定理證明（共4篇）

定理證明（共4篇）篇：MM定理證明過(guò)程MM定理證明過(guò)程

1無(wú)稅收條件下的MM定理

1.1假設(shè)條件

假設(shè)1：無(wú)摩擦市場(chǎng)假設(shè)

?不考慮稅收；

?公司發(fā)行證券無(wú)交易成本和交易費(fèi)用，投資者不必為買(mǎi)賣(mài)證券支付任何費(fèi)用；?無(wú)關(guān)聯(lián)交易存在；

?不管舉債多少，公司和個(gè)人均無(wú)破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)；

?產(chǎn)品市場(chǎng)是有效的：市場(chǎng)參與者是絕對(duì)理性和自私的；市場(chǎng)機(jī)制是完全且完備的；不存在自然壟斷、外部性、信息不對(duì)稱(chēng)、公共物品等市場(chǎng)失靈狀況；不存在帕累托改善；等等；?資本市場(chǎng)強(qiáng)有效：即任何人利用企業(yè)內(nèi)部信息都無(wú)法套利，沒(méi)有無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)；?投資者可以以企業(yè)借貸資金利率相同的利率借入或貸出任意數(shù)量的資金。假設(shè)2：一致預(yù)期假設(shè)

?所有的投資者都是絕對(duì)理性的，均能得到有關(guān)宏觀、行業(yè)、企業(yè)的所有信息，并且對(duì)其進(jìn)行完全理性的前瞻性分析，因此大家對(duì)證券價(jià)格預(yù)期都是相同的，且投資者對(duì)組合的預(yù)期收益率和風(fēng)險(xiǎn)都按照馬克維茲的投資組合理論衡量。1.2MM定理第一命題及其推論

MM定理第一命題：

有財(cái)務(wù)杠桿企業(yè)的市場(chǎng)價(jià)值和無(wú)財(cái)務(wù)杠桿企業(yè)的市場(chǎng)價(jià)值相等。第一命題的含義：

即公司的市場(chǎng)價(jià)值（即債權(quán)的市場(chǎng)價(jià)值+股權(quán)的市場(chǎng)價(jià)值，不含政府的稅收價(jià)值）與公司的資本結(jié)構(gòu)無(wú)關(guān)，而只與其盈利水平有關(guān)。這說(shuō)明未來(lái)具有完全相同的盈利能力的公司市場(chǎng)價(jià)值相同，但由于其負(fù)債程度不同等因素，故它們的凈資產(chǎn)可能有很大差異。MM定理第一命題證明過(guò)程：證明方法是無(wú)套利均衡分析法。基礎(chǔ)假定：我們假定有兩家公司—公司A和公司B，它們的資產(chǎn)性質(zhì)完全相同但資本結(jié)構(gòu)完全不同。A公司沒(méi)有負(fù)債（這是一種極端假設(shè)，但作為比較基準(zhǔn)更能說(shuō)明問(wèn)題）；B公司的負(fù)債額度是D，假設(shè)該負(fù)債具有永久性質(zhì)，因?yàn)榭沙掷m(xù)盈利的公司總可以用新發(fā)行的債券來(lái)償還老債券（這與宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的龐茲計(jì)劃完全不同，那是沒(méi)有收入來(lái)源且信息不對(duì)稱(chēng)下導(dǎo)致的終生借債消費(fèi)計(jì)劃無(wú)效）。細(xì)節(jié)假設(shè)：

?B公司當(dāng)前債務(wù)利率為r（固定值）；?A、B兩公司當(dāng)前的股本分別是SA和SB（固定值）；

?A、B兩公司當(dāng)前權(quán)益資本預(yù)期收益率（即市場(chǎng)的資本化率，也就是其股票的預(yù)期.收益率）分別是rA和rB（固定數(shù)值，因?yàn)閮H指當(dāng)前的預(yù)期收益率）；

?A、B兩公司任何年份的息稅前利潤(rùn)（EBIT）相同，數(shù)額都為EBIT（隨機(jī)變量，每年的數(shù)值都是它的一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)）；?A、B兩公司當(dāng)前的市場(chǎng)價(jià)值分別記為PVA和PVB（固定值）；?A、B兩公司當(dāng)前股票的市場(chǎng)價(jià)格與其真實(shí)價(jià)值完全一致，分別為MPA和MPB（固定值）；

?A、B兩公司當(dāng)前的股東權(quán)益分別記作SEA和SEB（固定值）。注：假定中固定值較多是因?yàn)殪o態(tài)考察公司當(dāng)前價(jià)值?？紤]一個(gè)套利策略：賣(mài)出A公司1%的股票；同時(shí)買(mǎi)入B公司1%的股票和1%的債券（上述比例可任意假定，但必須均為同一值）。這種套利策略產(chǎn)生的即時(shí)現(xiàn)金流和未來(lái)每年的現(xiàn)金流見(jiàn)表1.表1上述套利策略的現(xiàn)金流

頭寸

即時(shí)現(xiàn)金流

未來(lái)每年現(xiàn)金流

賣(mài)出1%A股票

0.01*PVA

-0.01*EBIT

買(mǎi)入1%B股票

-0.01*SB*MPB

0.01*（EBIT-D*r）買(mǎi)入1%B債券

-0.01*D

-0.01*D*r凈現(xiàn)金流

NC

0首先，任何公司的資產(chǎn)都等于賬面的負(fù)債加權(quán)益，A公司無(wú)負(fù)債，因此有PVA?SEA;PVB?D?SEB

其次，任何公司的股票價(jià)格都等于其股東權(quán)益與股本的比值：

MPA?PVA/SA;MPB?(PVB?D)/SB①

再次，市場(chǎng)不應(yīng)該存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)，故NC=0，也就是

