隨機(jī)決策理論與方法

隨機(jī)決策理論與方法第一頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法隨機(jī)性決策風(fēng)險(xiǎn)性決策（隨機(jī)性決策）：指有多種未來狀態(tài)和相應(yīng)后果，但只能得到各種狀態(tài)發(fā)生的概率而難以獲得充分可靠信息的決策問題。特點(diǎn)：狀態(tài)的隨機(jī)性；決策結(jié)果的效用特性。決策的已知變量：狀態(tài)空間的概率分布<Θ,P>={<1,p1>,<2,p2>,…,<n,pn>}后果的效用函數(shù)(或損失函數(shù))：u(cij)，cij表示采取方案ai時(shí)出現(xiàn)狀態(tài)j的后果解決問題的主要理論方法：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法隨機(jī)決策理論與方法1、主觀概率2、效用函數(shù)3、決策準(zhǔn)則4、貝葉斯決策分析第三頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法主觀概率—概率的定義古典概率的定義：在相同條件下進(jìn)行了n次試驗(yàn)（隨機(jī)試驗(yàn)），其中事件A發(fā)生的次數(shù)nA稱為事件A發(fā)生的頻數(shù)，比值nA/n稱為事件A發(fā)生的頻率，記為fn(A)，則古典概率的定義為：p(A)=limn→∞fn(A)Laplace的定義：p(A)=k/n；其中k為事件A所包含的基本事件數(shù)，n為基本事件ei的總數(shù)。（基本事件數(shù)有限，每個(gè)基本事件等概率）公理化定義：E是隨機(jī)事件，S是E的樣本空間，對(duì)E的每一事件A，對(duì)應(yīng)有確定的實(shí)數(shù)p(A)，若p(A)滿足：①非負(fù)性：p(A)≥0；②規(guī)范性：p(S)=1；③列可加性：對(duì)兩兩不相容事件Ak，有p(∪kAk)=Σkp(Ak)。(Ai∩Aj=Φ,i≠j)第四頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法主觀概率—概率的定義客觀(Objective)概率：上述三種定義的概率是在多次重復(fù)試驗(yàn)（隨機(jī)試驗(yàn)）中，隨機(jī)事件A發(fā)生的可能性的大小的度量，稱為客觀概率。主觀(Subjective)概率：在實(shí)際管理決策中，許多事件的發(fā)生概率是無法通過隨機(jī)試驗(yàn)獲得的，或條件不允許，或事件本身不允許。因此需要一種方法來人為設(shè)定事件發(fā)生的概率，稱為主觀概率。主觀概率是人們根據(jù)經(jīng)驗(yàn)、各方面的知識(shí)以及了解到的客觀情況進(jìn)行分析、推理、綜合判斷，對(duì)特定事件發(fā)生的可能性的信念（或意見、看法）的度量(Savage,1954)。第五頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法主觀概率—先驗(yàn)分布與先驗(yàn)假設(shè)先驗(yàn)分布(PriorDistribution)：根據(jù)先驗(yàn)信息所確定的概率分布叫先驗(yàn)分布，獲得先驗(yàn)分布是貝葉斯分析的基礎(chǔ)。決策中先驗(yàn)分布的獲得具有高度的主觀性。先驗(yàn)假設(shè)：為使先驗(yàn)分布估計(jì)規(guī)范化，需要做一定的假設(shè)。連通性假設(shè)：指事件A和事件B發(fā)生的可能性是可比的，即p(A)>p(B),p(A)~p(B),p(A)<p(B)必有一個(gè)成立。傳遞性假設(shè)：若對(duì)事件A、B、C，有p(A)>p(B),p(B)>p(C),則p(A)>p(C)。（滿足連通性和傳遞性的二元關(guān)系才能構(gòu)成完全序）部分與全體關(guān)系假設(shè)：若事件A是事件B的一部分，則p(B)≥p(A)。第六頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法主觀概率—先驗(yàn)分布估計(jì):比較法比較法1-離散型（對(duì)事件發(fā)生的各種狀態(tài)加以比較確定相對(duì)似然率）某氣象專家對(duì)當(dāng)年的氣候狀況進(jìn)行評(píng)估，認(rèn)為當(dāng)年氣候正常(1)與受災(zāi)的可能性之比約為3:2；如果受災(zāi)，則水災(zāi)(2)、旱災(zāi)(3)的可能性相當(dāng)。據(jù)此，我們可推算出當(dāng)年氣候狀況的先驗(yàn)分布：(1)+(2)+(3)=1;(1)/((2)+(3))=3/2;(2)=(3)解得：(1)=0.6，(2)=0.2，(3)=0.2思考：設(shè)某決策問題有n個(gè)狀態(tài)，有m個(gè)專家對(duì)各狀態(tài)發(fā)生的可能性進(jìn)行了比較評(píng)估，我們?nèi)绾尉C合利用所有專家的評(píng)估結(jié)果得到最終的先驗(yàn)分布？第七頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法主觀概率—先驗(yàn)分布估計(jì)：打賭法打賭法（離散型）設(shè)打賭者(A)的個(gè)人財(cái)產(chǎn)為W。設(shè)事件E發(fā)生時(shí)A獲得收入為p，(0<p<1；p<<W：保證打賭者的效用函數(shù)是線性的)，不發(fā)生時(shí)A獲得的收入為1-p。調(diào)整p值使A感覺無論事件E是否發(fā)生，其收入基本相同，即(E)×p=(1-(E))×(1-p)。則事件E發(fā)生的可能性(E)=1-p。第八頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法主觀概率—先驗(yàn)分布估計(jì)：直方圖法直方圖法（適合于自然狀態(tài)在實(shí)軸某個(gè)區(qū)間連續(xù)取值）區(qū)間離散化：把的取值范圍劃分為若干子區(qū)間1…n；賦值：估計(jì)每個(gè)區(qū)間的似然率(i)，據(jù)此作出直方圖；變換：將直方圖擬合為概率分布函數(shù)F(x)=Σ≤x

