2021-2022學(xué)年上海市嘉定區(qū)高一年級下冊學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題含答案

2021-2022學(xué)年上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

一、填空題

1.已知角。的終邊與角尸終邊關(guān)于夕軸對稱，則氏夕的關(guān)系是"=

［答案］兀一。+2E,〃￡Z##180°—a+4?360,4GZ

【分析】利用角a與B終邊關(guān)于y軸對稱的關(guān)系及周期性求解

【詳解】因為角。的終邊與角〃的終邊關(guān)于y軸對稱，在一個周期1°'2兀）中,

。+夕=兀，即夕=兀-a,所以由周期性知戶=兀一夕+2?,keZ.

故答案為：B=R-a+2kK,keZ.

百

cosa=--

2.若2,則cos2a

\_

【答案】2

【分析】直接使用二倍角余弦公式代入求值即可..

出

cosa=----

【詳解】因為2,

_1_

故答案為：2

【點睛】本題考查了二倍角余弦公式的應(yīng)用，考查了代入思想，考查了數(shù)學(xué)運算能力.

3.已知"4=3.|°回=4,若風(fēng)在麗方向上的數(shù)量投影是2,則方與麗的夾角的余弦值是

2

【答案】3

【分析】寫出數(shù)量投影的定義，以及向量夾角公式，即可計算結(jié)果.

OAOB2

【詳解】由條件可知,

〃OAOB斗詞22

設(shè)而與麗的夾角為生則一網(wǎng)便「網(wǎng)阿「網(wǎng)-3.

2

故答案為：§

4.如圖，彈簧掛著的小球做上下振動，它在，秒時相對于平衡位置（即靜止時的位置）的高度力厘

〃=nsin/十一「八、

米滿足下列關(guān)系：I6AZ€L^+o°）,則每秒鐘小球能振動次.

h=（）平衡位置

【答案】2兀

【分析】求正弦型函數(shù)的頻率.

【詳解】函數(shù)’8山〔'+71浜［0,+00）的周期7=2乃，故頻率為萬

1

所以每秒鐘小球能振動2萬次.

1

故答案為：2”,

5.在A/8C中，若sin。/4sin，3+sin?C-sin3sinC,則A的最大值是

7t

【答案】3

【分析】利用正弦定理進行角變邊可得6c+。2-利用余弦定理和角的范圍即可求解

22222

【詳解】sin?A<sin8+sin?C-sin8-sinC結(jié)合正弦定理得/+c-he（gpbc<b+c-a,

b2+c2-a2be1

cosA=---------->----=—

所以2bc2bc2,

0<A<——

因為°</<兀，所以3,則A的最大值是3.

7t

故答案為：3

兀

6.已知函數(shù)/'（x）=sin°x（。>0）,將/（X）的圖像向左平移亮個單位得到函數(shù)g（x）的圖像，令

Wx）+g（x）,如果存在實數(shù)加，使得對任意的實數(shù)x,都有〃（加）4力㈤4MM+D成立,則

。的最小值為

【答案】兀

7V=sin(s+4=c"

g(x)=sintyXd---

I2)

【詳解】由題意可知:2a)

〃(x)=/(x)+g(x)=sin妙+cos69x=V2sin69X+j

又對任意的實數(shù)X,都有'('")<"(x/"S+l)成立，

JW)為Mx)的最小值，i+1)為2)的最大值

?127

?—nx_x___

...2co,<y=n兀，neN,(y>0

二。的最小值為左

二、單選題

7.設(shè)a<1,若‘("一1，"+1)是角a的終邊上一點，則下列各式恒為負值的是()

A.sina+cosagtana+sinaQCOSa-tanaD.sina-tana

【答案】B

【分析】利用三角函數(shù)的定義，求出角。的三角函數(shù)值，再根據(jù)a<1確定正負性.

選項A可根據(jù)a<1進行判定；選項C可由正切的范圍進行判定；選項B,D可由三角函數(shù)值的正

負性進行判定.

