隨機變量及分布

隨機變量及分布第一頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二

每次試驗只有兩種可能的結(jié)局,分別稱作“成功”和“失敗”;(2)各次試驗成功的概率相同;(3)各次試驗相互獨立.第二頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二

(伯努利試驗)設(shè)伯努利試驗成功的概率為p.那么n次伯努利試驗,恰好有k(0≤k≤n)次成功的概率.該式有時稱作伯努利公式.第三頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二例設(shè)某人連續(xù)投籃3次,他至少投中一次的概率為0.992,求該人投4次至少有1次未中的概率.第四頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二例一本有50頁的雜志中共有50個錯誤,每個錯誤等可能的出現(xiàn)在每一頁上,求指定的某一頁上至少有2個錯誤的概率.第五頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二解以vn表示n次伯努利試驗成功的次數(shù),需要求事件{vn=k}(k=0,1,…,n)的概率.引進事件:Am={第m次試驗成功}(m=1,2,…,n);由于試驗的獨立性,可見事件A1,A2,…,An相互獨立.q=1－p是試驗失敗的概率.若以A表示成功,則對任意事件列B1,B2,…,Bn,其中Bi=A或(i=1,2,…,n),有第六頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二其中k和n－k分別是B1,B2,…,Bn中A和出現(xiàn)的次數(shù).事件{vn=k}是一切含k個A和n－k個的形如(B1B2…Bn)的事件之和:例如,就是其中的一種情形,事件{vn=k}是的形如(B1B2…Bn)的不相容事件的和,因而(1.26)該式有時稱作伯努利公式.第七頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二一、隨機變量的概率和例二、隨機變量的定義和與其有關(guān)的事件三、隨機變量的類型和分布函數(shù)第一節(jié)隨機變量及其概率分布第二章隨機變量及分布第八頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二

動機：將隨機試驗的結(jié)果數(shù)量化

例1拋一枚硬幣，觀察正反面的出現(xiàn)情況，，如果我們引入記號：顯然，該試驗有兩個可能的結(jié)果：一隨機變量則，我們就可以用表示出現(xiàn)的是正面，而用表示出現(xiàn)的是反面。第九頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二就是一個隨機變量。

定義設(shè)隨機試驗的樣本空間為如果對于每一個都有一個實數(shù)與其對應(yīng)，這樣就得到一個定義在上的一個單值實函數(shù)我們稱該函數(shù)為隨機變量。一般的，隨機變量用英文字母表后面的大寫字母或者希臘字母（可以帶下標）表示。如等，都可以表示隨機變量。第十頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二

引入隨機變量以后,隨機事件就可以用隨機變量在某范圍的取值來表示.

隨機變量的取值隨試驗的結(jié)果而定,因此試驗之前,我們只知道它可能取值的范圍,而不能預(yù)知它取什么值,由于試驗的各個結(jié)果的出現(xiàn)有一定的概率,因此隨機變量取各個值也有一定的概率.如果我們用表示某臺電視機的壽命,并且規(guī)定壽命超過10000小時者為合格品,則該電視機為合格品這一事件就可以表示為如果用表示某位同學大學英語四級考試的成績,則表示“該同學通過考試”這一事件，而表示“該同學成績優(yōu)秀”這一事件.第十一頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二只有有限個或無窮可列個可能值的隨機變量稱為離散型隨機變量;連續(xù)型隨機變量是連續(xù)取值的隨機變量.例1考慮隨機試驗:接連進行兩次射擊.以ω=(i,j)表示基本事件,其中i,j=0或1,其中“0”表示脫靶,“1”表示命中.那么,兩次射擊命中的次數(shù)X是基本事件ω的函數(shù),故是一隨機變量,有0,1,2三個可能值(見表).第十二頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二表隨機變量─基本事件的函數(shù)ωX=X(ω)(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)0112第十三頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二例對于任何事件A,設(shè)若A出現(xiàn),若出現(xiàn).由于A是隨機變量,因此是隨機變量.第十四頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二隨機變量隨機變量的分類：從兩方面研究隨機變量：研究隨機變量的取值規(guī)律研究隨機變量取值的概率規(guī)律第十五頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二二離散型隨機變量及其分布律如果隨機變量只取有限或可列無窮多個值，則稱隨機變量為離散型隨機變量.對于離散型隨機變量，關(guān)鍵是要確定：1）所有可能的取值是什么？2）取任意可能值的概率是多少？設(shè)隨機變量的可能取值為，且（1）則稱（1）式為的概率分布或分布律.第十六頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二分布律（1）也常常寫成如下的表格形式.顯然有：或者也可以表示為第十七頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二

例1擲一顆勻稱的骰子，以表示出現(xiàn)的點數(shù)，求的分布律.解的可能取值為而由等可能性，它取每一個值的概率均為1/6，故其分布律為第十八頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二

例２設(shè)一汽車在開往目的地的路上需經(jīng)過四盞燈,每盞信號燈以0.5的概率允許或禁止汽車通過,以X表示汽車首次停下時，它已通過的信號燈的盞數(shù)（設(shè)各盞信號燈的工作是相互獨立的），求其分布律。

解

以p表示每盞信號燈禁止汽車通過的概率，則X的分布律為將代入，得第十九頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二若的分布律為或者01

如果試驗的結(jié)果只有兩個：成功與失敗，并且成功的概率為p，則成功的次數(shù)服從分布。第二十頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二

例3設(shè)袋中有標號為1,2,3,4的球若干個,從中任取一個,(1)假設(shè)取到各號球的概率與球上的號碼成正比,求取到球上號碼X的概率分布;(2)假設(shè)取到各號球的概率與球上的號碼成反比,求取到球上號碼Y的概率分布并計算.