()。不足之處：區(qū)間數(shù)n難以確定似然率(i)估計(jì)困難F(x)通常有較大的尾部誤差第九頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法主觀概率—先驗(yàn)分布估計(jì)：比較法比較法2-連續(xù)型離散化：同直方圖法比較賦值選擇一個(gè)似然率最大的子區(qū)間k作為基準(zhǔn)，設(shè)其相對(duì)似然率為Rk，然后給出其他各區(qū)間i相對(duì)于k的似然率Ri，則(i)=Ri/ΣRi由決策者給出每?jī)蓚€(gè)子區(qū)間似然率的比例關(guān)系：rij=(i)/(j)，然后計(jì)算出每個(gè)狀態(tài)i的似然率(i)。變換擬合：同直方圖法思考：(1)如果決策者判斷沒有誤差，即rij*rji=1,rij*rjk=rik，如何求(i)？(2)如果決策者判斷有誤差，則又如何求(i)？第十頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法主觀概率—先驗(yàn)分布估計(jì)：分位點(diǎn)法區(qū)間對(duì)分法（分位點(diǎn)法）-連續(xù)型確定事件不可能發(fā)生的臨界狀態(tài)取值（如某地區(qū)人口出生率不可能低于9‰，但也不可能超過18‰）；求中位數(shù)：當(dāng)狀態(tài)取值為此值時(shí)，大于或小于此值的狀態(tài)出現(xiàn)的概率相等（如某地區(qū)人口出生率的中位數(shù)為12.5‰）；確定上下四分位點(diǎn)；確定八分位點(diǎn)（一般僅取到八分位點(diǎn)）。第十一頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法第十二頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法主觀概率—先驗(yàn)分布估計(jì)：分布函數(shù)法與給定形式的分布函數(shù)相匹配（最常用也容易濫用）[Matlab工具箱：StatisticsToolbox/ProbabilityDistributions]均勻分布（連續(xù)型）：如果隨機(jī)變量落在某個(gè)區(qū)間(a,b)中任意等長(zhǎng)度的子區(qū)間內(nèi)的可能性相等，則它服從均勻分布，均勻分布的概率密度函數(shù)為：[Matlab函數(shù)：unifpdf(x,a,b),unifit(DATA)]ab第十三頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法主觀概率—先驗(yàn)分布估計(jì)：分布函數(shù)法二項(xiàng)分布：(離散型)每次隨機(jī)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的概率為p，n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)k次的概率服從二項(xiàng)分布：[Matlab函數(shù)：binopdf(k,n,p),binofit(k,n)]泊松分布：(離散型)每次隨機(jī)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的概率為p，n次（n→∞，但n*p=

為常數(shù)）獨(dú)立試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)k次的概率服從泊松分布：[Matlab函數(shù)：poisspdf(k,),poissfit(DATA)]第十四頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法第十五頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法主觀概率—先驗(yàn)分布估計(jì)：分布函數(shù)法正態(tài)分布（高斯分布）：(連續(xù)型)若連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為:

則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為、2的正態(tài)分布[Matlab函數(shù)：normpdf(x,,),normfit(DATA)]

。參見相關(guān)統(tǒng)計(jì)學(xué)書籍，看看還有哪些分布函數(shù)可供選擇使用？第十六頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法第十七頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法隨機(jī)決策理論與方法1、主觀概率2、效用函數(shù)3、決策準(zhǔn)則4、貝葉斯決策分析第十八頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法效用函數(shù)—問題的引入復(fù)習(xí)信息集：為減少行動(dòng)集、自然狀態(tài)集、后果集的不確定性開展調(diào)查研究所獲得的信息。自然狀態(tài)集：事物所有可能的自然狀態(tài)Θ={1,…,n}行動(dòng)集：決策主體可能采用的所有行動(dòng)集合A={a1,…,am}后果集：決策問題各種可能的后果集合C={cij=c(ai,j)}，cij表示決策人采取行動(dòng)ai時(shí)出現(xiàn)自然狀態(tài)j時(shí)的后果。主觀概率是用來量化自然狀態(tài)的隨機(jī)性，那么我們?nèi)绾味攘恳粋€(gè)后果的價(jià)值呢？面臨兩個(gè)難題：后果價(jià)值的量化存在困難(如降價(jià)促銷對(duì)品牌的傷害)；即使能夠量化標(biāo)度，但相同標(biāo)度值的價(jià)值因人而異。第十九頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法效用函數(shù)—問題的引入禮品a1抽獎(jiǎng)a21.00.50.52000元5000元0元在各類決策中，常常面臨著這種選擇：風(fēng)險(xiǎn)小但期望收益也?。黄谕找娲蟮L(fēng)險(xiǎn)也大！不同的決策人有不同的選擇，相同的決策人在不同的情境下選擇也不同。那么在決策中如何描述或表達(dá)后果對(duì)決策人的實(shí)際價(jià)值，以便反映決策人心目中對(duì)各種后果的偏好次序呢？第二十頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法效用函數(shù)—效用的定義效用就是偏好的量化值。決策的目標(biāo)就是使期望效用極大化?；靖拍罴胺?hào)嚴(yán)格序>：a>b表示a優(yōu)于b。滿足傳遞性和非對(duì)稱性。無差異~：a~b表示a與b無差異。滿足自反性、對(duì)稱性和傳遞性。弱序≥：a≥b表示a不劣于b。滿足自反性、傳遞性和反對(duì)稱性。展望/前景(prospect)（事態(tài)體）：各種后果(n種)及后果出現(xiàn)的概率的組合，記為：Pj=<p1(j),c1;p2(j),c2;…;pn(j),cn>，(j=1,2,…,m;m為行動(dòng)的可能種數(shù))第二十一頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法效用函數(shù)—效用的定義復(fù)合展望：當(dāng)無法確定采取某個(gè)行動(dòng)時(shí)，可隨機(jī)選擇一種行動(dòng)，設(shè)選擇行動(dòng)aj的概率為qj。則決策的展望就是一種復(fù)合展望，記為P=<q1,P1;q2,P2;…;qm,Pm>。所有展望（包括簡(jiǎn)單展望和復(fù)合展望）構(gòu)成展望空間。效用的定義若展望空間上的實(shí)值函數(shù)u對(duì)于展望空間的任意兩個(gè)展望P1、P2，有P1≥P2

iff

u(P1)≥u(P2)，則稱u為效用函數(shù)。第二十二頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法效用函數(shù)—效用的定義效用存在性公理（理性行為公理）連通性：任意兩個(gè)展望的優(yōu)劣都是可比的傳遞性：展望的優(yōu)劣滿足傳遞性復(fù)合保序性：展望的優(yōu)劣關(guān)系是可以復(fù)合的，且復(fù)合不會(huì)破壞原有的優(yōu)劣關(guān)系展望的優(yōu)劣是相對(duì)的，沒有無限優(yōu)的展望，也不存在無限劣的展望。第二十三頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法效用函數(shù)—效用的定義效用的公理化定義：在上述公理系統(tǒng)中，若展望空間上存在實(shí)值函數(shù)u，有：對(duì)展望空間中的任意展望P1、P2，P1>P2