其中°尸為點P到原點。的距離.

.a2+a

sina+cosa=-------

OP,

因為a<1,所以的取值可正可負可為0,故sina+cosa的取值可正可負可為o.

故選項A錯誤；

tana+sina=tana(1+cosa)

因為tana<0,i+cosa>0,所以匕門。+5抽々<0恒成立

故選項B正確；

因為tana<0,當(dāng)tanaW-l時，有cosa-tana2cosa+l〉0

又a=0時，tana=-1,costz-tana=cosa+l>0

故選項C錯誤；

因為sina>0,tana<09所以sina-tana>0

故選項D錯誤.

故選：B.

y='J2sin（2x——?）y—V2sin（2x4—）

8.函數(shù).4的圖像可以由4的圖像（）個單位得到.

萬n

A.向左平移2B.向右平移2

7171

C.向左平移4D.向右平移4

【答案】D

2x--=2（x--）+-

【分析】由444,可以確定函數(shù)圖象之間的變換，即可求解.

y=6sin(2x--)=V2sin[2(x--)+—]

【詳解】因為“4，474J,

y=V2sin（2x+—）—

所以只需由.4的圖像向右平移4個單位得到.

故選：D

【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)圖象的平移，關(guān)鍵要找到兩個函數(shù)解析式的差異，確定圖象的變

換方式，屬于容易題.

9.若。為ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足（麗-反）（赤+反"況）=0,則“IBC的形狀為（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.正三角形D.等腰直角三角形

【答案】A

【分析】利用向量運算化簡已知條件，由此確定正確選項.

【詳解】依題意（而一無）.（赤+能"麗=°,

CB-^）B-OA+OC-OA）=Q

@-就+宿-%2=0

所以網(wǎng)=1"$=，所以三角形N8C是等腰三角形.

故選：A

10.設(shè)函數(shù)y=8S（sinx）,則（）

A.它的定義域是[-1,1]B.它是偶函數(shù)

C.它的值域是卜c°sl，cosl]D.它不是周期函數(shù)

【答案】B

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)的定義得到定義域，根據(jù)偶函數(shù)的定義結(jié)合三角函數(shù)的性

質(zhì)判定為偶函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域和余弦函數(shù)的單調(diào)性對稱性求得值域；根據(jù)正弦函數(shù)的周期

性得到函數(shù)的周期性.

【詳解】記，(x)=cos(sinx),定義域為R,故A錯誤;

f(-x)=cos(sin(-x))=cos(-sinx)=cos(sinx)=/(x)

是偶函數(shù)，故B正確；

sinxef-1,1],cos(sinX)G[cos1,1]故c錯誤

f(X+2JT)=COS(sin(x+2兀))=cos(sinx)=/(x)

.?.2兀是函數(shù)/,(X)的周期，故D錯誤.

故選：B.

…。佰+二)sina+cosa二

11.給出下列命題：①函數(shù)(32J是奇函數(shù)；②存在實數(shù)a,使得2.③若

l,y=sin2x+—

白，夕是第一象限角且a</，貝ijtana<tan/?；④x=8是函數(shù).I4J的一條對稱軸方程;

y=sin2x+——,0

函數(shù)I3J的圖象關(guān)于點1121成中心對稱圖形其中正確的個數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】對于①，先化簡，再判斷廳偶性；對于②，利用輔助解公式化簡后判斷：對于③，舉例

判斷；對于④，代入驗證即可

「2吟.2

y=cos—x+—=-sin—x

【詳解】解：對于①，因為.㈠2)3(xeR),

22

f(-x)=_sin(——x)=sin—x=-f(x)

33,所以此函數(shù)是奇函數(shù)，所以①正確；

sina+cosa=41sin(a+—)<V2

對于②，因為4,所以②錯誤；

7113171/T013萬也

a=—,pn=-----tana=tan—=V3>tanp=tan----=——

對于③，若36,此時363,所以③錯誤；

7T7=sinf2x—+—^sin—=-1x=—y=sin(2x+至)