0.01*PVA?0.01*SB*MPB?0.01*D?0?MPB?(PVA?D)/SB②

由①②推得：PVA?PVB③，命題證畢。MM定理第一命題推論一：

債轉(zhuǎn)股后如果盈利未變，那么企業(yè)的股票價(jià)格也不變。證明：假設(shè)B公司的債務(wù)權(quán)益比為k，則：

.k?D/SEB

1?k?(SEB?D)/SEB?PVB/SEB?PVA/SEB?SA/SB④

將③④代入①得：

MPA?PVA/SA?PVB/(SB(1?k))?(D?SEB)/(SB(1?k))?SEB(1?k)/(SB(1?k))?MPB證畢。MM定理第一命題推論二：

股東期望收益率會(huì)隨財(cái)務(wù)杠桿的上升而上升。含義：正常情況下B公司在債轉(zhuǎn)股之后會(huì)降低其股票的預(yù)期收益率，或者說(shuō)A公司的股票預(yù)期收益率小于B公司的股票的預(yù)期收益率。證明：B公司的資產(chǎn)負(fù)債率（RDA）和股東權(quán)益比率（REA）分別為：

RDAB?D/PVB?D/(D?SEB)?k/(1?k)REAB?SEB/PVB?SEB/(D?SE)?1/(1?k)

由于公司所有稅前收益均優(yōu)先用于分派股息，而且市場(chǎng)有效性保證了股票的價(jià)格反映股票價(jià)值。則由股票收益現(xiàn)值模型可得A、B兩公司的股票預(yù)期收益率rA和rB分別滿足：

MPA??j?1??EBIT/SAEBIT?

(1?rA)jSA*rAMPB??(EBIT?R*D)/SBEBIT?R*D?j(1?rB)SB*rBj?1同時(shí)EBIT>r*PVB，因?yàn)檫@表示即使公司全部舉債經(jīng)營(yíng)，公司產(chǎn)生的稅息前收益也足夠支付利息，也就是說(shuō)股票的收益率大于債券的收益率，由于系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)和預(yù)期收益相匹配的結(jié)果導(dǎo)致這個(gè)不等式必然成立。故可推導(dǎo)出：

rB?EBIT?r*DEBIT?r*DEBITEBITEBIT?????rA，證畢。SEBPVB?DPVBPVASA*MPAMM定理第一命題推論三：股東每股盈利也會(huì)隨著財(cái)務(wù)杠桿的上升而上升。含義：正常情況下，債券轉(zhuǎn)為股票之后，公司股東的每股盈利也會(huì)下降。證明：A、B兩公司每股盈利分別為：

EA?EBIT(EBIT?R*D);EB?⑤SASB將④代入⑤的第二式得：

.EB?(EBIT?R*D)(1?k)(EBIT?R*D)k*EBIT?(1?k)*R*D??EA?⑥

SBSASA由于EBIT>r*PVB，再將前面RDAB定義式代入，可以推得：

k*EBIT?(1?k)*R*D?(1?k)(由⑥⑦得：EB?EA，證畢。kEBITEBIT?R*D)?(1?k)*D(?r)?0⑦1?kPVB注：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)非常少的人有可能會(huì)覺(jué)得上述三個(gè)推論感性理解上有相互矛盾的地方，故須深入思考現(xiàn)實(shí)過(guò)程。1.3

MM定理第二命題：

公司加權(quán)平均資本成本（WACC）與公司的資本結(jié)構(gòu)無(wú)關(guān)。證明：由于公司A僅有股權(quán)融資，故WACCA?rAMM定理第二命題及其推論

WACCB?rBSEBDEBITEBIT?r???rA①，證畢。PVBPVBPVBPVAMM定理第二命題推論：有負(fù)債的公司的權(quán)益資本成本等于同一風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)的無(wú)負(fù)債公司的權(quán)益資本成本加上風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償，風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償?shù)谋壤蜃邮秦?fù)債權(quán)益比k。（是不是和CAPM、多因子模型、套利定價(jià)和單證券定價(jià)模型有點(diǎn)像啊，呵呵）證明：由①（重新編號(hào)）得：

rB?2PVBr*DDrA??rA?(rA?r)?rA?k(rA?r)，證畢。SEBSEBSEB有稅收條件下的MM定理2.1

假設(shè)條件

考慮稅收，其他假設(shè)與前面相同。有稅收條件下的MM定理僅一個(gè)定理，有四個(gè)推論。2.2MM定理第一命題及其推論

MM定理第一命題：

在考慮稅收的情況下，有財(cái)務(wù)杠桿的企業(yè)的市場(chǎng)價(jià)值等于無(wú)財(cái)務(wù)杠桿的企業(yè)的市場(chǎng)價(jià)值加上“稅盾”的市場(chǎng)價(jià)值。.證明：假定A、B兩公司的所得稅稅率都是T（固定稅率制，累進(jìn)稅率制等也一樣的），那么兩公司的稅后收益（EAT）分別為：

EATA?(1?T)*EBIT

EATB?(1?T)*(EBIT?r*D)?r*D?(1?T)*EBIT?T*r*D?EATA，證畢。其中T*r*D即稅盾效應(yīng)，與A公司稅后盈利相比，這是B公司多出來(lái)的部分，這是由于B公司的財(cái)務(wù)杠桿起作用了：公司價(jià)值是股權(quán)市價(jià)加債權(quán)市價(jià)，A公司每年產(chǎn)生的現(xiàn)金流EBIT都要交所得稅，而B(niǎo)公司中EBIT僅有一部分交所得稅，故省出一部分價(jià)值計(jì)入到公司的債權(quán)價(jià)值中。或者也可以理解為沒(méi)有負(fù)債的公司舉債時(shí)，政府需要把原來(lái)征的稅的一部分退給公司的債主，或者說(shuō)舉債成本里T*r是政府買(mǎi)單的（機(jī)會(huì)成本的角度講），而公司舉債的成本僅是(1?T)*r，這是從金融的角度或者說(shuō)機(jī)會(huì)成本的角度講的，就如經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)和會(huì)計(jì)利潤(rùn)的差別一樣，而證券定價(jià)的基準(zhǔn)正是從金融的角度給出才能準(zhǔn)確。顯然A、B兩公司的稅前價(jià)值仍然一樣，相當(dāng)于不考慮稅收。我們用帶撇號(hào)的字母表示考慮稅收的變量，則有稅收情況下A、B兩公司的市場(chǎng)價(jià)值分別為：

PVA/?PVA(1?T)

(1?T)r*PVBr*D)?D?PVA/?D(1?)?PVA/①EBITEBIT(1?T)r*PVB其中D(1?)叫做稅盾的市場(chǎng)價(jià)值。EBITPVB/?PVB(1?T)(1?

