西南交通大學(xué)振動(dòng)力學(xué)-第3章(I)多自由度系統(tǒng)的課件

第3章

多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)李映輝西南交通大學(xué)2015.092023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》22023年6月7日中國(guó)力學(xué)學(xué)會(huì)學(xué)術(shù)大會(huì)‘2005’22023年6月7日2聲明本課件可供教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)中免費(fèi)使用。不可用于任何商業(yè)目的。本課件的部分內(nèi)容參閱了上海交通大學(xué)陳國(guó)平教授和太原科技大學(xué)楊建偉教授的課件，作者在此向二位教授表示衷心感謝。如該課件無(wú)意中損害了二位教授利益，作者在此致歉。本課件以高淑英、沈火明編著的《振動(dòng)力學(xué)》（中國(guó)鐵道出版社，2011年）的前四章為基礎(chǔ)編寫(xiě)。感謝研究生蔣寶坤、王金梅在文字錄入方面的工作2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》3kcm建模方法1：將車(chē)、人等全部作為一個(gè)質(zhì)量考慮，并考慮彈性和阻尼要求：對(duì)轎車(chē)的上下振動(dòng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模例子：轎車(chē)行駛在路面上會(huì)產(chǎn)生上下振動(dòng)缺點(diǎn)：模型粗糙，沒(méi)有考慮人與車(chē)、車(chē)與車(chē)輪、車(chē)輪與地面之間的相互影響優(yōu)點(diǎn)：模型簡(jiǎn)單分析：人與車(chē)、車(chē)與車(chē)輪、車(chē)輪與地面之間的運(yùn)動(dòng)存在耦合多自由度系統(tǒng)振動(dòng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》4k2c2m車(chē)m人k1c1建模方法2：車(chē)、人的質(zhì)量分別考慮，并考慮各自的彈性和阻尼優(yōu)點(diǎn)：模型較為精確，考慮了人與車(chē)之間的耦合缺點(diǎn)：沒(méi)有考慮車(chē)與車(chē)輪、車(chē)輪與地面之間的相互影響多自由度系統(tǒng)振動(dòng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》5m人k1c1k2c2mk3c3k2c2k3c3m車(chē)m輪m輪建模方法3：車(chē)、人、車(chē)輪的質(zhì)量分別考慮，并考慮各自的彈性和阻尼優(yōu)點(diǎn)：分別考慮了人與車(chē)、車(chē)與車(chē)輪、車(chē)輪與地面之間的相互耦合，模型較為精確問(wèn)題：如何描述各個(gè)質(zhì)量之間的相互耦合效應(yīng)？多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)用N個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)可以完全描述其在空間位置的系統(tǒng)，稱(chēng)為N自由度系統(tǒng)，

N≥2時(shí)的系統(tǒng)稱(chēng)為多自由度系統(tǒng)。多自由度系統(tǒng)和單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)固有性質(zhì)區(qū)別：

1）單自由度系統(tǒng)受初始擾動(dòng)，系統(tǒng)按固有頻率作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)；2）多自由度系統(tǒng)有多個(gè)固有頻率；多自由度系統(tǒng)按某一固有頻率所作自由振動(dòng)，稱(chēng)為主振動(dòng)，是一種簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，多自由度系統(tǒng)有多個(gè)主振動(dòng)。系統(tǒng)作某個(gè)主振動(dòng)時(shí)，任何瞬時(shí)各點(diǎn)位移間具有一定的相對(duì)比值，即系統(tǒng)具有確定的振動(dòng)形態(tài)，稱(chēng)為主振型（也稱(chēng)主模態(tài)）。主振型是多自由度系統(tǒng)以及彈性體振動(dòng)的重要特征。2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》7教學(xué)內(nèi)容多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》7教學(xué)內(nèi)容兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》8教學(xué)內(nèi)容多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》8兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)方程無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)耦合與主坐標(biāo)無(wú)阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)阻尼對(duì)強(qiáng)迫振動(dòng)的影響2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》9多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)兩自由度系統(tǒng)：用兩個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)可以完全描述其在空間位置的系統(tǒng)。2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)研究多自由度系統(tǒng)振動(dòng)的目的：1）求系統(tǒng)的固有頻率；2）了解系統(tǒng)的主振型。2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》11兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)方程先看幾個(gè)例子例1：雙質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，兩質(zhì)量分別受到激振力不計(jì)摩擦和其他形式的阻尼試建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程m1m2k3k1k2x1x2P1(t)P2(t)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/動(dòng)力學(xué)方程2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》12解：的原點(diǎn)分別取在的靜平衡位置建立坐標(biāo)：設(shè)某一瞬時(shí)：上分別有位移加速度受力分析：P1(t)k1x1k2(x1-x2)m1P2(t)k2(x1-x2)m2k3x2m1m2k3k1k2x1x2P1(t)P2(t)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/動(dòng)力學(xué)方程2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》13建立方程：矩陣形式：力量綱坐標(biāo)間的耦合項(xiàng)P1(t)k1x1k2(x1-x2)m1P2(t)k2(x1-x2)m2k3x2多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/動(dòng)力學(xué)方程2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》14例2：轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)兩圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的三個(gè)段的扭轉(zhuǎn)剛度試建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程外力矩多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/動(dòng)力學(xué)方程2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》15解：建立坐標(biāo)：角位移設(shè)某一瞬時(shí)：角加速度受力分析：多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/動(dòng)力學(xué)方程2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》16建立方程：矩陣形式：坐標(biāo)間的耦合項(xiàng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/動(dòng)力學(xué)方程2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》17兩自由度系統(tǒng)的角振動(dòng)與直線(xiàn)振動(dòng)在數(shù)學(xué)描述上相同如同在單自由度系統(tǒng)中做過(guò)的那樣，在兩自由度系統(tǒng)中也將質(zhì)量、剛度、位移、加速度及力都理解為廣義的。m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/動(dòng)力學(xué)方程2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》18小結(jié)：可統(tǒng)一表示為：例1：例2：作用力方程位移向量加速度向量質(zhì)量矩陣剛度矩陣激勵(lì)力向量若系統(tǒng)有n個(gè)自由度，則各項(xiàng)皆為

n

維多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/動(dòng)力學(xué)方程2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》192023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》19剛度矩陣和質(zhì)量矩陣當(dāng)M、K

