直梁的彎曲-課件

直梁的彎曲1拉（壓）桿：承受軸向拉、壓力軸：承受扭矩墻樓板橋板梁：承受橫向力PPPP工程實(shí)際中的彎曲問(wèn)題

梁的彎曲實(shí)例與概念以彎曲變形為主的桿件在工程上統(tǒng)稱為梁。

受力特點(diǎn)：力垂直于構(gòu)件的軸線(力偶在軸線平面)；變形特點(diǎn)：桿的軸線將由直線變成曲線4橋式吊車(chē)5火車(chē)輪軸6車(chē)削工件7縱向?qū)ΨQ面：通過(guò)梁的軸線和截面對(duì)稱軸的平面。矩形截面梁有一個(gè)縱向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面

工程中的梁一般都有縱向?qū)ΨQ面，如：矩形、圓、環(huán)、工字、T形截面梁。

平面彎曲：具有縱向?qū)ΨQ面的梁，當(dāng)梁上的外力均垂直于梁的軸線，并作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，梁的軸線將彎成此平面內(nèi)的一條平面曲線，這種彎曲稱為平面彎曲。①梁有縱向?qū)ΨQ面；②載荷均作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，各個(gè)力垂直梁軸線；③變形后梁的軸線在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)彎成平面曲線。平面彎曲的概念平面彎曲是工程中最常見(jiàn)也是最簡(jiǎn)單的一種彎曲。本章討論平面彎曲。RARBPqM10梁的外力、梁的支座及分類（1）集中力P

作用面積很小時(shí)可視為集中力（N）（2）分布力q

沿梁軸線分布較長(zhǎng)（N/m）（3）集中力偶m

力偶的兩個(gè)力分布在很短的一段梁上（Nm）1.外力還有支座反力qq(x)均勻分布力P集中力TT集中力偶T分布力非均勻分布力梁的外力、梁的支座及分類2.支座a)活動(dòng)鉸鏈支座b)固定鉸鏈支座c)固定端AAA3.梁的類型①簡(jiǎn)支梁③懸臂梁②外伸梁：一端是固定鉸鏈支座，另一端是活動(dòng)鉸鏈支座。：一個(gè)固定鉸鏈支座和一個(gè)活動(dòng)鉸鏈支座，有一端或兩端伸出支座以外：一端固定，另一端自由。4.梁支座反力利用靜力學(xué)平衡方程求支座反力：lPAB4.梁支座反力MAqlABRyRx

梁橫截面上的內(nèi)力—剪力和彎矩一、截面法求內(nèi)力—剪力與彎矩梁橫截面上的內(nèi)力仍用截面法求?！纠坑幸缓?jiǎn)支梁AB，梁上有集中載荷P，求截面上1-1與2-2的內(nèi)力。16（1）以梁為研究對(duì)象，先求支座反力RA、RB17（2）用截面法求1-1上的內(nèi)力。內(nèi)力Q1—剪力（平行橫截面）18內(nèi)力偶矩M1—彎矩(在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，作用在橫截面上)O—橫截面的形心（3）用截面法求2-2上的內(nèi)力。截面2-2上也有剪力彎矩19a思考：如果取右半段如何？數(shù)值相同，方向相反注意這里Q2為負(fù)20

用截面法求1-1截面內(nèi)力：以任一段如左段為對(duì)象，受力如圖所示。由靜力平衡方程知：剪力彎矩RA=RB=P11P求2-2截面內(nèi)力：以右段為對(duì)象

彎曲變形時(shí)梁橫截面上的內(nèi)力包括剪力Q和彎矩M。剪力彎矩AC段和BD段截面內(nèi)有剪力和彎矩，屬于剪切彎曲。

CD段截面內(nèi)只有彎矩，沒(méi)有剪力（=0），屬于純彎曲。222.從彎曲變形看彎矩1）縱向纖維變成了弧線，凹入邊縱向纖維m1m2縮短了，突出邊n1n2伸長(zhǎng)了，O1O2長(zhǎng)度不變。2）橫向線a1b1、a2b2仍為直線，說(shuō)明變形前的橫截面變形后仍然保持為平面。

加載后發(fā)生彎曲：3）a1b1與a2b2不再平行（互相傾斜），說(shuō)明橫截面a1b1與a2b2發(fā)生了相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。

中性層：梁彎曲變形時(shí)，既不伸長(zhǎng)又不縮短的縱向纖維層稱為中性層。中性軸：中性層與橫截面的交線中性軸中性層

梁的彎曲，實(shí)際是上各個(gè)截面繞著中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)。

中性層以上的縱向纖維縮短，產(chǎn)生壓縮應(yīng)力，中性層以下的縱向纖維拉伸，產(chǎn)生拉伸應(yīng)力，中性軸上各點(diǎn)的正應(yīng)力為零。M

