統(tǒng)計與概率課件

讓孩子“親近”數(shù)據(jù)

——數(shù)據(jù)分析觀念的培養(yǎng)

王曉陽

統(tǒng)計

統(tǒng)計學是關于收集和分析數(shù)據(jù)的科學和藝術(shù)。《大美百科全書》

數(shù)據(jù)是蘊含信息的，信息是可以提取的，信息是為人們服務的統(tǒng)計在義務教育階段處理的數(shù)據(jù)主要是用數(shù)來表達的，當然這些數(shù)都是有實際背景的。脫離實際問題的單純地數(shù)的研究是數(shù)與代數(shù)的內(nèi)容，不是統(tǒng)計的內(nèi)容。但是，這些年隨著信息的迅速增長，我們需要擴大對數(shù)據(jù)的認識。事實上，現(xiàn)在的數(shù)據(jù)不僅僅是數(shù)，圖是數(shù)據(jù)、語句也是數(shù)據(jù)。只要蘊含著一定信息，無論是什么表現(xiàn)形式，就是數(shù)據(jù)，統(tǒng)計能幫助人們從這些數(shù)據(jù)中提取出大量的信息。（史寧中）

數(shù)據(jù)分析觀念了解在現(xiàn)實生活中有許多問題應當先做調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，通過分析做出判斷，體會數(shù)據(jù)中蘊涵著信息；了解對于同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析的方法，需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法；通過數(shù)據(jù)分析體驗隨機性，一方面對于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同，另一方面只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。數(shù)據(jù)分析是統(tǒng)計的核心。

商店經(jīng)理要合理地安排售貨員的人數(shù)。售貨員過多顯然對商店是浪費，售貨員太少將使一些顧客離去而減少商店收入。安排多少售貨員依賴于顧客的人數(shù)，而顧客的人數(shù)是隨機的，事先無法確定。商店經(jīng)理有辦法嗎？

案例

售貨員的人數(shù)

假定商店經(jīng)理知道任一時刻來到k個顧客的概率p如下：

k01234567>7p0.030.100.140.190.210.190.090.040.01

盡管經(jīng)理無法預料任一時刻顧客的確切人數(shù)。也不排除某一天一個顧客也沒有，而另一天有上百名顧客涌入商店的極端情形。但是知道了上面的表，經(jīng)理就可以知道，安排7個售貨員能以99%的概率使顧客不用等待。安排6個售貨員能以95%的概率使顧客不用等待。安排3個售貨員顧客要等待的概率大于50%等等。這些信息無疑對經(jīng)理安排售貨員的決策起著根本的作用。案例

售貨員的人數(shù)

《標準》在三個階段都提出了相應的要求，這也成為了統(tǒng)計內(nèi)容的首要主線。在第一學段中，提出“經(jīng)歷簡單的數(shù)據(jù)收集和整理過程”；在第二學段中，提出“經(jīng)歷簡單的收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)的過程（可使用計算器）”。一、數(shù)據(jù)分析過程一個案例

新年聯(lián)歡會準備買水果，調(diào)查班級同學最喜歡吃的水果，設計購買方案。[說明]借助學生身邊的例子，體會數(shù)據(jù)調(diào)查、數(shù)據(jù)分析對于決策的作用。此例可以舉一反三。教學中可作如下設計：（1）全班同學討論決定購買方案的原則，可以在限定的金額內(nèi)考慮學生最喜歡吃的一種或幾種水果，或者其他的原則。一個案例

（2）鼓勵學生討論收集數(shù)據(jù)的方法。例如，可以采取填寫調(diào)查表的方法；可以全部提案后，同學輪流在自己同意的盒里放積木的方法等等。必須事先約定，每位同學最多可以同意幾項。（3）收集并表示數(shù)據(jù)，參照事先的約定決定購買水果的方案。要根據(jù)學生討論的實際情況進行靈活處理，購買方案沒有對錯之分，但要符合最初制定的原則。大家喜歡吃的都不一樣，到底買哪種水果呢？請你幫我想想辦法？調(diào)研結(jié)果分析史寧中