MM定理第一命題推論一：

在考慮稅收情況下，股東的期望收益率仍然會(huì)隨著財(cái)務(wù)杠桿的上升而上升。即在考慮稅收的情況下，不考慮稅收時(shí)MM定理的命題一的推論二仍然成立。證明：考慮稅收，A公司股票預(yù)期收益率為：

/rA?EBIT(1?T)EBIT(1?T)EBIT(1?T)???rA②//SA*MPAPVA(1?T)PVA由不考慮稅收推論二證明的最后一個(gè)公式和①（重新編號(hào)）得B公司股票的預(yù)期收益率為：

rD(EBIT?rD)(1?T)?rD(EBIT?rD)(1?T)?rD(EBIT?rD)(1?T)?rD1?TrB/

????//(1?T)*rD*PVBrDSB*MPBPVB?DPVA(1?)PVA/?EBITEBITEBIT?rD?再由②得：rB?rA?//rDrDPVA(1?T)(1?)EBIT③，由于EBIT>rD（盈利足夠付利息，保//證不破產(chǎn)），故rB?rA，證畢。.MM定理第一命題推論二：

考慮稅收情況下，股東的每股收益也仍然會(huì)隨著財(cái)務(wù)杠桿的上升而上升，即在考慮稅收情況下，不考慮稅收MM定理命題一推論三仍然成立。證明：A、B兩公司每股盈利分別為：

/EA?(1?T)EBIT/(1?T)(EBIT?rD)?rD;EB?④

SASB將第一部分第一命題推論一下面的④代入④得：

/EB?(1?k)?(1?T)(EBIT?rD)?rD?SA/?EA?TrD?k?(1?T)(EBIT?rD)?rD?SA/?EA因EBIT>rD，故上不等式成立，證畢。MM定理第一命題推論三：

在考慮稅收情況下，WACC與公司資本結(jié)構(gòu)有關(guān)。（證略）根據(jù)CAPM模型，有稅收后的貝塔系數(shù)?和無(wú)稅收情況下的貝塔系數(shù)?的關(guān)系為

/?/??(1?(1?T)D，由此得出股權(quán)預(yù)期收益，然后再根據(jù)公司計(jì)算出)（證明從略）SEWACC，顯然WACC是受資本結(jié)構(gòu)影響的。MM定理第一命題推論四：

在考慮稅收情況下，有負(fù)債的公司的權(quán)益資本成本仍然大于同一風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)的無(wú)負(fù)債公司的權(quán)益資本成本，風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償?shù)男问揭哺鼜?fù)雜（證明如③）。注：一個(gè)延伸，PV/?PV?(1?(1?Tc)(1?Ts))D，Tc表示企業(yè)所得稅率，Ts表示股票收入的稅1?Td率，Td表示利息收入的稅率，個(gè)人可試著證明一下子。3MM定理的缺陷

主要是假設(shè)不合理導(dǎo)致的缺陷

?假設(shè)沒(méi)有破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)不符合實(shí)際?？紤]稅收的話，按照MM定理所有都是債權(quán)融資則公司價(jià)值最大化，但考慮到實(shí)際的破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)，杠桿增加降低了融資成本W(wǎng)ACC，但增加了公司的破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)，故存在最優(yōu)的資本結(jié)構(gòu)使得公司達(dá)到價(jià)值最大化。?MM定理忽略了交易成本和信息不對(duì)稱(chēng)性等，顯然不符合事實(shí)。?以上僅是兩個(gè)例子，其他的大家可以想想。撰寫(xiě)人：小秋.第2篇：MM定理證明過(guò)程MM定理證明過(guò)程

1無(wú)稅收條件下的MM定理1.1假設(shè)條件

假設(shè)1：無(wú)摩擦市場(chǎng)假設(shè)

?不考慮稅收；

?公司發(fā)行證券無(wú)交易成本和交易費(fèi)用，投資者不必為買(mǎi)賣(mài)證券支付任何費(fèi)用；?無(wú)關(guān)聯(lián)交易存在；

?不管舉債多少，公司和個(gè)人均無(wú)破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)；

?產(chǎn)品市場(chǎng)是有效的：市場(chǎng)參與者是絕對(duì)理性和自私的；市場(chǎng)機(jī)制是完全且完備的；不存在自然壟斷、外部性、信息不對(duì)稱(chēng)、公共物品等市場(chǎng)失靈狀況；不存在帕累托改善；等等；?資本市場(chǎng)強(qiáng)有效：即任何人利用企業(yè)內(nèi)部信息都無(wú)法套利，沒(méi)有無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)；?投資者可以以企業(yè)借貸資金利率相同的利率借入或貸出任意數(shù)量的資金。假設(shè)2：一致預(yù)期假設(shè)

?所有的投資者都是絕對(duì)理性的，均能得到有關(guān)宏觀、行業(yè)、企業(yè)的所有信息，并且對(duì)其進(jìn)行完全理性的前瞻性分析，因此大家對(duì)證券價(jià)格預(yù)期都是相同的，且投資者對(duì)組合的預(yù)期收益率和風(fēng)險(xiǎn)都按照馬克維茲的投資組合理論衡量。1.2MM定理第一命題及其推論