iff

u(P1)>u(P2)u(P1+(1-)P2)=u(P1)+(1-)u(P2)(復(fù)合展望的效用等于展望效用的復(fù)合)對(duì)滿足上述條件的u1,u2,必有u1(Pi)=bu2(Pi)+c,其中b,c∈R1，b>0。（任意兩個(gè)決策人的效用是線性相關(guān)的）第二十四頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法效用函數(shù)—基數(shù)性和序數(shù)性前述定義的效用是一種基數(shù)效用，不僅能夠反映決策者的偏好次序，還能夠反映決策者的偏好強(qiáng)度。但在實(shí)際決策中，有時(shí)只需要偏好次序而不一定需要知道偏好強(qiáng)度就可以決策。此時(shí)只需要序數(shù)效用就可以了。有關(guān)序數(shù)效用的應(yīng)用在多屬性決策中介紹。Hicks對(duì)效用函數(shù)的基數(shù)性和序數(shù)性的比喻：如果知道兩個(gè)人的身高，那么我們可以把高個(gè)兒排在第一位；如果不知道他倆的身高也沒關(guān)系，讓他們比一下就可以了。第二十五頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法效用函數(shù)—效用函數(shù)值的估計(jì)概率當(dāng)量法(VonNeumann,Morgenstern，N-M法)：設(shè)決策系統(tǒng)的自然狀態(tài)集Θ={1,…,n}、行動(dòng)集A={a1,…,am}、后果集C={cij=c(ai,j)}，最優(yōu)后果為c*=max{cij}，最劣后果為c0=min{cij}。則對(duì)于任意后果cij的效用值u(cij)，可按以下步驟獲得：設(shè)u(c*)=1,u(c0)=0；建立簡(jiǎn)單展望<p,c*;1-p,c0>，p可調(diào)反復(fù)向決策人提問，改變可調(diào)概率p，使得當(dāng)p=pij時(shí)得到如下的無差異關(guān)系：cij~<pij,c*;1-pij,c0>測(cè)得后果cij的效用值為：

u(cij)=pij*u(c*)+(1-pij)*u(c0)=pij第二十六頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法效用函數(shù)—效用函數(shù)值的估計(jì)確定當(dāng)量法（修正N-M法）：設(shè)u(c*)=1,u(c0)=0；建立簡(jiǎn)單展望<p,c*;1-p,c0>，p為0-1間的給定值，如p=0.5反復(fù)向決策人提問，改變cij得到如下的無差異關(guān)系：cij~<p,c*;1-p,c0>測(cè)得后果cij的效用值為：