解第二十一頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二

解第二十二頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二三、隨機變量的分布函數(shù)隨機變量的概率分布,指概率在隨機變量值域內(nèi)的分布,是隨機變量最基本和最重要的特征.對于任何隨機變量X,函數(shù)F(x)=P{X≤x}(－∞<x<+∞)稱作X的分布函數(shù).第二十三頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二1.分布函數(shù)的基本性質(zhì)(1)0≤F(x)≤1,是單調(diào)不減函數(shù);(2)F(x)是右連續(xù)函數(shù):對于任意－∞<x<+∞,(3)F(－∞)=0,F(+∞)=1,其中第二十四頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二(4)離散型隨機變量X的分布函數(shù)為其中Σ表示對于不大于x的一切可能值xk求和.(5)根據(jù)分布函數(shù)可以求隨機變量有關(guān)事件的概率.例如,第二十五頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二例1設(shè)隨機變量的分布律為-123求的分布函數(shù),并求解

由概率的可加性,得所求的分布函數(shù)為第二十六頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二即又第二十七頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二xy-1231

F(x)的圖形如圖所示為一階梯形曲線,它在可能的取值處-1,2,3處發(fā)生跳躍，跳躍值為取該值的概率.第二十八頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二例2假設(shè)10件產(chǎn)品中有8件優(yōu)質(zhì)品,2件劣質(zhì)品,從中一件一件地抽驗產(chǎn)品直到抽到優(yōu)質(zhì)品為止.試求最后抽驗產(chǎn)品件數(shù)X的分布函數(shù).解先求X的概率分布.易見,X有1,2,3等3個可能值;由于先隨機地抽取一件,10件產(chǎn)品都是等可能的,可見第二十九頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二于是,X的分布函數(shù)為若x<1;若1≤x<2;若2≤x<3;若x≥3.第三十頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二四連續(xù)型隨機變量的概率密度概率密度及其性質(zhì)定義如果隨機變量X的分布函數(shù)可表示成其中為非負的函數(shù),則稱X為連續(xù)型隨機變量,f(x)稱為X的概率密度函數(shù),簡稱為概率密度或密度.記作第三十一頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二概率密度具有如下兩條基本性質(zhì):另外,連續(xù)型隨機變量還具有如下性質(zhì):2)在的連續(xù)點處,有1)第三十二頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二4)連續(xù)型隨機變量取任何一個指定值的概率為0.即,對于任意常數(shù)C,有5)若是連續(xù)型隨機變量,則3)連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù).因為第三十三頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二例1已知隨機變量的的概率密度為且試確定常數(shù)并求解

解方程組得第三十四頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二從而第三十五頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二例2已知隨機變量的的概率密度為求的分布函數(shù).解

第三十六頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二例3已知隨機變量的的概率密度為求的分布函數(shù).解

第三十七頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二解

例4已知隨機變量的的分布函數(shù)為求(1)a,b的值;(2)的概率密度;(3)頻率.第三十八頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二

例5設(shè)隨機變量X和Y具有相同的分布函數(shù)，X的概率密度為已知事件與相互獨立，且求常數(shù)a.解由題設(shè)知第三十九頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二解得于是又由題設(shè)由此可知應(yīng)有第四十頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二一、常見離散型概率分布二、離散型概率分布的例題第二節(jié)常用的離散型分布第四十一頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二（一）0-1分布若的分布律為或者01

則稱隨機變量服從參數(shù)為p的0-1分布.如果試驗的結(jié)果只有兩個：成功與失敗，并且成功的概率為p，則成功的次數(shù)服從參數(shù)為p的0-1分布。第四十二頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二（二）二項分布(BinomialDistribution)若隨機變量的分布律為：則稱隨機變量服從參數(shù)為n,p的二項分布，

二項分布的背景是伯努利試驗：如果每次試驗中成功的概率均為p，則在n重伯努利試驗中成功的次數(shù)服從參數(shù)為n,p的二項分布。注意，當n=1時二項分布就是0-1分布。記為或第四十三頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二定理:如果隨機變量X服從二項分布B(n,p),則隨機變量Y=n-X服從二項分布B(n,q),其中q=1-p。顯然有：第四十四頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二

