點(diǎn)直線平面的投影課件

面點(diǎn)、直線、平面是構(gòu)成形體的基本幾何元素BCDA線3·1點(diǎn)的投影點(diǎn)3.1.1點(diǎn)的三面投影P采用多面投影。3.1.1點(diǎn)的三面投影過(guò)空間點(diǎn)A的投射線與投影面P的交點(diǎn)即為點(diǎn)A在P面上的投影。aA點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影不能確定點(diǎn)的空間位置。PbBB2B1解決辦法HWV投影面與投影軸OV面與H面的交線—OX軸V面與W面的交線—OZ軸H面與W面的交線—OY軸3.1.1點(diǎn)的三面的投影YXZΑ—空間點(diǎn)A；a—點(diǎn)A的水平(H)投影;a′—點(diǎn)A的正面(V)投影;a″—點(diǎn)A的側(cè)面(W)投影。3.1.1點(diǎn)的三面投影空間點(diǎn)的位置和直角坐標(biāo)空間點(diǎn)的位置，可由直角坐標(biāo)值來(lái)確定，一般采用下列的書(shū)寫(xiě)形式：A(x,y,z)。

點(diǎn)到各投影面的距離，為相應(yīng)的坐標(biāo)數(shù)值X，Y，Z

。W投影面展開(kāi)XVAYOWZaaYaZaXa″a′VHYWH面向下旋轉(zhuǎn)90°HW面向右旋轉(zhuǎn)90°OXZYHaxazaayayaa″V面不動(dòng)

aa⊥OX軸;

aa⊥OZ軸;

a到OX軸的距離=a到OZ軸的距離Aa′=aax=a

az=ay0=yA——A點(diǎn)到V面的距離

Aa=aax=a

ay=az0=zA——A點(diǎn)到H面的距離

Aa″=aay=a

az=ax0=xA——A點(diǎn)到W面的距離

點(diǎn)的三面投影規(guī)律:XVYOWZaaYaZaXa″a′HZAYAXAA例1:已知A點(diǎn)的坐標(biāo)值A(chǔ)(12，10，15)，求作A點(diǎn)的三面投影圖。

作投影軸；

量取：Oax=12、Oaz=15、OaYH=OaYW=10,得ax、az、OaYH、OaYW等點(diǎn)；步驟:aa''a'OXYWHYZaZ15YWaYHa10aX12過(guò)ax、az、aYH、aYW等點(diǎn)分別作所在軸的垂線，交點(diǎn)a、a′、a″既為所求。●●aaax例2：已知點(diǎn)的兩個(gè)投影，求第三投影?！馻●●aaaxazaz解法一:解法二:a●通過(guò)作45°線使aaz=aax用圓規(guī)直接量取aaz=aax3.1.2點(diǎn)的空間位置1.在空間（X，Y，Z）點(diǎn)在投影體系中有四種位置情況：3.1.2點(diǎn)的空間位置XVYOWZH由于X，Y，Z均不為零，對(duì)三個(gè)投影面都有一定距離，所以點(diǎn)的三個(gè)投影都不在軸上。aZa″a′aYaXaA3.1.2點(diǎn)的空間位置由于點(diǎn)在投影面上，點(diǎn)對(duì)該投影面的距離為零。所以，點(diǎn)在該投影面上的投影與空間點(diǎn)重合，另兩投影在該投影面的兩根投影軸上。2.在投影面上：在H面上（X，Y，0）XVYOWZH在V面上（X，0，Z）在W面上（0，Y，Z）bBCdb″C″d″Db′d′C′C3.1.3點(diǎn)的相對(duì)位置3.1.3兩點(diǎn)的相對(duì)位置兩點(diǎn)的相對(duì)位置指兩點(diǎn)在空間的上下、前后、左右位置關(guān)系。

x坐標(biāo)大的在左；

y坐標(biāo)大的在前；

z坐標(biāo)大的在上。判斷方法：B點(diǎn)在A點(diǎn)的左、下、前方。上下后左右前當(dāng)空間兩點(diǎn)到兩個(gè)投影面的距離都分別對(duì)應(yīng)相等時(shí)，該兩點(diǎn)處于同一投射線上，它們?cè)谠撏渡渚€所垂直的投影面上的投影重合在一起，這兩點(diǎn)稱(chēng)為對(duì)該投影面的重影點(diǎn)。兩點(diǎn)重影重影點(diǎn)需要判斷其可見(jiàn)性，將不可見(jiàn)點(diǎn)的投影用括號(hào)括起來(lái)，以示區(qū)別。

