《量子力學(xué)》練習(xí)題一

《量子力學(xué)》練習(xí)題一、基本概念及簡(jiǎn)要回答1.∣-P：和-|P是否相等？為什么?答：不相等。因?yàn)閨-P；是動(dòng)量(-P)的本證態(tài)，而一|P；,是動(dòng)量P的本證態(tài)，實(shí)際上-∣P；與IP)代表同一個(gè)態(tài)。2．判定下列符號(hào)中，哪些是算符？哪些是數(shù)？哪些是矢量？ψ則；Ψ(t)∣Φ(t)')； Nuμv?w'-； U?F?w.:。八答：W：@|是算符，V(t)仲(t)；，；UIFlw’;是數(shù)，Nu(v?w)是矢量。.波函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是否一定要連續(xù)？舉例說明。答：不一定。例如，對(duì)于無限深勢(shì)阱波函數(shù)中粒子波函數(shù)在全空間連續(xù)，但微商在X=0和a點(diǎn)不連續(xù)。.為什么既不能把Ψ波理解為‘粒子的某種實(shí)際結(jié)構(gòu)，即把波包看作粒子’，也不把ψ波理解為‘由大量粒子分布于空間而形成的波，即把波看作由粒子構(gòu)成的’？答：自由粒子的物質(zhì)波包必然要擴(kuò)散，與實(shí)驗(yàn)矛盾。所以不能‘把波包看作粒子’；另一方面，戴維遜-戈末實(shí)驗(yàn)表明電子的波動(dòng)性不是很多電子在空間聚集在一起時(shí)才呈現(xiàn)的現(xiàn)象，單個(gè)電子就具有波動(dòng)性，否則每次只有一個(gè)粒子，但長(zhǎng)時(shí)間的衍射干涉就不會(huì)有干涉花樣.所以不能‘把波看作由粒子構(gòu)成的’。八八 八八5.設(shè)A+=AB+=B

，?A,B≠0。試判斷下列算符哪些是厄米算符，哪些不是。八 八八(1)1F=_(AB-BA)2i(2)^^^；(3)C=A+IB；(4)解：(1)(AB—BA)—2i1(B+A+—A+B+)=一2i.??F+=F，即F尸為厄米算符。(2)八 八八G=AB八八 八八 八八 八=B+A+=BA≠AB=G。，?八八八;^ 八八G=AB八 八 八D=A-BF=i八八八人，八，八F+1人人 人人(AB-BA)^I^^1G+=AB+(3)八.G? 不是厄米算符。∕? ∕? ∕? ∕? ∕? 八C=A+iB C+=A-iB，(4).?.C+≠C

,

^^^^人即C不是厄米算符。人 人 人 人D=A—B D+=A+-B+=A—B/X/X.?.D+=D,人即d為厄米算符。八八,.質(zhì)量為m的粒子處于一維諧振子勢(shì)場(chǎng)匕Q)=2丘，(k>°)的基態(tài)，k 2k若彈性系數(shù)A突然變成4A發(fā)現(xiàn)粒子處于新勢(shì)場(chǎng)V2(X)VQ)=kX，即勢(shì)場(chǎng)變成2 ，隨即測(cè)量粒子的能量，求基態(tài)的幾率；(只列出詳細(xì)的計(jì)算公式即可)解：粒子的波函數(shù)W(X,t)隨時(shí)間的變化滿足方程.? 方2?2侑況ψ=-占即ψ+VW對(duì)時(shí)間區(qū)間tTt+?積分得t+?dψdt=ψ(t+Q-ψ(t)t?t方2022m?X2Jt+?dtw+?t+?Vwdtttn?{μ(t+?)+V(t+?)ψ(t+?)}=0,￡T0111t≤?≤t+?o1VTV可見，當(dāng)V發(fā)生突變(由12)、但變化量有限時(shí),匕變。以ψ0(X)和φ0(X)VlV∣Q"-q ^l…AI_V+qV分別表示1場(chǎng)和2場(chǎng)的基態(tài)波函數(shù)，當(dāng)勢(shì)場(chǎng)突然由1變成2后，粒子的波函數(shù)仍為ψ(X)?V*,V…‘V……?□Φ≠ψ □七0。由于1已變?yōu)?，新勢(shì)場(chǎng)2中的基態(tài)是0 0。于是隨即測(cè)量粒子的能量，則測(cè)得粒子處于φ0態(tài)的概率為l(ψ0lφ0)∣2,即粒子能量為新基態(tài)能量EO的概率為1σ0ιφ0>2tz,V^V將1和2寫成標(biāo)準(zhǔn)形式：…、17 1V(X)=κkx2=m32X2ι2 2ι1V(X)=kx2=_m32x22 ^2 2ω=∕2ω可得2 1，又有:ψ°(X)=e-a2X2∕2,a2=mω/力φ(X)=(^=J2e-β2X2/2,B2=mωIfI其中β2/a2=ω2lω1=y[2因此Mlφ0)=aβfe-2(a2+β2)X2dX=f2aβJ&兀 Ia2+β2J-∞…所求概率為IΨ*0〉12aβa2+β2H=P+1μoX2+y2三.已知二維諧振子的哈密頓算符為o2μ2在對(duì)其施加微擾八WΛ 八 八=一人Xy H=HJ后，利用微擾論求1八+Wi+ 第一激發(fā)態(tài)能量至一級(jí)修正。0提示:na.2m,n-1In+(+;δ2—2Γm,n+1其中，,Xφn,而IQ）為線諧振子的第n個(gè)本征矢。解：若選1H=一