例1

擲3顆色子,求”恰好出現(xiàn)1次6點”的概率與”至少出現(xiàn)1次6點”的概率。

解所以有第四十五頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二

例2

進行3次獨立重復(fù)試驗至少成功1次的概率為99.9%,若將試驗獨立重復(fù)進行4次,求失敗與成功次數(shù)相等的概率。

解所以有第四十六頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二

例3某人進行射擊，設(shè)每次擊中的概率均為0.02,獨立射擊400次，試求至少擊中兩次的概率。

解將每次射擊看成是一次試驗,設(shè)擊中的次數(shù)為，則所以有直接計算上式比較麻煩，為此需要一個近似計算公式。我們先引入一個重要的分布。第四十七頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二(三)泊松分布(PoissonDistribution)如果隨機變量的分布律為：則稱隨機變量服從參數(shù)為的泊松分布。記為

實例：1）普魯士騎兵每年被馬踢死的人數(shù)服從參數(shù)為0.61的泊松分布；2）1500年到1932年之間每年發(fā)生戰(zhàn)爭的次數(shù)（規(guī)模超過50000人）服從參數(shù)為0.69的泊松分布。第四十八頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二泊松分布與二項分布之間有密切的聯(lián)系，這一點由下面的泊松定理所闡述。

泊松定理設(shè)隨機變量且則有證略因此,由定理,當n很大p很小時，就有第四十九頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二設(shè)X為離散型隨機變量,且概率分布表示為其中xi為(i=1,2,…,r,…)是X的一切(r個或者可數(shù)個)可能值.表示離散型概率分布的方法,有時用下面形如式的矩陣表示,或用形如表的分布表表示:第五十頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二表離散型變量X的概率分布xiP{X=xi}x1x2

…

xr…p1p2

…

pr…Σ1第五十一頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二

續(xù)例3現(xiàn)在我們運用泊松定理來做近似計算,由于此時故,于是因此

該例題表明,即使是一個命中率很低的射手,在大量的射擊中至少擊中兩次或兩次以上概率還是很大的.因此在大數(shù)次的試驗中,不能忽略小概率事件.第五十二頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二

例4

設(shè)某項試驗的成功率為98.5%,現(xiàn)獨立重復(fù)進行100次該項試驗,求只失敗1次的概率?

解第五十三頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二

例5

為了保證設(shè)備正常工作，需配備適量的維修工人(工人配備多了浪費,配備少了又要影響生產(chǎn)),現(xiàn)有同類型的設(shè)備300臺,各臺工作是相互獨立的,發(fā)生故障的概率都是0.01.在通常情況下一臺設(shè)備的故障可由一個人來處理(我們也只考慮這種情形),問至少需配備多少工人,才能保證當設(shè)備發(fā)生故障但不能及時維修的概率小于0.01?

解設(shè)需配備N人,記同一時刻發(fā)生故障的設(shè)備臺數(shù)為X,則X~B(300,0.01).所需解決的問題是確定最小的N,使得第五十四頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二由泊松定理(1)于是(1)式化為經(jīng)查表計算知,滿足上式最小的N是8.因此,為達到上述要求,至少需配備8個工人.第五十五頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二

例6

設(shè)有80臺同類型設(shè)備,各臺工作是相互獨立的,發(fā)生故障的概率都是0.01,且一臺機器的故障能由一個人處理.考慮兩種配備維修工人的方法,其一是由4人維修,每人負責20臺;其二是由3人共同維修80臺.試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時不能及時維修的概率的大小.

解先考慮第一種方法以X表示第一個人維護的20臺機器中同一時刻發(fā)生故障的臺數(shù),則X~B(20,0.01).于是,第一個人來不及維修的概率為第五十六頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二設(shè)A為“四個人中至少有一個人來不及維修”這一事件，則有以Y表示3個人共同維護的80臺機器中同一時刻發(fā)生故障的臺數(shù),則Y~B(80,0.01).于是他們來不及維修的概率為按第二種方法效率更高！第五十七頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二例7一立方體的三個側(cè)面上印有“0”,兩個側(cè)面上印有“1”,另一側(cè)面上印有“2”,若將其隨意投擲在桌面上,并以X表示朝上的側(cè)面上的數(shù)字,求X的概率分布.解隨意將該正立方體投擲在桌面上,可能出現(xiàn)6種等可能的情形(基本事件),其中有利于出現(xiàn)“0”,“1”和“2”的情形,分別有3,2,1種.因此第五十八頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二第五十九頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二例8一條交通干線上5處設(shè)有紅綠信號燈,兩種信號交替開放,且紅燈和綠燈開放的時間為2:3.假設(shè)有一輛汽車沿此街道駛過,以X表示它首次遇到紅燈之前已通過綠燈的次數(shù).求X的概率分布.解隨機變量X有0,1,…,5等6個可能值.設(shè)Ak={汽車在第k個信號燈處首次遇到紅燈}(k=1,2,3,4,5).事件A1,A2,…,A5顯然相互獨立,且P(Ak)=2/5(k=1,2,3,4,5).因此,有第六十頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二第六十一頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二第六十二頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二例9假設(shè)碩士研究生入學數(shù)學考試及格率為0.60,求14名考生中及格人數(shù)X的概率分布,并列出分布的數(shù)值表.解

