浙江省Z20名校聯(lián)盟（名校新高考研究聯(lián)盟）高三上學(xué)期數(shù)學(xué)第一次聯(lián)考試卷

高三上學(xué)期數(shù)學(xué)第一次聯(lián)考試卷一、單選題1.已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部是（

）A.

B.

C.

D.2.已知集合，，則（

）A.

B.

C.

D.3.已知非零向量，，則“”是“與共線”的（

）A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件4.設(shè)實(shí)數(shù)，滿足，則目標(biāo)函數(shù)的最小值是（

）A.-2

B.-6

C.

D.-55.如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（

）A.2

B.4

C.6

D.126.已知單位向量，，滿足，且，的夾角為，則的值為（

）A.

B.

C.

D.7.以下四個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)，其函數(shù)圖象最適合如圖的是（

）A.

B.

C.

D.8.《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”；底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱之為“陽(yáng)馬”，四個(gè)面均為直角三角形的四面體稱為“鱉臑”，如圖在塹堵中，，且．下列說(shuō)法正確的是（

）A.四棱錐為“陽(yáng)馬”

B.四面體為“鱉臑”

C.四棱錐體積的最大值為

D.過(guò)點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則9.已知點(diǎn)在曲線（）上，設(shè)，則的最大值（

）A.與a有關(guān)，且與b有關(guān)

B.與a有關(guān)，但與b無(wú)關(guān)

C.與a無(wú)關(guān)，但與b有關(guān)

D.與a無(wú)關(guān)，且與b無(wú)關(guān)10.已知數(shù)列滿足，，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A.

B.

C.

D.二、填空題11.魯洛克斯三角形又稱“勒洛三角形”，是一種特殊的三角形，指分別以正三角形的頂點(diǎn)為圓心，以其邊長(zhǎng)為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形．魯洛克斯三角形的特點(diǎn)是：在任何方向上都有相同的寬度，機(jī)械加工業(yè)上利用這個(gè)性質(zhì)，把鉆頭的橫截面做成魯洛克斯三角形的形狀，就能在零件上鉆出正方形的孔來(lái)．如下圖，已知某魯洛克斯三角形的一段弧的長(zhǎng)度為，則線段的長(zhǎng)為

，該魯洛克斯三角形的面積為

．12.已知，則

；若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為

．13.設(shè)，則

，

．14.在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且，則

，若的外接圓的周長(zhǎng)為，則面積的最大值為

．15.甲與乙進(jìn)行投籃游戲，在每局游戲中兩人分別投籃兩次，每局投進(jìn)的次數(shù)之和不少于次則勝利，已知甲乙兩名隊(duì)員投籃相互獨(dú)立且投進(jìn)籃球的概率均為，設(shè)為甲乙兩名隊(duì)員獲得勝利的局?jǐn)?shù)，若游戲的局?jǐn)?shù)是，則

．16.已知點(diǎn)在橢圓：（）上，左頂點(diǎn)為，點(diǎn)，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，的最大值和最小值分別為4和．直線點(diǎn)，且與平行，過(guò)，兩點(diǎn)作的垂線，垂足分別為，，當(dāng)矩形的面積為時(shí)，則直線的斜率是

．17.已知平面非零向量、，、滿足，，若，，則的最小值為

．三、解答題18.在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，已知．（1）求角的大?。唬?）已知，，設(shè)為邊上一點(diǎn)，且為角的平分線，求的面積．19.如圖，在三棱錐中，，為的中點(diǎn)（1）證明:平面（2）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求與平面所成的角的正弦值.20.已知公比的等比數(shù)列和等差數(shù)列滿足：，，其中，且是和的等比中項(xiàng)．（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若當(dāng)時(shí)，等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線：的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，其中，弦的中點(diǎn)為，以為端點(diǎn)的射線與拋物線交于點(diǎn)．（1）若恰好是的重心，求；（2）若，求的取值范圍．22.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）若方程有兩個(gè)不同實(shí)根、證明：．

答案解析部分一、單選題1.【答案】B【解析】【解答】，因此，復(fù)數(shù)的虛部為.故答案為：B.

【分析】首先由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算性質(zhì)整理再結(jié)合復(fù)數(shù)的概念即可得出答案。2.【答案】C【解析】【解答】解得：，于是得，解得：，于是得，所以.故答案為：C

【分析】首先由一元二次不等式的解法以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解出不等式的解集，由此得出結(jié)合A與B，然后由交集的定義即可得出答案。3.【答案】C【解析】【解答】因，是非零向量，若，則有，即或，即與共線，若與共線，則或，即得，于是有，所以“”是“與共線”的充分必要條件.故答案為：C

【分析】根據(jù)題意由已知條件結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算公式整理即可得出與共線，反過(guò)來(lái)由與共線，則或，即得，于是有，結(jié)合充分和必要條件的定義即可得出答案。4.【答案】D【解析】【解答】不等式表示的可行域如圖所，由得，作出直線向上平移過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最小值，由，解得，即，所以的最小值為，故答案為：D

【分析】

根據(jù)題意作出可行域再由已知條件找出目標(biāo)函數(shù)，把目標(biāo)函數(shù)化為直線方程的截距由數(shù)形結(jié)合法即可得出當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，z取得最小值并由直線的方程求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后把坐標(biāo)代入到目標(biāo)函數(shù)計(jì)算出z的值即可。

5.【答案】A【解析】【解答】根據(jù)三視圖還原原幾何體的直觀圖如下圖所示：可知該幾何體為三棱錐，為直角三角形，且兩條直角邊長(zhǎng)分別為，，，三棱錐的高為，故.故答案為：A.