兩點(diǎn)重影()H面重影，被擋住的投影加()3.2直線的投影

兩點(diǎn)確定一條直線，將兩點(diǎn)的同面投影用直線連接，就得到直線的投影。直線平行于投影面投影反映線段實(shí)長(zhǎng)

ab=AB真實(shí)性直線垂直于投影面投影重合為一點(diǎn)ab=0積聚性a≡b≡mBAM●●●●直線傾斜于投影面投影比空間線段短

ab＜AB

類(lèi)似性3.2直線的投影3.2.1各種位置直線的投影特征AB●●abα●●abAB●●●●直線中的投影特性投影面平行線平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜投影面垂直線正平線（平行于Ｖ面）側(cè)平線（平行于Ｗ面）水平線（平行于Ｈ面）正垂線（垂直于Ｖ面）側(cè)垂線（垂直于Ｗ面）鉛垂線（垂直于Ｈ面）一般位置直線與三個(gè)投影面都傾斜的直線統(tǒng)稱(chēng)特殊位置直線垂直于某一投影面直線在三個(gè)投影面中的投影特性投影特性：

三個(gè)投影都縮短了。即:都不反映空間線段的實(shí)長(zhǎng)及與三個(gè)投影面夾角，且與三根投影軸都傾斜。(1)一般位置直線(2)投影面平行線投影特性：1.水平線的H面投影反映線段實(shí)長(zhǎng)。即：ab=AB;水平線的V、W面投影分別平行于H面的兩根軸。即a′b′∥ox軸，a″b″∥OYW軸；3.水平線的H面投影與OX軸夾角反映該直線對(duì)V面的傾角β；與OYH軸的夾角，反映該直線對(duì)W面的傾角γ。水平線的投影特征：對(duì)正平線和側(cè)平線作分析，可得出類(lèi)似的投影特征。baababbaabba投影面平行線1.在其平行的那個(gè)投影面上的投影反映實(shí)長(zhǎng)，并反映直線與另兩投影面傾角。2.另兩個(gè)投影面上的投影平行于相應(yīng)的投影軸。水平線側(cè)平線正平線γ投影特性：與H面的夾角:α與V面的角:β與W面的夾角:γ實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng)βγααβbaaabb(3)投影面垂直線投影特性：H面投影積聚成一點(diǎn)；V、W面投影反映實(shí)長(zhǎng)，即a′b′=a″b″=AB；V、W面投影，分別垂直于H面的兩面根軸，即：a′b′⊥ox軸a″b″⊥oz軸。對(duì)正垂線和側(cè)垂線作分析，可得出類(lèi)似的投影特征。鉛垂線投影特征:投影面垂直線鉛垂線正垂線側(cè)垂線2.另外兩個(gè)投影面上，投影反映線段實(shí)長(zhǎng)。且垂直于相應(yīng)的投影軸。1.在其垂直的投影面上，投影有積聚性。投影特性:●c(d)cddc●aba(b)ab●efefe(f)積聚為點(diǎn)積聚為點(diǎn)積聚為點(diǎn)例1：判斷下列直線的空間位置d′C′dddCAB為水平線CD為側(cè)平線3.2.2直線與點(diǎn)的相對(duì)位置

若點(diǎn)在直線上,則點(diǎn)的投影必在直線的同面投影上。即具有從屬性。若點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)將線段的同面投影分割成與空間直線相同的比例。即具有定比性：AC/CB=ac/cb=ac/cb