n=14名考生參加考試,可以視為14次伯努利試驗,每名考生考試及格為“成功”,不及格為“失敗”,成功的概率為p=0.60.因此14名考生中及格人數(shù)X服從參數(shù)為(14,0.60)的二項分布(表是該二項分布的數(shù)值表):第六十三頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二kpkkpkkpkkpk00.00000310.0000620.0005530.0033040.0136050.0408160.0928270.0033080.2066090.20660100.15495110.08452120.03169130.00781140.00078表參數(shù)為(14,0.60)的二項分布表第六十四頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二例10某生產(chǎn)線平均每3分鐘生產(chǎn)一件產(chǎn)品,假設(shè)不合格品率為0.01.求8小時內(nèi)出現(xiàn)不合格品件數(shù)X的概率分布;(2)問:為使至少出現(xiàn)一件不合格品的概率不小于0.95,最少需要多長時間?第六十五頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二解(1)由條件知,若平均每3分鐘生產(chǎn)一件產(chǎn)品,則8小時內(nèi)平均可以生產(chǎn)8×60/3=160件產(chǎn)品,每件產(chǎn)品為不合格品的概率是p=0.01,在160件成品中不合格品的件數(shù)X顯然服從參數(shù)為(160,0.01)的二項分布.第六十六頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二(2)設(shè)n為至少出現(xiàn)一件不合格品所要生產(chǎn)產(chǎn)品的件數(shù),則n件產(chǎn)品中不合格品的件數(shù)vn服從參數(shù)為(n,0.01)的二項分布;按題意,n應(yīng)滿足條件于是,至少出現(xiàn)一件不合格品的概率不小于95%,最少需要298.0729×3≈895分鐘,即將近14小時55分鐘.第六十七頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二解以X表示隨意抽取的一頁上印刷錯誤的個數(shù),以Xk(k=1,2,3,4)表示隨意抽取的第k頁上印刷錯誤的個數(shù),由條件知X和Xk(k=1,2,3,4)服從同一泊松分布,未知分布參數(shù)λ取決于條件:例11設(shè)一本書的各頁的印刷錯誤個數(shù)X服從泊松分布律.已知有一個和兩個印刷錯誤的頁數(shù)相同,求隨意抽查的4頁中無印刷錯誤的概率p.第六十八頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二于是λ=2.由于事件{Xk=0}(k=1,2,3,4)顯然相互獨立,因此第六十九頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二第三節(jié).三種重要的連續(xù)型分布(一)均勻分布(UniformDistribution)如果隨機變量的概率密度為則稱在［a,b]上服從均勻分布，記為第七十頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二上式表明,落在區(qū)間[a,b]中任意等長度的子區(qū)間內(nèi)的概率是相同的.在這個意義上我們說,服從均勻分布的隨機變量在其可能取值的區(qū)間內(nèi)具有等可能性.設(shè)則第七十一頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二解知的分布函數(shù)為于是

例1

設(shè)隨機變量求.第七十二頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二

例2設(shè)隨機變量現(xiàn)在對進行三次獨立的觀測，求至少有兩次觀測值大于3的概率.解由題設(shè)知的概率密度為于是第七十三頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二若以Y表示三次獨立觀測中觀測值大于3的次數(shù)(即在三次試驗中{X>3}出現(xiàn)的次數(shù)),則故所求的概率為第七十四頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二二.指數(shù)分布(ExponentialDistribution)如果隨機變量的概率密度為則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布.（其中是常數(shù)）第七十五頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二易知，若則其分布函數(shù)為指數(shù)分布在排隊論和可靠性理論中有廣泛的應(yīng)用，常常用它來作為各種“壽命”的分布的近似.例如,電子元件的壽命,電話的通話時間,微生物的壽命,隨機服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時間等都可認為是近似服從指數(shù)分布.第七十六頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二指數(shù)分布的一個重要性質(zhì)就是“無后效性”或“無記憶性”.具體敘述如下.設(shè)則對于任意的s>0,t>0,有事實上，有第七十七頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二假如把服從指數(shù)分布的隨機變量解釋為某元件工作的壽命,則上式表明,在該元件已工作了s小時的條件下,它還能繼續(xù)工作t小時的概率與已經(jīng)工作過的時間s無關(guān).換句話說,如果元件在時刻s還“活著”,則它的剩余壽命的分布還是原來壽命的分布,而與它已工作了多長的時間無關(guān).所以有時又稱指數(shù)分布是“永遠年輕”的.值得指出的是,我們可以證明,指數(shù)分布是唯一具有無記憶性的連續(xù)型分布.第七十八頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二例3某元件使用壽命X(單位:h)服從=0.002的指數(shù)分布.求該元件使用了500h還完好的概率以及該元件使用壽命不低于-100h且不超過250h的概率.解由題設(shè)知的概率密度與分布函數(shù)分別為于是第七十九頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二下面的例子說明了泊松分布和指數(shù)分布之間的關(guān)系。即服從參數(shù)為指數(shù)分布。第八十頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二例5設(shè)某電子元件的壽命X(單位:小時)服從的指數(shù)分布,(1)求該元件使用500小時沒有壞的概率;(2)若已知該元件使用了200小時沒有壞,求它還可以繼續(xù)使用500小時的概率.解設(shè)X的分布函數(shù)為F(x),則(1)所求的概率為(2)由指數(shù)分布的無記憶性,有第八十一頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二三.正態(tài)分布(NormalDistribution)正態(tài)分布是概率分布中最重要的一種分布，這有實踐與理論兩方面的原因。實踐方面的原因是，正態(tài)分布是自然界最常見的一種分布，例如測量的誤差、炮彈的落點、人的身高與體重、農(nóng)作物的收獲量、波浪的高度等等都近似服從正態(tài)分布。一般來說，如果影響某一隨機變量的因素很多，而每一個因素都不起決定性作用，且這些影響是可以疊加的，則這個隨機變量服從正態(tài)分布，這點可用下一章的極限定理來加以證明。從理論方面來說，正態(tài)分布有許多良好的性質(zhì)，如正態(tài)分布可以導(dǎo)出一些其它分布，而某些分布（如二項分布、泊松分布等）在一定的條件下可用正態(tài)分布來近似。