u(cij)=p*u(c*)+(1-p)*u(c0)=p增益當(dāng)量法：已知u(cij)和u(c0)，確定u(c*)的方法損失當(dāng)量法：已知u(cij)和u(c*)，確定u(c0)的方法第二十七頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法效用函數(shù)—效用函數(shù)的構(gòu)造（離散型）看球的效用函數(shù)構(gòu)造（不考慮經(jīng)濟(jì)成本）構(gòu)建問題的決策樹，根據(jù)一般偏好，四種后果的優(yōu)劣是C2>C3>C4>C1；令u(C1)=0,u(C2)=1；詢問1：“下雨看電視轉(zhuǎn)播”的后果與“現(xiàn)場(chǎng)看球”時(shí)有多大的概率下雨被淋相當(dāng)？(例如：0.3，則u(C3)=0.7)詢問2：“天晴看電視轉(zhuǎn)播”的后果與“現(xiàn)場(chǎng)看球”時(shí)有多大的概率下雨被淋相當(dāng)？(例如：0.6，則u(C4)=0.4)一致性檢驗(yàn)：用C3，C4加上C1(或C2)進(jìn)行校驗(yàn)，直至一致性得到滿足?，F(xiàn)場(chǎng)看球a1電視看球a2C4:天晴看電視C3:下雨沒被淋C2:天晴未被淋C1:下雨被淋第二十八頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法效用函數(shù)—效用函數(shù)的構(gòu)造（連續(xù)型）若后果是連續(xù)型，則可通過分析u(c)的若干特征值，求出特征點(diǎn)的效用后再連成光滑曲線。例：試作出每天投入學(xué)習(xí)的時(shí)間t對(duì)應(yīng)的效用曲線。分析特征點(diǎn)：u(t=0)=0;u(t>TM)=0(TM=?)；狀態(tài)導(dǎo)入期（0～t0），效用增加較慢；狀態(tài)穩(wěn)定期(t0～t1)，效用與投入學(xué)習(xí)的時(shí)間基本成比例關(guān)系；效率下降，效用增加期(t1~tm)，效用是投入學(xué)習(xí)的時(shí)間的單調(diào)增函數(shù)，但增長(zhǎng)率小于狀態(tài)穩(wěn)定期且隨著時(shí)間的增加越來越小，最終達(dá)到零(t=tm)，此時(shí)效用達(dá)到最大；當(dāng)投入的學(xué)習(xí)時(shí)間大于tm時(shí)，將會(huì)得不償失，學(xué)習(xí)效率急劇降低，效用減少。第二十九頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法效用函數(shù)—效用函數(shù)的構(gòu)造（連續(xù)型）t0t1tmtM024U(t)Umaxt第三十頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法效用函數(shù)—風(fēng)險(xiǎn)與效用風(fēng)險(xiǎn)：遇到破壞或損失的機(jī)會(huì)或危險(xiǎn)?！帮L(fēng)險(xiǎn)”：以打魚捕撈為生的漁民們?cè)陂L(zhǎng)期的捕撈實(shí)踐中，深深的體會(huì)到“風(fēng)”給他們帶來的無法預(yù)測(cè)無法確定的危險(xiǎn)，他們認(rèn)識(shí)到，在出海捕撈打魚的生活中，“風(fēng)”即意味著“險(xiǎn)”，因此有了“風(fēng)險(xiǎn)”一詞的由來。風(fēng)險(xiǎn)包含兩個(gè)方面的內(nèi)容：一是后果的損失嚴(yán)重程度；二是損失出現(xiàn)的可能性大小。參考：/view/156901.htm第三十一頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法效用函數(shù)—風(fēng)險(xiǎn)與效用風(fēng)險(xiǎn)的度量方差：設(shè)某決策方案a的后果為收益y，y的概率密度函數(shù)為f(y)，期望值為E(y)，則方差可用來度量風(fēng)險(xiǎn)，方差越大風(fēng)險(xiǎn)越大。協(xié)方差：若期望收益為決策人設(shè)定的目標(biāo)收益c，則可用協(xié)方差度量風(fēng)險(xiǎn)。臨界概率：小于目標(biāo)收益的概率。第三十二頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法效用函數(shù)—風(fēng)險(xiǎn)與效用效用與風(fēng)險(xiǎn)：效用反映的就是決策人對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的一種態(tài)度。U(t)Umax=1C(萬元)風(fēng)險(xiǎn)厭惡型風(fēng)險(xiǎn)中立型風(fēng)險(xiǎn)追求型0.50912.51425風(fēng)險(xiǎn)酬金k第三十三頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法隨機(jī)決策理論與方法1、主觀概率2、效用函數(shù)3、決策準(zhǔn)則4、貝葉斯決策分析第三十四頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法決策準(zhǔn)則—決策問題的表示決策樹表示法決策點(diǎn)機(jī)會(huì)點(diǎn)C1決策枝機(jī)會(huì)枝后果點(diǎn)C2C3C4后果值a1a2(1)(2)(1)(2)第三十五頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法決策準(zhǔn)則—決策問題的表示決策表表示法12

…j…n(j)(1)(2)…(j)…(n)a1c11c12…c1j…c1na2c11c12…c1j…c1n…………………aici1ci2…cij…cin…………………amcm1cm2…cmj…cmn狀態(tài)行動(dòng)后果(效用值、損失值、價(jià)值)第三十六頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法決策準(zhǔn)則—最大可能值準(zhǔn)則決策者決策時(shí)都需要根據(jù)某種準(zhǔn)則來選擇決策方案——決策準(zhǔn)則。準(zhǔn)則不同，決策結(jié)果就可能不同。下面介紹風(fēng)險(xiǎn)型決策中常用的幾種決策準(zhǔn)則。最大可能值準(zhǔn)則：（眾數(shù)原則）j123E(ai)=Σi(j)cij(j)0.20.50.3a17344.1a26.5413.6a36503.7注：后果為損失值此準(zhǔn)則在狀態(tài)出現(xiàn)的概率差距不大時(shí)的決策效果可能很差！第三十七頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法決策準(zhǔn)則—貝葉斯準(zhǔn)則貝葉斯準(zhǔn)則：期望效用最大或期望損失最小。在實(shí)際決策中，一般先確定后果對(duì)決策人的實(shí)際價(jià)值即效用函數(shù)（若是損失則使用負(fù)效用）（稱為伯努利過程），然后再應(yīng)用貝葉斯準(zhǔn)則。j123E(ai)=Σj(j)cij(j)0.20.50.3a17344.1a26.5413.6a36503.7注：后果為損失值第三十八頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法決策準(zhǔn)則—E-V準(zhǔn)則E-V準(zhǔn)則：用期望與方差（度量風(fēng)險(xiǎn)）共同判決一個(gè)方案的優(yōu)劣。帕累托優(yōu)：若不存在方案al，使得方案ak的期望與風(fēng)險(xiǎn)均劣于al，稱ak為有效方案或帕累托優(yōu)。評(píng)價(jià)函數(shù)：fi(E,V)=E(ai)+i2。反映了決策人的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度，>0風(fēng)險(xiǎn)厭惡；=0風(fēng)險(xiǎn)中立（對(duì)應(yīng)于貝葉斯準(zhǔn)則）；<0風(fēng)險(xiǎn)追求。j123E(ai)i2=Σj(cij-E(ai))2