【分析】根據(jù)題意由三視圖即可得出該幾何體為三棱錐，結(jié)合三棱錐的體積公式代入數(shù)值計(jì)算出結(jié)果即可。6.【答案】D【解析】【解答】因，是單位向量，且，于是得，解得，則，由，得，又，即，所以.故答案為：D

【分析】由已知條件結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)代入數(shù)值計(jì)算出，然后由夾角的取值范圍即可得出夾角的大小，再由二倍角的余弦公式計(jì)算出結(jié)果即可。7.【答案】C【解析】【解答】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，且為奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不符合題意，A不正確；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，，不符合題意，B不正確；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，由可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，不符合圖象特點(diǎn)，D不正確；故答案為：C.

【分析】根據(jù)題意，用排除法分析排除A、B、D，綜合可得答案.8.【答案】D【解析】【解答】底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”.所以在塹堵中，，側(cè)棱平面,在A中，因?yàn)?，，顯然與不垂直，且為矩形，所以四棱錐不為“陽(yáng)馬”，A不符合題意；在B中，由，且，所以平面，所以，則為直角三角形，為直角三角形，由平面，得為直角三角形，不為直角三角形，所以不是“鱉臑”，，B不符合題意;在C中，在底面有，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則，所以C不符合題意；在D中，由平面，則且，則平面，所以又且，則平面，則，所以D符合題意.故答案為：D.

【分析】利用“陽(yáng)馬”定義直接判斷出選項(xiàng)A錯(cuò)誤；利用“鱉腰”定義即可判斷出選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，四棱錐由此判斷出選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由已知條件推導(dǎo)出平面，從而再由線面垂直的性質(zhì)定理即可得出，由此得出選項(xiàng)D正確，從而得出答案。9.【答案】B【解析】【解答】表示的是橢圓的部分，而是橢圓的下焦點(diǎn)，設(shè)為橢圓的上焦點(diǎn)，為直線與軸的夾角，則，，當(dāng)且僅當(dāng)軸時(shí)取等號(hào)，則只與有關(guān)，與無(wú)關(guān)，故答案為：B.

【分析】由題意畫出圖形，可知B為橢圓左焦點(diǎn)，設(shè)右焦點(diǎn)為C，連接AC，再設(shè)AC的傾斜角為0，

由正弦函數(shù)的有界性及橢圓定義即可得答案.10.【答案】B【解析】【解答】由，可得出，，，以此類推可知，對(duì)任意的，，所以，，即，所以，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，故，A不符合題意；在等式的兩邊同時(shí)除以可得，其中且，所以，，，…，，累加得，所以，，則，故.D不符合題意；對(duì)于，所以，，，…，，累加得，可得，則，所以，，故，.故答案為：B.

【分析】由已知條件結(jié)合數(shù)列的遞推公式整理即可得出數(shù)列的單調(diào)性由此即可判斷出選項(xiàng)A錯(cuò)誤；整理已知的數(shù)列的遞推公式由累加法即可得出以及，從而判斷出選項(xiàng)B正確，C、D錯(cuò)誤，由此得出答案。二、填空題11.【答案】3；【解析】【解答】因是正三角形，以點(diǎn)C為圓心的弧AB所對(duì)圓心角為，則有，解得，所以；弧AB與弦AB所對(duì)弓形面積為，所以魯洛克斯三角形的面積為.故答案為：3；

【分析】根據(jù)題意由圓弧的簡(jiǎn)單性質(zhì)整理即可得出，由此求解出AC和AB的值，然后由弓形和魯洛克斯三角形的面積代入數(shù)值計(jì)算出結(jié)果即可。12.【答案】18；【解析】【解答】因?yàn)?，所以，所以，若函?shù)在上單調(diào)遞增，則解得：，所以的取值范圍為，故答案為：18；.

【分析】根據(jù)題意選擇合適的函數(shù)解析式，代入數(shù)值計(jì)算出函數(shù)的值；然后由一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出關(guān)于a的不等式組，求解出a的取值范圍即可。13.【答案】-4；31【解析】【解答】因?yàn)椋?，?duì)所給等式，兩邊對(duì)x求導(dǎo)，可得：，令x=1，得，所以.故答案為：-4，31.

【分析】首先由二項(xiàng)式定理的性質(zhì)整理得出，再由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)利用特殊值法代入計(jì)算出結(jié)果即可。14.【答案】；【解析】【解答】因?yàn)?，整理可得，由余弦定理可得，，?設(shè)的外接圓半徑為，則，故，故，由基本不等式可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，，故面積的最大值為.故答案為：；.

