高中數(shù)學(xué)人教版教材講解(整數(shù)值隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生)課件

整數(shù)值隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生知識(shí)是橋,思想是河金秋十月，橋都水城，紹興，…….當(dāng)筆者動(dòng)手寫這篇文字時(shí)，眼前一直浮現(xiàn)著紹興會(huì)議結(jié)束時(shí)夜游紹興環(huán)城河的情景.可在腦海與心靈的深處，卻交織地出現(xiàn)著：橋，河；知識(shí)，思想.紹興環(huán)城河上，聳立著一座座不同形式的橋.橋是那樣的美麗，河是那樣的迷人.橋是重要的，沒有了橋，有些地方就連不起來.但是，如果沒有河，是否會(huì)有橋呢？橋通常連接兩個(gè)地方，但河卻流經(jīng)許多的橋.站在橋上，可以看到一處風(fēng)景.但如果在河里游走，不僅可以看到很多的橋，還能領(lǐng)略一處處美景.在數(shù)學(xué)里，也有很多的“橋”，但更有一條條生動(dòng)的“河”.因而數(shù)學(xué)教學(xué)的過程，應(yīng)該使學(xué)生不僅在一座座知識(shí)的“橋”上走，還要在思想的“河”中游.帶著上述心情，筆者以在浙江紹興召開的“中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念、思想方法教學(xué)設(shè)計(jì)研究”課題組第五次課題會(huì)議中的研究課《(整數(shù)值)隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生》（以下簡稱《隨機(jī)數(shù)》），并結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)歷談一些基本認(rèn)識(shí).其中的核心觀點(diǎn)是：教學(xué)設(shè)計(jì)的本質(zhì)就是對(duì)如何幫助學(xué)生建“知識(shí)之橋”修“思想之河”進(jìn)行深入思考.對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行解析時(shí)，不僅要對(duì)教學(xué)內(nèi)容的意義進(jìn)行正確的分析，更要分析當(dāng)前內(nèi)容在整個(gè)數(shù)學(xué)中的地位與作用，充分重視當(dāng)前內(nèi)容與學(xué)生已學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系.同時(shí)，要認(rèn)識(shí)到具體的數(shù)學(xué)知識(shí)總是與一定的數(shù)學(xué)思想與方法聯(lián)系在一起，在對(duì)內(nèi)容的解析過程中，要有“知識(shí)是橋，思想是河”的境界.一、內(nèi)容與內(nèi)容解析在《隨機(jī)數(shù)》一課中，具體的數(shù)學(xué)知識(shí)是（整數(shù)值）隨機(jī)數(shù).在進(jìn)行內(nèi)容解析時(shí)，當(dāng)然要弄清什么是隨機(jī)數(shù)，什么是偽隨機(jī)數(shù)，但這樣還不夠，更重要的還要弄清為什么要學(xué)習(xí)隨機(jī)數(shù)，為什么要用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)來代替隨機(jī)數(shù).

有了產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)（或偽隨機(jī)數(shù)）的方法，并沒有解決用模擬試驗(yàn)來估計(jì)隨機(jī)事件的概率問題.因此，了解蒙特卡羅（MonteCarlo）方法，并用蒙特卡羅方法計(jì)算一些隨機(jī)事件的概率的估計(jì)值就成為必要的學(xué)習(xí)內(nèi)容.在利用蒙特卡羅方法計(jì)算概率的估計(jì)值時(shí)，對(duì)于一次次試驗(yàn)結(jié)果的統(tǒng)計(jì)是一件非常麻煩的事情，這正好是利用算法解決問題的絕好機(jī)會(huì)，也是對(duì)學(xué)生進(jìn)行算法思想熏陶的好時(shí)機(jī).

