2023天津高考數(shù)學(xué)(理)試題及答案解析

絕密★啟用前2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試〔天津卷〕數(shù)學(xué)〔理工類〕 本試卷分第一卷〔選擇題〕和第二卷〔非選擇題〕兩局部，共150分，考試用時(shí)120分鐘。第一卷1至2頁，第二卷3至5頁。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼。答卷時(shí)，考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 祝各位考生考試順利！第一卷考前須知：1.每題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。2本卷共8小題，每題5分，共40分。參考公式：?如果事件，互斥，那么 ?如果事件，相互獨(dú)立，那么 .?圓柱的體積公式.?圓錐的體積公式.其中表示圓柱的底面面積，其中表示圓錐的底面面積，表示圓柱的高.表示圓錐的高. 一、選擇題：在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的.〔1〕是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔2〕設(shè)變量，滿足約束條件那么目標(biāo)函數(shù)的最小值為〔〕〔A〕2〔B〕3〔C〕4〔D〕5〔3〕閱讀右邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的的值為〔〕學(xué)科網(wǎng)〔A〕15〔B〕105〔C〕245〔D〕945〔4〕函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔5〕雙曲線的一條漸近線平行于直線：，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線上，那么雙曲線的方程為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔6〕如圖，是圓的內(nèi)接三角形，的平分線交圓于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)的圓的切線與的延長線交于點(diǎn).在上述條件下，給出以下四個(gè)結(jié)論：①平分；②；③；④.那么所有正確結(jié)論的序號是〔〕〔A〕①②〔B〕③④〔C〕①②③〔D〕①②④〔7〕設(shè)，那么|“〞是“〞的〔〕〔A〕充要不必要條件〔B〕必要不充分條件〔C〕充要條件〔D〕既不充要也不必要條件〔8〕菱形的邊長為2，，點(diǎn)分別在邊上，，.假設(shè)，，那么〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕第二卷考前須知：學(xué)科網(wǎng) 1．用黑色墨水鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上。 2．本卷共12小題，共110分。二、填空題〔本大題共6個(gè)小題，每題5分，共30分.把答案填在題中橫線上.〕〔9〕某大學(xué)為了解在校本科生對參加某項(xiàng)社會實(shí)踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方法，從該校四個(gè)年級的本科生中抽取一個(gè)容量為300的樣本進(jìn)行調(diào)查.該校一年級、二年級、三年級、四年級的本科生人數(shù)之比為4：5：5：6，那么應(yīng)從一年級本科生中抽取_______名學(xué)生.〔10〕一個(gè)幾何體的三視圖如下圖〔單位：m〕，那么該幾何體的體積為_______.〔11〕設(shè)是首項(xiàng)為，公差為-1的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和.假設(shè)成等比數(shù)列，那么的值為__________.〔12〕在中，內(nèi)角所對的邊分別是.，，那么的值為_______.〔13〕在以為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中，圓和直線相交于兩點(diǎn).假設(shè)是等邊三角形，那么的值為___________.〔14〕函數(shù)，.假設(shè)方程恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，那么實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.三、解答題〔此題共6道大題，總分值80分．解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟．〕〔15〕〔本小題總分值13分〕函數(shù)，.〔Ⅰ〕求的最小正周期；〔Ⅱ〕求在閉區(qū)間上的最大值和最小值.學(xué)科網(wǎng)〔16〕〔本小題總分值13分〕某大學(xué)志愿者協(xié)會有6名男同學(xué)，4名女同學(xué).在這10名同學(xué)中，3名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個(gè)學(xué)院.現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動〔每位同學(xué)被選到的可能性相同〕.〔Ⅰ〕求選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率；〔Ⅱ〕設(shè)為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.〔17〕〔本小題總分值13分〕如圖，在四棱錐中，底面，，，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).〔Ⅰ〕證明；〔Ⅱ〕求直線與平面所成角的正弦值；〔Ⅲ〕假設(shè)為棱上一點(diǎn)，滿足，求二面角的余弦值.〔18〕〔本小題總分值13分〕設(shè)橢圓〔〕的左、右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為..