版權說明：本文檔由用戶提供并上傳，收益歸屬內容提供方，若內容存在侵權，請進行舉報或認領
文檔簡介
第四節(jié)多元復合函數求導法則~
鏈式法則二 全微分形式不變性1.復合函數的中間變量為一元函數的情形定理1如果函數u
=j
(t)及v
=y
(t)都在點t
可導，函數z
=f
(u,v)在對應點(u,v)具有連續(xù)偏導數，則復合函數z
=f
[j
(t),y
(t)]在對應點t可導，且其導數可用下列公式計算dz
=
?z du
+
?z
dvdt
?u
dt
?v
dt一、鏈式法則?u
?v1
2Dz
=
?z
Du
+
?z
Dv
+
e
Du
+
e
Dv當Du
fi
0,
Dv
fi
0
時，e1
fi
0,
e2
fi
0Dz
=
?z
Du
+
?z
Dv
+
e
Du
+
e
DvDt
?u
Dt
?v
Dt
1
Dt
2
Dt當Dt
fi
0時，Du
fi
0,Dv
fi
0證:設t
獲得增量DtDu
=
j
(t
+
Dt
)
-j
(t
)，Dv
=y
(t
+
Dt
)
-y
(t
)由于函數z
=f
(u,v)在點(u,v)有連續(xù)偏導數dt
?u
dt
?v
dtDt
fi
0
Dtdz
=
lim
Dz
=
?z如上定理的結論可推廣到中間變量多于兩個的情況dz
=
?z
du
+
?z
dv
+
?z
dwdt
?u
dt
?v
dt
?w
dtuv
twzDt
dtDu
fiDt
dtdu
+
?z
dvdu
,
Dv
fi
dv全導數解：dz
=
?z du
+
?z dv
+
?z
dtdt
?u
dt
?v
dt
?t
dt=
vet
-
usin
t
+
cos
t=
e
t
cos
t
-
e
t
sin
t
+
cos
t=
e
t
(cos
t
-
sin
t
)
+
cos
t例1設z
=uv
+sin
t,求全導數v
=
cos
tu
=
e
t
,dtdzz
=
f
[f(
x,
y),y
(
x,
y)]2.復合函數的中間變量為多元函數的情形定理2如果u
=j
(x,y)及v=y
(x,y)都在點(x,y)具有對x
和y
的偏導數，且函數z
=f
(u,v)在對應點(u,v)具有連續(xù)偏導數，則復合函數z
=f
[j
(x,y),y
(x,y)]在對應點(x,y)的兩個偏導數存在，且可用下列公式計算uvxzy鏈式法則如圖示?z
=
?z
?u
+
?z
?v?x
?u
?x
?v
?x?z
=
?z
?u
+
?z
?v?y
?u
?y
?v
?yzuvwxy?w
?y+=
+?y
?u
?y
?v
?y?w
?x?z
?w?x
?u
?x
?v
?x?z
?z
?u
?z
?v?z
=
?z
?u
+
?z
?v
+
?z
?w類似地再推廣，設u
=j
(x,y)，v
=y
(x,y)w
=w
(x,y)都在點(x,y)具有對x
和y的偏導數，復合函數z
=f
[j
(x,y),y
(x,y),w
(x,y)]在對應點(x,y)兩個偏導數存在，且可用下列公式計算解:例2設z
=eu
sin
v
，u
=xy
，v
=x
+y求?z
，?z?x?y?x
?u
?x
?v
?x=
eu
sin
v y
+
eu
cos
v
1=
e
xy
[
y
sin(
x
+
y)
+
cos(
x
+
y)]?z
=
?z
?u
+
?z
?v?z
=
?z
?u
+
?z
?v?y
?u
?y
?v
?y=
eu
sin
v x
+
eu
cos
v
1=
e
xy
[
x
sin(
x
+
y)
+
cos(
x
+
y)]?f?x?z
=
?f
?u
+?x
?u
?x?f?y?u
?y=
?f
?u
+?z?y即
z
=
f
[f(
x,
y),
x,
y]
令v
=
x
，w
=
y?x?v
=
1
,?x?w
=
0
,?y?v
=
0
,?y?w
=
1把復合函數z
=f
[f(x,y),x,y]中的y看作不變而對x的偏導數把z
=f
(u,x
,y
)中的u
及y
看作不變而對x
的偏導數兩者的區(qū)別區(qū)別類似特殊地z
=f
(u,x,y)其中u
=f(x,y)解：
?u
=