因此，《隨機(jī)數(shù)》一課宜從具體案例出發(fā)，讓學(xué)生體會(huì)學(xué)習(xí)隨機(jī)數(shù)的必要性.同時(shí)，在利用蒙特卡羅方法計(jì)算隨機(jī)事件的概率的估計(jì)值時(shí)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生寫出算法步驟或畫出程序框圖，有條件時(shí)還可以編出程序讓計(jì)算機(jī)（器）計(jì)算概率的估計(jì)值.在本節(jié)課里，隨機(jī)數(shù)是“橋”，蒙特卡羅方法與算法思想是“河”.二、目標(biāo)與目標(biāo)解析

有些教學(xué)內(nèi)容，就其本身而言不一定是數(shù)學(xué)中的核心概念，但通過這些內(nèi)容所體現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)思想與方法是主要的教學(xué)目標(biāo)，也就是教學(xué)的重點(diǎn).《隨機(jī)數(shù)》一課中，根據(jù)內(nèi)容與內(nèi)容解析，我們認(rèn)為教學(xué)目標(biāo)應(yīng)為：（１）明確（整數(shù)值）隨機(jī)數(shù)及偽隨機(jī)數(shù)的概念；（２）會(huì)用信息技術(shù)工具產(chǎn)生（整數(shù)值）隨機(jī)數(shù)（實(shí)際上是偽隨機(jī)數(shù)）；（３）通過具體案例理解蒙特卡羅方法（隨機(jī)模擬方法），能針對(duì)具體的隨機(jī)事件設(shè)計(jì)概率模型，并通過蒙特卡羅方法得出隨機(jī)事件的概率的估計(jì)值.（４）在信息技術(shù)環(huán)境下，通過算法解決大量重復(fù)模擬試驗(yàn)中的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)問題，實(shí)現(xiàn)計(jì)算隨機(jī)事件的概率的估計(jì)值，并由此進(jìn)一步體會(huì)隨機(jī)模擬方法與算法思想.隨機(jī)數(shù)的概念與產(chǎn)生方法不是什么難事，也不是主要的教學(xué)目標(biāo).但通過具體案例理解蒙特卡羅方法，并用算法的思想實(shí)現(xiàn)計(jì)算隨機(jī)事件的概率的估計(jì)值這個(gè)過程是主要的教學(xué)目標(biāo)，即教學(xué)重點(diǎn).三、教學(xué)問題診斷分析一節(jié)課中可能遇到的教學(xué)問題，往往是結(jié)合教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)來確定的.教師只要對(duì)照教學(xué)目標(biāo)，分析學(xué)生已有基礎(chǔ)和目標(biāo)之間的差異，結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)就能得出教學(xué)中可能出現(xiàn)的障礙，也就是一個(gè)個(gè)應(yīng)該注意的教學(xué)問題，而教學(xué)中突出教學(xué)重點(diǎn)時(shí)可能遇上的困難，通常就是教學(xué)的難點(diǎn).學(xué)生上《隨機(jī)數(shù)》一課前，曾利用隨機(jī)數(shù)表進(jìn)行過隨機(jī)抽樣，但那時(shí)并沒有體會(huì)什么是隨機(jī)數(shù)，也沒有追究隨機(jī)數(shù)（表）是怎樣產(chǎn)生的.因此，用類似于摸球這樣的具體案例讓學(xué)生理解隨機(jī)數(shù)的概念，并將其與用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的偽隨機(jī)數(shù)區(qū)別開來，同時(shí)又能在隨機(jī)模擬試驗(yàn)中用偽隨機(jī)數(shù)來代替所需的隨機(jī)數(shù)，就成為了第一個(gè)教學(xué)問題.學(xué)生學(xué)習(xí)過古典概型，已經(jīng)會(huì)計(jì)算可列舉基本事件的屬古典概型的隨機(jī)事件的概率.但對(duì)于很難列舉全部基本事件的古典概型或非古典概型中的隨機(jī)事件（如概率為40％的下雨事件），建立什么樣的概率模型來進(jìn)行模擬，通過怎樣的步驟來進(jìn)行隨機(jī)模擬試驗(yàn)，這是第二個(gè)教學(xué)問題，也是教學(xué)難點(diǎn)之一.在隨機(jī)模擬試驗(yàn)中，需要用計(jì)算機(jī)（或計(jì)算器）不斷重復(fù)地產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，并根據(jù)隨機(jī)數(shù)進(jìn)行頻數(shù)統(tǒng)計(jì)，這是一項(xiàng)非常麻煩的事情.