第八十二頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二正態(tài)分布在十九世紀前葉由高斯加以推廣，所以通常稱為高斯分布.德莫佛德莫佛最早發(fā)現(xiàn)了二項概率的一個近似公式，這一公式被認為是正態(tài)分布的首次露面.高斯第八十三頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二不知你們是否注意到街頭的一種賭博活動?用一個釘板作賭具。第八十四頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二

也許很多人不相信，雖然玩這種賭博游戲十有八九是要輸?shù)舻?，不少人總想碰碰運氣，然而中大獎的概率實在是太低了。第八十五頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二下面我們在計算機上模擬這個游戲：街頭賭博高爾頓釘板試驗第八十六頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二平時，我們很少有人會去關(guān)心小球下落位置的規(guī)律性，人們可能不相信它是有規(guī)律的。一旦試驗次數(shù)增多并且注意觀察的話，你就會發(fā)現(xiàn)，最后得出的竟是一條優(yōu)美的曲線。第八十七頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二高爾頓釘板試驗這條曲線就近似我們將要介紹的正態(tài)分布的密度曲線。第八十八頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二定義如果隨機變量X的概率密度為

第八十九頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二正態(tài)分布密度函數(shù)的幾何性態(tài)：第九十頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二正態(tài)分布密度函數(shù)的幾何性態(tài)：第九十一頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二正態(tài)分布密度函數(shù)的幾何性態(tài)：第九十二頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二正態(tài)變量的分布函數(shù)為第九十三頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布.其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用

和

表示：第九十四頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二

任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布.定理其分布函數(shù)為則證第九十五頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二于是,有

這個公式把一般正態(tài)變量的概率計算轉(zhuǎn)換為標準正態(tài)分布來計算.當-x<0時，第九十六頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二第九十七頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二若X～N(0,1),第九十八頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二

例設(shè)隨機變量查表求概率第九十九頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二

例設(shè)隨機變量求概率

例設(shè)隨機變量已知求第一百頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二例1解第一百零一頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二例3解若入學考試中各個考生的總分數(shù)服從正態(tài)分布N(400,1002),共有2000人參加考試，假定只錄取前300名，求分數(shù)線a，使考生總分超過a的概率等于升學率。設(shè)X表示考試總分，則第一百零二頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二例2這在統(tǒng)計學上稱作“3準則”（三倍標準差原則）.第一百零三頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二68.26%95.44%99.74%第一百零四頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二若某人從甲地到乙地有兩條路線可走，第一條路線過市區(qū)，路程短但擁擠，所需時間(分)服從正態(tài)分布N(50,100)；第二條線路沿環(huán)城路走，路程長但阻塞少，所需時間(分)服從正態(tài)分布N(60,16)。問:(1)假如有70分鐘可用，應(yīng)選哪條路？(2)若只有65分鐘，又應(yīng)走哪條路？例4解記行走時間為t，(1)若有70分鐘可用,走第一條路線能及時趕到的概率為第一百零五頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二走第二條路線能及時趕到的概率為因此，若有70分鐘可用，應(yīng)選第二條路線。解記行走時間為t，(1)若有70分鐘可用,走第一條路線能及時趕到的概率為第一百零六頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二走第二條路線能及時趕到的概率為因此，若有65分鐘可用，應(yīng)選第一條路線。解記行走時間為t，(2)若有65分鐘可用,走第一條路線能及時趕到的概率為第一百零七頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二