若點(diǎn)的投影有一個(gè)不在直線的同名投影上，則該點(diǎn)必不在此直線上。判別方法：ABVH3.2.2直線與點(diǎn)的相對(duì)位置Cbcacbaee在不在C點(diǎn)直線AB上D點(diǎn)直線AB上D例2：判斷點(diǎn)K是否在線段AB上。ab●k因k不在a

b上，故點(diǎn)K不在AB上。應(yīng)用定比定理abkabk●●另一判斷法是因ak:kb≠ak:kb

故點(diǎn)K不在AB上。⒈兩直線平行投影特性：空間兩直線平行，則其各同面投影必相互平行，反之亦然。3.2.3兩直線的相對(duì)位置空間兩直線的相對(duì)位置分為：平行、相交、交叉。abcdabcd例1：判斷圖中兩條直線是否平行。對(duì)于一般位置直線，只要有兩個(gè)同名投影互相平行，空間兩直線就平行。結(jié)論：AB//CD①Xcbaddbacbdca

對(duì)于投影面平行線，只有兩個(gè)同面投影互相平行，空間直線不一定平行。若用兩個(gè)投影判斷，其中應(yīng)包括反映實(shí)長(zhǎng)的投影。結(jié)論:AB與CD不平行例2：判斷圖中兩條直線是否平行。②求出側(cè)面投影如何判斷HVXABCDabcdabcdabcdbacd2.兩直線相交判別方法：若空間兩直線相交，則其同名投影必相交，且交點(diǎn)的投影必符合空間一點(diǎn)的投影規(guī)律。kk交點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn)kkK●●cabbacdkkd例3：過(guò)C點(diǎn)作水平線CD與AB相交。先作正面投影12●●dbaabcdc1(2

)3(4)3.兩直線交叉

同名投影可能相交，但“交點(diǎn)”不符合空間一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律。

“交點(diǎn)”是兩直線上的一對(duì)重影點(diǎn)的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置?！瘛瘼瘛ⅱ蚴牵置娴闹赜包c(diǎn)，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影點(diǎn)。3

4●●AB與CD兩直線相交嗎投影特性：結(jié)論：AB與CD兩直線不相交兩直線垂直相交（或垂直交叉）直角的投影特性：

若直角有一邊平行于投影面，則它在該投影面上的投影仍為直角。設(shè)直角邊BC//H面因BC⊥AB,同時(shí)BC⊥Bb所以BC⊥ABba平面結(jié)論:直線在H面上的投影互相垂直即∠abc為直角因此bc⊥ab故bc⊥ABba平面又因BC∥bcABCabcHacbabc.證明：dabcabc●●d例4：過(guò)C點(diǎn)作直線與AB垂直相交。.AB為正平線,正面投影反映直角。s●a●b●a●b●s●a●b●3.3.1平面的表示法●a●a●b●b●s●s不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)直線及線外一點(diǎn)兩平行直線兩相交直線平面圖形3.3平面的投影3.3.1平面的表示法s●a●b●s●a●b●●a●a●b●b●s●sc●d●●a●a●b●b●s●s●a●a●b●bc●●c●d●d●a●a●b●b●s●s3.3.2各種位置平面的投影特性平行垂直傾斜投影特性

平面平行投影面-----投影就把實(shí)形現(xiàn)

平面垂直投影面-----投影積聚成直線

平面傾斜投影面-----投影類(lèi)似原平面實(shí)形性類(lèi)似性積聚性平面對(duì)一個(gè)投影面的投影特性3.3.2各種位置平面的投影特性平面在三投影面體系中的投影特性平面對(duì)于三投影面的位置可分為三類(lèi)：投影面垂直面投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，傾斜于另兩個(gè)投影面平行于某一投影面，垂直于另兩個(gè)投影面與三個(gè)投影面都傾斜正垂面?zhèn)却姑驺U垂面正平面?zhèn)绕矫嫠矫嫱队懊娲怪泵鍭BC為什么位置的平面abcacbcba⒈投影面垂直面鉛垂面投影特性：在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。另外兩個(gè)投影面上的投影有類(lèi)似性。為什么？γβ類(lèi)似性類(lèi)似性積聚性投影面平行面abcabcabc2.投影面平行面積聚性積聚性實(shí)形性結(jié)論：水平面投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映實(shí)形。另兩個(gè)投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行的直線。一般位置平面abcacbabc⒊一般位置平面三個(gè)投影都類(lèi)似。投影特性：4.3.3平面上的直線和點(diǎn)判斷直線在平面內(nèi)的方法

