升級增分訓(xùn)練應(yīng)用題

第1頁共7頁升級增分訓(xùn)練應(yīng)用題1．一個工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品每年需要固定投資100萬元，此外每生產(chǎn)1件該產(chǎn)品還需要增加投資1萬元，年產(chǎn)量為x(x∈N*)件．當(dāng)x≤20時，年銷售總收入為(33x－x2)萬元；當(dāng)x20時，年銷售總收入為260萬元．則該工廠的年產(chǎn)量為________件時，所得年利潤最大．(年利潤＝年銷售總收入－年總投資)解析：記該工廠生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤為 y萬元，則當(dāng)x≤20時，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；當(dāng)x＞20時，y＝260－100－x＝160－x.x2＋32x－100，0＜x≤20，故y＝∈*)．(xN160－x，x＞20當(dāng)0＜x≤20時，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，當(dāng)x＝16時，ymax＝156.而當(dāng)x＞20時，160－x＜140，故x＝16時取得最大年利潤．答案：162．某商場從生產(chǎn)廠家以每件 20元購進(jìn)一批商品，若該商品零售價定為 p元，銷售量為Q，則銷售量Q(單位：件)與零售價p(單位：元)有如下關(guān)系：Q＝8300－170p－p2.則最大毛利潤為________元．(毛利潤＝銷售收入－進(jìn)貨支出)解析：設(shè)毛利潤為 L(p)，則題意知：2L(p)＝pQ－20Q＝(8300－170p－p)(p－20)＝－p3－150p2＋11700p－166000，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．此時，L(30)＝23000.因?yàn)樵?/p>

p＝30

附近的左側(cè)

L′(p)＞0，右側(cè)

L′(p)＜0，L(30)

L(30)

30元時，最大毛利潤為

23000元．答案：

23000第2頁 共7頁3.如圖所示，將邊長為1的正六邊形鐵皮的六個角各切去一個全等的四邊形(其中一邊長為x)，再沿虛線折起，做成一個無蓋的正六棱柱容器．當(dāng)這個正六棱柱容器的底面邊長為________時，其容積最大．解析：由題意可知，正六棱柱的底面邊長為1－2x，高為xtan60°＝3x，所以六棱柱329321的體積為V(x)＝6×4(1－2x)×3x＝2(4x－4x＋x)0<x<2，2則V′(x)＝2(12x－8x＋1)，1令V′(x)＝0，得x＝6或x＝2(舍去)．111因?yàn)楫?dāng)x∈0，6時，V′(x)>0；當(dāng)x∈6，2時，1V′(x)<0，所以x＝6時函數(shù)取得極大值，也是最大值．2此時正六棱柱的底面邊長為 3.答案：

234．如圖，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點(diǎn)A處進(jìn)行射擊訓(xùn)練．已知點(diǎn)A到墻面的距離為AB，某目標(biāo)點(diǎn)P沿墻面上的射線CM移動，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)P，需計算由點(diǎn)A觀察點(diǎn)P的仰角θ的大?。鬉B＝15m，AC＝25m，∠BCM＝30°，則tanθ的最大值是________．(仰角θ為直線AP與平面ABC所成角)解析：由題意，在 Rt△ABC中，sin∠ACB＝ABAC＝1525＝35，則cos∠ACB＝45.作PH⊥BC，垂足為H，連接AH，設(shè)PH＝x，則CH＝3x，由余弦定理得AH＝625＋3x2－403x，θ＝∠＝PH＝11，故當(dāng)1＝43時，tanθ取得最大值，最大tantanPAHAH625403xx125－2x＋3x3值為9.第3頁 共7頁答案：5 395.某汽車運(yùn)輸公司購買了一批豪華大客車投入營運(yùn)，據(jù)市場分析每輛客車營運(yùn)的總利潤y(單位：10萬元)與營運(yùn)年數(shù)x(x∈N*)為二次函數(shù)關(guān)系(如圖所示)，則每輛客車營運(yùn)________年時，其營運(yùn)的年平均利潤最大．解析：由題圖可得營運(yùn)總利潤y＝－(x－6)2＋，11則營運(yùn)的年平均利潤 yx＝－x－25x＋12，∵x∈N*，y≤－225＋12＝2，∴x·xx25當(dāng)且僅當(dāng)x＝x，即x＝5時取“＝”．∴x＝5時營運(yùn)的年平均利潤最大．答案：56．做一個圓柱形鍋爐，容積為 V，兩個底面的材料每單位面積的價格為材料每單位面積的價格為 b元，當(dāng)造價最低時，鍋爐的底面直徑與高的比為