0 2μI八 .p2+P2xy2μω2(χ2+y2)則/X已知H/XW=-λxy人 人H=H0人+W(2)0(1)E0n,nxy本征解為 、Z+n+1萬3χyψ0 (x,y)=φ(x)φ(y),n,nxynxnyn,n=0,1,2,…χy(3)令n=n+n,χyn=0,1,2,???(4)則零級(jí)近似能量本征值可寫成E0=Q+1》①n(5)第一激發(fā)態(tài)n=1，簡(jiǎn)并度為fI=2。在簡(jiǎn)并子空間中，相應(yīng)的零級(jí)近似解為E0=2力CDψψ(0)(X,y)=φ(X)φ(y)1 0 1(0)(X,y)=φ(x)φ(y)

2 1 0(8)能量一級(jí)修正滿足的本征方程為XW-EG)δαβ1 _0β=11=01β(9)相應(yīng)的久期方程為W-EG)11 1W21W12W-EG)=0(10)由2211Xmn=^m∣x∣n=_nδ2m,n-1+n+δ2 m,n+1(11)可以求出微擾矩陣元W=W=011 22叫2=λ(1∣xy12而λfdxφ*(x)即(x)fdyφ*(y)yφ(y)0-∞1 1-∞0(12)λ力 =W,(13)2μ① 21將（13）和（14）的矩陣元代入久期方程（10）,得到E(1)11λ力E(1)122μ①λ力（14）2μ①顯然，能量一級(jí)修正已使第一激發(fā)態(tài)的能級(jí)劈裂成兩條能級(jí)，即將二度簡(jiǎn)并完全消除。得到E（1）為了求出近似本征矢，將EIII代回本征方程λ力(0D(α?λ力（a、酒I1 0JIb)酒(bJ（15）a=-b（16）由歸一化條件可知1a=不（17）于是，得到相應(yīng)的零級(jí)本征矢為Ψ[0)(X,y)=1（J（0）-ψ（0））,O12（18）同理可得，En相應(yīng)的零級(jí)本征矢為ψ(0)(%,y)=1_(μ(0)+ψ(0))12 R1 2 (19)\o"CurrentDocument" 八 八 八 八四.已知[Mβ]=1，求證郵〃—βn&=nβn-1證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明。八 八 八當(dāng)n=1時(shí)，鄴-βɑ=[弧β]=1八 八 八 八假設(shè)當(dāng)指數(shù)為n=k時(shí)，也成立。即：aβk-βka=[%βk]=nβk-1,則當(dāng)指數(shù)八 八 八 八八de(3k+1-βk+1dc=[a,βk+1]=[a,βkβ]為n+1時(shí)，=[d,βk]β+βk[d,β]=nβk+βk=(n+1)βk八 八 八成立，所以 dβn-βnd=nβn-1五.一個(gè)三維運(yùn)動(dòng)的粒子處于束縛態(tài)，其定態(tài)波函數(shù)的空間部分是實(shí)函數(shù)，求此態(tài)中的動(dòng)量平均值。解：定態(tài)波函數(shù)的一般形式為ψ(r,t)=ψ(r)eTEt力E為能量。由題可知ψ*(r)=ψ(r)。由于是束縛態(tài)，必定有ψ(r)→0(當(dāng)∣r∣→∞)。于是可按下式計(jì)算動(dòng)量平均值，如 八P=Jdτψ*(r.t}pψgt)1 %a.、=Jdxdydzψ(產(chǎn))2ψ(r)iax=-i初dydzjdx1:ψ2(r)2ax1.=-2ItIJdydz[ψ2(r)∣X=∞X=-∞=0.對(duì)Py、Pz也有同樣結(jié)果。六.質(zhì)量為m的粒子作一維自由運(yùn)動(dòng)，如果粒子處于ψQ)=Asin2kx的狀態(tài)PjB上，求其動(dòng)量"與動(dòng)能的幾率分布及平均值。解：做一維自由運(yùn)動(dòng)粒子的動(dòng)量與動(dòng)能算符分別為八.dP=-ihdx八；T=要2m顯然兩者相互對(duì)易，有共同完備本征函數(shù)1φ(x)= exp(—px)P戶礪力分別滿足Pφ(x)=Pφ(x)P PTφ(x)=上φ(x)P 2mP將^(x)向φP(x)展開，即ψ(X)=jcφ(x)dPPP-∞展開系數(shù)c=jφ*(xψ(x)dxPP-∞=Aj①*(x)[Pexp(ikx)-exp(-ikx)2i]2dx-∞A∞=φ*(x)[exp(2ikx)-2+exp(-2ikx>]d,x—4 P-∞=Ajφ*(x)√2π^[φ(x)-2φ(x)+φ (x)]dx—4 P k力 O -2k力-∞A.=F√2^i位(P-2k力)-2δ(P-0)+δ(P+2k方)]一4只有當(dāng)P=0,±2