2022屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-綜合訓(xùn)練六大題訓(xùn)練

2022屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題訓(xùn)練

(綜合訓(xùn)練(6))

1.已知數(shù)列｛%｝是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，且”「4=40,/+4=28.

(1)求數(shù)列｛”"｝的通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和；

(2)設(shè)b,=&(nwN*),求數(shù)列地,｝的前“項(xiàng)和?

2.如圖，四邊形ABCD是圓柱的軸截面，。，。分別是上、下底面圓的圓心,防是底面圓的一

條直徑，DE=DF.

(1)證明：EFYAB-,

(2)若2AO=求平面8Cr與平面C/)E所成銳二面角的余弦值.

3.為有效防控新冠疫情從境外輸入，中國(guó)民航局根據(jù)相關(guān)法律宣布從2020年6月8日起實(shí)施航班

熔斷機(jī)制，即航空公司同一航線航班，入境后核酸檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性的旅客人數(shù)達(dá)到一定數(shù)量的

民航局對(duì)其發(fā)出“熔斷”指令，暫停該公司該航線的運(yùn)行(達(dá)到5個(gè)暫停運(yùn)行1周，達(dá)到10個(gè)

暫停運(yùn)行4周)，并規(guī)定“熔斷期”的航班量不得調(diào)整用于其他航線，“熔斷期”結(jié)束后，航空

公司方可恢復(fù)每周1班航班計(jì)劃.已知某國(guó)際航空公司A航線計(jì)劃每周有一次航班入境，該航

線第一次航班被熔斷的概率是4，且被熔斷的一次航班的下一次航班也被熔斷的概率是十，未

被熔斷的一次航班的下一次航班也未被熔斷的概率是等.一條航線處于“熔斷期”的原計(jì)劃航

班不記入該航線的航班次數(shù)，記該航空公司A航線的第〃次航班被熔斷的概率為p”.

(1)求??；

(2)證明:為等比數(shù)列；

(3)求數(shù)列｛p,J的前"項(xiàng)和7；,并說(shuō)明7“的實(shí)際意義.

4.法國(guó)著名軍事家拿破侖?波拿巴最早提出的一個(gè)幾何定理：“以

任意三角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)

三角形的外接圓圓心恰為另一個(gè)等邊三角形的頂點(diǎn)”.

如圖，在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,

已知“(：05(8-0=8$&2■$皿(7-“).以A3,BC,AC為

邊向外作三個(gè)等邊三角形，其外接圓圓心依次為0-02,03.

(1)求A；

(2)若4=百，△002。3的面積為迪，求AABC的周長(zhǎng).

5.已知圓E:(x+0y+y2=i6,點(diǎn)F(G,0),尸是圓E上任意一點(diǎn)，線段P尸的垂直平分線和

半徑PE相交于Q.

(1)求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡「的方程；

(2)直線/過(guò)點(diǎn)(1,1),且與軌跡「交于A,3兩點(diǎn)，點(diǎn)M滿足A〃=MB,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，

延長(zhǎng)線段OM與軌跡「交于點(diǎn)R,四邊形OAK8能否為平行四邊形？若能，求出此時(shí)直線/

的方程，若不能，說(shuō)明理由.

6.已知函數(shù)/(x)=(x?-or)/ar+x(aeR,a>0).

(1)若1是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，求。的值；

(2)若0<4,1,試問(wèn)f(x)是否存在零點(diǎn).若存在，請(qǐng)求出該零點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求滿足題意的。的最小整數(shù)值.(參考數(shù)據(jù)：例2=0.693,1.649)

2022屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題訓(xùn)練

(綜合訓(xùn)練(6))

1.已知數(shù)列｛%｝是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，且”「4=40,/+4=28.

(1)求數(shù)列｛”"｝的通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和；

(2)設(shè)勿=券(”€萬(wàn)"求數(shù)列地,｝的前“項(xiàng)和?

【解答】

(1)因?yàn)閿?shù)列｛4｝是等差數(shù)列，

所以冬+4=26=28,即4=14,所以q+2d=14,

又q?4=4(4+3d)=40,

即(14-2d)(14+d)=40,解得d=6或-13,

由數(shù)列｛〃〃｝遞增，知d=6,所以〃[=2,

2

所以q=6〃一4,Sn=3n—n.

⑵■:一3常/7-2，

匕匚i、?T1473n—53z?—2

,22223T

0小]143T?-5377-2

所以51=齊+聲++-^L+彳「，

兩式相減得，，7；,」+3(2+4+--+二)-"/=2-"￥，

2222232"2"+'2,,+|

所以(=4一四￥.

2.如圖，四邊形是圓柱的軸截面，O',。分別是上、下底面圓的圓心，EP是底面圓的一

條直徑，DE=DF.