MM定理第一命題：有財(cái)務(wù)杠桿企業(yè)的市場(chǎng)價(jià)值和無(wú)財(cái)務(wù)杠桿企業(yè)的市場(chǎng)價(jià)值相等。第一命題的含義：

即公司的市場(chǎng)價(jià)值（即債權(quán)的市場(chǎng)價(jià)值+股權(quán)的市場(chǎng)價(jià)值，不含政府的稅收價(jià)值）與公司的資本結(jié)構(gòu)無(wú)關(guān)，而只與其盈利水平有關(guān)。這說(shuō)明未來(lái)具有完全相同的盈利能力的公司市場(chǎng)價(jià)值相同，但由于其負(fù)債程度不同等因素，故它們的凈資產(chǎn)可能有很大差異。MM定理第一命題證明過(guò)程：證明方法是無(wú)套利均衡分析法?；A(chǔ)假定：我們假定有兩家公司—公司A和公司B，它們的資產(chǎn)性質(zhì)完全相同但資本結(jié)構(gòu)完全不同。A公司沒(méi)有負(fù)債（這是一種極端假設(shè)，但作為比較基準(zhǔn)更能說(shuō)明問(wèn)題）；B公司的負(fù)債額度是D，假設(shè)該負(fù)債具有永久性質(zhì)，因?yàn)榭沙掷m(xù)盈利的公司總可以用新發(fā)行的債券來(lái)償還老債券（這與宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的龐茲計(jì)劃完全不同，那是沒(méi)有收入來(lái)源且信息不對(duì)稱(chēng)下導(dǎo)致的終生借債消費(fèi)計(jì)劃無(wú)效）。細(xì)節(jié)假設(shè)：

?B公司當(dāng)前債務(wù)利率為r（固定值）；

?A、B兩公司當(dāng)前的股本分別是SA和SB（固定值）；

?A、B兩公司當(dāng)前權(quán)益資本預(yù)期收益率（即市場(chǎng)的資本化率，也就是其股票的預(yù)期收益率）分別是rA和rB（固定數(shù)值，因?yàn)閮H指當(dāng)前的預(yù)期收益率）；

?A、B兩公司任何年份的息稅前利潤(rùn)（EBIT）相同，數(shù)額都為EBIT（隨機(jī)變量，每年的數(shù)值都是它的一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)）；?A、B兩公司當(dāng)前的市場(chǎng)價(jià)值分別記為PVA和PVB（固定值）；?A、B兩公司當(dāng)前股票的市場(chǎng)價(jià)格與其真實(shí)價(jià)值完全一致，分別為MPA和MPB（固定值）；

?A、B兩公司當(dāng)前的股東權(quán)益分別記作SEA和SEB（固定值）。注：假定中固定值較多是因?yàn)殪o態(tài)考察公司當(dāng)前價(jià)值?？紤]一個(gè)套利策略：賣(mài)出A公司1%的股票；同時(shí)買(mǎi)入B公司1%的股票和1%的債券（上述比例可任意假定，但必須均為同一值）。這種套利策略產(chǎn)生的即時(shí)現(xiàn)金流和未來(lái)每年的現(xiàn)金流見(jiàn)表1.表1上述套利策略的現(xiàn)金流

頭寸

即時(shí)現(xiàn)金流

未來(lái)每年現(xiàn)金流

賣(mài)出1%A股票

0.01*PVA

-0.01*EBIT買(mǎi)入1%B股票

-0.01*SB*MPB

0.01*（EBIT-D*r）買(mǎi)入1%B債券

-0.01*D

-0.01*D*r凈現(xiàn)金流

NC

0

首先，任何公司的資產(chǎn)都等于賬面的負(fù)債加權(quán)益，A公司無(wú)負(fù)債，因此有PVA?SEA;PVB?D?SEB

其次，任何公司的股票價(jià)格都等于其股東權(quán)益與股本的比值：

MPA?PVA/SA;MPB?(PVB?D)/SB①

再次，市場(chǎng)不應(yīng)該存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)，故NC=0，也就是

0.01*PVA?0.01*SB*MPB?0.01*D?0?MPB?(PVA?D)/SB②

由①②推得：PVA?PVB③，命題證畢。MM定理第一命題推論一：

債轉(zhuǎn)股后如果盈利未變，那么企業(yè)的股票價(jià)格也不變。證明：假設(shè)B公司的債務(wù)權(quán)益比為k，則：

k?D/SEB

1?k?(SEB?D)/SEB?PVB/SEB?PVA/SEB?SA/SB④

將③④代入①得：

MPA?PVA/SA?PVB/(SB(1?k))?(D?SEB)/(SB(1?k))?SEB(1?k)/(SB(1?k))?MPB證畢。MM定理第一命題推論二：

股東期望收益率會(huì)隨財(cái)務(wù)杠桿的上升而上升。含義：正常情況下B公司在債轉(zhuǎn)股之后會(huì)降低其股票的預(yù)期收益率，或者說(shuō)A公司的股票預(yù)期收益率小于B公司的股票的預(yù)期收益率。證明：B公司的資產(chǎn)負(fù)債率（RDA）和股東權(quán)益比率（REA）分別為：

RDAB?D/PVB?D/(D?SEB)?k/(1?k)REAB?SEB/PVB?SEB/(D?SE)?1/(1?k)

由于公司所有稅前收益均優(yōu)先用于分派股息，而且市場(chǎng)有效性保證了股票的價(jià)格反映股票價(jià)值。則由股票收益現(xiàn)值模型可得A、B兩公司的股票預(yù)期收益率rA和rB分別滿足：