定理一若一直線過(guò)平面上的兩點(diǎn)，則此直線必在該平面內(nèi)。定理二若一直線過(guò)平面上的一點(diǎn)，且平行于該平面上的另一直線，則此直線在該平面內(nèi)。

平面上取任意直線3.3.3平面上的直線和點(diǎn)有無(wú)數(shù)解。abcbcaabcbcadmnnmd例1：已知平面由直線AB、AC所確定，試在平面內(nèi)任作一條直線。解法一：解法二：根據(jù)定理一有多少解根據(jù)定理二例2：在平面ABC內(nèi)作一條水平線，使其到

H面的距離為10mm。nmnm10cabcab

唯一解！有多少解平面上取點(diǎn)先找出過(guò)此點(diǎn)而又在平面內(nèi)的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點(diǎn)的位置。例1：已知K點(diǎn)在平面ABC上，求K點(diǎn)的水平投影。b①accakb●k●面上取點(diǎn)的方法：首先面上取線②●abcabkcdk●d利用平面的積聚性求解通過(guò)在面內(nèi)作輔助線求解bckadadbcadadbckbc例3：已知AC為正平線，補(bǔ)全平行四邊形

ABCD的水平投影。解法一解法二

分析已給條件的空間情況，弄清原始條件中物體與投影面的相對(duì)位置，并把這些條件抽象成幾何元素（點(diǎn)、線、面等）。根據(jù)要求得到的結(jié)果，確定出有關(guān)幾何元素處于什么樣的特殊位置（垂直或平行），據(jù)此選擇正確的解題思路與方法。本章學(xué)習(xí)難度較大，建議多做練習(xí)，多進(jìn)行空間分析和想像，以培養(yǎng)空間思維能力。解題方法：解題方法：本章小結(jié)

點(diǎn)、直線平面是構(gòu)成形體的基本幾何元素，研究它們的投影是為了正確表達(dá)形體和解決空間幾何問(wèn)題,奠定理論基礎(chǔ)和提供有力的分析手段。本章小結(jié)點(diǎn)與直線及兩直線相對(duì)位置的判斷方法及投影特性。平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的投影特性。在平面上確定直線和點(diǎn)的方法。點(diǎn)與直線的投影特性，尤其是特殊位置直線的投影特性。⒉兩平面相交兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面的共有線，同時(shí)交線上的點(diǎn)都是兩平面的共有點(diǎn)。要討論的問(wèn)題：⑴求兩平面的交線方法：①確定兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn)。②確定一個(gè)共有點(diǎn)及交線的方向。只討論兩平面中至少有一個(gè)處于特殊位置的情況。⑵判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系，即：

判別可見(jiàn)性?？赏ㄟ^(guò)正面投影直觀地進(jìn)行判別。abcdefcfdbeam(n)空間及投影分析平面ABC與DEF都為正垂面，它們的交線為一條正垂線，兩平面正面投影的交點(diǎn)即為交線的正面投影，交線的水平投影垂直于OX軸。①求交線②判別可見(jiàn)性作圖從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影可見(jiàn)。n●m●●能!如何判別？例：求兩平面的交線

MN并判別可見(jiàn)性。⑴能否不用重影點(diǎn)判別？OXabcdefcfdbeam(n)●例：求兩平面的交線

MN并判別可見(jiàn)性。⑴①求交線②判別可見(jiàn)性作圖從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影可見(jiàn)。m●n●空間及投影分析平面ABC與DEF都為正垂面，它們的交線為一條正垂線，兩平面正面投影的交點(diǎn)即為交線的正面投影，交線的水平投影垂直于OX軸。OXa′abd(e)e′b