確定后，系統(tǒng)動(dòng)力方程可完全確定M、K

該如何確定？作用力方程：先討論M多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/動(dòng)力學(xué)方程2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》20使系統(tǒng)只在第j個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度，而在其他坐標(biāo)上不產(chǎn)生加速度所施加的一組外力，正是質(zhì)量矩陣M的第j列結(jié)論：質(zhì)量矩陣M中的元素是使系統(tǒng)僅在第j個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度而相應(yīng)于第i個(gè)坐標(biāo)上所需施加的力又分別稱(chēng)為質(zhì)量影響系數(shù)和剛度影響系數(shù)。根據(jù)它們的物理意義可以直接寫(xiě)出矩陣M

和K，從而建立作用力方程，這種方法稱(chēng)為影響系數(shù)方法。多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/動(dòng)力學(xué)方程2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》212023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》21影響系數(shù)法當(dāng)M、K

確定后，系統(tǒng)動(dòng)力方程可完全確定M、K

該如何確定？作用力方程：先討論K加速度為零則：假設(shè)外力是以準(zhǔn)靜態(tài)方式施加于系統(tǒng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/動(dòng)力學(xué)方程2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》22使系統(tǒng)只在第j個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度，而在其他坐標(biāo)上不產(chǎn)生加速度所施加的一組外力，正是質(zhì)量矩陣M的第j列結(jié)論：質(zhì)量矩陣M中的元素是使系統(tǒng)僅在第j個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度而相應(yīng)于第i個(gè)坐標(biāo)上所需施加的力又分別稱(chēng)為質(zhì)量影響系數(shù)和剛度影響系數(shù)。根據(jù)它們的物理意義可以直接寫(xiě)出矩陣M

和K，從而建立作用力方程，這種方法稱(chēng)為影響系數(shù)方法。多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/動(dòng)力學(xué)方程2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》23【例3-3】用剛度影響系數(shù)法，建立圖3-6所示的兩自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程?！窘狻坑昧κ官|(zhì)量塊m1從靜平衡位置移動(dòng)一單位位移，同時(shí)用力制住m2不動(dòng)。這時(shí)對(duì)m1沿x1正方向施加的是彈簧k1和k2的彈力之和。因位移為1，因此彈力之和為k1+k2，即k11=k1+k2，這時(shí)在質(zhì)量塊m2上施加的力的大小等于k2，方向與x1位移的方向相反，即k21=-k2。多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/動(dòng)力學(xué)方程2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》再用力使質(zhì)量塊m2離開(kāi)靜平衡位置單位位移，同時(shí)用力控制住m1不動(dòng)，得k22=k2+k3，k12=-k2。

將所得剛度影響系數(shù)代入,有整理得多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/動(dòng)力學(xué)方程《振動(dòng)力學(xué)》25上式即式(3.1)。此式可用矩陣形式表示或式中,分別是系統(tǒng)位移、加速度列陣，M、K分別是系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣。從剛度矩陣可知，剛度影響系數(shù)kij

即為剛度矩陣K中一個(gè)元素。多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/動(dòng)力學(xué)方程2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》26例：雙混合擺，兩剛體質(zhì)量質(zhì)心繞通過(guò)自身質(zhì)心的z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量求：以微小轉(zhuǎn)角為坐標(biāo)，寫(xiě)出在x-y平面內(nèi)擺動(dòng)的作用力方程兩剛體質(zhì)量h1C1C2h2lxy多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/動(dòng)力學(xué)方程2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》27受力分析h1C1C2h2lxyxy多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/動(dòng)力學(xué)方程2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》28解：先求質(zhì)量影響系數(shù)令有：令有：yh1C1C2h2lx多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/動(dòng)力學(xué)方程2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》29令有：令有：質(zhì)量矩陣：多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/動(dòng)力學(xué)方程2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》30求剛度影響系數(shù)由于恢復(fù)力是重力，所以實(shí)際上是求重力影響系數(shù)令有：令有：yh1C1C2h2lx多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/動(dòng)力學(xué)方程2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》31令有：令有：剛度矩陣：多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/動(dòng)力學(xué)方程2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》32運(yùn)動(dòng)微分方程：yh1C1C2h2lx多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/動(dòng)力學(xué)方程2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》33例：求：以微小轉(zhuǎn)角為坐標(biāo)，寫(xiě)出微擺動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程每桿質(zhì)量m桿長(zhǎng)度l水平彈簧剛度k彈簧距離固定端akaO1O2多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/動(dòng)力學(xué)方程2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》34解：令：則需要在兩桿上施加力矩分別對(duì)兩桿O1、O2

求矩：令：則需要在兩桿上施加力矩分別對(duì)兩桿O1、O2

求矩：aO1O2aO1O2多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/動(dòng)力學(xué)方程2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》35剛度矩陣：aO1O2aO1O2多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/動(dòng)力學(xué)方程2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》36令：則需要在兩桿上施加力矩令：則需要在兩桿上施加力矩質(zhì)量矩陣：aO1O2kaO1O2k多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/動(dòng)力學(xué)方程2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》37運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：kaO1O2多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/動(dòng)力學(xué)方程2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》38例：兩自由度系統(tǒng)擺長(zhǎng)

l，無(wú)質(zhì)量，微擺動(dòng)求：運(yùn)動(dòng)微分方程xm1k1k2多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/動(dòng)力學(xué)方程2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》39解：先求解剛度矩陣令：令：m1k1k2m1k1k2多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/動(dòng)力學(xué)方程2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》40剛度矩陣：多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/動(dòng)力學(xué)方程2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》41求解質(zhì)量矩陣令：令：m1k1k2慣性力m1k1k2慣性力多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/動(dòng)力學(xué)方程2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》42質(zhì)量矩陣：xm1k1k2剛度矩陣：運(yùn)動(dòng)微分方程：多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/動(dòng)力學(xué)方程2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》43位移方程和柔度矩陣對(duì)于靜定結(jié)構(gòu)，有時(shí)通過(guò)柔度矩陣建立位移方程比通過(guò)剛度矩陣建立作用力方程來(lái)得更方便些。柔度定義為彈性體在單位力作用下產(chǎn)生的變形物理意義及量綱與剛度恰好相反以一個(gè)例子說(shuō)明位移方程的建立

x1m1x2m2P1P2無(wú)質(zhì)量彈性梁，有若干集中質(zhì)量（質(zhì)量連續(xù)分布的彈性梁的簡(jiǎn)化）假設(shè)是常力以準(zhǔn)靜態(tài)方式作用在梁上梁只產(chǎn)生位移（即撓度），不產(chǎn)生加速度取質(zhì)量的靜平衡位置為坐標(biāo)的原點(diǎn)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/動(dòng)力學(xué)方程2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》44m1