?MPA??j?1?EBIT/SA(1?rA)j?EBITSA*rAMPB??j?1(EBIT?R*D)/SB(1?rB)j?EBIT?R*DSB*rB

同時(shí)EBIT>r*PVB，因?yàn)檫@表示即使公司全部舉債經(jīng)營(yíng)，公司產(chǎn)生的稅息前收益也足夠支付利息，也就是說(shuō)股票的收益率大于債券的收益率，由于系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)和預(yù)期收益相匹配的結(jié)果導(dǎo)致這個(gè)不等式必然成立。故可推導(dǎo)出：

rB?EBIT?r*DSEB?EBIT?r*DPVB?D?EBITPVB?EBITPVA?EBITSA*MPA?rA，證畢。MM定理第一命題推論三：

股東每股盈利也會(huì)隨著財(cái)務(wù)杠桿的上升而上升。含義：正常情況下，債券轉(zhuǎn)為股票之后，公司股東的每股盈利也會(huì)下降。證明：A、B兩公司每股盈利分別為：

EA?EBITSA;EB?(EBIT?R*D)SB⑤

將④代入⑤的第二式得：EB?(EBIT?R*D)SB?(1?k)

(EBIT?R*D)SA?EA?k*EBIT?(1?k)*R*DSA⑥

由于EBIT>r*PVB，再將前面RDAB定義式代入，可以推得：

k*EBIT?(1?k)*R*D?(1?k)(k1?kEBIT?R*D)?(1?k)*D(EBITPVB?r)?0⑦

由⑥⑦得：EB?EA，證畢。注：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)非常少的人有可能會(huì)覺(jué)得上述三個(gè)推論感性理解上有相互矛盾的地方，故須深入思考現(xiàn)實(shí)過(guò)程。1.3

MM定理第二命題：

公司加權(quán)平均資本成本（WACC）與公司的資本結(jié)構(gòu)無(wú)關(guān)。證明：由于公司A僅有股權(quán)融資，故WACCA?rA

WACCB?rBSEBPVB?rDPVB?EBITPVB?EBITPVA?rA①，證畢。MM定理第二命題及其推論

MM定理第二命題推論：

有負(fù)債的公司的權(quán)益資本成本等于同一風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)的無(wú)負(fù)債公司的權(quán)益資本成本加上風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償，風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償?shù)谋壤蜃邮秦?fù)債權(quán)益比k。（是不是和CAPM、多因子模型、套利定價(jià)和單證券定價(jià)模型有點(diǎn)像啊，呵呵）證明：由①（重新編號(hào)）得：

rB?PVBSEBrA?r*DSEB?rA?DSEB(rA?r)?rA?k(rA?r)，證畢。2有稅收條件下的MM定理2.1假設(shè)條件

考慮稅收，其他假設(shè)與前面相同。有稅收條件下的MM定理僅一個(gè)定理，有四個(gè)推論。2.2

MM定理第一命題：

在考慮稅收的情況下，有財(cái)務(wù)杠桿的企業(yè)的市場(chǎng)價(jià)值等于無(wú)財(cái)務(wù)杠桿的企業(yè)的市場(chǎng)價(jià)值加上“稅盾”的市場(chǎng)價(jià)值。MM定理第一命題及其推論

證明：假定A、B兩公司的所得稅稅率都是T（固定稅率制，累進(jìn)稅率制等也一樣的），那么兩公司的稅后收益（EAT）分別為：

EATA?(1?T)*EBIT

EATB?(1?T)*(EBIT?r*D)?r*D?(1?T)*EBIT?T*r*D?EATA，證畢。其中T*r*D即稅盾效應(yīng)，與A公司稅后盈利相比，這是B公司多出來(lái)的部分，這是由于B公司的財(cái)務(wù)杠桿起作用了：公司價(jià)值是股權(quán)市價(jià)加債權(quán)市價(jià)，A公司每年產(chǎn)生的現(xiàn)金流EBIT都要交所得稅，而B(niǎo)公司中EBIT僅有一部分交所得稅，故省出一部分價(jià)值計(jì)入到公司的債權(quán)價(jià)值中?；蛘咭部梢岳斫鉃闆](méi)有負(fù)債的公司舉債時(shí)，政府需要把原來(lái)征的稅的一部分退給公司的債主，或者說(shuō)舉債成本里T*r是政府買(mǎi)單的（機(jī)會(huì)成本的角度講），而公司舉債的成本僅是(1?T)*r，這是從金融的角度或者說(shuō)機(jī)會(huì)成本的角度講的，就如經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)和會(huì)計(jì)利潤(rùn)的差別一樣，而證券定價(jià)的基準(zhǔn)正是從金融的角度給出才能準(zhǔn)確。顯然A、B兩公司的稅前價(jià)值仍然一樣，相當(dāng)于不考慮稅收。我們用帶撇號(hào)的字母表示考慮稅收的變量，則有稅收情況下A、B兩公司的市場(chǎng)價(jià)值分別為：

PVA?PVA(1?T)

/EBIT(1?T)r*PVB)叫做稅盾的市場(chǎng)價(jià)值。其中D(1?EBITPVB?PVB(1?T)

(1?/r*D)?D?PVA?D(1?/(1?T)r*PVBEBIT)?PVA①

/

MM定理第一命題推論一：

在考慮稅收情況下，股東的期望收益率仍然會(huì)隨著財(cái)務(wù)杠桿的上升而上升。即在考慮稅收的情況下，不考慮稅收時(shí)MM定理的命題一的推論二仍然成立。證明：考慮稅收，A公司股票預(yù)期收益率為：

rA?/EBIT(1?T)SA*MPA/?EBIT(1?T)PVA/?EBIT(1?T)(1?T)PVA?rA②

由不考慮稅收推論二證明的最后一個(gè)公式和①（重新編號(hào)）得B公司股票的預(yù)期收益率為：(EBIT?rD)(1?T)?rDSB*MP/BrB?/?(EBIT?rD)(1?T)?rDPV?D/B?(EBIT?rD)

(1?T)?rDPVA?/EBIT?rD??rD(1?T)*rD*PVBEBIT1?TrDPVA(1?)EBIT再由②得：

rB?rA?//rDPVA(1?T)(1?rDEBIT)③，由于EBIT>rD（盈利足夠付利息，保//證不破產(chǎn)），故rB?rA，證畢。MM定理第一命題推論二：

