2021-2022學年廣西玉林市高二年級上冊學期期末模擬考試數(shù)學（理）試題含答案

2021-2022學年廣西玉林市高二上學期期末模擬考試數(shù)學(理)試題

一、單選題

1.命題“Vx>2,2x-4N0”的否定是（）

A.Vx<2,2x-4<0B.Vx>2,2x-4<0

C.Hr0<2,2x0-4<0D.3x0>2,2x0-4<0

【答案】D

【解析】任意改存在，x改為廝，否定結(jié)論即可.

【詳解】全稱命題的否定是特稱命題，且將結(jié)論否定，

故其否定為：3X0>2,2X0-4<0

故選：D.

【點睛】本題考查全稱命題的否定.

2.已知向量”(一2,3,1),3=(1,-2,4),則〃+八()

A.(―1,1,5)B.(-3,5,—3)C.(3,—5,3)D.(1,-1,-5)

【答案】A

【分析】利用空間向量加法的坐標運算，即得解.

【詳解】因為。=(-2,3,1),2,4).所以。+6=(—1,1,5).

故選：A

3.雙曲線[-1=1的漸近線方程是()

A.y—?~xB.y=±-xC.y=ixD.y=i'x

4332

【答案】D

【解析】由雙曲線標準方程W-￥=1對應的漸近線方程y=±2》即可知=1的漸近線方程

a2b2a43

【詳解】根據(jù)雙曲線二一《小的漸近線方程：y=±-x,知：

abja

]-1=1的漸近線方程為丫=±#X

故選：D

【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線，根據(jù)雙曲線標準方程對應漸近線方程求題設給定雙曲線的漸

近線方程

4.橢圓4/+6）2=24的短軸長是（）

A.2B.娓C.4D.2面

【答案】C

【分析】將橢圓的方程化為標準方程，由此求得人的值，進而求得短軸長2b.

【詳解】橢圓方程變形為4+}=1，

可得從=4,

b=2,短軸長為26=4.

故選：C

5.拋物線>=2/的準線方程是（）

A.4x+l=0B.4y+l=0C.8x+l=0D.8y+l=0

【答案】D

【分析】根據(jù)拋物線的定義，將拋物線化成標準式，即可求出其準線方程.

【詳解】解：y=2x2

；.p=；,則該拋物線y=2V的準線方程是>=-《=-：,即8y+l=0.

42o

故選：D

【點睛】本題考查拋物線的標準方程及簡單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

6.執(zhí)行下面的程序框圖，若輸入的A=l,則輸出的A的值為（）

A.7B.-17C.31D.-65

【答案】C

【分析】根據(jù)程序框圖依次計算得到答案.

【詳解】A=l,憶=1；A=—5,k=1-A=l,k-3；A=—\l,k=4；A=31,%=5.

結(jié)束，輸出答案31

故選C

【點睛】本題考查了程序框圖，根據(jù)程序框圖依次計算是一種常用的方法，需要同學們熟練掌握.

7.某校選取20人參加網(wǎng)絡安全知識競賽（總分100分），對這20人的成績x和人數(shù)），進行統(tǒng)計分析,

得下表數(shù)據(jù)：

X[0,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

y15932

若XN80,記為優(yōu)秀.現(xiàn)從成績優(yōu)秀的學生中隨機抽取2人，則恰有1人成績落在［90,100］內(nèi)的概率為

（）A.-B.—C.-D.g

5562

【答案】B

【分析】結(jié)合題意，運用概率知識即可求出結(jié)果.

【詳解】由題意可知X280的人數(shù)為5人，其中80Vx<90的人數(shù)為3人，90Vx<100的人數(shù)為2人,

C'C'3

則從中隨機抽取2人，恰有1人在90Vx<100的概率為哀?=1,

故選：B

8.如圖，在三棱錐「一ABC中，點。，E,F分別是A8,PA,CQ的中點，設PA="，PB=b,

PC=c，則EF=（）

B.—a—b--c

442

I1,1

D.——a+—b+—c

442

【答案】D

【分析】利用空間向量的線性運算、三角形的中位線及線段中點的向量表示進行化簡求解.