橫截面上的彎矩即是橫截面垂直的分布內(nèi)力的合力偶矩：

彎矩阻止該截面在外力矩作用下所發(fā)生的進(jìn)一步轉(zhuǎn)動(dòng)，并且力圖恢復(fù)梁的原形。二、剪力和彎矩的計(jì)算

剪力計(jì)算法則：梁任一橫截面上的剪力等于該截面一側(cè)（左側(cè)或右側(cè)都可）所有橫向外力的代數(shù)和。

截面左側(cè)向上的外力和截面右側(cè)向下的外力取正值；截面左側(cè)向下的外力和截面右側(cè)向上的外力取負(fù)值。Q=P>0Q=P>0Q=-P<0Q=-P<0PQPQQQPP

彎矩計(jì)算法則：梁在外力作用下，其任意截面上的彎矩等于該截面一側(cè)所有外力對(duì)該截面中性軸取矩的代數(shù)和。

凡是向上的外力，其矩取正值；凡是向下的外力，其矩取負(fù)值；若梁上有集中力偶，截面左側(cè)順時(shí)針?lè)较虻牧ε蓟蚪孛嬗覀?cè)逆時(shí)針?lè)较虻牧ε既≌?，反之取?fù)值。例1用簡(jiǎn)便方法求梁截面1-1、2-2處的彎矩。（1）求1-1截面彎矩。截開(kāi)取左側(cè)，彎矩一律按正向畫(huà)解（2）求2-2截面彎矩。q(x2-a)(x2-a)/229例2

求圖示外伸梁在截面1-1、2-2、3-3和4-4橫截面上的剪力和彎矩。解：支座反力為

xyAFBaa2a11224433Me

=5FaRBRA截面1-1截面2-2M1Q1FC111RAM2Q2FC222=-F=2F

xyAFBaa2a11224433Me

=5FaRBRA截面3-3截面4-433C3M3FQ3RAQ4M44C4RB4=-F=2F

xyAFBaa2a11224433Me

=5FaRBRA例3.

求圖示簡(jiǎn)支梁x

截面的剪力和彎矩。lqABqlABRAyRAxRB解：求支座反力求剪力和彎矩lqABRAyRB

彎矩方程與彎矩圖一、彎矩方程畫(huà)彎矩圖時(shí)，先要建立彎矩方程，再根據(jù)彎矩方程畫(huà)彎矩圖。M=f(x)彎矩一般隨著梁的截面位置x而變化，M是x函數(shù)，用函數(shù)關(guān)系式表示：——彎矩方程35二、彎矩圖在機(jī)械工程中習(xí)慣將：正彎矩畫(huà)在x軸上面，負(fù)彎矩畫(huà)在x軸下面。以橫坐標(biāo)x表示梁的截面位置，縱坐標(biāo)表示彎矩所做圖形成為彎矩圖。36【例1】簡(jiǎn)支梁在C處受集中載荷P作用，試畫(huà)出它的彎矩圖。解：①求支座反力②建立彎矩方程集中力作用在C，C點(diǎn)兩側(cè)彎矩方程不同，應(yīng)分2段考慮。37AC段：CB段：38③畫(huà)彎矩圖A點(diǎn)彎矩：C點(diǎn)彎矩：B點(diǎn)彎矩：最大彎矩產(chǎn)生在C截面上，截面C是危險(xiǎn)截面。④找最大彎矩若a=b,Mmax=Pl/439例2已知：l=1m，P1=500N，P2=1000N，P3=300N，a=0.25m，b=0.2m，求：剪力圖和彎矩圖blP1P3P2l/2E解：支座反力AC段：RBRACD段：blP1P3P2l/2EDE段：EB段：RBRAQ(N)xM(Nm)x【例3】一懸臂梁AB長(zhǎng)l，受均布載荷q作用。試畫(huà)它的彎矩圖。解：①列彎矩方程x取B點(diǎn)為x軸原點(diǎn)，向左為正?？紤]任一截面n-n，彎矩方程：可見(jiàn)M是x的二次拋物線，彎矩圖是拋物線。43x②畫(huà)彎矩圖畫(huà)二次拋物線，至少要確定3個(gè)點(diǎn)（端點(diǎn)、極值點(diǎn)）。作彎矩圖如左。從彎矩圖可見(jiàn)，最大彎矩產(chǎn)生在固定端A處的橫截面上。44【例4】一簡(jiǎn)支梁AB長(zhǎng)l，受均布載荷q作用。試畫(huà)彎矩圖。解：①求支座反力載荷均布，支座對(duì)稱布置，兩支座反力相等。②列彎矩方程可見(jiàn)M是x的二次拋物線，彎矩圖是拋物線。45③畫(huà)彎矩圖畫(huà)二次拋物線，確定幾個(gè)特征點(diǎn)。00Ml3l/4l/2l/40x故有：④找最大彎矩46【例5】一簡(jiǎn)支梁AB，中部C點(diǎn)受力偶m作用，跨度為l。力偶離左端A點(diǎn)距離為a，離右端B點(diǎn)距離為b，試畫(huà)出梁的彎矩圖。解：①求支座反力載荷是力偶，兩支座反力組成力偶。②列彎矩方程AC段：47BC段：②畫(huà)彎矩圖集中力偶作用處，彎矩發(fā)生突變。突變大小=力偶矩48最大彎矩在力偶作用的截面上。當(dāng)a＞b時(shí)當(dāng)b＞a時(shí)③找最大彎矩49畫(huà)彎矩圖總結(jié)歸納