位移：m2位移：時(shí)（1）時(shí)（2）m1

位移：m2位移：同時(shí)作用（3）m1

位移：m2位移：f11f21P1=1f12f22P2=1x1m1x2m2P1P2多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/動(dòng)力學(xué)方程2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》45同時(shí)作用時(shí)：矩陣形式：其中：柔度矩陣物理意義：系統(tǒng)僅在第j個(gè)坐標(biāo)受到單位力作用時(shí)相應(yīng)于第i

個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生的位移柔度影響系數(shù)f11f21P1=1f12f22P2=1x1m1x2m2P1P2多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/動(dòng)力學(xué)方程2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》46當(dāng)是動(dòng)載荷時(shí)集中質(zhì)量上有慣性力存在位移方程x1m1x2m2P1P2m1m2P1(t)P2(t)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/動(dòng)力學(xué)方程2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》47位移方程：又可：作用力方程：

若K非奇異柔度矩陣與剛度矩陣的關(guān)系：或：多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/動(dòng)力學(xué)方程2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》48對(duì)于允許剛體運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的系統(tǒng)（即具有剛體自由度的系統(tǒng)），柔度矩陣不存在應(yīng)當(dāng)注意：位移方程不適用于具有剛體自由度的系統(tǒng)m1m2k1k2m3原因：在任意一個(gè)坐標(biāo)上施加單位力，系統(tǒng)將產(chǎn)生剛體運(yùn)動(dòng)而無(wú)法計(jì)算各個(gè)坐標(biāo)上的位移剛度矩陣K奇異多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/動(dòng)力學(xué)方程2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》49例：求圖示兩自由度簡(jiǎn)支梁橫向振動(dòng)的位移方程已知梁的抗彎剛度矩陣為x1x2l/3l/3l/3m1m2P1(t)P2(t)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/動(dòng)力學(xué)方程2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》50由材料力學(xué)知，當(dāng)B點(diǎn)作用有單位力時(shí)，A點(diǎn)的撓度為：柔度影響系數(shù)：柔度矩陣：位移方程：x1x2l/3l/3l/3m1m2P1(t)P2(t)labABP=1多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/動(dòng)力學(xué)方程2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》51質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正定性質(zhì)n階方陣A

正定并且等號(hào)僅在時(shí)才成立是指對(duì)于任意的

n維列向量y，總有成立如果時(shí)，等號(hào)也成立，那么稱(chēng)矩陣A

是半正定的根據(jù)分析力學(xué)的結(jié)論，對(duì)于定常約束系統(tǒng)：動(dòng)能：勢(shì)能：多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/動(dòng)力學(xué)方程2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》52質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正定性質(zhì)n階方陣A

正定并且等號(hào)僅在時(shí)才成立是指對(duì)于任意的

n維列向量y，總有成立如果時(shí)，等號(hào)也成立，那么稱(chēng)矩陣A

是半正定的動(dòng)能：除非所以，正定即：多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/動(dòng)力學(xué)方程2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》53質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正定性質(zhì)n階方陣A

正定并且等號(hào)僅在時(shí)才成立是指對(duì)于任意的

n維列向量y，總有成立如果時(shí)，等號(hào)也成立，那么稱(chēng)矩陣A

是半正定的勢(shì)能：對(duì)于僅具有穩(wěn)定平衡位置的系統(tǒng)，勢(shì)能在平衡位置上取極小值V>0當(dāng)各個(gè)位移不全為零時(shí)，K正定K>0對(duì)于具有隨遇平衡位置的系統(tǒng)，存在剛體位移對(duì)于不全為零的位移存在V

＝0K半正定多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/動(dòng)力學(xué)方程2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》54振動(dòng)問(wèn)題中主要討論K陣正定的系統(tǒng)及K陣半正定的系統(tǒng)，前者稱(chēng)為正定振動(dòng)系統(tǒng)，后者稱(chēng)為半正定振動(dòng)系統(tǒng)

多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/動(dòng)力學(xué)方程2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》552023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》55教學(xué)內(nèi)容多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》55兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)方程無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)耦合與主坐標(biāo)無(wú)阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)阻尼對(duì)強(qiáng)迫振動(dòng)的影響2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》56無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)圖3-2示是一兩自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)的力學(xué)模型。若x1和x2分別為m1和m2的位移，k1、

k2

、k3分別是連接彈簧剛度，則系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/無(wú)阻尼自由振動(dòng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》57或其矩陣形式為設(shè)系統(tǒng)每個(gè)質(zhì)量作同一頻率的諧振動(dòng)且同時(shí)通過(guò)平衡位置,則式中振幅A1、A2，頻率ω和相位角φ為待定常數(shù)。式（3.4）代入（3.2），有多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/無(wú)阻尼自由振動(dòng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》于是式（3.5）可簡(jiǎn)寫(xiě)為上述方程中A1，A2要有非零解，其充分必要條件為展開(kāi)后得多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/無(wú)阻尼自由振動(dòng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》上式稱(chēng)為系統(tǒng)的頻率方程或特征方程。顯然，方程有兩個(gè)特征根，即

ω12和ω22是兩個(gè)正實(shí)根，它們反映系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)（質(zhì)量和彈簧剛度），稱(chēng)為振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率。較低的一個(gè)稱(chēng)為一階固有頻率，簡(jiǎn)稱(chēng)基頻；較高的一個(gè)稱(chēng)為二階固有頗率。多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/無(wú)阻尼自由振動(dòng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》分別將ω12

與ω22代回方程（3.6）。由于方程（3.6）的系數(shù)行列式為零，方程中的兩式彼此不獨(dú)立。由方程（3.6）不能求得振幅A1與A2的具體數(shù)值。但可將特征值ω12

與ω22

分別代回方程(3.6)中任一式，可求得對(duì)應(yīng)于每一固有頻率的振幅比,以μ1和μ2表示，即可見(jiàn)，雖然振幅的大小與初始條件有關(guān),但系統(tǒng)按任一多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/無(wú)阻尼自由振動(dòng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》固有頻率振動(dòng)時(shí)，其振幅比和固有頻率一樣只決定于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)，同時(shí)兩個(gè)質(zhì)量任一瞬時(shí)的位移比值x2/x1也是確定的，等于振幅比。