(j)(j)0.20.50.3a17344.12.29a26.5413.63.79a36503.75.967第三十九頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法決策準(zhǔn)則—E-V準(zhǔn)則第四十頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法決策準(zhǔn)則—優(yōu)勢(shì)原則在實(shí)際決策中，主觀概率的確定有時(shí)是很困難的，因此可利用優(yōu)勢(shì)原則進(jìn)行決策。給不出準(zhǔn)確的主觀概率；任何兩個(gè)行動(dòng)(方案)之間都不存在絕對(duì)優(yōu)；決策方法(以損失函數(shù)為例)：列出方案ak最優(yōu)的判別不等式組E(ak)≤E(ai),i=1,…,m求解不等式組的解即得到ak方案最優(yōu)的概率分布判斷這種概率分布是否可能第四十一頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法當(dāng)(1)>0.6時(shí)，方案a1最優(yōu)；當(dāng)(1)<0.6時(shí)方案a3最優(yōu)；方案a2被稱為強(qiáng)劣的(stronglydominated)。決策準(zhǔn)則—優(yōu)勢(shì)原則j12a117a245a351注：后果為損失值第四十二頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法隨機(jī)決策理論與方法1、主觀概率2、效用函數(shù)3、決策準(zhǔn)則4、貝葉斯決策分析第四十三頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法貝葉斯決策分析—貝葉斯定理?xiàng)l件概率：設(shè)A、B為隨機(jī)試驗(yàn)E中的兩個(gè)事件，在事件A發(fā)生條件下事件B發(fā)生的概率稱為條件概率，記為(B|A)，且(B|A)=(AB)/(A)。(A→B)若Aj(j=1,…,n)是樣本空間S中n個(gè)互不相容的事件，且(Aj)>0，(AkAl)=0(k≠l)；∪j(Aj)=S。稱Aj是樣本空間的一個(gè)劃分。則對(duì)任一事件B，有：第四十四頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法貝葉斯決策分析—貝葉斯定理貝葉斯定理：已知(B|Aj)、(Aj)(先驗(yàn)概率)(j=1,…,n)，求當(dāng)事件B發(fā)生(隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果或觀察值)時(shí)Ak發(fā)生的概率(后驗(yàn)概率)。貝葉斯定理在決策分析中的意義：在實(shí)際決策中，我們需要準(zhǔn)確估計(jì)的隨機(jī)變量是未來的自然狀態(tài)Θ，而通過隨機(jī)試驗(yàn)所觀察到的往往是與之相關(guān)的另一個(gè)隨機(jī)變量。例如，疾病診斷往往是通過觀察癥狀如發(fā)燒、咳嗽等來判斷其疾病如感冒、甲流。貝葉斯定理可以幫助我們判斷當(dāng)出現(xiàn)發(fā)燒時(shí)患甲流的概率。第四十五頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法貝葉斯決策分析—貝葉斯定理例：經(jīng)臨床觀察，患甲流的病人約70%發(fā)燒超過38度，患感冒的病人約40%發(fā)燒超過38度，而肺炎病人中有60%發(fā)燒超過38度。統(tǒng)計(jì)表明當(dāng)前甲流發(fā)病率約0.6‰，感冒0.7‰