梁受集中力作用時(shí)，彎矩圖必為直線，并且在集中力作用處，彎矩發(fā)生轉(zhuǎn)折。

梁受力偶作用時(shí)，彎矩圖也是直線，但在力偶作用處，彎矩發(fā)生突變，突變的大小等于力偶矩。

梁受均布載荷作用時(shí)，彎矩圖必為拋物線，如均布載荷向下，則拋物線開(kāi)口向下，均布載荷向上，則拋物線開(kāi)口向上。5051【例6】用簡(jiǎn)捷方法畫(huà)出懸臂梁的彎矩圖。52【例7】外伸梁受載荷如圖所示，已知q和a值，畫(huà)出此梁的彎矩圖。解①求支座反力53②求ABCD點(diǎn)的彎矩③在彎矩圖上定出A’C’B’D’各點(diǎn)，直接畫(huà)彎矩圖AC、CB段：直線BD段：開(kāi)口向下的拋物線，多取幾點(diǎn)畫(huà)之。A’C’B’D’④找危險(xiǎn)截面B，|Mmax|=1/2qa25455BACP=qaaaaDq例8圖示外伸梁，試作梁的剪力圖和彎矩圖。解：1）求支承反力RBRA2）求剪力和彎矩方程AC段：

CB段：BACP=qaaaaDqRARBBD段：(以x點(diǎn)左側(cè)求)

Mx+--Qx++-

（1）若梁上某段無(wú)均布載荷，則剪力圖為水平線，彎矩圖為斜直線；（2）若梁上某段有均布載荷，則剪力圖為斜直線，彎矩圖為二次拋物線；（3）若梁上有集中力，則在集中力作用處，剪力圖有突變，突變值即為該處集中力的大小，彎矩圖在此處有折角。（4）若梁上有集中力偶，則在集中力偶作用處，剪力圖無(wú)變化，而彎矩圖有突變，突變值即為該處集中力偶的力偶矩；（5）在剪力Q=0的地方，彎矩取極值。小結(jié)：

彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力及其分布規(guī)律CD：截面只有彎矩M，而無(wú)剪力Q，稱為純彎曲一般：截面上同時(shí)有彎矩M和剪力Q，稱為橫力彎曲。QQ=0PMM=PaPPaa純彎曲ABCD60現(xiàn)在研究純彎曲時(shí)梁的變形規(guī)律mmnnaabbMMmnnmaabbdMM變形后橫向線m-m、n-n仍保持直線，但相對(duì)轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角度d?？v向線變?yōu)榛【€，a-a縮短，b-b伸長(zhǎng)，但仍與m-m、n-n線正交。彎曲變形的平面假設(shè)橫截面在彎曲變形后仍保持為平面，只是繞截面內(nèi)某一軸轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度。一、純彎曲時(shí)的彎曲變形特征純彎曲變形實(shí)驗(yàn)表面現(xiàn)象推論61重要推論想像梁由許多縱向纖維組成，變形后上面纖維縮短，下面纖維伸長(zhǎng)，中間必有一層纖維既不伸長(zhǎng)又不縮短，此層稱為中性層。平面假設(shè)AABBaabbMM中性層與橫截面的交線稱為中性軸。梁彎曲時(shí)各個(gè)截面繞著中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)。中性軸通過(guò)截面形心。ABBAaabbdMM變形后有中性層存在橫截面在純彎曲變形后仍保持為平面，只是繞截面內(nèi)某一軸轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度。62二、梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力及其分布規(guī)律變形幾何關(guān)系除中性層外，上面纖維aa縮短，下面纖維bb伸長(zhǎng)，很顯然，各層纖維的絕對(duì)變形量△L與該層到中性層的距離y成正比。即：△L∝y梁純彎曲時(shí)，橫截面上只有正應(yīng)力，為研究其分布規(guī)律，必須從幾何、物理、靜力平衡三方面進(jìn)行分析。63△L∝y各層纖維的絕對(duì)變形量△L與該層到中性層的距離y成正比。純彎曲時(shí)，各層纖維的應(yīng)變與該層到中性層的距離y成正比。64物理關(guān)系（應(yīng)力與變形關(guān)系）橫截面上各點(diǎn)的正應(yīng)力σ的大小與該點(diǎn)到中性軸的距離y成正比。純彎曲時(shí)正應(yīng)力分布規(guī)律：離中性軸越遠(yuǎn)，應(yīng)力越大，中性軸上應(yīng)力為0。中性層的一側(cè)為拉應(yīng)力，另一側(cè)為壓應(yīng)力。Myσσymaxσmax65距中性軸為y處的正應(yīng)力σ與距中性軸為ymax的最大應(yīng)力σmax有如下的關(guān)系：故應(yīng)力分布規(guī)律可以寫(xiě)成Myσσymaxσmax橫截面上最大正應(yīng)力發(fā)生離中性軸最遠(yuǎn)處,即截面的上下邊緣處。M以下推導(dǎo)應(yīng)力計(jì)算公式。66在橫截面上距中性軸距離為y處，取微面積dA。作用在微面積dA上的應(yīng)力為σ，均勻分布。作用在微面積dA上的微內(nèi)力為σdA。微內(nèi)力σdA對(duì)中性軸的微力矩為yσdA。

橫截面上所有微力矩的總和就是橫截面上的彎矩M。即：MyσymaxσdAZ：中性軸z靜力平衡關(guān)系（應(yīng)力與彎矩的關(guān)系）67MyσymaxσdA中性軸Jz

稱為橫截面對(duì)中性軸z

的軸慣性矩，取決于截面尺寸和形狀，單位m4。令：則有：68令：稱為抗彎截面模量，單位為m3，也取決于截面尺寸和形狀Myσσymaxσmax梁彎曲時(shí)橫截面上最大正應(yīng)力公式：69橫截面上最大正應(yīng)力該截面彎矩該截面抗彎截面模量試驗(yàn)和理論分析表明，對(duì)于細(xì)長(zhǎng)梁（跨度與橫截面高度之比l/h>5）,用此公式計(jì)算橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力也是足夠精確的。70軸慣性矩和抗彎截面模量矩形截面71實(shí)心圓截面Zd圓環(huán)截面工字鋼截面的慣性矩和抗彎截面模量查教材附表872

梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度條件一、梁的最大正應(yīng)力梁的危險(xiǎn)截面梁的危險(xiǎn)截面在該梁內(nèi)彎矩最大的截面上危險(xiǎn)截面位于梁中部危險(xiǎn)截面位于梁根部梁的最大正應(yīng)力梁的最大正應(yīng)力發(fā)生在危險(xiǎn)截面上離中性軸最遠(yuǎn)處73二、梁的強(qiáng)度條件Mmax梁內(nèi)最大彎矩WZ危險(xiǎn)截面抗彎截面模量[σ]材料的許用應(yīng)力利用強(qiáng)度條件可以校核強(qiáng)度、設(shè)計(jì)截面尺寸、確定許可載荷。74【例3-7】有一型號(hào)為16的工字鋼截面簡(jiǎn)支梁，如圖所示。已知P=27.5KN。鋼材彎曲許用應(yīng)力[σ]=120MPa，試校核梁的強(qiáng)度。解：最大彎矩發(fā)生在集中力P作用處，即梁的中點(diǎn)。查附表8，16號(hào)工字鋼WZ=141cm3=141000mm3。故鋼梁的最大正應(yīng)力為此梁安全75【例3-9】懸臂梁由兩根工字鋼組成，設(shè)備總重P（包括物料重）為10kN，設(shè)備中心到固定端的距離a=1.5m，L=2.2m，如圖所示。鋼材彎曲許用應(yīng)力[σ]=140MPa。試按強(qiáng)度要求選擇工字鋼尺寸(型號(hào))。解：查附表8，選擇12.6號(hào)工字鋼，Wz=77.5cm3，符合要求。每一根梁76【例3-10】有一型號(hào)為40a的工字鋼簡(jiǎn)支梁，跨度L=8m，彎曲許用應(yīng)力[σ]=140MPa，求梁能承受的均布載荷q。解：最大彎矩發(fā)生在梁的中點(diǎn)，查附表8，40a工字鋼的Wz=1090cm3，代入強(qiáng)度條件得：77【例3-11】接上例，型號(hào)40a工字鋼的截面積約為86.1cm2，如果換成矩形截面梁，截面高寬比h/b=2，要求也能承受q=19075N/m均布載荷，試求矩形截面面積。解：矩形截面梁：要求也能承受q=19075N/m均布載荷，矩形截面梁的WZ也應(yīng)為1090cm3。承受相同載荷，矩形梁的截面面積是工字鋼梁的3.24倍。783.6梁截面合理形狀的選擇承受相同載荷，工字型截面比矩形截面更節(jié)省材料。因此，在承受相同載荷情況下，合理選擇梁的截面形狀，可以大大節(jié)省材料。根據(jù)彎曲強(qiáng)度條件同樣載荷條件下，WZ↑，σ↓，梁強(qiáng)度↑合理截面因此，在不增加材料面積A情況下，WZ越大越好。即：WZ/A應(yīng)盡可能大。這樣的截面稱合理截面。79三種截面合理性比較80上下邊緣處應(yīng)力最大靠近中性軸處，應(yīng)力較小，材料沒(méi)有充分利用從彎曲應(yīng)力分布解釋截面合理性要使材料充分發(fā)揮作用，就應(yīng)該把材料用到應(yīng)力較大的地方，即將材料放到離中性軸較遠(yuǎn)的地方。M81根據(jù)材料性能選擇截面材料拉壓性能不同時(shí)，還應(yīng)使截面兩邊的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力同時(shí)達(dá)到許用應(yīng)力。塑性材料：[σ]拉=[σ]壓，對(duì)中性軸對(duì)稱截面（如工字型截面）脆性材料：[σ]拉＜[σ]壓，中性軸偏向受拉一邊（如T字型截面）82等強(qiáng)度梁按梁危險(xiǎn)截面上的最大彎矩來(lái)計(jì)算的。對(duì)等截面梁：危險(xiǎn)截面σmax=[σ]時(shí)其它截面σmax＜[σ]等截面梁不能充分發(fā)揮材料作用等截面梁83為節(jié)省材料，應(yīng)使梁內(nèi)各個(gè)截面上的最大應(yīng)力都達(dá)到或接近許用應(yīng)力，這樣的梁稱為等強(qiáng)度梁。等強(qiáng)度梁各個(gè)截面并不相同，屬于變截面梁。搖臂鉆的橫臂支架階梯軸843.7梁的彎曲變形工程問(wèn)題中，有些梁除了要滿足強(qiáng)度要求外，還往往要求變形不能過(guò)大，即還有剛度要求。因此需要研究梁的彎曲變形。85

齒輪軸即使有足夠的強(qiáng)度，但若彎曲變形過(guò)大，將使軸上的齒輪嚙合不良，引起噪聲，造成齒輪與齒輪間或軸與軸承間的不均勻磨損。齒輪軸彎曲變形實(shí)例86

如果工件的彎曲變形過(guò)大，甚至?xí)庸こ鰪U品；鉆床的變形過(guò)大，就會(huì)影響加工精度。切削中的工件與鉆床87梁的變形可用變形后軸線的形狀來(lái)說(shuō)明，各處的變形狀況用撓度和轉(zhuǎn)角來(lái)表示。一、梁的撓度和轉(zhuǎn)角的概念梁任意截面形心O1變形后移至O’1，其垂直位移f稱為該截面的撓度，向下為正，單位是mm。梁彎曲變形后的軸線稱為彈性曲線或撓曲線。撓度f(wàn)xO1O1’88轉(zhuǎn)角梁任一橫截面繞其中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度稱為該截面的轉(zhuǎn)角，用θ表示，逆時(shí)針轉(zhuǎn)為正，單位是rad。截面的轉(zhuǎn)角θ等于該截面處彈性曲線的切線與梁軸線的夾角。fxO1O1’89懸臂梁的自由端撓度最大，轉(zhuǎn)角也最大。梁的變形與EJZ成反比，

EJZ稱抗彎剛度。簡(jiǎn)單載荷下各種梁的最大撓度和轉(zhuǎn)角計(jì)算公式見(jiàn)教材基本變形表3-3。90用疊加法求梁的變形疊加法

當(dāng)梁上同時(shí)作用幾個(gè)載荷時(shí)，梁的總變形為各個(gè)載荷單獨(dú)作用下梁的變形的代數(shù)和。在彈性范圍內(nèi)，梁的撓度和轉(zhuǎn)角都和載荷是成正