【分析】首先由余弦定理整理求出角A的大小，然后由圓的基本性質(zhì)整理得出a的取值，結(jié)合基本不等式以及三角形的面積公式代入數(shù)值計(jì)算出最大值即可。15.【答案】16【解析】【解答】每局游戲中兩人分別投籃兩次，每局投進(jìn)的次數(shù)之和不少于3次則勝利，每局游戲勝利包括三種情況：甲投中2次，乙投中2次，概率為，甲投中2次，乙投中1次，概率為，甲投中1次，乙投中2次，概率為，所以每局游戲甲乙兩名隊(duì)員獲得勝利的概率為，若游戲的局?jǐn)?shù)是27，為甲乙兩名隊(duì)員獲得勝利的局?jǐn)?shù)，則，所以，故答案為：16.

【分析】根據(jù)已知條件，先結(jié)合相互獨(dú)立事件的概率公式，求出每局游戲甲乙兩名隊(duì)員獲得勝利的概率，再由二項(xiàng)分布的期望公式代入數(shù)值計(jì)算出結(jié)果即可。.16.【答案】【解析】【解答】解：因?yàn)椋?，所以，解得，所以橢圓的方程為，則，設(shè)直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立得，所以，而點(diǎn)A到直線的距離為，所以矩形的面積為，解得，所以直線的方程為，所以直線的斜率為，故答案為：.

【分析】利用向量的關(guān)系得到從而求出由此即可得到a和B的值，進(jìn)而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后由點(diǎn)斜式設(shè)出直線的方程結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式以及兩點(diǎn)間距離公式表示出矩形的面積，從而求出n的值，利用點(diǎn)P在橢圓上，求出m的值，從而得到答案.17.【答案】0【解析】【解答】設(shè)，，，則，，設(shè)點(diǎn)、，則，設(shè)，則，則，，由可得，化簡(jiǎn)可得，故點(diǎn)、在拋物線上，因?yàn)?，則，故、、三點(diǎn)共線，即為拋物線的一條過(guò)焦點(diǎn)的弦，設(shè)，則，，所以，，故點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，設(shè)點(diǎn)、，則，而是線段的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離，故以為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線相切，當(dāng)點(diǎn)不是圓與直線的切點(diǎn)時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)是圓與直線的切點(diǎn)時(shí)，.綜上所述，的最小值為0.故答案為：0.

【分析】首先由向量的坐標(biāo)公式計(jì)算出向量的坐標(biāo)，結(jié)合已知條件做出函數(shù)的圖象，利用點(diǎn)在拋物線上代入整理由此得出、、三點(diǎn)共線，由數(shù)量積的坐標(biāo)公式整理得出點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，結(jié)合圓的結(jié)合性質(zhì)以及拋物線的定義即可得出以為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線相切，由此分情況推進(jìn)即可得出最小值。三、解答題18.【答案】（1）由正弦定理得．因?yàn)?，則，所以，所以．因?yàn)?，所以?/p>

（2）在中，由余弦定理得，即，，解得，由角平分線性質(zhì)可得，所以．過(guò)點(diǎn)作垂直于點(diǎn)，則，．所以．【解析】【分析】(1)首先由正弦定理整理化簡(jiǎn)然后由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，計(jì)算出tanA的值從而求出角A的大小。

(2)根據(jù)題意結(jié)合余弦定理計(jì)算出關(guān)于c的方程求解出c的值，再由平分線的性質(zhì)結(jié)合三角形的幾何意義，利用三角形的面積公式代入數(shù)值計(jì)算出答案。

19.【答案】（1）連接，∵，為中點(diǎn)，∴；，又，則，∴，所以，而，則，所以.又，所以平面.

（2）由（1）平面，可得，又是中點(diǎn)，∴，而，∴，又，所以平面，所以就是與平面所成的角.在直角三角形中，，所以.故與平面所成的角的正弦值為．【解析】【分析】(1)首先由已知條件作出輔助線結(jié)合中的的性質(zhì)得出線線垂直，然后由勾股定理計(jì)算出線線垂直，結(jié)合線面垂直的判定定理即可得證出結(jié)論。

(2)由(1)的結(jié)論結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理和線面垂直的判定定理，利用線面角的定義即可得出就是與平面所成的角，和由三角形的計(jì)算關(guān)系代入數(shù)值計(jì)算出結(jié)果即可。

20.【答案】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，，且是和的等比中?xiàng)，所以，整理可得，解得或.若，則，可得，不合乎題意；若，則，可得，合乎題意.所以，；

（2）因?yàn)椋?，②②①得．因?yàn)?，即?duì)恒成立，所以．當(dāng)且，，故數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以，即.綜上可得．【解析】【分析】(1)根據(jù)題意設(shè)等差數(shù)列[的公差為d，由已知列式求得d并求出等比數(shù)列的公比，即可得到數(shù)列與的通項(xiàng)公式；

(2)利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，再由恒成立，利用分離參數(shù)法求解實(shí)數(shù)入的取值范圍.

21.【答案】（1）依題意，拋物線：的焦點(diǎn)，設(shè)，由是的重心，于是得，，又，且，從而得，而，所以；

（2）因?yàn)橄?/p>