考慮稅收情況下，股東的每股收益也仍然會(huì)隨著財(cái)務(wù)杠桿的上升而上升，即在考慮稅收情況下，不考慮稅收MM定理命題一推論三仍然成立。證明：A、B兩公司每股盈利分別為：

EA?/(1?T)EBITSA;EB?/(1?T)(EBIT?rD)?rDSB④

將第一部分第一命題推論一下面的④代入④得：

EB?/(1?k)?(1?T)(EBIT?rD)?rD?SA?EA?/TrD?k?(1?T)(EBIT?rD)?rD?SA?EA/因EBIT>rD，故上不等式成立，證畢。MM定理第一命題推論三：

在考慮稅收情況下，WACC與公司資本結(jié)構(gòu)有關(guān)。（證略）

根據(jù)CAPM模型，有稅收后的貝塔系數(shù)?/和無(wú)稅收情況下的貝塔系數(shù)?的關(guān)系為

???(1?(1?T)/DSE)（證明從略），由此得出股權(quán)預(yù)期收益，然后再根據(jù)公司計(jì)算出WACC，顯然WACC是受資本結(jié)構(gòu)影響的。MM定理第一命題推論四：

在考慮稅收情況下，有負(fù)債的公司的權(quán)益資本成本仍然大于同一風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)的無(wú)負(fù)債公司的權(quán)益資本成本，風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償?shù)男问揭哺鼜?fù)雜（證明如③）。注：一個(gè)延伸，PV/?PV?(1?(1?Tc)(1?Ts)1?Td)D，Tc表示企業(yè)所得稅率，Ts表示股票收入的稅率，Td表示利息收入的稅率，個(gè)人可試著證明一下子。3MM定理的缺陷

主要是假設(shè)不合理導(dǎo)致的缺陷

?假設(shè)沒(méi)有破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)不符合實(shí)際?？紤]稅收的話，按照MM定理所有都是債權(quán)融資則公司價(jià)值最大化，但考慮到實(shí)際的破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)，杠桿增加降低了融資成本W(wǎng)ACC，但增加了公司的破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)，故存在最優(yōu)的資本結(jié)構(gòu)使得公司達(dá)到價(jià)值最大化。?MM定理忽略了交易成本和信息不對(duì)稱(chēng)性等，顯然不符合事實(shí)。?以上僅是兩個(gè)例子，其他的大家可以想想。撰寫(xiě)人：小秋

第3篇：MM定理證明過(guò)程MM定理證明過(guò)程1無(wú)稅收條件下的MM定理

1.1假設(shè)條件

假設(shè)1：無(wú)摩擦市場(chǎng)假設(shè)

?不考慮稅收；?公司發(fā)行證券無(wú)交易成本和交易費(fèi)用，投資者不必為買(mǎi)賣(mài)證券支付任何費(fèi)用；?無(wú)關(guān)聯(lián)交易存在；

?不管舉債多少，公司和個(gè)人均無(wú)破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)；

?產(chǎn)品市場(chǎng)是有效的：市場(chǎng)參與者是絕對(duì)理性和自私的；市場(chǎng)機(jī)制是完全且完備的；不存在自然壟斷、外部性、信息不對(duì)稱(chēng)、公共物品等市場(chǎng)失靈狀況；不存在帕累托改善；等等；?資本市場(chǎng)強(qiáng)有效：即任何人利用企業(yè)內(nèi)部信息都無(wú)法套利，沒(méi)有無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)；?投資者可以以企業(yè)借貸資金利率相同的利率借入或貸出任意數(shù)量的資金。假設(shè)2：一致預(yù)期假設(shè)

?所有的投資者都是絕對(duì)理性的，均能得到有關(guān)宏觀、行業(yè)、企業(yè)的所有信息，并且對(duì)其進(jìn)行完全理性的前瞻性分析，因此大家對(duì)證券價(jià)格預(yù)期都是相同的，且投資者對(duì)組合的預(yù)期收益率和風(fēng)險(xiǎn)都按照馬克維茲的投資組合理論衡量。1.2MM定理第一命題及其推論

MM定理第一命題：

有財(cái)務(wù)杠桿企業(yè)的市場(chǎng)價(jià)值和無(wú)財(cái)務(wù)杠桿企業(yè)的市場(chǎng)價(jià)值相等。第一命題的含義：

即公司的市場(chǎng)價(jià)值（即債權(quán)的市場(chǎng)價(jià)值+股權(quán)的市場(chǎng)價(jià)值，不含政府的稅收價(jià)值）與公司的資本結(jié)構(gòu)無(wú)關(guān)，而只與其盈利水平有關(guān)。這說(shuō)明未來(lái)具有完全相同的盈利能力的公司市場(chǎng)價(jià)值相同，但由于其負(fù)債程度不同等因素，故它們的凈資產(chǎn)可能有很大差異。MM定理第一命題證明過(guò)程：證明方法是無(wú)套利均衡分析法?；A(chǔ)假定：我們假定有兩家公司—公司A和公司B，它們的資產(chǎn)性質(zhì)完全相同但資本結(jié)構(gòu)完全不同。A公司沒(méi)有負(fù)債（這是一種極端假設(shè)，但作為比較基準(zhǔn)更能說(shuō)明問(wèn)題）；B公司的負(fù)債額度是D，假設(shè)該負(fù)債具有永久性質(zhì)，因?yàn)榭沙掷m(xù)盈利的公司總可以用新發(fā)行的債券來(lái)償還老債券（這與宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的龐茲計(jì)劃完全不同，那是沒(méi)有收入來(lái)源且信息不對(duì)稱(chēng)下導(dǎo)致的終生借債消費(fèi)計(jì)劃無(wú)效）。細(xì)節(jié)假設(shè)：