，肺炎0.1‰

?，F(xiàn)有一病人發(fā)燒超過38度，請(qǐng)?jiān)\斷該病人最可能患上哪種疾病。解：記發(fā)燒超過38度的事件為X；患甲流、感冒、肺炎分別記為A、B、C。先驗(yàn)概率分別為(A)=0.0006,(B)=0.0007,(C)=0.0001。條件概率分別為(X|A)=0.7；(X|B)=0.4；(X|C)=0.6。則(X)=0.7×0.0006+0.4×0.0007+0.6×0.0001=0.00076(A|X)=0.7×0.0006/0.00076=55.26%(B|X)=0.4×0.0007/0.00076=36.84%(C|X)=0.6×0.0001/0.00076=7.90%第四十六頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法貝葉斯決策分析—貝葉斯分析貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)：當(dāng)決策人通過隨機(jī)試驗(yàn)得到觀察值x后，需要根據(jù)觀察值和某種決策準(zhǔn)則選擇行動(dòng)a，即a=(x)。對(duì)于自然狀態(tài)及其先驗(yàn)概率()，采取策略時(shí)損失函數(shù)l(,(x))對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果x和自然狀態(tài)的期望值稱為貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)，記為r()。r()=E(Ex(l(,(x))))=xl(,(x))p(x|)()貝葉斯規(guī)則(正規(guī)型)：若策略空間存在某個(gè)策略*，使得對(duì)于任意其他策略，均有r(*)≤r()，則稱*為貝葉斯規(guī)則或貝葉斯策略。即r(*)=min{r()}第四十七頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法貝葉斯決策分析—貝葉斯分析貝葉斯規(guī)則(擴(kuò)展型)：在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)行動(dòng)集、狀態(tài)集、觀察值集中的元素較多時(shí)，策略集很大，獲得r()的最小值很困難，因此可對(duì)r()的計(jì)算公式進(jìn)行變換：r()=xl(,(x))p(x|)()=x

l(,(x))p(x|)()若使

l(,(x))p(x|)()達(dá)到極小，r()必然達(dá)到最小又(x)>0，所以可使

l(,(x))p(x|)()/(x)達(dá)到極小后驗(yàn)概率(|x)=p(x|)()/(x)，因此r()的極小化問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍?/p>

l(,(x))(|x)的極小化問題。第四十八頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法貝葉斯決策分析—貝葉斯分析擴(kuò)展型貝葉斯分析過程原始信息：先驗(yàn)分布()追加樣本信息：觀察值x貝葉斯定理：后驗(yàn)概率(|x)求*：計(jì)算r()，找出使后驗(yàn)期望損失最小的第四十九頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法貝葉斯決策分析—貝葉斯分析信息的價(jià)值：隨機(jī)試驗(yàn)獲得觀察值x是需要成本的，而觀察值x也可以幫助我們減少?zèng)Q策損失。那么隨機(jī)試驗(yàn)觀察到的信息有多大價(jià)值呢？假設(shè)我們未進(jìn)行任何觀察，那么根據(jù)貝葉斯準(zhǔn)則，最小決策損失期望為：minE(li(,ai))若試驗(yàn)獲得了觀察值x，則最小貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)即為最小決策損失：minr()觀察信息的期望價(jià)值為：

minE(li(,ai))-minr()j123E(ai)(j)0.20.50.3a17344.1a26.5413.6a36503.7第五十頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法貝葉斯決策分析—貝葉斯分析例:(油井鉆探問題)某公司擁有一塊可能有油的土地，公司或自己開采，或以以下兩種模式出租：①無條件出租，租金1620萬元；②有條件出租，產(chǎn)量在20萬桶或以上時(shí)，每桶提成180元；產(chǎn)量不足20萬桶不提成。設(shè)鉆井費(fèi)用為2700萬元，采油設(shè)備費(fèi)900萬元（有油時(shí)），油價(jià)為540元/桶。假設(shè)油產(chǎn)量的可能狀態(tài)及其先驗(yàn)概率分布如表。若決策人風(fēng)險(xiǎn)中立，決策人該選擇什么行動(dòng)？產(chǎn)油量50萬桶20萬桶5萬桶無油j1234(j)0.10.150.250.5第五十一頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法貝葉斯決策分析—貝葉斯分析解：公司可采取的行動(dòng)有3種：a1-自己開采；a2-無條件出租；a3-有條件出租。決策表如下(單位:萬元)：根據(jù)貝葉斯準(zhǔn)則，方案a1效用最大，故應(yīng)自己鉆井。產(chǎn)油量50萬桶20萬桶5萬桶無油期望效用j1234(j)0.10.150.250.5a1234007200-900-27001845a216201620162016201620a390003600001440第五十二頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法貝葉斯決策分析—貝葉斯分析如果通過地質(zhì)勘探可以進(jìn)一步了解該地區(qū)的地質(zhì)結(jié)構(gòu)和產(chǎn)油情況，那么我們又如何決策？假設(shè)勘探成本是432萬元，統(tǒng)計(jì)表明，產(chǎn)油量與地質(zhì)構(gòu)造（共四種類型,用xk表示）間的關(guān)系[p(xk|j)]如下表。產(chǎn)油量50萬桶20萬桶5萬桶無油j1234p(x1|j)7/129/1611/243/16p(x2|j)1/33/161/611/48p(x3|j)1/121/81/413/48p(x4|j)01/81/85/16第五十三頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法貝葉斯決策分析—貝葉斯分析解：(1)計(jì)算(xi)=p(xi|j)(j)；(2)計(jì)算后驗(yàn)概率，即已知地質(zhì)結(jié)構(gòu)情況下產(chǎn)油狀態(tài)的概率p(j|xi)=(j)*p(xi|j)/(xi)，并給出決策表。產(chǎn)油量50萬桶20萬桶5萬桶無油(xi)j1234x10.351p(j|x1)0.1660.2400.3260.267x20.218p(j|x2)0.1530.1290.1910.526x30.225p(j|x3)0.0370.0830.2780.602x40.206p(j|x4)0.0000.0910.1520.758a122968

