2021年云南省昆明市五華區(qū)廠口中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

2021年云南省昆明市五華區(qū)廠口中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.（5分）（2015?南昌校級(jí)模擬）已知f（x）=sinxcosx﹣cos2x+，在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿足2bcosA≤2c﹣a，則f（B）的取值范圍（）A．（﹣1，]B．（﹣，]C．（﹣，1]D．（﹣，]參考答案：C【考點(diǎn)】：余弦定理；兩角和與差的正弦函數(shù)．【專題】：三角函數(shù)的求值．【分析】：由已知及正弦定理可解得cosB，可得0＜B≤，即有﹣＜2B﹣，由三角函數(shù)的恒等變化化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=sin（2x﹣），從而可求f（B）的值．解：∵由于f（x）=sinxcosx﹣cos2x+=sin2x﹣+=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），又2bcosA≤2c﹣a，則由正弦定理得，2sinBcosA≤2sinC﹣sinA=2sin（A+B）﹣sinA=2sinAcosB+2cosAsinB﹣sinA，則可解得：cosB，由B為三角形的內(nèi)角，則解得：0＜B≤，可得：﹣＜2B﹣，故f（B）=sin（2B﹣）∈（﹣，1]．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值，考查三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性，考查解三角形的正弦定理，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．2.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則

A．

B．

C．

D．參考答案：A，等差數(shù)列中，所以，選A.3.已知△ABC所在平面上的動(dòng)點(diǎn)M滿足，則M點(diǎn)的軌跡過(guò)△ABC的(

)A．外心

B．

內(nèi)心

C．重心

D．垂心參考答案：A4.已知、，以為一腰作的直角梯形，且中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，若橢圓以、為焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則此橢圓的方程為（

）

參考答案：C5.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分別是CC1、AD的中點(diǎn)，那么異面直線OE和FD1所成的角的余弦值等于（）A．

B．

C． D．參考答案：B考點(diǎn)：異面直線及其所成的角．專題：計(jì)算題．分析：先通過(guò)平移將兩條異面直線平移到同一個(gè)起點(diǎn)，得到的銳角或直角就是異面直線所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．解答：解：取BC的中點(diǎn)G．連接GC1∥FD1，再取GC的中點(diǎn)H，連接HE、OH，則∠OEH為異面直線所成的角．在△OEH中，OE=，HE=，OH=．由余弦定理，可得cos∠OEH=．故選B．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了異面直線及其所成的角，以及余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題6.已知復(fù)數(shù)，則等于（

）

A．1 B． C．2 D．參考答案：B∴故選B

7.已知函數(shù)f（x）=x3+2bx2+cx+1有兩個(gè)極值點(diǎn)x1、x2，且x1∈[﹣2，﹣1]，x2∈[1，2]，則f（﹣1）的取值范圍是（）A．，3] B．，6] C．[3，12] D．，12]參考答案：C【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃；函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件．【專題】計(jì)算題；壓軸題；數(shù)形結(jié)合．【分析】根據(jù)極值的意義可知，極值點(diǎn)x1、x2是導(dǎo)函數(shù)等于零的兩個(gè)根，根據(jù)根的分布建立不等關(guān)系，畫出滿足條件的區(qū)域即可；利用參數(shù)表示出f（﹣1）的值域，設(shè)z=2b﹣c，再利用z的幾何意義求最值，只需求出直線z=x+3y過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)A時(shí)，從而得到z=x+3y的最大值即可．【解答】解：f'（x）=3x2+4bx+c，依題意知，方程f'（x）=0有兩個(gè)根x1、x2，且x1∈[﹣2，﹣1]，x2∈[1，2]等價(jià)于f'（﹣2）≥0，f'（﹣1）≤0，f'（1）≤0，f'（2）≥0．由此得b，c滿足的約束條件為滿足這些條件的點(diǎn)（b，c）的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分．由題設(shè)知f（﹣1）=2b﹣c，由z=2b﹣c，將z的值轉(zhuǎn)化為直線z=2b﹣c在y軸上的截距，當(dāng)直線z=2b﹣c經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，﹣3）時(shí)，z最小，最小值為：3．當(dāng)直線z=2b﹣c經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，﹣12）時(shí)，z最大，最大值為：12．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及二元一次不等式（組）與平面區(qū)域和不等式的證明，屬于基礎(chǔ)題．8.若曲線在點(diǎn)處的切線方程是，則