a元，側(cè)面的________．解析：如圖，設(shè)圓柱的底面半徑為R，高為h，則V＝πR2h.設(shè)造價為y＝2πR2＋π＝π2V22bV2bVa＋2πRb·2＝π＋，所以y′＝4πaR－R2.2Rhb2aRπR2aRR2Rb令y′＝0，得h＝a.答案：ba7.如圖，經(jīng)過村莊 A有兩條夾角為 60°的公路 AB，AC，根據(jù)規(guī)劃第4頁 共7頁擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠 P，分別在兩條公路邊上建兩個倉庫 M，N(異于村莊A)，要求PM＝PN＝MN＝2(單位：千米)．記∠AMN＝θ.將AN，AM用含θ的關(guān)系式表示出來；(2)如何設(shè)計(即AN，AM為多長)，使得工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小 (即工廠與村莊的距離 AP最大)?MN解：(1)由已知得∠MAN＝60°，∠AMN＝θ，MN＝2，在△AMN中，由正弦定理得sin60°＝AN＝AM，sinθsin120°－θ所以AN＝433sinθ，4343AM＝3sin(120°－θ)＝3sin(θ＋60°)．在△中，由余弦定理可得AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP(2)AMP162163＝3sin(θ＋60°)＋4－3sin(θ＋60°)cos(θ＋60°)883＝3[1－cos(2θ＋120°)]－3sin(2θ＋120°)＋4820＝－3[3sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋3163－3sin(2θ＋150°)，0＜θ＜120°，當(dāng)且僅當(dāng) 2θ＋150°＝270°，即 θ＝60°時，工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小，此時AN＝AM＝2.8．為了凈化空氣，某科研單位根據(jù)實(shí)驗(yàn)得出，在一定范圍內(nèi)，每噴灑 1個單位的凈化劑，空氣中釋放的濃度 y(mg/m3)隨著時間x(天)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為－1，0≤x≤4，8－xy＝ 若多次噴灑，則某一時刻空氣中的凈化劑濃度為每次投放15－2x，4<x≤10.的凈化劑在相應(yīng)時刻所釋放的濃度之和．由實(shí)驗(yàn)可知，當(dāng)空氣中凈化劑的濃度不低于4(mg/m3)時，它才能起到凈化空氣的作用．若一次噴灑4個單位的凈化劑，則凈化空氣的時間可達(dá)幾天？(2)若第一次噴灑