振幅比決定了整個(gè)系統(tǒng)振動(dòng)形態(tài)，該振動(dòng)形態(tài)對(duì)應(yīng)的圖形稱(chēng)為主振型(模態(tài)），稱(chēng)為第i階振型列陣。與ω1對(duì)應(yīng)的振幅比μ1，對(duì)應(yīng)的主振型稱(chēng)為一階主振型（主模態(tài)），與ω2對(duì)應(yīng)的振幅比μ2，對(duì)應(yīng)的主振型稱(chēng)為二階主振型。將ω1與ω2代入（3.8），得多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/無(wú)阻尼自由振動(dòng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》可見(jiàn)，當(dāng)系統(tǒng)以頻率ω1振動(dòng)時(shí)，質(zhì)量塊m1、m2總是按同一方向運(yùn)動(dòng)，而當(dāng)系統(tǒng)以頻率ω2

振動(dòng)時(shí),則兩質(zhì)量按相反的方向運(yùn)動(dòng)。系統(tǒng)以某一階固有頻率按其相應(yīng)的主振型振動(dòng)，稱(chēng)為系統(tǒng)的主振動(dòng)。第一階主振動(dòng)為第二階主振動(dòng)為多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/無(wú)阻尼自由振動(dòng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》63可見(jiàn)系統(tǒng)的每一階主振動(dòng)，都是具有確定頻率和振型的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。

系統(tǒng)在一般情況下的運(yùn)動(dòng)即微分方程組（3.2）的通解是（3.10）和（3.11）兩種主振動(dòng)的疊加，即

在一般情況下，系統(tǒng)的自由振動(dòng)是兩種不同頻率的主振動(dòng)的疊加，其結(jié)果不一定是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/無(wú)阻尼自由振動(dòng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》【例3-1】車(chē)輛振動(dòng)在簡(jiǎn)單計(jì)算中可簡(jiǎn)化為一根剛性桿（車(chē)體）支承在彈簧（懸掛彈簧或輪胎）上，作上下垂直振動(dòng)和繞剛性桿質(zhì)心的前后俯仰振動(dòng)．如圖3-3。設(shè)剛性桿質(zhì)量為m，兩端彈簧剛度為k1、k2,桿質(zhì)心C與彈簧k1、k2

的距離為l1與l2,桿繞過(guò)質(zhì)心并垂直于紙面軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jc。求此系統(tǒng)的固有頻率，并分析k2l2>k1l1

時(shí)的主振型。多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/無(wú)阻尼自由振動(dòng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》【解】以質(zhì)心垂直位移x(向下為正）及桿繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)角θ(順針向?yàn)檎?為兩個(gè)獨(dú)立坐標(biāo),x的坐標(biāo)原點(diǎn)取在靜平衡位置，前后彈簧作用在桿上的彈性力如圖3.3(b)。由剛體平面運(yùn)動(dòng)方程得整理得記多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/無(wú)阻尼自由振動(dòng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》得系統(tǒng)的固有頻率為振幅比將是角位移θ與垂直位移x的比值。當(dāng)k2l2>k1l2

時(shí)，b>0，c>0,由式(3.8)可知

第一階主振動(dòng)時(shí)，x與θ同時(shí)朝正向或同時(shí)朝負(fù)向運(yùn)動(dòng)，而第二階主振動(dòng)時(shí)，x與θ是反向運(yùn)動(dòng)。多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/無(wú)阻尼自由振動(dòng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》67實(shí)際中，振幅比的絕對(duì)值，表明兩種振動(dòng)如以相同的角位移θ作比較，第一階主振動(dòng)的質(zhì)心位移遠(yuǎn)大于第二階主振動(dòng)的質(zhì)心位移，也就是第一階主振動(dòng)以上下垂直振動(dòng)為主，其振型如圖3-4（a），第二階主振動(dòng)以桿繞質(zhì)心軸的俯仰振動(dòng)為主，其主振動(dòng)如圖3-4(b)。多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/無(wú)阻尼自由振動(dòng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》682023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》682023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》68教學(xué)內(nèi)容2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》68兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)方程無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)耦合與主坐標(biāo)無(wú)阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)阻尼對(duì)強(qiáng)迫振動(dòng)的影響多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/耦合與主坐標(biāo)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》耦合與主坐標(biāo)一般情況下兩自由度系統(tǒng)振動(dòng)方程如(3.2)，每個(gè)方程式中往往都有耦合項(xiàng)。這種坐標(biāo)x1和x2之間有耦合的情況稱(chēng)為靜力耦合或彈性耦合。

在例3-1中，若以彈簧支承處的位移x1與x2為獨(dú)立坐標(biāo)來(lái)建立振動(dòng)方程，x1、x2與x、θ關(guān)系如下：

轉(zhuǎn)換后得多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/耦合與主坐標(biāo)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》將上式代入剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程有整理得多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/耦合與主坐標(biāo)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》上面的方程中不僅坐標(biāo)x1和x2有耦合，而且加速度的項(xiàng)也有耦合，這種加速度之間有耦合的情況，稱(chēng)為動(dòng)力耦合或慣性耦合。選取坐標(biāo)使振動(dòng)方程組中的耦合項(xiàng)全等于零（既無(wú)靜力耦合，又無(wú)動(dòng)力耦合），是系統(tǒng)相當(dāng)于兩個(gè)單自由度系統(tǒng)，這時(shí)的坐標(biāo)就稱(chēng)為主坐標(biāo)。

選取不同的獨(dú)立坐標(biāo)時(shí)，雖然振動(dòng)方程形式不同，但坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換并不影響固有頻率的計(jì)算結(jié)果。多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/耦合與主坐標(biāo)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》72在例3-1中，是以x與θ

為兩個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)。如果k1l1=k2l2,則b=c=0，則式(3.2)中的耦合項(xiàng)均為零，簡(jiǎn)化成