(1)證明：EFYAB-,

(2)若2AO=gA8,求平面BC/與平面C7)E■所成銳二面角的余弦值.

【解答】

(1)證明：連接OO,

因?yàn)镈E=DF.即是底面圓的一條直徑，

所以，QLE/L因?yàn)锳力是圓柱的母線，EF在底面圓。內(nèi)，

所以AO_LEF,因?yàn)椤O,ADu平面ABC。,

所以￡FL平面43c￡>,ABu平面MCD,

.-.EF1AB；

(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OF,OB,0(7所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AB=2,則一(1,0,0),8(0,1,0),C(0,1,也),0(0,-1,百)，￡：(-1,0,0),

所以8F=(1,-1,0),8c=(0,0,x/3),￡D=(1,-1,B,EC=(1,1,6),

設(shè)平面8b的一個(gè)法向量為"=(x,y,z),

r.tn?BF=x-y=0.…

則，，令A(yù)y=1,則％=1,z=0,

n-BC=\J3z=0

平面8cb的一個(gè)法向量為=1,0),

設(shè)平面DEC的一個(gè)法向量為心=3，b,c),

im-ED=a-b+A/3C=0,

則<，令A(yù)c=1,則b=0,〃=—yr3,

m-EC=6z+/?+>/3c=0

所以平面。EC的一個(gè)法向量為機(jī)=(-6，0,1),

4?.mn-V3顯

所以cos<mn>=----------=-------------=-------,

ImI?I〃IJl+1xJ3+14

所以平面次才與平面CDE所成銳二面角的余弦值為包.

3.為有效防控新冠疫情從境外輸入，中國(guó)民航局根據(jù)相關(guān)法律宣布從2020年6月8日起實(shí)施航班

熔斷機(jī)制，即航空公司同一航線航班，入境后核酸檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性的旅客人數(shù)達(dá)到一定數(shù)量的

民航局對(duì)其發(fā)出“熔斷”指令，暫停該公司該航線的運(yùn)行（達(dá)到5個(gè)暫停運(yùn)行1周，達(dá)到10個(gè)

暫停運(yùn)行4周），并規(guī)定“熔斷期”的航班量不得調(diào)整用于其他航線，“熔斷期”結(jié)束后，航空

公司方可恢復(fù)每周1班航班計(jì)劃.已知某國(guó)際航空公司A航線計(jì)劃每周有一次航班入境，該航

線第一次航班被熔斷的概率是g,且被熔斷的一次航班的下一次航班也被熔斷的概率是g,未

被熔斷的一次航班的下一次航班也未被熔斷的概率是2.一條航線處于“熔斷期”的原計(jì)劃航

3

班不記入該航線的航班次數(shù)，記該航空公司A航線的第〃次航班被熔斷的概率為p”.

（1）求「2；

⑵證明：為等比數(shù)列；

（3）求數(shù)列｛p,J的前"項(xiàng)和7；,并說(shuō)明7“的實(shí)際意義.

【解答】

11115

(1)

2232212

⑵由題得

212、

_￡=z（P〃-i一￡），

565

又Pi—2=_L/o,.?.數(shù)列2］是以，為首項(xiàng)、工為公比的等比數(shù)歹ij；

1510rf5J106

71

(3)由(2)知p一4=々故P〃=2+3._L

56”T10~556”

232

從而T=一九H—=—〃+

〃555/一。）

由于pn可以理解為第n次航班平均被熔斷的次數(shù),

7；表示前n次航班平均被熔斷的次數(shù).

4.法國(guó)著名軍事家拿破侖?波拿巴最早提出的一個(gè)幾何定理：“以

任意三角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)

三角形的外接圓圓心恰為另一個(gè)等邊三角形的頂點(diǎn)”.

如圖，在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,

已知acos(8-C)=cosA(2G/?sinC-a).以AB,BC,AC為

邊向外作三個(gè)等邊三角形，其外接圓圓心依次為。一。2,。3?

(1)求A；

(2)若。=6，△002。的面積為拽，求AA8C的周長(zhǎng).