6768

-1332

-3132

a21188

1188

1188

1188

a38568

3168

-432

-432

第五十四頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法貝葉斯決策分析—貝葉斯分析計(jì)算各種地質(zhì)結(jié)構(gòu)下采取不同行動(dòng)的期望效用：所以進(jìn)行地質(zhì)勘探試驗(yàn)的期望收益為：4165.2×0.351+2484×0.218+1188×0.225+1188×0.206=2515.536

地質(zhì)結(jié)構(gòu)行動(dòng)x1x2x3x4(xi)0.3510.2180.2250.206a14165.2

2484

-846

-1962

a21188

1188

1188

1188

a31926

1411.2

201.6

-104.4

第五十五頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法貝葉斯決策分析—貝葉斯分析結(jié)論：如果不打算勘察，則應(yīng)選擇自主鉆井，期望收益為1845萬元；如果選擇勘察，則期望收益為2515.536萬元；因?yàn)?515.536-1845=670.536>0，所以應(yīng)采用勘察策略?？辈焖@得的信息的期望價(jià)值是670.536+432=1102.536萬元；如果勘察表明該地區(qū)的地質(zhì)結(jié)構(gòu)是x1或x2類型，則應(yīng)該自己鉆井，期望收益分別為4165.2萬元和2484萬元；如果勘察表明該地區(qū)的地質(zhì)結(jié)構(gòu)是x3或x4類型，則應(yīng)該無條件出租，期望收益均為1188萬元；“有條件出租”策略是強(qiáng)劣的。第五十六頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法期望效用理論的若干思考思考1：效用函數(shù)一定是連續(xù)的嗎？是否存在某種臨界點(diǎn)使得效用函數(shù)是一種分段函數(shù)，而在分段函數(shù)內(nèi)滿足效用存在公理？思考2：理性行為公理認(rèn)為合乎理性的決策人在進(jìn)行價(jià)值判斷時(shí)一定能滿足這些公理。（實(shí)際決策中是否存在某種悖論呢？）思考3：期望效用理論在實(shí)際決策中是否總是有效的？第五十七頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法損失厭惡A）假設(shè)你現(xiàn)有1000元。你面臨著兩種選擇：第一種選擇能保證你獲得500元；第二種選擇讓你拋硬幣，正面朝上可以獲得1000元，反面朝上，什么也得不到。你怎么選擇？B）假設(shè)你現(xiàn)有2000元。你面臨著兩種選擇：第一種選擇你將肯定損失500元；第二種選擇讓你拋硬幣，正面朝上可能損失1000元，反面朝上，就什么也不損失。你怎么選擇？解釋（損失厭惡）：等量的損失要比等量的獲得帶來更大的影響。第五十八頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期二*決策理論與方法-隨機(jī)決策理論與方法顯著性假設(shè)在以色列，每年大約有600人死于交通事故。為此，以色列交通部制定了兩套方案供市民決策，決策方式有兩種：選擇與配對(duì)。結(jié)果：采用選擇法時(shí)，68%的人選擇了方案一；采用配對(duì)法時(shí)，只有4%的人愿意方案一的支出成本達(dá)到或超過55萬美元。解釋（顯著性假設(shè)）：在決策中需要考慮多個(gè)目標(biāo)時(shí)，相對(duì)于配對(duì)過程，重要目標(biāo)在選擇過程中被更多地考慮。選擇法預(yù)期死亡人數(shù)成本(萬美元)方案一50055方案二57012配對(duì)法預(yù)期死亡人數(shù)成本(萬美元)方案一500？方案二57012選擇法預(yù)期死亡人數(shù)成本(萬美元)