?B公司當(dāng)前債務(wù)利率為r（固定值）；?A、B兩公司當(dāng)前的股本分別是SA和SB（固定值）；

?A、B兩公司當(dāng)前權(quán)益資本預(yù)期收益率（即市場(chǎng)的資本化率，也就是其股票的預(yù)期收益率）分別是rA和rB（固定數(shù)值，因?yàn)閮H指當(dāng)前的預(yù)期收益率）；

?A、B兩公司任何年份的息稅前利潤(rùn)（EBIT）相同，數(shù)額都為EBIT（隨機(jī)變量，每年的數(shù)值都是它的一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)）；?A、B兩公司當(dāng)前的市場(chǎng)價(jià)值分別記為PVA和PVB（固定值）；?A、B兩公司當(dāng)前股票的市場(chǎng)價(jià)格與其真實(shí)價(jià)值完全一致，分別為MPA和MPB（固定值）；

?A、B兩公司當(dāng)前的股東權(quán)益分別記作SEA和SEB（固定值）。注：假定中固定值較多是因?yàn)殪o態(tài)考察公司當(dāng)前價(jià)值。考慮一個(gè)套利策略：賣(mài)出A公司1%的股票；同時(shí)買(mǎi)入B公司1%的股票和1%的債券（上述比例可任意假定，但必須均為同一值）。這種套利策略產(chǎn)生的即時(shí)現(xiàn)金流和未來(lái)每年的現(xiàn)金流見(jiàn)表1.表1上述套利策略的現(xiàn)金流

頭寸

即時(shí)現(xiàn)金流

未來(lái)每年現(xiàn)金流

賣(mài)出1%A股票

0.01*PVA

-0.01*EBIT

買(mǎi)入1%B股票

-0.01*SB*MPB

0.01*（EBIT-D*r）買(mǎi)入1%B債券

-0.01*D

-0.01*D*r凈現(xiàn)金流

NC

0

首先，任何公司的資產(chǎn)都等于賬面的負(fù)債加權(quán)益，A公司無(wú)負(fù)債，因此有PVA?SEA;PVB?D?SEB

其次，任何公司的股票價(jià)格都等于其股東權(quán)益與股本的比值：

MPA?PVA/SA;MPB?(PVB?D)/SB①

再次，市場(chǎng)不應(yīng)該存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)，故NC=0，也就是

0.01*PVA?0.01*SB*MPB?0.01*D?0?MPB?(PVA?D)/SB②

由①②推得：PVA?PVB③，命題證畢。MM定理第一命題推論一：

債轉(zhuǎn)股后如果盈利未變，那么企業(yè)的股票價(jià)格也不變。證明：假設(shè)B公司的債務(wù)權(quán)益比為k，則：k?D/SEB

1?k?(SEB?D)/SEB?PVB/SEB?PVA/SEB?SA/SB④

將③④代入①得：

MPA?PVA/SA?PVB/(SB(1?k))?(D?SEB)/(SB(1?k))?SEB(1?k)/(SB(1?k))?MPB證畢。MM定理第一命題推論二：

股東期望收益率會(huì)隨財(cái)務(wù)杠桿的上升而上升。含義：正常情況下B公司在債轉(zhuǎn)股之后會(huì)降低其股票的預(yù)期收益率，或者說(shuō)A公司的股票預(yù)期收益率小于B公司的股票的預(yù)期收益率。證明：B公司的資產(chǎn)負(fù)債率（RDA）和股東權(quán)益比率（REA）分別為：

RDAB?D/PVB?D/(D?SEB)?k/(1?k)REAB?SEB/PVB?SEB/(D?SE)?1/(1?k)

由于公司所有稅前收益均優(yōu)先用于分派股息，而且市場(chǎng)有效性保證了股票的價(jià)格反映股票價(jià)值。則由股票收益現(xiàn)值模型可得A、B兩公司的股票預(yù)期收益率rA和rB分別滿足：

MPA???EBIT/SAEBIT?jSA*rAj?1(1?rA)(EBIT?R*D)/SBEBIT?R*D

?j(1?rB)SB*rBj?1?MPB??同時(shí)EBIT>r*PVB，因?yàn)檫@表示即使公司全部舉債經(jīng)營(yíng)，公司產(chǎn)生的稅息前收益也足夠支付利息，也就是說(shuō)股票的收益率大于債券的收益率，由于系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)和預(yù)期收益相匹配的結(jié)果導(dǎo)致這個(gè)不等式必然成立。故可推導(dǎo)出：

rB?EBIT?r*DEBIT?r*DEBITEBITEBIT?????rA，證畢。SEBPVB?DPVBPVASA*MPAMM定理第一命題推論三：股東每股盈利也會(huì)隨著財(cái)務(wù)杠桿的上升而上升。含義：正常情況下，債券轉(zhuǎn)為股票之后，公司股東的每股盈利也會(huì)下降。證明：A、B兩公司每股盈利分別為：

EA?EBIT(EBIT?R*D);EB?⑤SASB將④代入⑤的第二式得：EB?(EBIT?R*D)(1?k)(EBIT?R*D)k*EBIT?(1?k)*R*D⑥??EA?SBSASA由于EBIT>r*PVB，再將前面RDAB定義式代入，可以推得：

kEBITk*EBIT?(1?k)*R*D?(1?k)(EBIT?R*D)?(1?k)*D(?r)?0⑦

1?kPVB由⑥⑦得：EB?EA，證畢。注：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)非常少的人有可能會(huì)覺(jué)得上述三個(gè)推論感性理解上有相互矛盾的地方，故須深入思考現(xiàn)實(shí)過(guò)程。1.3

MM定理第二命題：公司加權(quán)平均資本成本（WACC）與公司的資本結(jié)構(gòu)無(wú)關(guān)。證明：由于公司A僅有股權(quán)融資，故WACCA?rAMM定理第二命題及其推論