例5由歷史記錄知,某地區(qū)總降雨量(單位:mm).求(1)明年降雨量在400mm~700mm之間的概率；(2)明年降雨量至少為300mm的概率;(3)明年降雨量小于何值的概率為0.1?解1)2)第一百零八頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二3)設(shè)該值為則有即查表得從而第一百零九頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二例假設(shè)新生入學外語考試的成績(百分制)服從正態(tài)分布N(72,σ2).而且96分以上的考生占2.3%,求隨意抽取的一份外語試卷的成績,介于60分到84分之間的概率α.第一百一十頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二解由條件知外語考試的成績X~N(72,σ2);而由即Φ(24/σ)=0.977;由標準正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表(附表1)可查得Φ(2)=0.977,故24/σ≈2,從而σ≈12.因此,第一百一十一頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二例假設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為(108,9)的正態(tài)分布,求(1)事件{101.11<X<117.6}的概率;(2)常數(shù)a,使P{X≤a}=0.90;(3)常數(shù)b,使P{|X－b|>b}=0.10.第一百一十二頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二解由條件知,隨機變量(1)由標準正態(tài)分布函數(shù)Φ(x)數(shù)值表(附表1),可見第一百一十三頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二(2)設(shè)Φ(x)是標準正態(tài)分布函數(shù).由條件知由標準正態(tài)分布函數(shù)Φ(x)的水平α雙側(cè)分位數(shù)uα表(附表3),可見第一百一十四頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二(3)設(shè)條件知(注意到Φ(－36)≈0)由標準正態(tài)分布函數(shù)Φ(x)的水平α雙側(cè)分位數(shù)uα表(附表3),可見第一百一十五頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二例假設(shè)無線電測距儀無系統(tǒng)誤差,其測量的隨機誤差服從正態(tài)分布.已知隨機測量的絕對誤差以概率0.95不大于20m,求隨機測量的標準差σ.解由條件知,隨機誤差e服從正態(tài)分布N(0,σ2),所以由可見第一百一十六頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二

前面討論了隨機變量的概率分布，它完整地描述了隨機變量的概率性質(zhì)，而數(shù)字特征則是由概率分布所決定的常數(shù)，它刻劃了隨機變量的某一方面的性質(zhì)。在許多實際問題中，分布往往不易求得或不需求得，而只需了解某些數(shù)字特征，而數(shù)字特征往往容易通過數(shù)理統(tǒng)計的方法得到。這一節(jié)先介紹隨機變量的數(shù)學期望.在這些數(shù)字特征中，最常用的是期望和方差第一百一十七頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二第四節(jié)隨機變量的數(shù)字特征

隨機變量的數(shù)學期望隨機變量的方差第一百一十八頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二4.1數(shù)學期望

一.數(shù)學期望的定義例1設(shè)某班40名學生的概率統(tǒng)計成績及得分人數(shù)如下表所示：分數(shù)4060708090100人數(shù)1691572數(shù)學期望——描述隨機變量取值的平均特征則學生的平均成績是總分÷總?cè)藬?shù)(分)。即第一百一十九頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二有甲、乙兩射手，他們的射擊技術(shù)如下表：例甲：擊中環(huán)數(shù)

891030%10%60%頻率

乙：擊中環(huán)數(shù)

891020%50%30%頻率

問哪一個射手水平較高？解假定各射N槍，則平均每槍所得環(huán)數(shù)約為甲：第一百二十頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二甲：擊中環(huán)數(shù)

891030%10%60%頻率

乙：擊中環(huán)數(shù)

891020%50%30%頻率

問哪一個射手水平較高？解假定各射N槍，則平均每槍所得環(huán)數(shù)約為甲：乙：可見甲的水平高些。第一百二十一頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二

定義1離散型隨機變量X~P{X=xk}=pk,k=1,2,…n,若級數(shù)，則稱為隨機變量X的數(shù)學期望，簡稱期望或均值。

對于離散型隨機變量X,EX就是X的各可能值與其對應(yīng)概率乘積的和.第一百二十二頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二例1若X服從0-1分布,其概率函數(shù)為

P{X=k}=Pk(1-p)1-k(k=0,1),求EX.

X01P1-pp解：第一百二十三頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二例2甲,乙兩名射手在一次射擊中得分(分別用ξ,η表示)的分布律如表1,表2所示.這表明,如果進行多次射擊,他們得分的平均值是2.1和2.2,故乙射手較甲射手的技術(shù)好.ξ123P0.40.10.5試比較甲乙兩射手的技術(shù).η123P0.10.60.3解：第一百二十四頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二例3一批產(chǎn)品中有一,二,三等品,等外品及廢品5種,相應(yīng)的概率分別為0.7,0.1,0.1,0.06及0.04,若其產(chǎn)值分別為6元,5.4元,5元,4元及0元.求產(chǎn)品的平均產(chǎn)值.