(

)A

B

C

D參考答案：A略9.函數(shù)（其中）的圖象如下圖所示，為了得到的圖象，則只需將的圖象（A）右移個(gè)長(zhǎng)度單位（B）右移個(gè)長(zhǎng)度單位（C）左移個(gè)長(zhǎng)度單位（D）左移個(gè)長(zhǎng)度單位

參考答案：A10.已知某幾何體的三視圖如圖，其中正視圖中半圓的半徑為1，則該幾何體的體積為(

)A．B．C．

D．參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.對(duì)于函數(shù)定義域中任意有如下結(jié)論：①；②；

③；

④。上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號(hào)是

參考答案：②③12.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

．參考答案：(-1,)

略13.某科技小組有6名同學(xué)，現(xiàn)從中選出3人參觀展覽，至少有1名女生入選的概率為，則小組中女生人數(shù)為

參考答案：214.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且滿足，則角B的大小為▲.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理．C8

解析：在△ABC中，，利用正弦定理化簡(jiǎn)得：，∵，∴，即，則B=，故答案為：【思路點(diǎn)撥】已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，根據(jù)sinA不為0求出tanB的值，即可確定出B的度數(shù)．15.設(shè)定義在上的奇函數(shù)在上為增函數(shù)，且，則不等式的解集為

▲

。參考答案：略16.公比為的等比數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù)，且，則_______；_________________.參考答案：；由，解得。又，所以，所以.17.若函數(shù)y=f（x）對(duì)定義域的每一個(gè)值x1，在其定義域內(nèi)都存在唯一的x2，使f（x1）f（x2）=1成立，則稱該函數(shù)為“依賴函數(shù)”．給出以下命題：①y=是“依賴函數(shù)”；②y=是“依賴函數(shù)”；③y=2x是“依賴函數(shù)”；④y=lnx是“依賴函數(shù)”；⑤y=f（x），y=g（x）都是“依賴函數(shù)”，且定義域相同，則y=f（x）．g（x）是“依賴函數(shù)”．其中所有真命題的序號(hào)是．參考答案：②③【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析；理解“依賴函數(shù)”的定義，注意關(guān)鍵詞：①定義域的每一個(gè)值x1，②都存在唯一的x2，③f（x1）f（x2）=1．逐一驗(yàn)證5個(gè)結(jié)論，可得答案．解：在①中，若x1=2，則．此時(shí)f（x1）f（x2）=1可得f（x2）=4，x2=±2，不唯一，所以命題①錯(cuò)誤．在②③中，兩個(gè)函數(shù)都是單調(diào)的，且函數(shù)值中沒(méi)有零，每取一個(gè)x1，方程f（x1）f（x2）=1都有唯一的x2值，所以都是真命題．在④中，y=lnx當(dāng)x1=1時(shí)，f（x1）=0此時(shí)f（x1）f（x2）=1無(wú)解，所以是假命題．在⑤中，如果f（x）g（x）=1，則任意x1，都對(duì)應(yīng)無(wú)數(shù)個(gè)x2，所以命題⑤也是假命題．故答案為：②③．【點(diǎn)評(píng)】本題是給出定義，直接應(yīng)用的新題，要抓住關(guān)鍵詞，是解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.過(guò)雙曲線的右支上的一點(diǎn)P作一直線l與兩漸近線交于A、B兩點(diǎn)，其中P是AB的中點(diǎn)；（1）求雙曲線的漸近線方程；（2）當(dāng)P坐標(biāo)為（x0，2）時(shí)，求直線l的方程；（3）求證：|OA|?|OB|是一個(gè)定值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與雙曲線的位置關(guān)系；雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（1）求出雙曲線的a，b，由雙曲線的漸近線方程為y=±x，即可得到所求；（2）令y=2代入雙曲線的方程可得P的坐標(biāo)，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，設(shè)A（m，2m），B（n，﹣2n），可得A，B的坐標(biāo)，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程，即可得到所求直線方程；（3）設(shè)P（x0，y0），A（m，2m），B（n，﹣2n），代入雙曲線的方程，運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得m，n，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，即可得到定值．【解答】解：（1）雙曲線的a=1，b=2，可得雙曲線的漸近線方程為y=±x，即為y=±2x；（2）令y=2可得x02=1+=2，解得x0=，（負(fù)的舍去），設(shè)A（m，2m），B（n，﹣2n），由P為AB的中點(diǎn)，可得m+n=2，2m﹣2n=4，解得m=+1，n=﹣1，即有A（+1，2+2），可得PA的斜率為k==2，則直線l的方程為y﹣2=2（x﹣），即為y=2x﹣2；（3）證明：設(shè)P（x0，y0），即有x02﹣=1，設(shè)A（m，2m），B（n，﹣2n），由P為AB的中點(diǎn)，可得m+n=2x0，2m﹣2n=2y0，解得m=x0+y0，n=x0﹣y0，則|OA|?|OB|=|m|?|n|=5|mn|=5|（x0+y0）（x0﹣y0）|=5|x02﹣|=5為定值．19.（本小題滿分12分）已知雙曲線G的中心在原點(diǎn)，它的漸近線與圓相切，過(guò)點(diǎn)P(－4,0)作斜率為的直線，使得和G交于A、B兩點(diǎn)，和y軸交于點(diǎn)C，并且點(diǎn)P在線段AB上，又滿足（1）求雙曲線G的漸近線方程；