小學生知道兩件事情是重要的：第一，制定標準；第二，按照標準做事。中國培養(yǎng)的人，缺乏制定標準的經(jīng)驗，我希望未來的學生開始會制定標準。這個世界最后贏的都是制定標準的。

這里可以有一個反復的過程，對開始制定的標準進行調(diào)整。一學期哪怕有一、兩次，我估計經(jīng)過三年，就能積累經(jīng)驗。

我設想的就是這兩個結(jié)果。數(shù)據(jù)中蘊涵著信息

第一學段：對全班同學的身高進行調(diào)查分析。[說明]學校一般每年都要測量學生的身高，這為學習統(tǒng)計提供了很好的數(shù)據(jù)資源，因此這個問題可以貫穿第一學段和第二學段，根據(jù)不同學段的學生特點，要求可以有所不同。希望學生把每年測量身高的數(shù)據(jù)都保留下來，養(yǎng)成保存資料的習慣。在第一學段，主要讓學生感悟可以從數(shù)據(jù)中得到一些信息。

（1）指導學生將全班同學的身高進行匯總。（2）從匯總后的數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)信息。比如最高（最大值）、最矮（最小值）、相差多少（極差），大部分同學的身高是多少（眾數(shù)）等。在討論過程中，括號中的有些名詞并不需要出現(xiàn)，但是希望學生體會數(shù)據(jù)所代表的意義。數(shù)據(jù)中蘊涵著信息數(shù)據(jù)中蘊涵著信息（第二學段）

在上面的例子中，已經(jīng)引導學生對全班同學的身高的數(shù)據(jù)進行初步分析。在這個學段中，要求學生結(jié)合以前積累的身高數(shù)據(jù)，進行進一步的整理，然后進行分析。整理的目的是為了便于分析，例如，條形統(tǒng)計圖有利于直觀了解不同高度段的學生數(shù)及其差異；扇形統(tǒng)計圖有利于直觀了解不同高度段的學生占全班學生的比例及其差異；折線統(tǒng)計圖有利于直觀了解幾年來學生身高變化的情況，預測未來身高變化趨勢。學生還可以討論用什么數(shù)據(jù)來代表全班同學的身高，自己的身高在全班的什么位置。掌握必要的收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、描述數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù)的方法，無疑是統(tǒng)計課程內(nèi)容的第二條主線。二、數(shù)據(jù)分析方法1.收集數(shù)據(jù)的方法在收集數(shù)據(jù)方面，所涉及的數(shù)據(jù)可能是全體的數(shù)據(jù)（總體數(shù)據(jù)），也可能是通過抽樣獲得的數(shù)據(jù)（抽樣數(shù)據(jù)）。在第一、第二學段中，學生收集的基本都是總體數(shù)據(jù)現(xiàn)成的數(shù)據(jù)；需要自己調(diào)查的數(shù)據(jù)（換乳牙、看電視的時間）。常用的收集數(shù)據(jù)的方法包括：調(diào)查、試驗、測量、查閱資料。1.收集數(shù)據(jù)的方法學生應該對收集數(shù)據(jù)的方法都有比較豐富的體驗?！稑藴省吩诘谝粚W段提出“了解調(diào)查、測量等收集數(shù)據(jù)的簡單方法”；在第二學段提出“會根據(jù)實際問題設計簡單的調(diào)查表，能選擇適當?shù)姆椒ǎㄈ缯{(diào)查、試驗、測量）收集數(shù)據(jù)”“能從報紙雜志、電視等媒體中，有意識地獲得一些數(shù)據(jù)信息”。注意收集數(shù)據(jù)的討論研究表明在計劃如何收集數(shù)據(jù)上花時間是值得的。

美國數(shù)學教師雜志向全美的中小學數(shù)學教師推薦的一節(jié)數(shù)學課為什么有的人跑得快？有的人跑得慢？師：今天我們一起討論一個問題，大家有沒有想過這樣的事情，我們都有跑步的體驗，為什么有的人跑得快，有的人跑得慢？有的學生說：“誰個高誰就跑得快，誰個矮誰跑得慢.”