如果不研究蒙特卡羅方法中所涉及的算法，那么很難使學(xué)生對(duì)隨機(jī)模擬方法有較深刻的理解.同時(shí)，要使通過蒙特卡羅方法所得到的隨機(jī)事件的概率的估計(jì)值更精確，就必須使隨機(jī)模擬試驗(yàn)的次數(shù)相當(dāng)大，這靠人工統(tǒng)計(jì)的方法是辦不到的.因此，如何通過算法使學(xué)生更好地體會(huì)蒙特卡羅方法是第三個(gè)教學(xué)問題，這是教學(xué)難點(diǎn)之二.四、教學(xué)支持條件信息技術(shù)是《隨機(jī)數(shù)》一課的重要支持條件，無論是隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生，還是根據(jù)蒙特卡羅方法設(shè)計(jì)算法求隨機(jī)事件的概率的估計(jì)值，都離不開有隨機(jī)函數(shù)的計(jì)算器（或計(jì)算機(jī)）．上本節(jié)課時(shí)，最好是能使學(xué)生人手一臺(tái)既有隨機(jī)函數(shù)又能編程、操作簡單的計(jì)算器（如TIVoyage200或TI92PLUS圖形計(jì)算器），這樣能更方便地實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo).

當(dāng)學(xué)生有了符合上述要求的計(jì)算器后，使得隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生變得方便快捷，學(xué)生有更多的時(shí)間來關(guān)注蒙特卡羅方法的本質(zhì)，能讓學(xué)生在算法思想的指導(dǎo)下更好地體會(huì)隨機(jī)模擬試驗(yàn)的過程.

教學(xué)時(shí)，只需根據(jù)學(xué)校條件，選擇一種能實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)的信息技術(shù)工具即可，要避免在一節(jié)課上利用多種信息技術(shù)工具去產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，否則，學(xué)生要用較多時(shí)間學(xué)習(xí)工具的使用，不便于突出教學(xué)重點(diǎn)，會(huì)妨礙解決主要的教學(xué)問題.五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)由于《隨機(jī)數(shù)》一課的操作性強(qiáng)，需要學(xué)生動(dòng)手的時(shí)間多，在算法思想指導(dǎo)下體會(huì)蒙特卡羅方法也需要一定的過程，因此，教學(xué)過程中設(shè)計(jì)的問題針對(duì)性要強(qiáng)，數(shù)量不宜過多.根據(jù)前面幾個(gè)方面的分析，筆者認(rèn)為可以設(shè)計(jì)如下的一些問題.【問題１】天氣預(yù)報(bào)說，在今后的三天中，每一天下雨的概率均為40%，這三天中恰有兩天下雨的概率是多少？意圖：上課時(shí)一開始就給出這節(jié)課的主要問題，一方面是使學(xué)生從“每一天下雨的概率均為40%”認(rèn)識(shí)到非古典概型的客觀存在性，同時(shí)感受到這不是一個(gè)用已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)就能解決的問題，為引入隨機(jī)數(shù)及蒙特卡羅方法作鋪墊；另一方面，激發(fā)學(xué)生探求解決問題的欲望，使整個(gè)教學(xué)過程都圍繞這個(gè)問題展開.師生活動(dòng)：教師提出問題后讓學(xué)生思考，啟發(fā)學(xué)生認(rèn)識(shí)到下雨這件事情不好試驗(yàn)，每天下雨的概率也不能用已學(xué)過的古典概型來求解.【問題２】將一個(gè)骰子擲1次，向上一面出現(xiàn)1點(diǎn)的概率是多少？如果將一個(gè)骰子擲1000次，向上一面出現(xiàn)1點(diǎn)的次數(shù)大約是多少？如果通過試驗(yàn)的方法，要估計(jì)（擲一個(gè)骰子1次）向上一面出現(xiàn)1點(diǎn)的概率，你會(huì)怎么做？意圖：引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)古典概型；體會(huì)用試驗(yàn)方法求出隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻率，并以此來估計(jì)概率的方法；認(rèn)識(shí)到人工試驗(yàn)耗時(shí)費(fèi)事，并由此引出隨機(jī)數(shù)的概念，介紹用計(jì)算器產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)的方法.