【詳解】如圖，連接OE,

因為點。，E分別是A8,24的中點，

所以

2

因為點。是A8的中點，

所以CC=；（C4+CB）

=-（PA-PC+PB-PC\=-a+-b-c.

2、>22

因為點尸是C。的中點，

所以DF——CD——u—bH—c,

2442

貝ijEF=ED+DF=--a+-/?+-c.

442

故選：D.

9.甲，乙兩位同學最近5次的數(shù)學測試成績的莖葉圖如圖所示，分別用x和y表示甲、乙兩位同學

數(shù)學測試成績的平均分，則（）

甲乙

988

97649368。

A.工>>B.x=y

C.xvyD.x和y的大小與a有關(guān)

【答案】A

【分析】分別計算出甲、乙的總分，然后進行比較，即可判斷其平均分的大小.

【詳解】甲的總分：89+94+96+97+99=475

乙拋去最后一次的分：88+93+96+98=375

475-375=100

所以無論。為多少，都不會大于100,

所以甲的總分大于乙的總分，

又兩個的成績次數(shù)一樣，都為5次，

所以甲的平均分大于乙的平均分，

從而,

故選:A

10.已知命題P：若直線/與拋物線C有且僅有一個公共點，則直線/與拋物線C相切，命題4：若,〃＞5,

則方程方2

y=1表示橢圓.下列命題是真命題的是

m+\

A.pv(r)B.(-.p)A(7C.PMD.(/)人(p)

【答案】B

【解析】若直線與拋物線的對稱軸平行，滿足條件，此時直線與拋物線相交，可判斷命題P為假;

當機＞5時，,〃+1＞機-3＞(),命題。為真，根據(jù)復合命題的真假關(guān)系，即可得出結(jié)論.

【詳解】若直線與拋物線的對稱軸平行，直線與拋物線只有一個交點，

直線與拋物不相切，可得命題。是假命題，

當相＞5時，＞m-3＞0,

22

方程」一+上?=1表示橢圓

m-3團+1

命題4是真命題，

則(?)Aq是真命題.

故選:B.

【點睛】本題考查復合命題真假的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

11.己知橢圓E：(+1=1的左、右焦點分別為1，B，定點A(l,4),點p是橢圓E上的動點，則

|/科+歸用的最大值是()

A.7B.10C.17D.19

【答案】C

【分析】計算忸用=疹不=5,利用|P4|+|P用=12+|網(wǎng)-歸段V12+|A閭得到答案.

【詳解】由題意可得瑪（4,0）,則宣段=在彳=5.|以一|「閭4|伍|=5.

因為點尸在橢圓E上,所以|尸制+|尸詞=24=12所以歸凰=12-歸用

故|網(wǎng)+儼耳|=12+|母-|%|417.

當AF2P共線且P在AF2延長線上時取等號.

故選：C

【點睛】本題考查了橢圓線段的最值問題，利用1Ml=12-歸閭是解題的關(guān)鍵，意在考查學生的轉(zhuǎn)

化能力和計算能力.

12.雙曲線=1，（。＞0乃＞。）的左、右焦點分別為K，尸2,漸近線分別為4,右，過點耳且與人

ab

垂直的直線/交4于點P,交4于點2,若PQ=2FR則雙曲線的離心率為（）

A.41B.石C.2D.3

【答案】B

【解析】記。為坐標原點，根據(jù)雙曲線方程表示出左焦點打（-。,0）和兩條漸近線方程4、/一/：并

將直線/與漸近線方程6,求出戶的坐標，可知歸用=可。4=".根據(jù)向量關(guān)系可知歸@=2|尸制，則

得伊。|=?,|00|=必奇，再由余弦定理轉(zhuǎn)化即可求解離心率.