〔Ⅰ〕求橢圓的離心率；〔Ⅱ〕設(shè)為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn)，以線段為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，經(jīng)過原點(diǎn)的直線與該圓相切.求直線的斜率.〔19〕〔本小題總分值14分〕和均為給定的大于1的自然數(shù).設(shè)集合，集合.〔Ⅰ〕當(dāng)，時(shí)，用列舉法表示集合；〔Ⅱ〕設(shè)，，，其中〔20〕〔本小題總分值14分〕函數(shù)，.函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且.〔Ⅰ〕求的取值范圍；〔Ⅱ〕證明隨著的減小而增大；〔Ⅲ〕證明隨著的減小而增大.參考答案及解析一、選擇題題號12345678答案ABBDADCC〔1〕是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕解：A.〔2〕設(shè)變量，滿足約束條件那么目標(biāo)函數(shù)的最小值為〔〕〔A〕2〔B〕3〔C〕4〔D〕5解：B作出可行域，如圖結(jié)合圖象可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)通過點(diǎn)時(shí)，取得最小值3.〔3〕閱讀右邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的的值為〔〕〔A〕15〔B〕105〔C〕245〔D〕945解：B時(shí)，，；時(shí)，，；時(shí)，，，輸出.〔4〕函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕解：D，解得或.由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知的單調(diào)遞增區(qū)間為.〔5〕雙曲線的一條漸近線平行于直線：，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線上，那么雙曲線的方程為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕解：A依題意得，所以，，雙曲線的方程為.〔6〕如圖，是圓的內(nèi)接三角形，的平分線交圓于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)的圓的切線與的延長線交于點(diǎn).在上述條件下，給出以下四個(gè)結(jié)論：①平分；②；③；④.那么所有正確結(jié)論的序號是〔〕〔A〕①②〔B〕③④〔C〕①②③〔D〕①②④解：D由弦切角定理得，又，所以∽，所以，即，排除A、C.又，排除B.〔7〕設(shè)，那么|“〞是“〞的〔〕〔A〕充要不必要條件〔B〕必要不充分條件〔C〕充要條件〔D〕既不充要也不必要條件解：C設(shè)，那么，所以是上的增函數(shù)，“〞是“〞的充要條件.〔8〕菱形的邊長為2，，點(diǎn)分別在邊上，，.假設(shè)，，那么〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕解：C因?yàn)椋?因?yàn)?，所以?因?yàn)?，所以，即①同理可得②，?②得.第二卷考前須知： 1．用黑色墨水鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上。 2．本卷共12小題，共110分。二、填空題〔本大題共6個(gè)小題，每題5分，共30分.把答案填在題中橫線上.〕〔9〕某大學(xué)為了解在校本科生對參加某項(xiàng)社會實(shí)踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方法，從該校四個(gè)年級的本科生中抽取一個(gè)容量為300的樣本進(jìn)行調(diào)查.該校一年級、二年級、三年級、四年級的本科生人數(shù)之比為4：5：5：6，那么應(yīng)從一年級本科生中抽取_______名學(xué)生.解：60應(yīng)從一年級抽取名.〔10〕一個(gè)幾何體的三視圖如下圖〔單位：m〕，那么該幾何體的體積為_______.解：該幾何體的體積為.〔11〕設(shè)是首項(xiàng)為，公差為-1的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和.假設(shè)成等比數(shù)列，那么的值為__________.解：依題意得，所以，解得.〔12〕在中，內(nèi)角所對的邊分別是.，，那么的值為_______.解：因?yàn)椋?，解得?所以.〔13〕在以為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中，圓和直線相交于兩點(diǎn).假設(shè)是等邊三角形，那么的值為___________.解：3圓的方程為，直線為.因?yàn)槭堑冗吶切危云渲幸粋€(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，代入圓的方程可得.〔14〕函數(shù)，.假設(shè)方程恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，那么實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.解：或顯然.〔ⅰ〕當(dāng)與相切時(shí)，，此時(shí)恰有3個(gè)互異的實(shí)數(shù)根.〔ⅱ〕當(dāng)直線與函數(shù)相切時(shí)，，此時(shí)恰有2個(gè)互異的實(shí)數(shù)根.結(jié)合圖象可知或.解2：顯然，所以.令，那么.因?yàn)?，所?結(jié)合圖象可得或.三、解答題〔此題共6道大題，總分值80分．解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟．〕〔15〕〔本小題總分值13分〕函數(shù)，.〔Ⅰ〕求的最小正周期；〔Ⅱ〕求在閉區(qū)間上的最大值和最小值.〔15〕本小題主要考查兩角和與差的正弦公式、二倍角公式與余弦公式，三角函數(shù)的最小正周期、單調(diào)性等根底知識.考查根本運(yùn)算能力.總分值13分.〔Ⅰ〕解：由，有.所以，的最小正周期.