師生活動(dòng)：（1）教師引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)古典概型的基本特征，總結(jié)用頻率估計(jì)概率的步驟.（2）教師指出擲一個(gè)骰子1次，骰子向上一面的點(diǎn)數(shù)就是一個(gè)隨機(jī)數(shù)，由此給出隨機(jī)數(shù)的概念.教師讓學(xué)生思考此處隨機(jī)數(shù)的變化范圍.（3）教師啟發(fā)學(xué)生認(rèn)識(shí)到一個(gè)骰子擲1000次是一件不容易實(shí)現(xiàn)的事情，由此介紹用計(jì)算器（以TIVoyage200為例，下同）中的隨機(jī)函數(shù)rand(6)產(chǎn)生1-6的整數(shù)值（偽）隨機(jī)數(shù)的方法（見下圖）.（4）學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，利用隨機(jī)函數(shù)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方法，編出計(jì)算“一個(gè)骰子擲1000次，向上一面出現(xiàn)1點(diǎn)”的頻率的程序，并讓計(jì)算器計(jì)算頻率，將所得頻率與用古典概型計(jì)算所得的概率進(jìn)行比較.從所得的頻率，我們知道1000次試驗(yàn)中大約有161次是1點(diǎn)向上.【問題３】在一個(gè)盒子中裝有形狀大小完全一樣，但分別標(biāo)有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的十個(gè)球.（1）從盒子中隨機(jī)摸一球，球上所標(biāo)的數(shù)字是什么？（2）從盒子中隨機(jī)摸一球，球上所標(biāo)的數(shù)字不超過3的概率是多少？（3）如果用試驗(yàn)的方法去估計(jì)（2）中的概率，具體步驟怎樣？（4）如果用計(jì)算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)來模擬解決（3）的過程，你會(huì)怎樣做？意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷用蒙特卡羅方法來估計(jì)古典概型中隨機(jī)事件的概率的過程，體會(huì)在算法思想指導(dǎo)下，用蒙特卡羅方法計(jì)算概率估計(jì)值的重要意義.師生活動(dòng)：（1）學(xué)生認(rèn)識(shí)到從盒子中隨機(jī)摸一球，球上所標(biāo)的數(shù)字是隨機(jī)數(shù).（2）學(xué)生利用古典概型，計(jì)算出從盒子中隨機(jī)摸一球，球上所標(biāo)的數(shù)字不超過3的概率是0.4.（3）教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出用試驗(yàn)的方法去估計(jì)（2）中的概率的算法步驟.第一步，確定試驗(yàn)的總次數(shù)n.第二步，記i=1，m=0.第三步，從盒子中摸出一球，若球上所標(biāo)的數(shù)字不超過3，則m=m+1.第四步，i=i+1.第五步，判斷i≤n是否成立.若是，則返回第三步.第六步，輸出概率的估計(jì)值m/n.（4）教師引導(dǎo)學(xué)生分析得出結(jié)論：如果用計(jì)算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)來模擬解決（3）的過程，只需將上述步驟中的第三步改為：用隨機(jī)函數(shù)rand(10)-1產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)x，若x≤3,則m=m+1.師生一起根據(jù)算法步驟寫出程序，并用計(jì)算器實(shí)現(xiàn)模擬過程（見下圖）.【問題４】問題1中的“每一天下雨的概率均為40%”是不好試驗(yàn)的，但由問題3我們知道“從標(biāo)有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的十個(gè)球中隨機(jī)摸出一球，球上所標(biāo)的數(shù)字不超過3的概率也是40%”，這個(gè)屬古典概型的摸球過程不僅可以試驗(yàn)，而且還可以通過計(jì)算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)來模擬試驗(yàn).