相當(dāng)于兩單自由度系統(tǒng)各自獨(dú)立作不同固有頻率的主振動(dòng):這時(shí)x與θ

就是主坐標(biāo)。多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/耦合與主坐標(biāo)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》【例3-2】長(zhǎng)為l質(zhì)量為m的兩個(gè)相同的單擺。用剛度為k的彈簧相連，如圖3-5(a)。設(shè)彈簧原長(zhǎng)為AB，桿重不計(jì)，試分析兩擺在圖示平面內(nèi)作微振動(dòng)時(shí)的固有頻率和主振型?！窘狻咳蓴[離開(kāi)鉛垂平衡的角位移θ1與θ2為獨(dú)立坐標(biāo)，以逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?。任一瞬時(shí)位置，兩個(gè)擺上所受的力如圖3-5(b)。系統(tǒng)作微振動(dòng)時(shí)，其運(yùn)動(dòng)微分方程為多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/耦合與主坐標(biāo)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》或此方程組與式(3.1)形式相同，頻率方程為固有頻率為多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/耦合與主坐標(biāo)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》相應(yīng)有將(a)式兩個(gè)方程相加和相減后得一組新的方程：取ψ1=θ1+θ2，ψ2=θ1-θ2上列方程可轉(zhuǎn)換為或多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/耦合與主坐標(biāo)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》762023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》762023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》762023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》762023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》762023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》76作業(yè)第94頁(yè)3.1,3.2多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》772023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》772023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》77教學(xué)內(nèi)容2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》77兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)方程無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)耦合與主坐標(biāo)無(wú)阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)阻尼對(duì)強(qiáng)迫振動(dòng)的影響多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2023年6月7日3.無(wú)阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)

如圖3-7，設(shè)兩質(zhì)量是分別在簡(jiǎn)諧激振力F1sinωt和F2sinωt作用下運(yùn)動(dòng)。系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)方程多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》79方程（3.16）寫(xiě)為由于阻尼的存在，其齊次方程解在一段時(shí)間以后就逐漸衰減掉。非齊次的特解則是穩(wěn)態(tài)階段的等幅振動(dòng)，系統(tǒng)按與激振力相同的頻率ω作強(qiáng)迫振動(dòng)。設(shè)其解為式中振幅B1、B2為待定常數(shù)，代入式（3.17），有多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》則系數(shù)行列式為式中ω1、ω2為系統(tǒng)的兩個(gè)固有頻率。有將B1、B2代回得系統(tǒng)在激振力作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，是與激振力的頻率相同的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。其振幅不僅多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》取決于激振力的振幅F1與F2，特別與系統(tǒng)的固有頻率和激振頻率之比有較大關(guān)系。當(dāng)激振頻率ω等于ω1或ω2時(shí)，系統(tǒng)振幅無(wú)限增大，即為共振。兩自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)有兩個(gè)共振頗率。

兩質(zhì)量的振幅比為

可見(jiàn)在一定激振力的幅值和頻率下，振幅比是定值，也就是說(shuō)系統(tǒng)具有一定的振型。當(dāng)激振頻率等于第一階固有頻率ω1時(shí)，振幅比為多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》可進(jìn)一步得表明系統(tǒng)在任一共振頻率下的振型就是相應(yīng)的主振型。其振幅頻率響應(yīng)曲線(xiàn)，同單自由度強(qiáng)迫振動(dòng)一樣，可用頻率比作橫坐標(biāo)，振幅作縱坐標(biāo)畫(huà)出。多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》【例3-4】在圖3-7系統(tǒng)，已知m1=m,m2=2m,k1=k2=k,k3=2k。在質(zhì)量m1上作用一激振力F1sinωt,而F2=0。(1)求系統(tǒng)的響應(yīng)；（2）計(jì)算共振時(shí)振幅比；（3）作振幅頻率響應(yīng)曲線(xiàn)。多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》【解】由式（3-17）可寫(xiě)出強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程為其中由方程（a）對(duì)應(yīng)的齊次方程求得系統(tǒng)的兩個(gè)固有頻率為（1）系統(tǒng)的響應(yīng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》85于是系統(tǒng)的響應(yīng)為（2）共振時(shí)的振幅比當(dāng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》86（3）幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)將振幅改寫(xiě)為以ω/ω1為橫坐標(biāo),B1、B2為縱坐標(biāo)，分別作出質(zhì)量塊m1與m2

的幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)如圖3-8(a),(b)。多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》87從上圖可以看到，當(dāng)時(shí)，出現(xiàn)共振，且有兩次共振。每次共振時(shí)，兩個(gè)質(zhì)量塊的振幅同時(shí)達(dá)到最大值。當(dāng)

時(shí)兩個(gè)質(zhì)量塊運(yùn)動(dòng)方向是相同的，而在時(shí)兩個(gè)質(zhì)量塊運(yùn)動(dòng)方向是相反的。當(dāng)ω>>ω2時(shí)兩個(gè)質(zhì)量塊的振幅都非常小而趨于零。而當(dāng)時(shí),B1=0,即在激振頻率

時(shí)，第一質(zhì)量靜止不動(dòng)，這種現(xiàn)象通常稱(chēng)為反共振。多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》882023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》882023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》88教學(xué)內(nèi)容2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》88兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)方程無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)耦合與主坐標(biāo)無(wú)阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)阻尼對(duì)強(qiáng)迫振動(dòng)的影響多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》4.阻尼對(duì)強(qiáng)迫振動(dòng)的影響下面以圖3-9兩自由系統(tǒng)為例說(shuō)明阻尼對(duì)強(qiáng)迫振動(dòng)的影響。該系統(tǒng)是在動(dòng)力減振器的兩個(gè)質(zhì)量之間加上一個(gè)阻尼器而成，稱(chēng)為阻尼減振器。系統(tǒng)的振動(dòng)方程為多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》90用復(fù)數(shù)解上述耦合聯(lián)立微分方程。以F1eiωt

表（3.22）第一式右邊的激振力。

兩自由度系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是與激振力同頻率的，但因阻尼響應(yīng)落后于激振力一相位角。設(shè)其解形式：得可解出B1、B2

。多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》91為討論阻尼對(duì)主質(zhì)量m1強(qiáng)迫振動(dòng)的影響，計(jì)算B1。有多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》92令則無(wú)量綱形式可見(jiàn)振幅B1