2個單位的凈化劑，

6天后再噴灑

a(1≤a≤4)個單位的凈化劑，

要使接下來的

4天中能夠持續(xù)有效凈化空氣，試求

a的最小值．

(精確到

0.1，參考數(shù)據(jù)：

2取

1.4)第5頁 共7頁解：(1)因?yàn)橐淮螄姙?4個單位的凈化劑，64－4，0≤x≤4，8－x所以濃度f(x)＝4y＝20－2x，4＜x≤10.64則當(dāng)0≤x≤4時，由 －4≥4，解得x≥0，所以此時 0≤x≤4.當(dāng)4＜x≤10時，由20－2x≥4解得x≤8，所以此時4＜x≤8.綜上得0≤x≤8，所以若一次投放 4個單位的制劑，則有效凈化時間可達(dá) 8天．設(shè)從第一次噴灑起，經(jīng)x(6≤x≤10)天，116－116a16a濃度g(x)＝25－2x＋a－x－＝10－x＋14－x－a＝(14－x)＋－a－4.8614－x因?yàn)?4－x∈[4,8]，而1≤a≤4，所以4a∈[4,8]，故當(dāng)且僅當(dāng)14－x＝4a時，y有最小值為8a－a－4.令8a－a－4≥4，解得24－162≤a≤4，所以a的最小值為24－162≈1.6.9．從旅游景點(diǎn)A到B有一條100公里的水路，某輪船公司開設(shè)一個游輪觀光項(xiàng)目．已知游輪每小時使用的燃料費(fèi)用與速度的立方成正比例，其他費(fèi)用為每小時3240元，游輪最大時速為 50km/h，當(dāng)游輪速度為 10km/h時，燃料費(fèi)用為每小時 60元，若單程票價定為元/人．一艘游輪單程以40km/h航行，所載游客為180人，輪船公司獲得的利潤是多少？如果輪船公司要獲取最大利潤，游輪的航速為多少？解：設(shè)游輪以vkm/h的速度航行，游輪單程航行的總費(fèi)用為f(v)元，則游輪的燃料費(fèi)用每小時k·v3元，依題意k·103＝60，則k＝3，50∴f(v)＝331001002＋32400050v·＋3240·＝6vv.vv當(dāng)v＝40km/h時，f(v)＝6×402＋324000＝17700(元)，40第6頁 共7頁輪船公司獲得的利潤是 150×180－17700＝9300(元)．(2)f′(v)＝12v－324000＝12v3－27000，v2v2令f′(v)＝0，得v＝30,當(dāng)0<v<30時，f′(v)<0，此時f(v)單調(diào)遞減；當(dāng)30<v≤50時，f′(v)>0，此時f(v)單調(diào)遞增．故當(dāng)

v＝30時，f(v)有極小值，也是最小值，

f(30)＝16200，∴輪船公司要獲取最大利潤，游輪的航速應(yīng)為

30km/h.10.某市政府為了豐富市民生活，在某山區(qū)投資開發(fā)了一個旅游區(qū)．如圖所示，在該旅游區(qū)的某一景點(diǎn)內(nèi)有兩座小山，其中一座山(山高為OB＝110米)的山頂B處建有一座高為40米(即BC＝40米)的吉祥塔．經(jīng)過水平地面上的一點(diǎn)A，沿另一座山的山坡鋪設(shè)了一條直線段形的觀光游覽路線，已知該觀光游覽路線所在的直線l與水平地面1P處觀看吉祥塔，視角為∠BPC.所成的角為α，且tanα＝.若小明在觀光游覽路線上的某點(diǎn)2已知OA＝100米，設(shè)點(diǎn)P到水平地面的距離為x(0＜x≤90)米．(1)令f(x)＝tan∠BPC，求f(x)關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)x為何值時，小明觀看吉祥塔的效果最好(即∠BPC最大)?解：(1)過點(diǎn)P分別作PQ⊥OA，PR⊥OB，垂足分別為 Q，R，如圖所示，則PQ＝x米，由tanα＝12可知AQ＝2x米，所以PR＝(100＋2x)米，BR＝(110－x)米，CR＝(150－x)米，所以tan∠RPB＝110－x150－x，tan∠RPC＝，100＋2x100＋2x第7頁 共7頁150－x110－x－100＋2x100＋2x＋800所以tan∠BPC＝tan(∠RPC－∠RPB)＝－＝2，150x－x＋28x＋53001＋·100＋2x100＋2x所以f(x)＝16x＋800(0＜≤90)．x2＋28x＋5300(2)欲使小明觀看吉祥塔的效果最好(即∠BPC最大)，即要使tan∠BPC最大，即f(x)最大．