概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章習(xí)題課件

3.設(shè)在15只同類型的零件中有2只是次品,在其中取3次,每次任取1只,作不放回抽樣.以X表示取出次品的只數(shù).(1)求X的分布律;(2)畫出分布律的圖形.

解法一:X可能取值為0,1,2.P{X=0}=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P{X=1}=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)+P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)+P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P{X=2}=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)+P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)+P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)設(shè)事件Ai表示“第i次取到正品”,i=1,2,3.也可由P{X=2}=1-P{X=0}-P{X=1}法二:用等可能概型.基本事件是從15只零件中取3只,有種取法.X=0時,取出的3只都是正品,有種取法.

X=1時,取出的3只中有2只正品,1只次品,有種取法.

X=2時,取出的3只中有1只正品,2只次品,有種取法.故P{X=0}=22/35,P{X=1}=12/35,P{X=2}=1/35.X的分布律為X012Pk

22/3512/351/35其圖形為X012p22/3512/351/354.

進行重復(fù)獨立試驗,設(shè)每次試驗成功的概率為p,失敗的概率為q=1-p(0<p<1).

(1)將試驗進行到出現(xiàn)一次成功為止,以X表示所需的試驗次數(shù),求X的分布律.(此時稱X服從以p為參數(shù)的幾何分布.)將試驗進行到出現(xiàn)一次成功為止,所需的試驗次數(shù)X=1,2,…,k,…

X=k時,前k-1次試驗均未成功,第k次試驗才成功,由于各次試驗相互獨立,故P{X=k}=P(A1A2…Ak-1Ak)=P(A1)P(A2)…P(Ak-1)P(Ak)=(1-p)k-1pX的分布律為P{X=k}=p(1-p)k-1,k=1,2,…

(3)一籃球運動員的投籃命中率為45%.以X表示他首次投中時累計已投籃的次數(shù),寫出X的分布律,并計算X取偶數(shù)的概率.

解這是(1)中p=0.45的情況,故X的分布律為P{X=k}=0.45(0.55)k-1,k=1,2,…解設(shè)Ai表示第i次試驗成功的事件,則P(Ai)=p,P(Ai)=1-p.但這成功的r次試驗,除最后一次必成功外,另外成功的r-1次可以是總的k-1次中的任意r-1次,共有種可能,每一種可能的概率均為qk-rpr

=(1-p)k-rpr.故Y的分布律為

(2)將試驗進行到出現(xiàn)r次成功為止,以Y表示所需的試驗次數(shù),求Y的分布律.(此時稱Y服從以r,p為參數(shù)的巴斯卡分布.)解將試驗進行到出現(xiàn)r次成功為止,所需的試驗次數(shù)Y=r,r+1,…Y=k時,共進行了k次試驗,其中成功r次,未成功k-r次(kr).若后r次試驗成功,則前k-r次試驗未成功,其概率為P(A1A2…Ak-rAk-r+1…Ak)=P(A1)P(A2)…P(Ak-r)P(Ak-r+1)…P(Ak)=qk-rprX取偶數(shù)可視為所有{X=2n}(n=1,2,…)事件的總和,其概率為7.設(shè)事件A在一次試驗中發(fā)生的概率為0.3,當(dāng)A發(fā)生不少于3次時,指示燈發(fā)出信號.(1)進行了5次重復(fù)獨立試驗,求指示燈發(fā)出信號的概率;(2)進行了7次重復(fù)獨立試驗,求指示燈發(fā)出信號的概率.解設(shè)X表示n次重復(fù)獨立試驗中事件A發(fā)生的次數(shù),由于事件A在一次試驗中發(fā)生的概率p=0.3,故X~b(n,0.3).X的分布律為(1)n=5所求概率為P{X3}=P{X=3}+P{X=4}+P{X=5}=0.163(2)n=7所求概率為P{X3}=P{X=3}+P{X=4}+P{X=5}+P{X=6}+P{X=7}=1-P{X<3}=1-[P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}]=0.35314.(2)求第(1)題中的隨機變量的分布函數(shù).解由第(1)題的結(jié)果,X的分布律為X345Pk

1/103/106/10F(x)=P{X≤x}x<3F(x)=03x<4F(x)=P{X=3}=1/104x<5F(x)=P{X=3}+P{X=4}=4/10=2/5x5F(x)=P{X=3}+P{X=4}+P{X=5}=1總之,X的分布函數(shù)為15.在區(qū)間[0,a]上任意投擲一個質(zhì)點,以X表示這個質(zhì)點的坐標(biāo).設(shè)這個質(zhì)點落在[0,a]中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個小區(qū)間的長度成比例.試求X的分布函數(shù).解由于質(zhì)點只能落在[0,a]中,故{X<0},{X>a}是不可能事件,P{X<0}=P{X>a}=0(1)若x<0,xxX0a{Xx}是不可能事件,F(x)=P{X≤x}=0.(2)若0≤x≤a,事件A表示“質(zhì)點落在[0,a]中小區(qū)間[0,x]內(nèi)”,則P(A)=P{0≤X≤x}與該小區(qū)間的長度x成比例,令P{0≤X≤x}=kx