是4個(gè)參數(shù)μ、a、ζ、λ

的函數(shù)。μ、a是已知的，B1/δ為ζ和λ的函數(shù)。多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》93圖3-10表μ=1/20，a=1的阻尼減振器，在不同的阻尼ζ下，主質(zhì)量振幅的動(dòng)力放大系數(shù)B1/δ隨頻率比λ=ω/ω01變化的幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)。當(dāng)ζ=0,即為無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)情況，變?yōu)楫?dāng)λ=0.895，1.12時(shí)為兩個(gè)共振頻率多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》94當(dāng)ζ=∞，m1和m2間無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)變?yōu)閮H一個(gè)質(zhì)量m1+m2和躺會(huì)k1組成的單自由度系統(tǒng)。共振頻率多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》952023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》95圖3.10為ζ=0.1和ζ=0.32的兩條響應(yīng)曲線(xiàn)，表明阻尼使共振幅顯著減小.且相同阻尼下,頻率高的那個(gè)共振振幅降低的程度比頻率低的那個(gè)大。

在激振頻率ω<<ω1

或ω>>ω2的范圍內(nèi)，阻尼的影響是很小的，且所有的響應(yīng)曲線(xiàn)都通過(guò)S和T兩點(diǎn)。多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》962023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》962023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》962023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》962023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》962023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》962023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》96作業(yè)第94頁(yè)3.4第94頁(yè)3.6多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)/阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》972023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》97教學(xué)內(nèi)容多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度振動(dòng)系統(tǒng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》97教學(xué)內(nèi)容兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》982023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》982023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》982023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》98教學(xué)內(nèi)容多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度振動(dòng)系統(tǒng)/振動(dòng)方程2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》98多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)方程無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)主坐標(biāo)與正則坐標(biāo)無(wú)阻尼系統(tǒng)的多初始條件的響應(yīng)多自由度系統(tǒng)中的阻尼系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)的響應(yīng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》99多自由度系統(tǒng)振動(dòng)方程

牛頓定律影響系數(shù)法拉格朗日法多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度振動(dòng)系統(tǒng)/振動(dòng)方程2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》100如圖3-11（a），一個(gè)由n個(gè)質(zhì)量,n個(gè)彈簧和n個(gè)阻尼器組成的鏈?zhǔn)狡絼?dòng)系統(tǒng)，第i個(gè)質(zhì)量受力如圖3-11（b）由牛頓定律，得第i個(gè)質(zhì)量塊的運(yùn)動(dòng)方程多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度振動(dòng)系統(tǒng)/振動(dòng)方程2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》101矩陣形式為：其中

多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度振動(dòng)系統(tǒng)/振動(dòng)方程2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》1022023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》102振動(dòng)方程的一些規(guī)律：（1）各質(zhì)量塊靜平衡位置作坐標(biāo)原點(diǎn)，質(zhì)量陣為對(duì)角陣。（2）剛度陣的第i個(gè)主對(duì)角元為（即連接質(zhì)量塊mi的彈簧剛度之和），剛度陣的非主對(duì)角元kij

為（即連接質(zhì)量塊mi和mj的彈簧剛度之和）。（3）阻尼陣和剛度陣規(guī)律相同。對(duì)于多自由度系統(tǒng),可直接用上述“觀(guān)察”法給出多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度振動(dòng)系統(tǒng)/振動(dòng)方程2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》103【例3-5】試寫(xiě)圖3-12示系統(tǒng)的振動(dòng)方程。【解】多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度振動(dòng)系統(tǒng)/振動(dòng)方程2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》1042023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》1042023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》1042023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》1042023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》104教學(xué)內(nèi)容多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度振動(dòng)系統(tǒng)/無(wú)阻尼自由振動(dòng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》104多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)方程無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)主坐標(biāo)與正則坐標(biāo)無(wú)阻尼系統(tǒng)的多初始條件的響應(yīng)多自由度系統(tǒng)中的阻尼系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)的響應(yīng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》1052023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》105無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)無(wú)阻尼情況下，多自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)方程為

寫(xiě)為一般情況，則有(3.29)設(shè)（3.29）解為，則多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度振動(dòng)系統(tǒng)/無(wú)阻尼自由振動(dòng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》1062023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》106或式中，稱(chēng)為系統(tǒng)的特征矩陣。其系數(shù)矩陣的行列式稱(chēng)為特征行列式。方程稱(chēng)為系統(tǒng)的特征方程或頻率方程。由固有頻率多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度振動(dòng)系統(tǒng)/無(wú)阻尼自由振動(dòng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》107展開(kāi)（3-32）得ω2的n次代數(shù)方程解（3.33），得ω2的n個(gè)根（即特征值）；其算術(shù)平方根ω1,ω2,...,ωn

為系統(tǒng)的固有頻率。對(duì)正定系統(tǒng)，n個(gè)固有頻率通?；ゲ幌嗟?注意意義）；將ωj代入（3.31），不能求出各振幅值，但可得方程組：多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度振動(dòng)系統(tǒng)/無(wú)阻尼自由振動(dòng)2023年6月7日108求解A1,A2,…,An-1

，得各Ai值(i=1,2,…,n-1)與An比值，得對(duì)應(yīng)于固有頻率ωj的n個(gè)振幅值A(chǔ)1(j),A2(j),…,An(j)

間的比例關(guān)系，稱(chēng)為振幅比。

表明系統(tǒng)按第j階固有頻率ωj作簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，各振幅值A(chǔ)1(j),A2(j),…,An(j)

間具有確定的相對(duì)比值，或者說(shuō)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度振動(dòng)系統(tǒng)/無(wú)阻尼自由振動(dòng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》系統(tǒng)有一定的振動(dòng)形態(tài)，該振動(dòng)形態(tài)對(duì)應(yīng)的圖形稱(chēng)為主振型（主模態(tài)）。將各ωi及Ai(j)(i,j=1,2,…,n)代回(3.30)，得n組特解，將這n組特解相加，得系統(tǒng)自由振動(dòng)的一般解:

(3.35)包含2n個(gè)待定常數(shù),除φ1,φ2

,…,φn

外，還有n個(gè)振幅值，如可取為An(1),An(2),…,An(n)

。2n個(gè)待定常數(shù)由系統(tǒng)初始條件決定。多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度振動(dòng)系統(tǒng)/無(wú)阻尼自由振動(dòng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》在某一特殊的初始條件下，使待定常數(shù)中僅An(1)≠0，而其他An(2)=An(3)=…=An(n)=0因而與An(j)(j=2,3,…,n)成正比的Ai(2)=Ai(3)=…=Ai(n)=0(i=1,2,…,n-1),則（3.35）所表示的運(yùn)動(dòng)方程只保留第一項(xiàng)，即：多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度振動(dòng)系統(tǒng)/無(wú)阻尼自由振動(dòng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》111表明：（1）系統(tǒng)中各質(zhì)量塊以相同頻率ω1和相位φ1作簡(jiǎn)諧