［詳解】記。為坐標原點.由題意可得耳（-c，0）,不妨設l,：y=~x,l2：y=^x,則直線/：y=^x+c）.

aa2

y=-（x+c）x=——

聯(lián)立直線/與漸近線方程4，\，解得,c,

bab

故由兩點間距離公式可得歸與=可。"=a.

因為PQ=2耳尸，所以|尸。=2|尸制，

所以|PQ|=?,\OQ\=yJa2+4h2>

c2++4b2—9b2

則在口QO耳中，cosZQOF=-

.-2s/f儲+4鏟9.

因為tan/QO居=2,所以cos/QOF,=@,

ac

所以由補角性質(zhì)可得COSNQO耳+cos/QOFZ=十當今"工泌？+@=。,

2cy]a2+4b2c

整理得cJ4a2c2+3/=O,

則e4—4e2+3=0,解得e=>/3.

故選：B.

【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)簡單應用，直線與雙曲線的位置關(guān)系應用，由余弦定理解三

角形，齊次式法求雙曲線漸近線方程，屬于中檔題.

二、填空題

13.某校高一年級有800人，一次數(shù)學測試后，隨機抽取了100份試卷，其中及格的人數(shù)為70,則

此次數(shù)學測試高一年級及格的人數(shù)大約是.

【答案】560

【分析】由樣本及格率估計總體合格人數(shù)即可.

【詳解】因為隨機抽取了100份試卷，其中及格的人數(shù)為70,

故樣本及格率為嗇=70%,

所以預測數(shù)學測試高一年級及格的人數(shù)大約是800*70%=560人，

故答案為：560

14.已知雙曲線C：《-￡=l的左、右焦點分別為百、鳥，點A在雙曲線C的左支上，且|A周=12,

164

則|4號=.

【答案】20

【解析】利用雙曲線的定義可求出|A6].

【詳解】A在雙曲線C的左支上，由雙曲線的定義可得娟=2，記=8,

因此，|伍|=|M|+8=20.

故答案為：20.

【點睛】本題考查雙曲線定義求焦半徑，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

15.在區(qū)間上隨機取一個數(shù)x,則0?sin2x43的概率為_______.

L44J2

【答案】g

jrJrjrjr/0

【解析】由xw得出2xw，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)得出不等式04sin2xW里的解集,

_44J\_22]2

再由幾何概型概率公式求解即可.

【詳解】所有基本事件構(gòu)成的區(qū)間長度為?-=5

當xe7171時?，2》一萬7C,萬71

乃

61

由04sin2x4理?，得2xe0,[c71--

xe0,—貝”=￡3

2L3.6

2

故答案為：—

【點睛】本題主要考查了利用幾何概型概率公式求概率，屬于基礎(chǔ)題.

16.已知拋物線C：V=2px(p>0)的焦點為尸，過點F的直線/與拋物線C在第一象限交于點M,

與拋物線C的準線交于點N,過點M作拋物線C的準線的垂線，垂足為從若|M@=2|NF|,

\NH\=645,則拋物線C的標準方程是.

【答案】丁=8x

【分析】設MG，y),計算得到％=*丫2=-殍根據(jù)

\NH卜國+母=6由計算得到P=4得到答案.

【詳解】設MQM，4-/巴).因為|財=2即|,所以|知川=玉+勺32，

所以再=甲，又=亞P，則%:一手.

乙2.

因為MHLNH,所以“[-5,石p),所以加川=石0+率=66，則P=4

故拋物線C的標準方程是/=8x.

故答案為：V=8x

【點睛】本題考查了拋物線方程的計算，意在考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.