【解答】

(1)由iZCOs(B-C)=cosA(2\/3/?sinC-6Z),得〃cos(B-C)+〃cosA=2V§/?sinCcosA,

即acos(B-C)-acos(B+C)=273/?sinCcosA,

即6Z(COSBCOSC+sin8sinC)-tz(cosBcosC-sin8sinC)=2GAsinCeosA

即2asin5sinC=2V5bsinCcosA,

sinCwO,tzsinB=\/3/?cosA,

由正弦定理得sinAsinB=\/5sin3cosA,

sinB/O,「.sinA=\/5COSA,?.tanA=\[3,

0°<A<180°,.\A=60°;

(2)如圖，連接A。1,AO3,則IAQ|=1-c,|Aq|=1-b,

i/□7/3

22

正40003面積S=--|O}O,I-sin60°=1|O,O31=言

而ZBAC=60°,則NQAQ=120°,

22

△QAQ中，由余弦定理得：|OR|=|AOt|+1A0^-2\A0.\-\AO^cosAO.AO,,

g|jZ=￡+￡l-2.—.(-1),則b、c2+bc=7,

33332

在AA8C中，4=60。,4=6，由余弦定理得/=從+?2_?ccos4R4C,

則+c?—匕。=3,:.bc=2,b2+c2=5,b+c=\lb2+c2+2bc=3,

所以AABC的周長(zhǎng)為3+四.

5.已知圓E:(x+0y+y2=i6,點(diǎn)F(G,0),尸是圓E上任意一點(diǎn)，線段P尸的垂直平分線和

半徑PE相交于Q.

(1)求動(dòng)點(diǎn)。的軌跡「的方程；

(2)直線/過(guò)點(diǎn)(1,1),且與軌跡「交于A,3兩點(diǎn)，點(diǎn)M滿足=點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，

延長(zhǎng)線段OM與軌跡「交于點(diǎn)R,四邊形OAK8能否為平行四邊形？若能，求出此時(shí)直線/

的方程，若不能，說(shuō)明理由.

【解答】

(1)?|QE|+|QF|=|EQ|+|QP|=4,且|EF|=26<4,.?.點(diǎn)。的軌跡是以E,F為焦點(diǎn)的橢圓，

22_________

設(shè)橢圓方程為=+三=1,則加=4,c=6,:.a=2,b=yja2-c2=1.

crb2

所以點(diǎn)E的軌跡方程為：—+y=\.

4

(2)(i)當(dāng)直線/與x軸垂直時(shí)，直線/的方程為x=l,顯然四邊形043是平行四邊形：

(ii)當(dāng)直線/與工軸不垂直時(shí)，設(shè)直線/:y=Ax+w，顯然ZwO,根wO,

設(shè)A(%，y),B(X2,y2),M(XM,yM).

y=kx-st-m

聯(lián)立方程組,V,得（4公+l）f+8bnr+4m2一4二。，

—+/=1

8km

AM=MB,即M是AB的中點(diǎn)，r.x”=：*士'=--—二"，y=kx+m=—,

21+45M1+4公

若四邊形OAR8是平行四邊形，當(dāng)且僅當(dāng)他，OR互相平分，.?./?(_坐々，上「),

1+4標(biāo)1+4產(chǎn)

代入橢圓方程得：16"+4療=[,即[6//+W=16〃+8〃+1,

22

(1+4無(wú)2了(1+4A:)

又直線/:y=Ax+〃z經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1),.,.加=1—%，

二16二（1-GY+%]_公2=]6-+8公+1,

35

.?.32獷-12爐+84-3=0,即（4公+l）（8&-3）=0.:.k=~,m=-,

88

.?.直線/的方程為y=3x+*時(shí)，四邊形O4/W是平行四邊形，

”88

綜上，直線/的方程為x=l或y=3x+*.

88

6.已知函數(shù)/(x)=，一or)歷x+6R,a>0).

(1)若1是函數(shù)/(?的極值點(diǎn)，求。的值；

(2)若0<%1,試問(wèn)/(x)是否存在零點(diǎn).若存在，請(qǐng)求出該零點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)若“X)有兩個(gè)零點(diǎn)，求滿足題意的。的最小整數(shù)值.(參考數(shù)據(jù)：加2。0.693,1.649)

【解答】

(1)/(x)=(x2-cix)lnx+x,定義域是(0,+co),f\x)=x-<7-f-14-lnx(2x-a),

1是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，(1)=2-a=0,解得a=2,

經(jīng)檢驗(yàn)。=2符合題意；

(2)證明：令/(x)=0，即(％-°)歷x+1=0,

令h(x)=(x-a)lnx+l(x>0),則hr(x)=+1--=X^nX+X~~-

xX

令m(x)=xlnx+x-a,則mr(x)=Inx+2，

22

令加(x)=0,解得尤=?-2,ffnm(e~)=-e~-a<09

當(dāng)Ovxv/時(shí)，mr(x)<0,"?(X)單調(diào)遞減，當(dāng)X〉/時(shí)，ni(x)>0,加(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)x—>0時(shí)，"?(x)f-a,m(x)<0,S.m(e2)=-e~2-a<Q,tn(1)=l-a..O,

2

故存在/G(6一,1)使得〃?(x)=x0/nx()+/-a=0,即"(幻=0,

故當(dāng)0<九vx()時(shí)，hr(x)<0,力。)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，//(x)>0,〃(x)單調(diào)遞增,