高中數(shù)學(xué)選修231離散型隨機(jī)變量均值人教版課件

2.3.1離散型隨機(jī)變量的均值

引入：某商場為滿足市場需求要將單價分別為18元/kg，24元/kg，36元/kg

的3種糖果按3：2：1的比例混合銷售，其中混合糖果中每一顆糖果的質(zhì)量都相等，如何對混合糖果定價才合理？定價為可以嗎？(如果混合糖果中的每一顆質(zhì)量都相等,你能解釋權(quán)數(shù)的實際意義嗎?)從混合糖果中任取一顆,它單價分別為18元/kg,24元/kg,36元/kg的概率分別是用X表示糖果價格,則它是一個離散型隨機(jī)變量,其分布列為:X182436P

問題1.某商場要將單價為18元/kg,24元/kg,36元/kg的3種糖果按3:2:1的比例混合銷售,如何對混合糖果定價才合理?權(quán)數(shù)恰好就是概率x182436p1/21/31/618×1/2+24×1/3+36×1/6=23=18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36)如果你買了1kg這種混合糖果，你要付多少錢？

而你買的糖果的實際價值剛好是23元嗎？

樣本平均值權(quán)數(shù)加權(quán)平均

則稱為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望,數(shù)學(xué)期望又簡稱為期望。

X……P……一般地,若離散型隨機(jī)變量X的概率分布為它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平。1、離散型隨機(jī)變量均值的定義平均水平：反復(fù)隊這個隨機(jī)變量進(jìn)行獨立觀測，隨著觀測次數(shù)的增加，所得到的各個觀測值的算術(shù)平均值越來越接近于這個隨機(jī)變量的均值歸納求離散型隨機(jī)變量的均值(期望)的步驟：①、確定離散型隨機(jī)變量可能的取值。②、寫出分布列，并檢查分布列的正確與否。③、求出均值(期望)。例1、隨機(jī)拋擲一個均勻的骰子，求所得骰子的點數(shù)X的均值X123456P1/61/61/61/61/61/6解：隨機(jī)變量X的取值為1，2，3，4，5，6其分布列為所以隨機(jī)變量X的均值為E（X）=1×1/6+2×1/6+3×1/6+4×1/6+5×1/6+6×1/6=3.5你能理解3.5的含義嗎？變式：將所得點數(shù)的2倍加1作為得分?jǐn)?shù)，即Y=2X+1，試求Y的均值？X

1

23

4

5

6P1/61/61/61/61/61/6解：隨機(jī)變量Y的取值為3，5，7，9，11，13其分布列為所以隨機(jī)變量Y的均值為E（Y）=3×1/6+5×1/6+7×1/6+9×1/6+11×1/6+13×1/6=8=2E（X）+1Y35791113變式：將所得點數(shù)的2倍加1作為得分?jǐn)?shù)，即Y=2X+1，試求Y的均值？設(shè)X為離散型隨機(jī)變量，若Y=aX+b,其中a,b為常數(shù)，則Y也是離散型隨機(jī)變量且E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b2、隨機(jī)變量的期望值（均值）的線性性質(zhì)······························特別地：E(c)=c(其中c為常數(shù))1、隨機(jī)變量ξ的分布列是ξ135P0.50.30.2(1)則Eξ=.

2、隨機(jī)變量ξ的分布列是2.4(2)若η=2ξ+1，則Eη=.

5.8ξ47910P0.3ab0.2Eξ=7.5,則a=

b=

.0.40.1練習(xí)：解:ξ的分布列為所以Eξ＝0×P(ξ＝0)＋1×P(ξ＝1)＝0×0.15＋1×0.85＝0.85．例2、籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分．已知姚明目前罰球命中的概率為0.85，求他罰球1次的得分ξ的均值？ξ01P0.150.853、幾個特殊分布的期望1-PPP1-PP結(jié)論1：兩點分布的期望：若X～B（1，p），則EX=p

求證：若ξ~B(n，p)，則Eξ=np∴Eξ=0×Cn0p0qn+1×Cn1p1qn-1+2×Cn2p2qn-2+

…+k×Cnkpkqn-k+…+n×Cnnpnq0∵P(ξ=k)=Cnkpkqn-k證明：=np(Cn-10p0qn-1+Cn-11p1qn-2+…+

Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1)+…+Cn-1n-1pn-1q0)ξ0

1

…k

…nPCn0p0qnCn1p1qn-1…Cnkpkqn-k…Cnnpnq0(∵kCnk=n

Cn-1k-1)=np(p+q)n-1=np由題ξ～B(10，0.85),則Eξ=10×0.85=8.5例3：籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分．已知姚明目前罰球命中的概率為0.85，求他罰球10次時進(jìn)球個數(shù)ξ的均值？結(jié)論2：二項分布的期望：若ξ~B(n，p)，則Eξ=np變式1：罰球10次的得分ξ的均值？變式2：若罰球命中得2分，罰不中得0分，罰球10次的得分X的均值？由題ξ～B(10，0.85),則Eξ=10×0.85=8.5變式3：若罰球命中得3分，罰不中得-1分，罰球10次的得分Y的均值？練習(xí)：一個袋子里裝有大小相同的3個紅球和2個黃球，從中有放回地取5次，則取到紅球次數(shù)的數(shù)學(xué)期望是

.3例3、一次英語單元測驗由20個選擇題構(gòu)成，每個選擇題有4個選項，其中有且僅有一個選項是正確答案，每題選擇正確答案得5分，不作出選擇或選錯不得分，滿分100分。學(xué)生甲選對任一題的概率為0.9，學(xué)生乙則在測驗中對每題都從4個選項中隨機(jī)地選擇一個。求學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次英語單元測驗中的成績的均值。

解：

設(shè)學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次英語測驗中選擇了正確答案的選擇題個數(shù)分別是ξ和η，則ξ～B(20，0.9)，

η～B(20，0.25)，Eξ＝20×0.9＝18，Eη＝20×0.25＝5．由于答對每題得5分，學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次英語測驗中的成績分別是5ξ和5η。所以，他們在測驗中的成績的均值分別是E(5ξ)＝5Eξ＝5×18＝90，E(5η)＝5Eη＝5×5＝25．例4：根據(jù)氣象預(yù)報,某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25,有大洪水的概率為0.01.該地區(qū)某工地上有一臺大型設(shè)備,遇到大洪水時損失60000元,遇到小洪水損失10000元.為保護(hù)設(shè)備,有以下3種方案:

方案1:運走設(shè)備,搬運費為3800元;

方案2:建保護(hù)圍墻,建設(shè)費為2000元,

但圍墻只能防小洪水;

方案3:不采取任何措施,希望不發(fā)生洪水.

試比較哪一種方案好?例5、袋中有4個紅球,3個黑球,從袋中隨機(jī)取球,每取到1個紅球得2分,取到一個黑球得1分.(1)今從袋中隨機(jī)取4個球,求得分ξ的概率分布與期望.(2)今從袋中每次摸1個球,看清顏色后放回再摸1個球,求連續(xù)4次的得分η的期望.練習(xí)：某商場的促銷決策：

統(tǒng)計資料表明，每年國慶節(jié)商場內(nèi)促銷活動可獲利2萬元；商場外促銷活動如不遇下雨可獲利10萬元；如遇下雨則損失4萬元。9月30日氣象預(yù)報國慶節(jié)下雨的概率為40%，商場應(yīng)選擇哪種促銷方式？作業(yè)：P68A