念：在一定條件下，用一個(gè)或多個(gè)位于待求場(chǎng)域邊界以外虛設(shè)的較簡(jiǎn)單的等效電荷來(lái)等效替代場(chǎng)域邊界上未知的較為復(fù)雜的電荷分布的作用，且保持原有邊界上邊界條件不變，則根據(jù)惟一性定理，待求場(chǎng)域空間電場(chǎng)可由原來(lái)的電荷和所有等效電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)疊加得到。從而將原含該邊界的非均勻媒質(zhì)空間變換成無(wú)限大單一均勻媒質(zhì)的空間，使分析計(jì)算過(guò)程得以明顯簡(jiǎn)化；這些等效電荷稱為鏡像電荷，這種求解方法稱為鏡像法。第十三頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二

用虛設(shè)的鏡像電荷來(lái)替代實(shí)際邊界,將原來(lái)具有邊界的空間變成同一媒質(zhì)空間，使計(jì)算簡(jiǎn)化。鏡像法:3.理論依據(jù)：惟一性定理第十四頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二

個(gè)數(shù)、位置、電量大小——“三要素”。4.鏡像法應(yīng)用的關(guān)鍵點(diǎn)5.

確定鏡像電荷的兩條原則

等效求解的“有效場(chǎng)域”

鏡像電荷的確定

鏡像電荷必須位于所求解的場(chǎng)區(qū)域以外的空間中；

鏡像電荷的個(gè)數(shù)、位置及電荷量的大小以滿足所求解的場(chǎng)區(qū)域的邊界條件來(lái)確定；第十五頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二二、接地導(dǎo)體平面的鏡像

點(diǎn)電荷對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像線電荷對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像點(diǎn)電荷對(duì)半無(wú)限大接地導(dǎo)體角域(導(dǎo)體劈)的鏡像第十六頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二二、接地導(dǎo)體平面的鏡像

1.點(diǎn)電荷對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像

求（1）導(dǎo)體上方（即z>0的空間）的電位分布；

（2）導(dǎo)體表面的感應(yīng)電荷。§3.6鏡像法q

待求場(chǎng)域：上半空間

邊界：無(wú)限大導(dǎo)體平面

邊界條件：第十七頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二*此時(shí)，在z>0的空間里任一點(diǎn)p(x,y,z)的電位等于原點(diǎn)電荷q和鏡像電荷所產(chǎn)生電位的疊加?！?.6鏡像法有效區(qū)域qq第十八頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二注意：僅對(duì)上半空間等效。*此時(shí)要保證z=0平面邊界條件不變，即應(yīng)為零電位。可見(jiàn)，引入鏡像電荷后保證了邊界條件不變；鏡像點(diǎn)電荷位于z<0的空間，未改變所求空間的電荷分布，因而在z>0的空間，電位仍然滿足原有的方程。由惟一性定理知結(jié)果正確。

故對(duì)z=0平面上任意點(diǎn)有*選無(wú)窮遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)，則在z>0的空間任一點(diǎn)p的總電位是：

得§3.6鏡像法第十九頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二鏡像電荷Z>0空間的電位分布：有效區(qū)域qq第二十頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二上半空間的電場(chǎng)強(qiáng)度：第二十一頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二（2）根據(jù)靜電場(chǎng)的邊界條件，求導(dǎo)體表面的感應(yīng)電荷密度：§3.6鏡像法q第二十二頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二導(dǎo)體表面的總感應(yīng)電荷導(dǎo)體表面上感應(yīng)電荷對(duì)點(diǎn)電荷的作用力鏡像電荷代替了導(dǎo)體表面所有感應(yīng)電荷對(duì)上半空間的作用?？梢?jiàn)，q或第二十三頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二2.線電荷對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像

原問(wèn)題有效區(qū)域-hz鏡像線電荷：待求場(chǎng)域z>0中的電位:上半空間的電場(chǎng)xz第二十四頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二3.點(diǎn)電荷對(duì)半無(wú)限大接地導(dǎo)體角域(導(dǎo)體劈)的鏡像兩個(gè)相互垂直相連的半無(wú)限大接地導(dǎo)體平板形成的角域內(nèi)，有點(diǎn)電荷q位于(d1,d2)處,求角內(nèi)的電場(chǎng)分布。。d11qd22RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d1第二十五頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二d1qd2RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d1d11qd22鏡像電荷q1=－q，位于(－d1,d2)鏡像電荷q2=－q，位于(d1,－d2)鏡像電荷q3=q,位于(－d1,－d2)電位函數(shù)第二十六頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二由兩個(gè)半無(wú)限大接地導(dǎo)體平面形成角形邊界，當(dāng)其夾角為整數(shù)時(shí)，該角域中的點(diǎn)電荷將有(2n-1)個(gè)鏡像電荷，該角域中的場(chǎng)可以用鏡像法求解;結(jié)論：q/3/3q當(dāng)n=3時(shí)：第二十七頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二當(dāng)n=3時(shí)：角域夾角為π/n，n為整數(shù)時(shí)，有(2n－1)個(gè)鏡像電荷，n不為整數(shù)時(shí)，鏡像電荷將有無(wú)數(shù)個(gè)，鏡像法就不再適用了；當(dāng)角域夾角為鈍角時(shí)，鏡像法亦不適用。角域外有5個(gè)鏡像電荷，大小和位置如圖所示。所有鏡像電荷都正、負(fù)交替地分布在同一個(gè)圓周上，該圓的圓心位于角域的頂點(diǎn)，半徑為點(diǎn)電荷到頂點(diǎn)的距離。

輪流找出鏡像電荷及鏡像電荷的鏡像，直到最后的鏡像電荷與原電荷重合為止。第二十八頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二

例1

一個(gè)點(diǎn)電荷q與無(wú)限大導(dǎo)體平面距離為d，如果把它移至無(wú)窮遠(yuǎn)處，需要做多少功？

解：移動(dòng)電荷q時(shí)，外力需要克服電場(chǎng)力做功，而電荷q受的電場(chǎng)力來(lái)源于導(dǎo)體板上的感應(yīng)電荷?？梢韵惹箅姾蓂移至無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)電場(chǎng)力所做的功。

q'qx=∞0d-d

由鏡像法，感應(yīng)電荷可以用像電荷

替代。當(dāng)電荷q移至x時(shí)，像電荷

應(yīng)位于－x，則像電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度第二十九頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二1.點(diǎn)電荷對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像

求（1）導(dǎo)體上方（即z>0的空間）的電位分布；

（2）導(dǎo)體表面的感應(yīng)電荷?！?.6鏡像法

待求場(chǎng)域：上半空間

邊界：無(wú)限大導(dǎo)體平面

邊界條件：z=0時(shí)有效區(qū)域qq鏡像電荷第三十頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二2.線電荷對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像

原問(wèn)題有效區(qū)域-hz鏡像線電荷：xz第三十一頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二當(dāng)n=3時(shí)：角域夾角為π/n，n為整數(shù)時(shí)，有(2n－1)個(gè)鏡像電荷，n不為整數(shù)時(shí)，鏡像電荷將有無(wú)數(shù)個(gè)，鏡像法就不再適用了；當(dāng)角域夾角為鈍角時(shí)，鏡像法亦