運(yùn)動(dòng)；（2）各質(zhì)量塊任一瞬時(shí)滿(mǎn)足

可見(jiàn)，完全描述了系統(tǒng)振動(dòng)形態(tài)，稱(chēng)一階主振型列陣，對(duì)應(yīng)的圖形稱(chēng)為一階主振型。由描述的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)，稱(chēng)為一階主振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度振動(dòng)系統(tǒng)/無(wú)阻尼自由振動(dòng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》112同樣有二階、三階、…n階主振型和二階、三階、…n階主振動(dòng)。以A(j)的n個(gè)幅值A(chǔ)1(j),A2(j),…,An(j)為元素組成列陣A(j),稱(chēng)為第j階主振型列陣，即n自由度系統(tǒng)，有n個(gè)固有頻率、n個(gè)主振型。多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度振動(dòng)系統(tǒng)/無(wú)阻尼自由振動(dòng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》[例3.6]在下圖所示的三自由度系統(tǒng)中，設(shè)求此系統(tǒng)的固有頻率和主振型。多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度振動(dòng)系統(tǒng)/無(wú)阻尼自由振動(dòng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》114【解】取質(zhì)量塊偏離平衡位置的位移為廣義坐標(biāo)，系統(tǒng)質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K為系統(tǒng)自由振動(dòng)微分方程為令其解為多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度振動(dòng)系統(tǒng)/無(wú)阻尼自由振動(dòng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》115得特征方程為整理有求得多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度振動(dòng)系統(tǒng)/無(wú)阻尼自由振動(dòng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》116將代入（a）中第一、二式，并取，可得再將代入（a）中第一、二式，并取

可得3個(gè)主振型列陣各主振型如圖3.13（b）（c）（d）。（注意節(jié)點(diǎn)概念）多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度振動(dòng)系統(tǒng)/無(wú)阻尼自由振動(dòng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》1172023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》1172023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》1172023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》1172023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》1172023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》117教學(xué)內(nèi)容多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度振動(dòng)系統(tǒng)/主坐標(biāo)與正則坐標(biāo)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》117多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)方程無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)主坐標(biāo)與正則坐標(biāo)無(wú)阻尼系統(tǒng)的多初始條件的響應(yīng)多自由度系統(tǒng)中的阻尼系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)的響應(yīng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》1182.主坐標(biāo)和正則坐標(biāo)（1）主振型的正交性n自由度的系統(tǒng)具有n個(gè)固有頻率及n組主振型

,兩組主振型之間關(guān)系如何？？固有頻率ωi及ωj的主振型A(i)及A(j)滿(mǎn)足：多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度振動(dòng)系統(tǒng)/主坐標(biāo)與正則坐標(biāo)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》119式（3.38）左,（3.39）兩端轉(zhuǎn)置后右乘得（3.40）-（3.41）得當(dāng)有代入（3.40）得多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度振動(dòng)系統(tǒng)/主坐標(biāo)與正則坐標(biāo)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》120表明：不同固有頻率的兩主振型，關(guān)于質(zhì)量陣M正交，也關(guān)于剛度陣正交，統(tǒng)稱(chēng)主振型的正交性。

式（3.38）左乘得因質(zhì)量陣正定，設(shè)

為一正數(shù)，稱(chēng)為第i階主質(zhì)量。對(duì)正定系統(tǒng)，剛度陣K正定，令多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度振動(dòng)系統(tǒng)/主坐標(biāo)與正則坐標(biāo)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》121多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度振動(dòng)系統(tǒng)/主坐標(biāo)與正則坐標(biāo)也為一正數(shù)，稱(chēng)為第i階主剛度。由式（3.44）得即第i階特征值等于第i階主剛度與第i階主質(zhì)量之比。關(guān)于正交性總結(jié)如下：2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》122（2）振型矩陣及正則振型矩陣將各階主振型列陣，依序排成構(gòu)成一個(gè)階矩陣

，稱(chēng)為振型矩陣（模態(tài)矩陣）則

為對(duì)角陣，稱(chēng)為主質(zhì)量陣多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度振動(dòng)系統(tǒng)/主坐標(biāo)與正則坐標(biāo)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》123同樣,

也是對(duì)角陣，稱(chēng)為主剛度陣多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度振動(dòng)系統(tǒng)/主坐標(biāo)與正則坐標(biāo)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》124對(duì)每一階主振動(dòng)，定義滿(mǎn)足下列條件的主振型，用列陣表示，使稱(chēng)為第i階正則振型（振型列陣）。則由正交性有多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度振動(dòng)系統(tǒng)/主坐標(biāo)與正則坐標(biāo)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》125將各階正則振型列陣依次排列，構(gòu)成的振型矩陣，稱(chēng)為正則振型陣（正則模態(tài)陣）。這時(shí)的主質(zhì)量陣、主剛度陣稱(chēng)為正則質(zhì)量矩陣MN，正則剛度陣KN,顯然多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度振動(dòng)系統(tǒng)/主坐標(biāo)與正則坐標(biāo)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》126可見(jiàn)：第i階正則剛度等于第i階固有頻率的平方；多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度振動(dòng)系統(tǒng)/主坐標(biāo)與正則坐標(biāo)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》127【例3.7】由例3.6的結(jié)果，求振型矩陣及與它對(duì)應(yīng)的主質(zhì)量陣、主剛度陣，并求正則振型陣及正則剛度陣?！窘狻坷?.6中已求出各階主振型為振型矩陣為多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度振動(dòng)系統(tǒng)/主坐標(biāo)與正則坐標(biāo)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》128主質(zhì)量矩陣

主剛度矩陣多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度振動(dòng)系統(tǒng)/主坐標(biāo)與正則坐標(biāo)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》129由得各正則振型列陣：

正則振型陣為多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度振動(dòng)系統(tǒng)/主坐標(biāo)與正則坐標(biāo)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》130正則剛度陣

多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度振動(dòng)系統(tǒng)/主坐標(biāo)與正則坐標(biāo)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》（3）主坐標(biāo)和正則坐標(biāo)n自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)方程為通常M、K非對(duì)角矩陣，上式為耦合方程。用振型陣AP