馬上就有學生提出問題：“老師，不對，我們班×××個子不高，但他跑得很快.”

隨后學生又提出問題：“我們班有兩個學生，他們的個子一般高，結(jié)果一個人跑得快，一個人跑得慢.”

案例

●過程二：用100米跑的步數(shù)m1，…m6與時間t1，…t6的比可以算出每個人的步頻.

步頻，每個人1秒鐘跨了多少步.如果跨了150步，總共用9秒8，兩數(shù)一除，我就知道1秒鐘跨了多少步.有了步數(shù)，有了時間就可以算出步頻.

于是有的學生猜測步頻越大，跑得越快，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，總體的狀況是這樣，步頻比較高的人，他跑的成績是比較好的.

一個人跑得快，都受哪些因素影響呢？是由2個因素影響的，步距與步頻.這就是美國小學六年級討論的問題.實際問題中收集數(shù)據(jù)的有趣案例

對種群的估計對敏感性問題的調(diào)查2.整理、描述、分析數(shù)據(jù)的方法在第一學段，學生將學習分類的方法，分類是整理數(shù)據(jù)和描述數(shù)據(jù)的開始。在此基礎上，能用自己的方式（文字、圖畫、表格等）呈現(xiàn)整理數(shù)據(jù)的結(jié)果，而不學習正式的統(tǒng)計圖表或統(tǒng)計量。有研究表明，早期經(jīng)驗的多樣化，有助于兒童建立進一步學習的經(jīng)驗和興趣。分組全班同學的身高情況單位：厘米第1小組116128124135128141第2小組129130134127134138第3小組138142119123127146第4小組119137136138150152第5小組125120131143135148第6小組138132147139148139“點線”圖

2.整理、描述、分析數(shù)據(jù)的方法在第二學段，學生將學習條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖等常見的統(tǒng)計圖，并且能用它們直觀、有效地表示數(shù)據(jù)。第二學段還將學習一個重要的刻畫數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計量——平均數(shù)。案例：從下圖中，你能獲取哪些信息？一、五年級學生的情況有什么不同？能嘗試解釋原因嗎？一年級、五年級學生睡眠情況統(tǒng)計圖張思明、史寧中的看法張：最大的差別；差別的原因和合理性；指標有問題，能否合并；人均睡眠時間也許更好史：目標；變化趨勢；注意到人數(shù)不同；經(jīng)驗的積累三個水平Curcio(1987)把學生對數(shù)據(jù)的讀取分為三個水平：（1）數(shù)據(jù)本身的讀取（readingthedata），包括用能夠得到的信息來回答具體的問題，這些問題圖表中有明顯的答案。(2)數(shù)據(jù)之間的讀取（readingbetweenthedata）。這包括做比較(例如比較好、最好，最高、最小等)和對數(shù)據(jù)進行操作(例如加減乘除)。(3)超越數(shù)據(jù)本身的讀取（readingbeyondthedata），包括通過數(shù)據(jù)來進行推斷預測推理，并回答具體的問題。讀圖的建議要讀統(tǒng)計圖中能看見到或推理能得到的信息。包括：統(tǒng)計圖的名字和圖標，單個數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)的比較（多少、倍數(shù)、百分比等），數(shù)據(jù)的整體變化（最大、最小、平均情況、變化情況、偏差、極端數(shù)據(jù)）。

讀圖的建議統(tǒng)計數(shù)據(jù)能否回答開始提出的問題，能否解決其他問題，能否進行預測，思考為什么數(shù)據(jù)會呈現(xiàn)這種情況等。小婷身高統(tǒng)計圖小婷身高統(tǒng)計圖北京城市女生身高生長情況統(tǒng)計北京城市女生身高生長情況統(tǒng)計讀圖的建議更進一步的層次，就是評價的意識。不僅要去閱讀圖，還要對統(tǒng)計圖中的指標、收集數(shù)據(jù)的方法、統(tǒng)計圖使用的是否合理、得出的結(jié)論是否有道理等進行一些評價。