-X=-

對于④，當(dāng)8時,I84J2，所以8是函數(shù),I4J的一條

x=一y=sin2x—+—=sin—=1y=sin2x+一

對稱軸方程；當(dāng)12時，’<123J2f所以函數(shù)‘I3J的圖象不關(guān)于

點成中心對稱圖形,所以④錯誤,

故選：A

12.已知A、8是任意一個銳角三角形的兩個內(nèi)角，下面式子一定成立的是（）

sinB〉]

A.cosAB.cos5COSJ>1

151

C.°gcoS,leos>D.10gsM*cos8<l

【答案】A

【分析】利用三角函數(shù)的單調(diào)性，對數(shù)的性質(zhì)或特殊值進行判定.

A+B>-->B>--A>0

【詳解】由題意得2,所以22,

1>sin5>sin|--/I?=cosA>0>]

所以12J,即cos/,A正確：

因為0<cos8<l,所以costs'"<cos8°=l,B不正確；

當(dāng)/=5=60'時，bgcos-osBul,c不正確；

A+B>-->A>--B>0

由2,所以22,所以0<cos8<sin/<l,

所以log..」cosS>logsin,sin"=1,口不正確.

故選：A.

三、解答題

1

■**CL————???—?.■?

13.已知單位向量6與/的夾角為且一§,向量”=3q-2G與b=的夾角為凡

（1）求II,II;

（2）求as夕的值.

【答案】⑴科2R⑵亍.

【分析】（1）利用平面向量的數(shù)量積的運算求解;

（2）利用數(shù)量積的運算求得屋人結(jié)合（1）中求得的模，利用向量的夾角余弦值公式計算即得.

+4-12[.=^9+4-12x1=3

卜卜,0鼻_2.1=田

【詳解】（1）

=)9+1-6,W=J10-6x1=272

-?—>/—*—?'x/,2?2+—?

（2）a，b=ge[-2%）@6-/尸9,+2弓-9et-e2=11-3=8

ca-b82&

c°z耐而ri-

所以iiii^

￡ACB=-ZABC=-

14.如圖某公園有一塊直角三角形/8C的空地，其中2,6,/C長。千米，現(xiàn)

要在空地上圍出一塊正三角形區(qū)域DE尸建文化景觀區(qū)，其中。、E、尸分別在BC、NC、

相上.設(shè)NDEC=0.

e=-

（1）若3,求WEF的邊長；

（2）當(dāng)?多大時，必匹尸的邊長最??？并求出最小值.

—0=----arctan——-----a

【答案】（1）3千米；（2）當(dāng)22時，SEE的邊長取得最小值為7千米.

【分析】（1）由題意易得為等邊三角形，從而可求；

（2）由已知結(jié)合正弦定理及輔助角公式進行化簡即可求解.

0=-CE=-xAE=a--x

【詳解】解：（1）設(shè)內(nèi)砂的邊長為％千米，由3得2,2,

ZFEA=/r-0--=-ZA=-

△ZE尸中，33,3,

AE-x-a——1x

.?j/EF為等邊三角形，2,

2a

x=——

故3,

2a

即GEF的邊長為3.

（2）設(shè)口痔的邊長為x千米,

所以CE=xcosdfAE=a-xcQS0,

竹中，-4一'，"9—,

x_a-xcos0

si/-sine

由正弦定理得，3,

_Ga_yf3a

2sin^+V3cos^j.,八百、

x/7sin（夕+arctan——）

故2,

八萬石屈亞aV21

u-----arctan———7=^=——-----a

當(dāng)22時x取得最小值J77,即AZ）E尸的邊長最小值7.

【點睛】方法點睛：解三角形應(yīng)用題的一般步驟

（1）閱讀理解題意，弄清問題的實際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關(guān)系.

（2）根據(jù)題意畫出示意圖，將實際問題抽象成解三角形問題的模型.

（3）根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解.

（4）將三角形問題還原為實際問題，注意實際問題中的有關(guān)單位問題、近似計算的要求等.