〔Ⅱ〕解：因?yàn)樵趨^(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù).，，.所以，函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為，最小值為.〔16〕〔本小題總分值13分〕某大學(xué)志愿者協(xié)會有6名男同學(xué)，4名女同學(xué).在這10名同學(xué)中，3名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個(gè)學(xué)院.現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動〔每位同學(xué)被選到的可能性相同〕.〔Ⅰ〕求選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率；〔Ⅱ〕設(shè)為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.〔16〕本小題主要考查古典概型及其概率計(jì)算公式，互斥事件、離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望等根底知識.考查運(yùn)用概率知識解決簡單實(shí)際問題的能力.總分值13分.〔Ⅰ〕解：設(shè)“選出的3名同學(xué)來自互不相同的學(xué)院〞為事件，那么.所以，選出的3名同學(xué)來自互不相同學(xué)院的概率為.所以，的最小正周期.〔Ⅱ〕解：隨機(jī)變量的所有可能值為0，1，2，3..所以，隨機(jī)變量的分布列是0123隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.〔17〕〔本小題總分值13分〕如圖，在四棱錐中，底面，，，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).〔Ⅰ〕證明；〔Ⅱ〕求直線與平面所成角的正弦值；〔Ⅲ〕假設(shè)為棱上一點(diǎn)，滿足，求二面角的余弦值.〔17〕本小題主要考查空間兩條直線的位置關(guān)系，二面角、直線與平面所成的角，直線與平面垂直等根底知識.考查用空間向量解決立體幾何問題的方法.考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力.總分值13分.〔方法一〕依題意，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系〔如圖〕，可得，，，.由為棱的中點(diǎn)，得.〔Ⅰ〕證明：向量，，故.所以，.〔Ⅱ〕解：向量，.設(shè)為平面的法向量，那么即不妨令，可得為平面的一個(gè)法向量.于是有.所以，直線與平面所成角的正弦值為.〔Ⅲ〕解：向量，，，.由點(diǎn)在棱上，設(shè)，.故.由，得，因此，，解得.即.設(shè)為平面的法向量，那么即不妨令，可得為平面的一個(gè)法向量.取平面的法向量，那么.易知，二面角是銳角，所以其余弦值為.〔方法二〕〔Ⅰ〕證明：如圖，取中點(diǎn)，連接，.由于分別為的中點(diǎn)，故，且，又由，可得且，故四邊形為平行四邊形，所以.因?yàn)榈酌妫?，而，從而平面，因?yàn)槠矫?，于是，又，所?〔Ⅱ〕解：連接，由〔Ⅰ〕有平面，得，而，故.又因?yàn)?，為的中點(diǎn)，故，可得，所以平面，故平面平面.所以直線在平面內(nèi)的射影為直線，而，可得為銳角，故為直線與平面所成的角.依題意，有，而為中點(diǎn)，可得，進(jìn)而.故在直角三角形中，，因此.所以，直線與平面所成角的正弦值為.〔Ⅲ〕解：如圖，在中，過點(diǎn)作交于點(diǎn).因?yàn)榈酌妫实酌?，從?又，得平面，因此.在底面內(nèi)，可得，從而.在平面內(nèi)，作交于點(diǎn)，于是.由于，故，所以四點(diǎn)共面.由，，得平面，故.所以為二面角的平面角.在中，，，，由余弦定理可得，.所以，二面角的斜率值為.〔18〕〔本小題總分值13分〕設(shè)橢圓〔〕的左、右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為..〔Ⅰ〕求橢圓的離心率；〔Ⅱ〕設(shè)為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn)，以線段為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，經(jīng)過原點(diǎn)的直線與該圓相切.求直線的斜率.〔18〕本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、圓的方程等根底知識.考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì).考查運(yùn)算求解能力，以及用方程思想解決問題的能力.總分值13分.〔Ⅰ〕解：設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為.由，可得，又，那么.所以，橢圓的離心率.，所以，解得，.〔Ⅱ〕解：由〔Ⅰ〕知，.故橢圓方程為.設(shè).由，，有，.由，有，即.又，故有.①又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，故.②由①和②可得.而點(diǎn)不是橢圓的頂點(diǎn)，故，代入①得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)圓的圓心為，那么，，進(jìn)而圓的半徑.設(shè)直線的斜率為，依題意，直線的方程為.學(xué)科網(wǎng)由與圓相切，可得，即，整理得，解得.所以，直線的斜率為或.〔19〕〔本小題總分值14分〕和均為給定的大于1的自然數(shù).設(shè)集合，集合.〔Ⅰ〕當(dāng)，時(shí)，用列舉法表示集合；〔Ⅱ〕設(shè)，，，其中，.證明：假設(shè)，那么.〔19〕本小題主要考查集合的含義和表示，等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，不等式的證明等根底知識和根本方法.考查運(yùn)算能力、分析問題和解決問題的能力.總分值14分.〔Ⅰ〕解：當(dāng)，時(shí)，，.可得，.〔Ⅱ〕證明：由，，，，及，可得