,可使M、K變成對(duì)角形式的主質(zhì)量陣Mp和主剛度陣Kp。用振型矩陣AP，將原坐標(biāo)x變成一組新坐標(biāo)xp

,即定義則有多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度振動(dòng)系統(tǒng)/主坐標(biāo)與正則坐標(biāo)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》132兩邊同左乘ATP,

因主質(zhì)量陣Mp和主剛度陣Kp都是對(duì)角矩陣，則有（3.61）所描述的系統(tǒng)各方程互不耦合。新坐標(biāo)xp稱(chēng)為主坐標(biāo)，（3.59）稱(chēng)為主坐標(biāo)變換式(坐標(biāo)的模態(tài)變換）?？梢?jiàn)，（3.61）中每一方程可單自由度系統(tǒng)的方法求解。

將（3.59）兩邊左乘ATPM得多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度振動(dòng)系統(tǒng)/主坐標(biāo)與正則坐標(biāo)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》133正則振型是一組特定主振型，也可用正則振型陣AN進(jìn)行坐標(biāo)變換，即令坐標(biāo)列陣xN各元素稱(chēng)為正則坐標(biāo)，（3.63）稱(chēng)為正則變換式。得可見(jiàn)，用正則坐標(biāo)描述系統(tǒng)振動(dòng)，可使方程形式更簡(jiǎn)單。根據(jù)式（3.62），正則坐標(biāo)xN的表達(dá)式多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度振動(dòng)系統(tǒng)/主坐標(biāo)與正則坐標(biāo)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》1342023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》1342023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》1342023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》1342023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》1342023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》1342023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》1342023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》134作業(yè)第94頁(yè)3.9第94頁(yè)3.11多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度振動(dòng)系統(tǒng)/主坐標(biāo)與正則坐標(biāo)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》1352023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》1352023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》1352023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》1352023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》1352023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》1352023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》135教學(xué)內(nèi)容多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度振動(dòng)系統(tǒng)/初始條件響應(yīng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》135多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)方程無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)主坐標(biāo)與正則坐標(biāo)無(wú)阻尼系統(tǒng)的對(duì)初始條件的響應(yīng)多自由度系統(tǒng)中的阻尼系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)的響應(yīng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》136

3.無(wú)阻尼系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng)對(duì)n自由度系統(tǒng)，選廣義坐標(biāo)，設(shè)t=0時(shí)，該廣義坐標(biāo)下的位移與速度初值為和。

用振型疊加法求系統(tǒng)對(duì)此初始條件的響應(yīng)。在求出系統(tǒng)固有頻率和主振型、正則振型后，用（3.63）進(jìn)行坐標(biāo)變換，得正則坐標(biāo)表示的自由振動(dòng)方程（3.64）。對(duì)正定系統(tǒng)，由（3.64）得正則坐標(biāo)下的一般解多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度振動(dòng)系統(tǒng)/初始條件響應(yīng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》137正則坐標(biāo)（位移）及正則速度初值計(jì)算如下：由（3.66）計(jì)算出各XNi后，再由得系統(tǒng)響應(yīng)。多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度振動(dòng)系統(tǒng)/初始條件響應(yīng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》138

或可見(jiàn)，系統(tǒng)響應(yīng)是由各階振型按一定比例疊加得到的。多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度振動(dòng)系統(tǒng)/初始條件響應(yīng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》139

【例3.8】在圖3.14的系統(tǒng)中，令初始條件為.求系統(tǒng)的響應(yīng)。【解】系統(tǒng)振動(dòng)方程為多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度振動(dòng)系統(tǒng)/初始條件響應(yīng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》140設(shè)（a）的解為將（b）代入（a），得特征矩陣為多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度振動(dòng)系統(tǒng)/初始條件響應(yīng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》141特征方程為解得相應(yīng)地有將3特征值分別代入（c），并對(duì)第一個(gè)元標(biāo)準(zhǔn)化，即令，得3個(gè)振型列陣為多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度振動(dòng)系統(tǒng)/初始條件響應(yīng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》142

振型陣為主質(zhì)量陣為多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度振動(dòng)系統(tǒng)/初始條件響應(yīng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》143由得各正則振型列陣為正則振型陣為多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度振動(dòng)系統(tǒng)/初始條件響應(yīng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》144正則坐標(biāo)（位移）及正則速度初值為由多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度振動(dòng)系統(tǒng)/初始條件響應(yīng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》145用原坐標(biāo)表示的響應(yīng)為多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度振動(dòng)系統(tǒng)/初始條件響應(yīng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》1462023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》1462023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》1462023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》1462023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》1462023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》1462023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》1462023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》1462023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》146作業(yè)第95頁(yè)3.12多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度振動(dòng)系統(tǒng)/初始條件響應(yīng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》1472023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》1472023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》1472023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》1472023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》1472023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》1472023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》147教學(xué)內(nèi)容多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度振動(dòng)系統(tǒng)/阻尼影響2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》147多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)方程無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)主坐標(biāo)與正則坐標(biāo)無(wú)阻尼系統(tǒng)的多初始條件的響應(yīng)多自由度系統(tǒng)中的阻尼系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)的響應(yīng)2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》148多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度振動(dòng)系統(tǒng)/阻尼影響4.多自由度系統(tǒng)中的阻尼振動(dòng)中，常將阻尼力簡(jiǎn)化為黏性阻尼力，其多自由度系統(tǒng)振動(dòng)方程C是阻尼陣，為正定或半正定對(duì)稱(chēng)陣，P是激勵(lì)力列陣。引入正則坐標(biāo)xN得兩邊左乘ANT得2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》149多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度振動(dòng)系統(tǒng)/阻尼影響式中，PN=ANTP為正則廣義力列陣，CN為正則阻尼陣。（3.72）中，與xN的系數(shù)陣分別是單位陣和對(duì)角陣CN一般不是對(duì)角陣，（3.72）是通過(guò)速度相互耦合的方程。如CN是對(duì)角陣，則（3.72）各式獨(dú)立，求解大為簡(jiǎn)化。在特殊情況下（如小阻尼），可略去CN中非對(duì)角線(xiàn)元或?qū)看作M與K的線(xiàn)性組合，即則2023年6月7日《振動(dòng)力學(xué)》150多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/多自由度振動(dòng)系統(tǒng)/阻尼影響因CN是對(duì)角陣。滿(mǎn)足（3.74）的阻尼稱(chēng)比例阻尼。當(dāng)CN為對(duì)角