某工廠有5個股東，100個工人。工人的工資總額與工廠的股東總利潤見下：

年度工人工資總額股東總利潤1990年10萬元5萬元1991年12.5萬元7.5萬元1992年15萬元10萬元該工廠老板根據(jù)表中數(shù)據(jù)，作出了右圖，并聲稱股東和工人“有福共享、有難同當”，你如何看待他的說法？

案例

“有福同享,有難同當”嗎?案例

“有福同享,有難同當”嗎?統(tǒng)計量

最多、最少平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)極差、方差、標準差……

平均數(shù)的三個角度：算法理解、概念理解、統(tǒng)計理解。注重平均數(shù)的理解概念理解平均數(shù)介於最小值和最大值之間。資料與平均數(shù)之間的差，其和為零。平均數(shù)易受平均以外的資料的影響。平均數(shù)未必是資料中的一個值。平均數(shù)可能是非整數(shù)且無實物可以對照。計算平均數(shù)時不可刪去零值的資料。平均數(shù)代表被平均的所有資料。平均數(shù)意義及價值的學習

案例：北京大學附屬實驗小學王杰平均數(shù)案例1．利用節(jié)約用水信息深入理解平均數(shù)的意義。師：我這也有條信息，我們一起看看。（1）出示：節(jié)約用水圖。師：為什么要節(jié)約用水？（根據(jù)學生回答評價學生的節(jié)能意識）那我們來看看我們國家的淡水情況。（2）出示：我國淡水資源總量為28000億立方米，僅次于巴西、俄羅斯和加拿大，居世界第四位。師：找一名同學讀一讀?？吹竭@條信息你有什么感覺？（學生可能產(chǎn)生疑問：水并不少，世界100多個國家，我們排第四名。）平均數(shù)案例（3）我們再來看看下面這條信息。出示：我國人均水資源只有2300立方米，在世界上名列第121位，是全球人均水資源最貧乏的國家之一。師：請大家靜靜的讀一讀這條信息，你發(fā)現(xiàn)了什么？（這里想讓學生通過名次下降或貧乏再次提起對平均數(shù)的理解?！柏毞Α边@個詞是什么意思？有那么多水，怎么用貧乏來形容我們國家了呢？）總結(jié)：言之有理，看來同學們對平均數(shù)的理解越來越深刻了，光比總量是不行的，還要看我們的人均水資源。好，那對于我們國家來說，就更應該去節(jié)約用水了。平均數(shù)案例2.出示：兒童乘車免票線“長個”了的標題。師：你知道什么叫“兒童乘車免票線”嗎？沒錯，就是這條線，我們來看看（圖略）。經(jīng)過市發(fā)改委與相關部門研究決定，將北京市六歲以下兒童1.1米乘車免票線提高到了1.2米。師：為什么要提高？（學生自然會想到：孩子們都長高了。）師：我們怎么去確定這個標準的呢？（學生可能會回答：我們可以調(diào)查一下。）平均數(shù)案例2師：調(diào)查誰？如果數(shù)據(jù)來了，有高的、有矮的，如何處理？（這里要明確調(diào)查六歲兒童的身高，滲透抽樣調(diào)查的想法。學生結(jié)合平均數(shù)的理解，回答調(diào)查完了可以計算平均數(shù)。）師：總結(jié)：我們同學真了不起，既能準確理解平均數(shù)的意義，又能想到可操作的辦法。那我們一起看看實際是怎樣做的。據(jù)統(tǒng)計，目前我市6歲男童身高的平均值為119.3厘米，女童身高平均值為118.7厘米。和你們想的一樣，市發(fā)改委就是參照了我市6歲兒童的平均身高，才確定了免票線的高度?？磥恚@平均數(shù)的作用真是不小，連確定免票線的高度都可以參照它。平均數(shù)案例3.那你們能利用平均數(shù)幫我解決判斷一件事情嗎？出示據(jù)統(tǒng)計，周一至周五晚高峰時，平均每小時需要通過1號橋的車輛為1756輛，需要通過2號橋的車輛965輛（兩個橋的寬度等條件差不多）。王老師回家這兩條路都可以，并且駕車路程差不多你們覺得我走哪好？那我走那一定快嗎？為什么？（學生建議教師走2號橋，但偶爾也不一定快）總結(jié)：同學們理解得很好，平均數(shù)可以用來作參考，但是它反映的只是一般情況，并不能反映出某種特殊情況。平均數(shù)與中位數(shù)、眾數(shù)的關系