?f?x
?x?(
xyz
)
?xdx
?(
2
x
-
y
)?f
?(
xyz
)?x?(
2
x
-
y
)dx
+
?f+例3
設u
=
f
(
x,2
x
-
y,
xyz)求?x?u=
f1
+
2
f2
+
yzf3解：令u
=x
+y
+z
,v
=
xyz記,?f
(u,
v)f1￠=?u?u?v?2
f
(u,
v)f1￠2￠=f22同理有f2
,
f11
,?u
+
?f?w
=
?f?x?u
?x
?v
?x21?v
=
f
+
yzf例4設w
=f
(x
+y
+z,xyz)，f
具有二階連續(xù)偏導數，求和?x
?x?z?w
?2
w=?x?z?2
w?z??z?f?z?f(
f1￠+
yzf2￠)
=
1
+
yf2￠+
yz
2?f1
=
?f1?z
?u?v
=
f?u
+
?f1?z
?v
?z?u
+
?f21211+
xyf?f2
=
?f2?z?2
w?u
?z
?v
?z?v
=
f2221+
xyf=
f11
+
xyf12
+
yf2
+
yz(f21
+
xyf22
)2=
f11
+
y(
x
+
z)
f12
+
xy
zf22
+
yf2?x?z二、全微分形式不變性設函數z
=f
(u,v)具有連續(xù)偏導數，則有全微分dz
=?z
du
+?z
dv
，當u
=j
(x,y)?u
?vv
=y
(x,y)時，有dz
=?z
dx
+?z
dy?x
?y全微分形式不變形的實質無論z
是自變量(x,y)的函數或中間變量(u,v)的函數，它的全微分形式是一樣的。
?u
?x
?v
?x
dz
=
?z
dx
+
?z
dy?x
?y?u
+
?z
?v
dy
?u
?y
?v
?y=
?z
?u
+
?z
?v
dx
+
?z
?u
?x
?y
?y?v
?x=
?z
?u
dx
+
?u
dy
+
?z
?v
dx
+
?v
dy=
?z
du
+
?z
dv?u
?v?z?x
=
e
z
-
2?zye
-
xy
xe-
xy?y
=
ez
-
2例5求
和?x
?y解：
d
(e-
xy
-
2z
+
ez
)
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明，都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等，如果需要附件，請聯系上傳者。文件的所有權益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙，網頁內容里面會有圖紙預覽，若沒有圖紙預覽就沒有圖紙。
- 4. 未經權益所有人同意不得將文件中的內容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網僅提供信息存儲空間，僅對用戶上傳內容的表現方式做保護處理，對用戶上傳分享的文檔內容本身不做任何修改或編輯，并不能對任何下載內容負責。
- 6. 下載文件中如有侵權或不適當內容，請與我們聯系，我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 2024年甲乙雙方關于輕質磚隔墻工程進度控制的合同
- 綜合交通規(guī)劃課程設計
- 滑雪課程設計開題報告
- 脫水蔬菜的工廠課程設計
- 素描速寫課程設計
- 鮮花行業(yè)員工福利策略
- 社交平臺客服工作總結
- 傳媒行業(yè)前臺工作總結
- 食品行業(yè)生產過程安全控制
- 酒店服務員的服務技巧
- 2024年地理知識競賽試題200題及答案
- 肝衰竭診治指南（2024年版）解讀
- 化學反應工程智慧樹知到期末考試答案章節(jié)答案2024年浙江工業(yè)大學
- 人生悟理-透過物理看人生智慧樹知到期末考試答案2024年
- 兒童劇劇本三只小豬
- 贏在執(zhí)行力：團隊執(zhí)行力-下
- 鉆孔灌注樁后注漿施工方案(最全版)
- 政工干部年度述職報告
- 1000MW電廠水處理DCS控制系統設計
- 硬件設計checklist
- 《職業(yè)健康培訓》
評論
0/150
提交評論