你能設(shè)計(jì)一個(gè)算法解決問題1嗎？意圖：使學(xué)生在解決前面問題的基礎(chǔ)上，完整地體會(huì)蒙特卡羅方法，進(jìn)一步體會(huì)算法思想的應(yīng)用，徹底解決問題1.師生活動(dòng)：（1）教師：如果從十個(gè)球中摸出一球，球上的數(shù)字是0，1，2，3中的任何一個(gè)就表示下雨，否則就表示不下雨，那么摸一次球就等于模擬一次今后三天中一天的天氣情況.因此，連續(xù)三天的天氣情況就相當(dāng)于有放回地摸三次球所對(duì)應(yīng)的數(shù)字的情況，如果連續(xù)摸出的三個(gè)球的數(shù)字是392，就表明未來三天中恰有兩天下雨.根據(jù)這個(gè)原理，同學(xué)們可以設(shè)計(jì)一下模擬過程，并寫出估計(jì)所求概率的算法.（2）給學(xué)生思考與探索時(shí)間，然后與學(xué)生一起寫出算法步驟：第1步，輸入模擬試驗(yàn)的次數(shù)n，并令m=0，i=1．第2步，a=0，j=1.第3步，利用計(jì)算器上的隨機(jī)函數(shù)rand(10)-1產(chǎn)生一個(gè)0～9的隨機(jī)數(shù)并賦值給x．若x≤3,則a=a+1．第4步，j=j+1．第5步，判斷j>3是否成立.若否,返回第三步．第6步，判斷a=2是否成立,若是,則m=m+1．第7步，i=i+1.判斷i>n是否成立,若否，則返回第二步．第8步，由頻率m/n得出三天恰有兩天下雨的概率的近似值.（3）師生一起畫出程序框圖，并根據(jù)程序框圖編出程序（如下圖）（4）師生均將圖7中的程序輸入到自己計(jì)算器上，運(yùn)算得出概率的估計(jì)值（如下圖）（5）重復(fù)運(yùn)行上述程序，逐漸增大模擬試驗(yàn)的次數(shù)n，通過觀察每次運(yùn)行程序后所得結(jié)果，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到所求概率的估計(jì)值的近似程度是隨著n的增大而提高的.（6）教師利用Excel軟件畫出模擬試驗(yàn)次數(shù)從1到100的頻率分布折線圖，讓學(xué)生從圖中體會(huì)到，隨機(jī)模擬所得估計(jì)值的近似程度是隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加而提高的.（7）教師結(jié)合問題1的解決過程，介紹蒙特卡羅方法及其應(yīng)用的廣泛性.蒙特卡羅（MonteCarlo）方法，又稱隨機(jī)抽樣或統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)方法，屬于計(jì)算數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它是在本世紀(jì)四十年代中期為了適應(yīng)當(dāng)時(shí)原子能事業(yè)的發(fā)展而發(fā)展起來的.傳統(tǒng)的經(jīng)驗(yàn)方法由于不能逼近真實(shí)的物理過程，很難得到滿意的結(jié)果，而蒙特卡羅方法由于能夠真實(shí)地模擬實(shí)際物理過程，故解決問題與實(shí)際非常符合，可以得到很圓滿的結(jié)果.這也是我們采用該方法的原因.蒙特卡羅方法的基本原理及思想如下：當(dāng)所要求解的問題是某種事件出現(xiàn)的概率，或者是某個(gè)隨機(jī)變量的期望值時(shí)，它們可以通過某種“試驗(yàn)”的方法，得到這種事件出現(xiàn)的頻率，或者這個(gè)隨機(jī)變數(shù)的平均值，并用它們作為問題的解.這就是蒙特卡羅方法的基本思想.蒙特卡羅方法通過抓住事物運(yùn)動(dòng)的幾何數(shù)量和幾何特征，利用數(shù)學(xué)方法來加以模擬，即進(jìn)行一種數(shù)字模擬實(shí)驗(yàn).它是以一個(gè)概率模型為基礎(chǔ)，按照這個(gè)模型所描繪的過程，通過模擬實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，作為問題的近似解.本節(jié)課所涉及的內(nèi)容應(yīng)用蒙特卡羅方法的基本步驟如下：第一步，構(gòu)造概率模型（在本節(jié)里是古典概型，今后還會(huì)有幾何概型等等）；第二步，進(jìn)行模擬試驗(yàn)（通常是利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)來表示某個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生或不發(fā)生）；第