我們現(xiàn)在處理的數(shù)據(jù)，大部分是對稱的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)符合或者近似符合正態(tài)分布。這時候，均值（平均數(shù)）、中位數(shù)和眾數(shù)是一樣的。

小學階段不要求中位數(shù)、眾數(shù)

平均數(shù)與中位數(shù)、眾數(shù)的關系

只有在數(shù)據(jù)分布偏態(tài)（不對稱）的情況下，才會出現(xiàn)均值、中位數(shù)和眾數(shù)的區(qū)別。所以說，如果是正態(tài)的話，用哪個統(tǒng)計量都行。如果偏態(tài)的情況特別嚴重的話，可以用中位數(shù)。一個例子11名男同學100米跑的成績?nèi)缦拢?3秒217秒13秒515秒812秒17秒116秒715秒617秒16秒616秒7。學生能計算出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是：15秒6；這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是：16秒6。在此基礎上讓學生利用數(shù)據(jù)分析如下問題：

（1）如果選擇參加一項比賽，希望有一半的男同學可以參加，選擇哪個成績作為標準？

（2）如果希望確定一個較高的標準，選擇哪個成績作為標準？

（3）如果需要確定一個標準，你如何確定？為什么？2.整理、描述、分析數(shù)據(jù)的方法教學中應鼓勵學生運用所學習的方法，盡可能多地從數(shù)據(jù)中提取有用的數(shù)據(jù)，并且能夠根據(jù)問題的背景選擇合適的方法，而不是單純地名詞、計算方法等的掌握。需要我們根據(jù)問題的背景選擇合適的統(tǒng)計圖?？傊?，“統(tǒng)計學對結(jié)果的判斷標準是‘好壞’”，而不是“對錯”。

三、數(shù)據(jù)的隨機性數(shù)據(jù)的隨機主要有兩層涵義：一方面對于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能會是不同的；另一方面只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。兩個案例：摸球、上學時間三、數(shù)據(jù)的隨機性

概率也是研究隨機現(xiàn)象的，那么為什么又提出數(shù)據(jù)的隨機性呢？

實際上，統(tǒng)計與概率都是研究隨機現(xiàn)象的學科。統(tǒng)計與概率正是從不同的角度研究如何刻畫隨機現(xiàn)象，統(tǒng)計側(cè)重于從數(shù)據(jù)來刻畫隨機，概率側(cè)重于建立理論模型來刻畫隨機

。鼓勵學生運用數(shù)據(jù)來體會隨機，更能體會隨機的特點。史校長的采訪

我并不是反對前一種教法本身，而是說如果這么教，蘊含的隨機思想并不強，學生也不感興趣，都知道了概率為什么還要做實驗。而后來的這種教法，學生體會到每一次摸的結(jié)果事先都不知道，但是摸多了能夠幫助我們做一些判斷。這樣一來，學生既體會了隨機，又感受到了數(shù)據(jù)中蘊含著信息，我想這種類似于“猜謎”的活動學生也會很有興趣”。三、數(shù)據(jù)的隨機性

實際上這種“猜謎”絕不是“瞎猜”，在《標準》案例40的說明中給出了這種推斷背后的科學依據(jù)，也就是雖然不能保證估計得完全一致，但能保證在一定實驗次數(shù)下，估計值與實際情況相差不大的可能性是很大的。