三、解答題

17.某健康社團為調(diào)查居民的運動情況，統(tǒng)計了某小區(qū)100名居民平均每天的運動時長（單位：小

時），并根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)分為［1,1.5）,［1.5,2）,［2,2.5）,［2.5,3）,［3,3.5）,［3.5,4］六個小組（所調(diào)查的

居民平均每天運動時長均在［1,4］內(nèi)），得到頻率分布直方圖如圖所示.

時長（小時）

（1）求出圖中加的值，并估計這100名居民平均每天運動時長的平均值及中位數(shù)（同一組中的每個數(shù)

據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替）；

（2）為了分析該小區(qū)居民平均每天的運動量與職業(yè)、年齡等的關(guān)系，該社團按小組用分層抽樣的方法

抽出20名居民進一步調(diào)查，試問在［152）時間段內(nèi)應抽出多少人？

【答案】（1）根=0.5,平均數(shù)為2.4小時，中位數(shù)為2.4小時

（2）4人

【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)可得小，再利用平均數(shù)與中位數(shù)的計算公式直接計算；

（2）根據(jù)分層抽樣等比例的性質(zhì)直接計算.

【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知（0.2+0.4+2m+0.3+0.1）x0.5=l,解得：m=0.5,

平均數(shù)：（1.25x0.2+1.75*0.4+2.25x0.5+2.75x0.5+3.25x0.3+3.75x0.1）*0.5=2.4小時；

中位數(shù)：由（0.2+0.4）?0.50.3<0.5,（0.2+0.4+0.5）?0.50.55>0.5,得中位數(shù)在［2,2.5）內(nèi)，

設中位數(shù)為。，貝IJ（0.2+0.4）x0.5+（。-2）x0.5=0.5,解得：?=2.4,即中位數(shù)為2.4小時

（2）由已知可得在［1.5,2）時間段內(nèi)的頻率為04x0.5=0.2,

所以在［152）時間段內(nèi)應抽出20x0.2=4人.

18.已知p：函數(shù)?r)=(a-m)x在R上單調(diào)遞減，q：關(guān)于x的方程x2-2ar+/-1=。的兩根都

大于1.

(1)當，〃=5時，"是真命題，求a的取值范圍；

(2)若p為真命題是q為真命題的充分不必要條件，求小的取值范圍.

【答案】(1)(5,6)；(2)m>2.

【分析】(1)由，"=5,得到火x)=(a-5)x,再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解；

(2)先根據(jù)命題為真，化簡命題p,q,然后根據(jù)?為真命題是夕為真命題的充分不必要條件求解.

【詳解】(1)因為m=5,所以式x)=(4-5)x

因為〃是真命題，

所以0<a-5<l,

解得5<a<6.

故a的取值范圍是(5,6)

(2)若p是真命題，則解得，"Va<nz+1.

關(guān)于x的方程x2-2ax+a2-1=0的兩根分別為a-1和a+1.

若q是真命題，則解得a>2.

因為p為真命題是q為真命題的充分不必要條件，

所以/n>2.

19.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為尸，且拋物線C與直線y=2x的一個交點是M(,”,2).

(1)求拋物線C的方程；

(2)若直線/：y=x+"(w*())與拋物線C交于A,8兩點，且。4_LO3(。為坐標原點)，求〃.

【答案】(1)r=4%；(2)n=-4.

[2m=2

【分析】(1)根據(jù)題意得到C,，計算得到答案.

[2pm=4

(2)設A(x“x),8優(yōu),力)，聯(lián)立方程利用韋達定理得到％+必=4,乂必=4〃，根據(jù)04,08計算

得到答案.

(—2

【詳解】(1)由題意可得一解得機=1,。=2.故拋物線。的方程是〉2=4-

[2pm=4

y2=4九

,整理得y-”+4〃=0,

{y=x+〃

則%+%=4,耳必=4”,從而為三=（-%）="2.

216

因為。4J_O8,所以占龍2+%必="2+4〃=0,又〃片0,所以〃=一4.