WACCB?rBSEBDEBITEBIT?r???rA①，證畢。PVBPVBPVBPVAMM定理第二命題推論：有負(fù)債的公司的權(quán)益資本成本等于同一風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)的無(wú)負(fù)債公司的權(quán)益資本成本加上風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償，風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償?shù)谋壤蜃邮秦?fù)債權(quán)益比k。（是不是和CAPM、多因子模型、套利定價(jià)和單證券定價(jià)模型有點(diǎn)像啊，呵呵）證明：由①（重新編號(hào)）得：

rB?2PVBr*DDrA??rA?(rA?r)?rA?k(rA?r)，證畢。SEBSEBSEB有稅收條件下的MM定理2.1

假設(shè)條件

考慮稅收，其他假設(shè)與前面相同。有稅收條件下的MM定理僅一個(gè)定理，有四個(gè)推論。2.2MM定理第一命題及其推論

MM定理第一命題：

在考慮稅收的情況下，有財(cái)務(wù)杠桿的企業(yè)的市場(chǎng)價(jià)值等于無(wú)財(cái)務(wù)杠桿的企業(yè)的市場(chǎng)價(jià)值加上“稅盾”的市場(chǎng)價(jià)值。證明：假定A、B兩公司的所得稅稅率都是T（固定稅率制，累進(jìn)稅率制等也一樣的），那么兩公司的稅后收益（EAT）分別為：

EATA?(1?T)*EBIT

EATB?(1?T)*(EBIT?r*D)?r*D?(1?T)*EBIT?T*r*D?EATA，證畢。其中T*r*D即稅盾效應(yīng)，與A公司稅后盈利相比，這是B公司多出來(lái)的部分，這是由于B公司的財(cái)務(wù)杠桿起作用了：公司價(jià)值是股權(quán)市價(jià)加債權(quán)市價(jià)，A公司每年產(chǎn)生的現(xiàn)金流EBIT都要交所得稅，而B(niǎo)公司中EBIT僅有一部分交所得稅，故省出一部分價(jià)值計(jì)入到公司的債權(quán)價(jià)值中。或者也可以理解為沒(méi)有負(fù)債的公司舉債時(shí)，政府需要把原來(lái)征的稅的一部分退給公司的債主，或者說(shuō)舉債成本里T*r是政府買(mǎi)單的（機(jī)會(huì)成本的角度講），而公司舉債的成本僅是(1?T)*r，這是從金融的角度或者說(shuō)機(jī)會(huì)成本的角度講的，就如經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)和會(huì)計(jì)利潤(rùn)的差別一樣，而證券定價(jià)的基準(zhǔn)正是從金融的角度給出才能準(zhǔn)確。顯然A、B兩公司的稅前價(jià)值仍然一樣，相當(dāng)于不考慮稅收。我們用帶撇號(hào)的字母表示考慮稅收的變量，則有稅收情況下A、B兩公司的市場(chǎng)價(jià)值分別為：

PVA/?PVA(1?T)

(1?T)r*PVBr*D)?D?PVA/?D(1?)?PVA/①EBITEBIT(1?T)r*PVB)叫做稅盾的市場(chǎng)價(jià)值。其中D(1?EBITPVB/?PVB(1?T)(1?MM定理第一命題推論一：

在考慮稅收情況下，股東的期望收益率仍然會(huì)隨著財(cái)務(wù)杠桿的上升而上升。即在考慮稅收的情況下，不考慮稅收時(shí)MM定理的命題一的推論二仍然成立。證明：考慮稅收，A公司股票預(yù)期收益率為：

/rA?EBIT(1?T)EBIT(1?T)EBIT(1?T)???rA②//SA*MPAPVA(1?T)PVA由不考慮稅收推論二證明的最后一個(gè)公式和①（重新編號(hào)）得B公司股票的預(yù)期收益率為：

rD(EBIT?rD)(1?T)?rD(EBIT?rD)(1?T)?rD(EBIT?rD)(1?T)?rD1?TrB/

????//(1?T)*rD*PVBrDSB*MPBPVB?DPVA(1?)PVA/?EBITEBITEBIT?rD?//再由②得：rB?rA?rDrDPVA(1?T)(1?)EBIT③，由于EBIT>rD（盈利足夠付利息，保//證不破產(chǎn)），故rB，證畢。?rA

MM定理第一命題推論二：

考慮稅收情況下，股東的每股收益也仍然會(huì)隨著財(cái)務(wù)杠桿的上升而上升，即在考慮稅收情況下，不考慮稅收MM定理命題一推論三仍然成立。證明：A、B兩公司每股盈利分別為：

/EA?(1?T)EBIT/(1?T)(EBIT?rD)?rD④;EB?SASB將第一部分第一命題推論一下面的④代入④得：

/EB?(1?k)?(1?T)(EBIT?rD)?rD?SA/?EA?TrD?k?(1?T)(EBIT?rD)?rD?SA/?EA因EBIT>rD，故上不等式成立，證畢。MM定理第一命題推論三：

在考慮稅收情況下，WACC與公司資本結(jié)構(gòu)有關(guān)。（證略）

根據(jù)CAPM模型，有稅收后的貝塔系數(shù)?/和無(wú)稅收情況下的貝塔系數(shù)?的關(guān)系為?/??(1?(1?T)D)（證明從略），由此得出股權(quán)預(yù)期收益，然后再根據(jù)公司計(jì)算出SEWACC，顯然WACC是受資本結(jié)構(gòu)影響的。MM定理第一命題推論四：

在考慮稅收情況下，有負(fù)債的公司的權(quán)益資本成本仍然大于同一風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)的無(wú)負(fù)債公司的權(quán)益資本成本，風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償?shù)男问揭哺鼜?fù)雜（證明如③）。注：一個(gè)延伸，PV/?PV?(1?(1?Tc)(1?Ts))D，Tc表示企業(yè)所得稅率，Ts表示股票收入的稅1?Td率，Td表示利息收入的稅率，個(gè)人可試著證明一下子。公司稅MM定理命題二

在考慮所