15.已知函數(shù)/（'）=$"5+26而58$5-8/53>0）的最小正周期為兀

（1）求。的值：

71

（2）將/G）圖像上所有的點向右平移W個單位長度，得到函數(shù)'=86）的圖像，求g（x）的解析

式；

（71兀、

X2€----（p>----V（p

（3）在（2）的條件下，若對于任意的X1,'188人當(dāng)國時，

/（再）-/（々）>g（%）-g（再）恒成立，求。的取值范圍

2兀

g(x)=2sin2x-

【答案】(1)1;(2)〈(3)

【分析】（1）由題意利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性，求

得0=1.

（2）由題意利用函數(shù)卜=加皿5+?）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論.

（3）令心）=f（x）+g（x）,化簡函數(shù)的解析式,再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性,

【詳解】解(1)(^)=sin26yx+2V3sin69xcos6yx-cos2cox

sin2cox-cos2cox=2sin2cox--

I6

/(x)=2sin12"一看

所以

f（x）=2sinf269X--|—=兀

因為函數(shù)I6J的最小正周期為兀且。＞0,所以2G,解得啰=1,所以。的值

為1.

兀

（2）因為/（*）圖像上所有的點向右平移a個單位長度，得到函數(shù)y=g（x）的圖像

g(x)=2sinf2x-y

所以g（x）的解析式為

2兀A.(入5n\7iCt

A(x)=/(x)+g(x)=2sinf2x-^j+2sin(2x-=4sin2x-----cos—

(3)令3124

=2&sin2x-型

I12

/n7i

xG——(p,_+(p

因為對于任意的X1,2188當(dāng)王＞々時，/（%）-/（々）＞8（々）-8（為＞恒成立,

(兀兀I

所以“(X)在口①、飛嚴格單調(diào)遞增，

2klt-^-<2x--<2%兀+^^7T--<X<^714--^^

由2122,ZcZ整理可得2424,keZ

h(x)=2^2sinf2x--E--+

所以I12J嚴格單調(diào)遞增區(qū)間是L2424」，keZ

itn兀.1IK八兀

ktu-----<——0<一+0<%兀+---0<C9<—

所以248824,解得6

所以夕的取值范圍是I6」.

16.對于函數(shù)〃x）,若在其定義域內(nèi)存在實數(shù)％、，，使得/（X。+'）=/（/）+/（'）成立，稱“X）是

'"躍點"函數(shù)，并稱X。是函數(shù)"X）的'"躍點".

（1）求證:函數(shù)〃x）=3、+f在［0,1］上是“1躍點，，函數(shù);

⑵若函數(shù)8（月=--依2-3在（0,+8）上是“］躍點，，函數(shù)，求實數(shù)。的取值范圍；

71

（3）是否同時存在實數(shù)用和正整數(shù)”使得函數(shù)〃（x）=cos2x一機在?！ň渖嫌?022個，，彳躍點，”若存

在，請求出所有符合條件的山和〃；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）證明見解析

9

6，+°°)

⑵2

we(-V2,l)u(l,V2)［m=41=

(3)存在，1〃=1011或［〃=2022或［〃=2022

【分析】⑴根據(jù)題意令尸(％)=/(%+】)-〃％)-/⑴=2.3'。+2%-3,利用零點存在定理即可證明:

13

(2)由題意可得g(x+D-g(x)-g⑴=3/+(3-2a)x+3=0,可整理得"5比+3》+3),然后用基

本不等式求解即可；

⑶根據(jù)題意可得到"一小心+/,然后分〃?e(-亞,1)U(1,回，m=l,m=五或m=-6三

種情況進行討論即可

【詳解】(1)/(/+1)=3"“+(%+1尸=3于+考+2%+1

f

所以〃與)=3'。+片,/⑴=4,

r

令尸(%)=/(x0+l)-f(x0)~/(I)=2-3°+2x0-3

因為尸(0)=-l<0,尸⑴=5>0,所以由零點存在定理可得小,)=0在［OJ