實際上，如果袋中裝有4個紅球和1個白球，可以知道摸到紅球的概率為4/5（也就是8/10）。通過計算可以得到：保證有80%以上的可能使得“摸到紅球的頻率在7/10到9/10之間”，需要摸27次以上；保證有95%以上的可能使得“摸到紅球的頻率在7/10到9/10之間”，需要摸60次以上。

習慣于從統(tǒng)計規(guī)律看問題的人在思想上不拘執(zhí)一端：他既認識到一種事物從總的方面看有一定的規(guī)律，也承認例外。

——陳希孺“摸球”活動的總結(jié)第一類：驗證類（淡化）第二類：體會隨機類第三類：體會推斷類第四類：運用頻率估計概率類第五類：體會頻率與概率的關系類驗證類(淡化)老師拿出一個盒子，盒子里有9個白球、1個黃球。如果從中任意摸出1個球，可能是什么顏色的球?摸到白球的可能性有多大，黃球呢？(學生略做思考后交流。)

生1：可能摸到白球，也可能是黃球。生2：摸到白球的可能性是9/10，因為有10個球，其中9個是白球。（大家都表示同意）師:好，下面就請你們分小組摸球，記錄摸球的結(jié)果，驗證一下大家的想法。體會隨機類

組織小組活動：盒子里有3個黃球、3個白球。每次摸出1個，摸之前先猜猜你會摸到什么顏色的球?每次你都猜對了么?

活動結(jié)束時，老師詢問:有沒有每次都猜對的同學?(全班只有2人舉手。)

師:為什么我們那么多的同學都沒有猜對呢?(此時，兩個猜對的同學急于向大家介紹方法。)

體會隨機類

生1:黃球和白球摸在手里的感覺不一樣!

師:(饒有興趣地)真的嗎?讓我們見識一下!

生1:(摸出一球，沒看前猜測)黃色!(拿出后是白色，生1低頭坐了下去。)

師:怎么不試了?

生1：沒有信心了。

師:怎么就沒有信心了?

生1:摸在手里分辨不出來.體會隨機類生2:我發(fā)現(xiàn)了，如果第一次摸出來的是黃球，第二次就猜是白球，是交錯出現(xiàn)的。師:你剛才就是這樣猜的，結(jié)果都對了嗎?

生2連連點頭。師(半信半疑地)：還有這個規(guī)律?摸1個!(生2摸出1個白球，放回。)

生2:第二次一定是黃球。(第二次生2果真摸出一個黃球。)體會隨機類師：看來，下次……生2:第三次該是白球了!(第三次生2摸出個黃球。)師:這個規(guī)律還成立么?學生們直搖頭。師：通過剛才的摸球游戲，你發(fā)現(xiàn)了什么?生:盒子里又有黃球又有白球，摸出一個球，可能是黃球，也可能是白球.問題——試驗——數(shù)據(jù)——推斷。兩種骰子，一個均勻，一個不均勻，怎么辦？體會推斷袋子里有除顏色外完全相同的黃色球和藍色球，共10個。不打開，能否有辦法知道袋子里哪種顏色的球多，各有多少個。師：摸幾次？生：10次？師：能不能多些？生：20次。體會推斷運用頻率估計概率類父親和兒子決定誰去看奧運會男籃決賽。但是，與過去教學不同，使用決定是否去的工具并不是硬幣，而是啤酒瓶蓋。爸爸，我們拋啤酒瓶蓋吧。如果正面朝上就我去，如果反面朝上就您去。（學生紛紛舉手表示認可。）生：我認為是公平的，因為兒子的機遇是二分之一，爸爸的機遇也是二分之一。做實驗估計概率

案例:蒙特卡羅方法頻率與概率的關系

模擬試驗學生在第一學段中將不再學習概率，主要理由是在基礎教育階段統(tǒng)計的重要性是大于概率的，發(fā)展學生的數(shù)據(jù)分析觀念是這部分內(nèi)容的核心。即使對于隨機的學習，如前所述，《標準》中也提出運用數(shù)據(jù)分析來體會隨機性。四、隨機現(xiàn)象及簡單隨機事件發(fā)生的概率從