Eξ=6x0.7+5.4x0.1+5x0.1+4x0.06+0x0.04=5.48(元)ξ65.4540p0.70.10.10.060.04解：產(chǎn)品產(chǎn)值ξ是一個隨機變量,它的分布率如表:第一百二十五頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二例4已知盒內(nèi)有5個球,其中2個白球,3個黑球,從中一次摸出3個球,計算摸到的白球個數(shù)X的數(shù)學期望EX.第一百二十六頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二例5已知甲袋內(nèi)有3個白球與3個黑球,乙袋內(nèi)有3個白球,今從甲袋內(nèi)任意摸出3個球放入乙袋.求(1)乙袋內(nèi)黑球個數(shù)X的數(shù)學期望;(2)從乙袋內(nèi)再任摸一球是黑球的概率.第一百二十七頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二例5已知甲袋內(nèi)有3個白球與3個黑球,乙袋內(nèi)有3個白球,今從甲袋內(nèi)任意摸出3個球放入乙袋.求(1)乙袋內(nèi)黑球個數(shù)X的數(shù)學期望;(2)從乙袋內(nèi)再任摸一球是黑球的概率.設(shè)B=從乙袋內(nèi)再任摸一球是黑球第一百二十八頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二例6擲一顆均勻的骰子，以ξ表示擲得的點數(shù)，求ξ的數(shù)學期望。定義4.2P(58)設(shè)連續(xù)型隨機變量x~φ(x),-<x<+,若

為x的數(shù)學期望。則稱

連續(xù)型隨機變量X的數(shù)學期望是它的概率密度f(x)與實數(shù)x的乘積在(-∞,+∞)無窮區(qū)間上的廣義積分.第一百二十九頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二例7設(shè)隨機變量X的概率密度函數(shù)為

解：第一百三十頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二例8設(shè)隨機變量X的概率密度函數(shù)為

解：第一百三十一頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二例9設(shè)隨機變量X的概率密度函數(shù)為

解：第一百三十二頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二三、隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望(1)若X是離散型隨機變量，且X的概率分布為

(2)若X是連續(xù)型隨機變量，且其概率密度為

f(x)，

則則第一百三十三頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二E(a)=a,a為常數(shù);E(X+a)=E(X)+a,a為常數(shù);3.E(aX)=aE(X),a為常數(shù);數(shù)學期望的性質(zhì)證明:設(shè)X~φ(x),則4.E(kX+b)=E?(kX)+b=k?E(X)+b第一百三十四頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二這個性質(zhì)可以推廣到任意有限個隨機變量的情況,即對于n>2也同樣有

第一百三十五頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二例解X-2-100.1P

10.20.30.4設(shè)隨機變量X的概率分布如下：第一百三十六頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二例解設(shè)隨機變量X的服從[a,b]上的均勻分布第一百三十七頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二例解設(shè)隨機變量X的服從[0,2п]上的均勻分布第一百三十八頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二例2有一隊射手共9人,技術(shù)不相上下,每人射擊中靶的概率均為0.8;進行射擊,各自打中靶為止,但限制每人最多只打3次.問大約需為他們準多少發(fā)子彈?解設(shè)ξi表示i名射手所需的子彈數(shù)目,ξ表示9名射手所需的子彈數(shù)目,依題意,并且ξi有如下分布律再多準備10%~15%,大約為他們準備13發(fā)子彈.第一百三十九頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二例4某無線電元件的使用壽命ξ是一個隨機變量,其概率密度為其中λ>0,求這種元件的平均使用壽命.解：第一百四十頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二解例假定世界市場對我國某種出口商品的需求量X(單位噸)是個隨機變量,它服從[2000,4000]上的均勻分布,設(shè)該商品每售出1噸可獲利3萬美元,但若銷售不出去積壓于庫,則每噸需支付1萬美元,問如何計劃年出口量能使國家期望獲利最多?第一百四十一頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二EX1：設(shè)隨機變量X的分布律為解:求隨機變量Y=X2的數(shù)學期望XPk-101YPk10

第一百四十二頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二設(shè)ξ的概率密度為，求E(ξ2),E(ξ3)，E(ξ4)。第一百四十三頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二第一百四十四頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二二方差(Variance)隨機變量X的數(shù)學期望，描述了隨機變量X取值的集中趨勢或平均水平，但是僅僅知道X的數(shù)學期望有時還不能完全刻劃隨機變量X的統(tǒng)計特征。比如，某廠生產(chǎn)一批元件，平均使用壽命E(X)=1000小時，僅由此我們還很難了解這批元件質(zhì)量的好壞，因為有可能有一半的元件質(zhì)量很高，壽命在1500小時以上，而另一半?yún)s質(zhì)量很差，壽命不足500小時，從而反映出質(zhì)量不穩(wěn)定。可見應(yīng)進一步考察元件壽命X對期望E(X)的偏離程度。下面介紹的方差就是用來描述隨機變量的可能取值與其期望之間的差異程度的數(shù)量特征。

第一百四十五頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二一、方差的定義定義即第一百四十六頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二計算公式:第一百四十七頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二1.若X是離散型隨機變量，其概率分布為

則計算公式:2.若X為連續(xù)型隨機變量，其概率密度為f(x)，則第一百四十八頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二

設(shè)X表示機床A一天生產(chǎn)的產(chǎn)品廢品數(shù)，Y表示機床B一天生產(chǎn)的產(chǎn)品廢品數(shù)，它們的概率分布如下：X0120.5P