,(0≤x≤a),則1=P{-∞<X<∞}=P{X<0}+P{0≤X≤a}+P{X>a}=ka,故k=1/a,從而P{0≤X≤x}=x/a

,(0≤x≤a).因此F(x)=P{X≤x}xxX0a=P{X<0}+P{0≤X≤x}=x/a(3)若x>2,F(x)=P{X≤x}xxX0a=P{X<0}+P{0≤X≤a}+P{a<X≤x}=1分布函數(shù)F(x)=0,x<0x

/a,0≤x<a1,xa

xF(x)oa1F(x)的圖形如右,17.設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為(1)求P{X<2},P{0<X≤3},P{2<X<5/2};(2)求概率密度fX(x).解(1)P{X<2}=FX(2)=ln2P{0<X≤3}=FX(3)-FX(0)=1P{2<X<5/2}e2.72=FX(5/2)-FX(2)=ln(5/2)-ln2=ln(5/4)(2)fX(x)=FX

/(x)x=1處左導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù)x=e處18.設(shè)隨機變量X的概率密度為求X的分布函數(shù)F(x),并畫出(2)中的f(x)及F(x)的圖形.

解(1)X<1時,F(x)=0,1x<2時,x2時,總之,xF(x)211oxf(x)23/21oF(x)和f(x)的圖形如下:19(2)研究了英格蘭在1875年~1951年期間,在礦山發(fā)生導(dǎo)致10人或10人以上死亡的事故的頻繁程度,得知相繼兩次事故之間的時間T(以日計)服從指數(shù)分布,其概率密度為求分布函數(shù)FT(t),并求概率P{50<T<100}.解t>0,t0,總之,也可由指數(shù)分布=241直接得此結(jié)果.P{50<T<100}=FT(100)-FT(50)20.某種型號的器件的壽命X(以小時計)具有以下的概率密度現(xiàn)有一大批此種器件(設(shè)各器件損壞與否相互獨立),任取5只,問其中至少有2只壽命大于1500小時的概率.

解設(shè)1只器件的壽命大于1500小時的概率為p,而Y是取出的5只中壽命大于1500小時的器件數(shù),則Y~b(5,p).由于Y的分布律為所求概率為P{Y2}=1-P{Y<2}=1-P{Y=0}-P{Y=1}X1000,F(x)=0=1-P{X1500}=1-F(1500)23.設(shè)X~N(3,22),(1)求P{2<X5},P{-4<X10},P{|X|>2},P{X>3};(2)確定c,使得P{X>c}=P{Xc};(3)設(shè)d滿足P{X>d}0.9,問d至多為多少?解(1)P{2<X5}=0.8413-1+0.6915=0.5328P{-4<X10}=20.9998-1=0.9996P{|X|>2}=P[{X>2}∪{X<-2}]=1-P{-2X2}=P{X>2}+P{X<-2}=1-P{X2}+P{X<-2}=0.6915+1-0.9938=0.6977P{X>3}=1-P{X3}=1-0.5=0.5=1-P{|X|2}26.(3)要使d滿足P{X>d}0.9,即1-P{Xd}解得d3-2.56=0.44.(2)由于正態(tài)分布的分布曲線即概率密度曲線以直線x=為對稱軸.因此,P{X>}=P{X}.本題中=3,故只需取c=3,就可以使P{X>c}=P{Xc}.

一工廠生產(chǎn)的某種元件的壽命X(以小時計)服從參數(shù)為=160,的正態(tài)分布.若要求P{120<X200}0.80,允許最大為多少?解P{120<X200}解得必須最大值27.設(shè)隨機變量X的分布律為X-2-1013pk求Y=X2的分布律.解Y的取值如右Y41019P{Y=0}=P{X=0}=1/5P{Y=1}=P{X=-1}+P{X=1}=7/30P{Y=4}=P{X=-2}=1/5列表得

Y

0149

pk

P{Y=9}=P{X=3}=11/3028.(1)設(shè)隨機變量X在(0,1)上服從均勻分布,求Y=eX的概率密度;解X的概率密度(1)法一:FY(y)=P{Yy}=P{eXy}=P{Xlny}=FX(lny)fY(y)=FY/(y)法二:y=g(x)=ex,g/(x)=ex>0,x=h(y)=lny,h/(y)=1/y由0<lny<1得到1<y<e,此時h