【點睛】本題考查了拋物線方程，韋達定理的應用是解題的關(guān)鍵，意在考查學生的計算能力.

20.某校針對校食堂飯菜質(zhì)量開展問卷調(diào)查，提供滿意與不滿意兩種回答，調(diào)查結(jié)果如下表（單位:

人）：

學生高一高二高三

滿意500600800

不滿意300200400

（1）求從所有參與調(diào)查的人中任選1人是高三學生的概率；

（2）從參與調(diào)查的高三學生中，用分層抽樣的方法抽取6人，在這6人中任意選取2人，求這兩人

對校食堂飯菜質(zhì)量都滿意的概率.

32

【答案】（1）y;（2）j

【分析】（1）高三人數(shù)除以全?？?cè)藬?shù)即是所求概率；

（2）采用分層抽樣的6人中結(jié)果滿意的4人，不滿意的2人，分別求出基本事件總數(shù)和兩人都是滿

意所包含的基本事件個數(shù)，即可得到概率.

【詳解】（1）由題意得該校學生總?cè)藬?shù)為500+300+600+200+800+400=2800人，

則從所有參與調(diào)查的人中任選1人是高三學生的概率P=色量&=5.

（2）依題意可得，從調(diào)查結(jié)果為滿意的高三學生中應抽取人，設為4，&,A,,

兒；從調(diào)查結(jié)果為不滿意的高三學生中應抽取400><右，加=2人，設為四，B2.

從這6人中任意選取2人的所有基本事件有（A，4）,（A，&）,（A，Aj,（4山），（A，B2）,（A2.A,）,

（4,A4）,（&,BJ（出為），（AH）,（4.&）,（4出），（4出），（用出）,共15種.

設A表示事件“兩人都滿意”，則事件A包含的基本事件有（4,4）,（4,4）,（A，4）,區(qū),4）,（4,4），

（4,4）,共6種.

故所求概率P（A）$=|.

【點睛】此題考查根據(jù)古典概型求概率，關(guān)鍵在于準確求出基本事件的個數(shù)，其中涉及分層抽樣，

考查概率與統(tǒng)計知識的綜合應用.

21.如圖，在四棱錐中，底面4BCD是直角梯形，ZBAD=ZCDA=90,PAl^ABCD,

PA=AD=DC=1,AB=2.

（1）證明：平面R4CL平面

（2）求直線尸。與平面PBC的所成角的正弦值.

【答案】（1）見解析（2）正

【分析】（1）由面面垂直的判定定理證明即可；

（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.

【詳解】（1）證明：由已知AC=0，BC=叵,AB=2,

AAC2+BC2^AB2,BCA.AC.

又必_L平面ABC。，BCu平面A8CZ）,

/.PAIBC,又ACcP4=A,AC,PAu平面PAC

/.BC1平面PAC.

又BCu平面P8C

平面PBC1平面PAC.

（2）解：以AO所在直線為x軸，A8所在直線為y軸，承所在直線為z軸，建立空間直角坐標系

A-xyz

則P(0,0,l),D(l,0,0),C(l,l,0),3(020)

PD=（1,O,-1）,PC=（1,1,-1）,P8=（O,2,-l）.

設平面P8C的一個法向量為〃=（x,y,z）,則

\n-PB=O,J2y-z=0

幾?PC=0,[x+y-z=O

令z=2,則〃=（L1,2）.

設與平面PBC所成的角為。，

；\\PD-n\J3

則sin。=cos（PD,〃）=~r—1=—.

'/|ra|??|6

【點睛】本題主要考查了證明面面垂直，利用向量法求線面角，屬于中檔題.

22.設橢圓C：5+5=1（。＞6＞0）的左、右焦點分別為耳，工，下頂點為A,橢圓C的離心率是

B,AA片鳥的面積是

2

（1）求橢圓C的標準方程.

（2）直線/與橢圓C交于8,D兩點（異于A點），若直線A8與直線A