高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)選修系列141坐標(biāo)系與參數(shù)方程第1課課件

§14.1

坐標(biāo)系與參數(shù)方程第1課時(shí)坐標(biāo)系基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)課時(shí)作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)設(shè)點(diǎn)P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換φ：______________的作用下，點(diǎn)P(x，y)對應(yīng)到點(diǎn)P′(x′，y′)，稱φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡稱伸縮變換.1.平面直角坐標(biāo)系知識梳理2.極坐標(biāo)系(1)極坐標(biāo)與極坐標(biāo)系的概念在平面內(nèi)取一個定點(diǎn)O，自點(diǎn)O引一條射線Ox，同時(shí)確定一個長度單位和計(jì)算角度的正方向(通常取逆時(shí)針方向)，這樣就建立了一個極坐標(biāo)系.點(diǎn)O稱為極點(diǎn)，射線Ox稱為極軸.平面內(nèi)任一點(diǎn)M的位置可以由線段OM的長度ρ和從射線Ox到射線OM的角度θ來刻畫(如圖所示).這兩個數(shù)組成的有序數(shù)對(ρ，θ)稱為點(diǎn)M的極坐標(biāo).ρ稱為點(diǎn)M的

，θ稱為點(diǎn)M的

.一般認(rèn)為ρ≥0.當(dāng)極角θ的取值范圍是[0,2π)時(shí)，平面上的點(diǎn)(除去極點(diǎn))就與極坐標(biāo)(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一對應(yīng)的關(guān)系.我們設(shè)定，極點(diǎn)的極坐標(biāo)中，極徑ρ＝0，極角θ可取任意角.極徑極角(2)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化設(shè)M為平面內(nèi)的一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)為(x，y)，極坐標(biāo)為(ρ，θ).由圖可知下面關(guān)系式成立：這就是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式.3.常見曲線的極坐標(biāo)方程曲線圖形極坐標(biāo)方程圓心在極點(diǎn)，半徑為r的圓______________圓心為(r,0)，半徑為r的圓________________圓心為(r，)，半徑為r的圓_______________ρ＝r(0≤θ<2π)ρ＝2rcosθ(－≤θ<)ρ＝2rsinθ(0≤θ<π)過極點(diǎn)，傾斜角為α的直線θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)過點(diǎn)(a,0)，與極軸垂直的直線____________過點(diǎn)(a，

)，與極軸平行的直線______________ρsin

θ＝a(0<θ<π)1.(2016·北京西城區(qū)模擬)求在極坐標(biāo)系中，過點(diǎn)(2，

)且與極軸平行的直線方程.考點(diǎn)自測解答∴過點(diǎn)(0,2)且與x軸平行的直線方程為y＝2.即為ρsin

θ＝2.解答3.在以O(shè)為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中，圓ρ＝4sinθ和直線ρsin

θ＝a相交于A，B兩點(diǎn).當(dāng)△AOB是等邊三角形時(shí)，求a的值.解答由ρ＝4sinθ可得x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4.由ρsin

θ＝a可得y＝a.設(shè)圓的圓心為O′，y＝a與x2＋(y－2)2＝4的兩交點(diǎn)A，B與O構(gòu)成等邊三角形，如圖所示.由對稱性知∠O′OB＝30°，OD＝a.題型分類深度剖析題型一極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化例1

(1)以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求線段y＝1－x(0≤x≤1)的極坐標(biāo)方程.解答∴y＝1－x化成極坐標(biāo)方程為ρcos

θ＋ρsin

θ＝1，∵0≤x≤1，∴線段在第一象限內(nèi)(含端點(diǎn))，(2)在極坐標(biāo)系中，曲線C1和C2的方程分別為ρsin2θ＝cos

θ和ρsin

θ＝1.以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求曲線C1和C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo).解答因?yàn)閤＝ρcos

θ，y＝ρsin

θ，由ρsin2θ＝cos

θ，得ρ2sin2θ＝ρcos

θ，所以曲線C1的直角坐標(biāo)方程為y2＝x.由ρsin

θ＝1，得曲線C2的直角坐標(biāo)方程為y＝1.思維升華(1)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的前提條件：①極點(diǎn)與原點(diǎn)重合；②極軸與x軸的正半軸重合；③取相同的單位長度.(2)直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程比較容易，只要運(yùn)用公式x＝ρcos

θ及y＝ρsin

θ直接代入并化簡即可；而極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程則相對困難一些，解此類問題常通過變形，構(gòu)造形如ρcos

θ，ρsin

θ，ρ2的形式，進(jìn)行整體代換.跟蹤訓(xùn)練1

(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＝0，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求曲線C的極坐標(biāo)方程.解答將x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos

θ代入x2＋y2－2x＝0，得ρ2－2ρcosθ＝0，整理得ρ＝2cosθ.(2)求在極坐標(biāo)系中，圓ρ＝2cosθ垂直于極軸的兩條切線方程.解答由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ，化為直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，其垂直于x軸的兩條切線方程為x＝0和x＝2，題型二求曲線的極坐標(biāo)方程例2

將圓x2＋y2＝1上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得曲線C.(1)寫出曲線C的方程；解答設(shè)(x1，y1)為圓上的點(diǎn)，在已知變換下變?yōu)榍€C上的點(diǎn)(x，y)，(2)設(shè)直線l：2x＋y－2＝0與C的交點(diǎn)為P1，P2，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過線段P1P2的中點(diǎn)且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程.解答化為極坐標(biāo)方程，并整理得2ρcosθ－4ρsinθ＝－3，思維升華求曲線的極坐標(biāo)方程的步驟：(1)建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，設(shè)P(ρ，θ)是曲線上任意一點(diǎn)；(2)由曲線上的點(diǎn)所適合的條件，列出曲線上任意一點(diǎn)的極徑ρ和極角θ之間的關(guān)系式；(3)將列出的關(guān)系式進(jìn)行整理、化簡，得出曲線的極坐標(biāo)方程.跟蹤訓(xùn)練2

在極坐標(biāo)系中，已知圓C經(jīng)過點(diǎn)P(

)，圓心為直線

與極軸的交點(diǎn)，求圓C的極坐標(biāo)方程.解答令θ＝0，得ρ＝1，所以圓C的圓心坐標(biāo)為(1,0).如圖所示，因?yàn)閳AC經(jīng)過點(diǎn)于是圓C過極點(diǎn)，所以圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cosθ.題型三極坐標(biāo)方程的應(yīng)用例3

(2015·課標(biāo)全國Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1：x＝－2，圓C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求C1，C2的極坐標(biāo)方程；解答因?yàn)閤＝ρcos

θ，y＝ρsin

θ，所以C1的極坐標(biāo)方程為ρcos

θ＝－2，C2的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.由于C2的半徑為1，所以△C2MN為等腰直角三角形，解答思維升華(1)已知極坐標(biāo)系方程討論位置關(guān)系時(shí)，可以先化為直角坐標(biāo)方程；(2)在曲線的方程進(jìn)行互化時(shí)，一定要注意變量的范圍，注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性.跟蹤訓(xùn)練3

(2017·廣州調(diào)研)在極坐標(biāo)系中，求直線ρsin(θ＋

)＝2被圓ρ＝4截得的弦長.解答課時(shí)作業(yè)解答123456789102.在極坐標(biāo)系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，求曲線ρ(cos

θ＋sinθ)＝1與ρ(sinθ－cos

θ)＝1的交點(diǎn)的極坐標(biāo).解答曲線ρ(cos

θ＋sinθ)＝1化為直角坐標(biāo)方程為x＋y＝1，ρ(sinθ－cos

θ)＝1化為直角坐標(biāo)方程為y－x＝1.123456789103.在極坐標(biāo)系中，已知圓ρ＝3cosθ與直線2ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0相切，求實(shí)數(shù)a的值.解答圓ρ＝3cosθ的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝3x，直線2ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0的直角坐標(biāo)方程為2x＋4y＋a＝0.12345678910以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸建立直角坐標(biāo)系，則曲線ρ＝2cosθ的直角坐標(biāo)方程為(x－1)2＋y2＝1，且圓心為(1,0).因?yàn)閳A心(1,0)關(guān)于y＝x的對稱點(diǎn)為(0,1)，所以圓(x－1)2＋y2＝1關(guān)于y＝x的對稱曲線為x2＋(y－1)2＝1.解答12345678910解答12345678910對曲線C1的極坐標(biāo)方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化：∵ρ＝12sinθ，∴ρ2＝12ρsinθ，∴x2＋y2－12y＝0，即x2＋(y－6)2＝36.對曲線C2的極坐標(biāo)方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化：12345678910解答OA＝4，OB＝5，123456789107.已知P(5，

)，O為極點(diǎn)，求使△POP′為正三角形的點(diǎn)P′的坐標(biāo).解答設(shè)P′點(diǎn)的極坐標(biāo)為(ρ，θ).∵△POP′為正三角形，如圖所示，123456789108.在極坐標(biāo)系中，判斷直線ρcos

θ－ρsin

θ＋1＝0與圓ρ＝2sinθ的位置關(guān)系.直線ρcos

θ－ρsin

θ＋1＝0可化成x－y＋1＝0，圓ρ＝2sinθ可化為x2＋y2＝2y，即x2＋(y－1)2＝1.解答故直線與圓相交.12345678910解答(1)將M、N、P三點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)；12345678910解答(2)判斷M、N