30.30.10.1例1解Y0120.6P

30.10.20.1問：兩機床哪臺質(zhì)量好？設(shè)兩臺機床的日產(chǎn)量相等。

均值相等,據(jù)此不能判斷優(yōu)劣,再求方差.第一百四十九頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二X0120.5P

30.30.10.1Y0120.6P

30.10.20.1均值相等,據(jù)此不能判斷優(yōu)劣,再求方差.由于D(X)<D(Y),因此機床A的波動較機床B的波動小,質(zhì)量較穩(wěn)定.第一百五十頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二幾種常見離散型分布的方差1.0-1分布已經(jīng)求得第一百五十一頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二2.二項分布已經(jīng)求得所以第一百五十二頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二3.泊松分布已經(jīng)求得所以第一百五十三頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二幾種常見連續(xù)型分布的方差1.均勻分布已經(jīng)求得第一百五十四頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二2.指數(shù)分布已經(jīng)求得第一百五十五頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二3.正態(tài)分布已經(jīng)求得第一百五十六頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二幾種常用的隨機變量的數(shù)學期望與方差

分布概率分布或概率密度

數(shù)學期望

方差

0-1分布二項分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布泊松分布第一百五十七頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二二、方差的性質(zhì)性質(zhì)1D(C)=0，其中C是常數(shù)。性質(zhì)2若k是常數(shù),則性質(zhì)3證其中C是常數(shù)。證第一百五十八頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二性質(zhì)4設(shè)X和Y是兩個相互獨立的隨機變量，則

證而第一百五十九頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二性質(zhì)4設(shè)X和Y是兩個相互獨立的隨機變量，則

證當X和Y相互獨立時，有E(XY)=E(X)E(Y)，所以推廣：若X1,X2,…,Xn相互獨立,則第一百六十頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二注意：以下兩個式子是等價的,的充分必要條件為,存在常數(shù)C,使事實上,若X1,X2,…,Xn相互獨立,則例如,當X和Y相互獨立時,有性質(zhì)5第一百六十一頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二利用方差的性質(zhì)重新求二項分布的方差.設(shè)X~B(n,p)，X表示n重貝努里試驗中的“成功”次數(shù).例解設(shè)而X=X1+X2+…+Xn,i=1,2,…,n其分布律為所以且X1,X2,…,Xn相互獨立,第一百六十二頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二例2設(shè)隨機變量X的概率密度函數(shù)為

解：第一百六十三頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二例3：已知隨機變量X服從二項分布B(n,p),且EX=2.4,DX=0.48,求X的概率函數(shù)與分布函數(shù).第一百六十四頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二例4：已知隨機變量X服從期望為1的指數(shù)分布,求.第一百六十五頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二例5：已知隨機變量X服從期望為0,方差為的正態(tài)分布,求的值.第一百六十六頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二例6：設(shè)隨機變量ξ的概率密度為1)求Dξ,2)求第一百六十七頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二第一百六十八頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二例7若連續(xù)型隨機變量的概率密度是已知Eξ=0.5,Dξ=0.15,求系數(shù)a,b,c.解:第一百六十九頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二第五節(jié)隨機變量的函數(shù)的分布一、求隨機變量函數(shù)的分布的一般方法二、求隨機變量函數(shù)的密度的一個常用公式第一百七十頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二一、求隨機變量函數(shù)的分布的一般方法設(shè)y=g(x)是連續(xù)函數(shù)或分段連續(xù)函數(shù),Y=g(X)作為隨機變量X的函數(shù),也是隨機變量.根據(jù)自變量X的概率分布,求Y的概率分布的一般方法:將Y的分布函數(shù)通過X的概率分布表示:第一百七十一頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二1.離散型若X是離散型隨機變量,則首先根據(jù)X的可能值列出Y的可能值,然后分別求Y等于各個可能值的概率.例1假設(shè)一部機器在一個工作日因故停用的概率為0.2.一周使用5個工作日可創(chuàng)利潤10萬元;使用4個工作日可創(chuàng)利潤7萬元;使用3個工作日只創(chuàng)2萬元;停用3天及多于3天虧損2萬元.求所創(chuàng)利潤的概率分布.第一百七十二頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二解設(shè)X是一周5個工作日停用的天數(shù);Y是一周所創(chuàng)利潤.X服從參數(shù)為(5,0.2)的二項分布,而一周所創(chuàng)利潤Y是停用天數(shù)X的函數(shù):若X=0,若X=1,若X=2,若X=3,第一百七十三頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二顯然Y的可能值為10,7,2,－2,因此于是,所創(chuàng)利潤Y的概率分布第一百七十四頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二設(shè)隨機變量X的概率分布為例2解求2X+1及X2的概率分布。注意：取值相同的概率應(yīng)相加。第一百七十五頁，共一百九十六頁，編輯于2023年，星期二例3設(shè)隨機變量X的概率分布為解(1)易見,隨機變量Y=X2+1有1,2,5等3個可能值,因此Y的概率分布為分別求隨機變量Y=X2+1和Z=cosπX的概率分