（2）求雙曲線G的方程；（3）橢圓S的中心在原點(diǎn)，它的短軸是G的實(shí)軸，如果S中垂直于的平行弦的中點(diǎn)軌跡恰好是G的漸近線截在S內(nèi)的部分，求橢圓S的方程。參考答案：(1)設(shè)雙曲線G的漸近線方程為y=kx，則由漸近線與圓相切可得，所以，故漸近線方程為

…………3分(2)由（1）可設(shè)雙曲線G的方程為，把直線l的方程代入雙曲線并整理得則

（1）,P、A、B、C共線且在線段AB上即整理得將（1）式帶入得m=8故雙曲線G的方程為

…………7分(3)由提議可設(shè)橢圓方程為設(shè)弦的端點(diǎn)分別為，，MN的中點(diǎn)為，則，作差得故垂直于l的平行弦中點(diǎn)的軌跡為直線截在內(nèi)的部分。又由題意，這個(gè)軌跡恰好是的漸近線截在內(nèi)的部分即

…………12分20.(本小題滿分12分)為了了解甘肅各景點(diǎn)在大眾中的熟知度，隨機(jī)對(duì)15～65歲的人群抽樣了人，回答問(wèn)題“甘肅省有哪幾個(gè)著名的旅游景點(diǎn)？”統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下圖表．

組號(hào)分組回答正確的人數(shù)回答正確的人數(shù)占本組的頻率第1組[15，25)a0.5第2組[25，35)18x第3組[35，45)b0.9第4組[45，55)90.36第5組[55，65]3y(Ⅰ)分別求出a，b，x，y的值；(Ⅱ)從第2，3，4組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取6人，求第2，3，4組每組各抽取多少人？(Ⅲ)在(Ⅱ)抽取的6人中隨機(jī)抽取2人，求所抽取的人中恰好沒(méi)有第3組人的概率.參考答案：（Ⅱ）因?yàn)榈?，3，4組回答正確的人數(shù)共有54人，所以利用分層抽樣在54人中抽取6人，每組分別抽取的人數(shù)為：第2組：人；第3組：人；第4組：人

…8分21.已知a∈R，函數(shù)f（x）=x|x﹣a|﹣2x+a2．（Ⅰ）若a＞2，解關(guān)于x的方程f（x）=a2﹣2a；（Ⅱ）若a∈[﹣2，4]，求函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[﹣3，3]上的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用；函數(shù)的最值及其幾何意義．【分析】（Ⅰ）若a＞2，根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)直接解關(guān)于x的方程f（x）=a2﹣2a即可；（Ⅱ）若a∈[﹣2，4]，根據(jù)a的取值范圍將函數(shù)f（x）表示成分段函數(shù)形式，結(jié)合一元二次函數(shù)單調(diào)性和最值之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=a2﹣2a得x|x﹣a|﹣2x+a2=a2﹣2a，即x|x﹣a|=2（x﹣a），則x=a是方程的根，①當(dāng)x＞a時(shí)，x=2，∵a＞2，∴此時(shí)方程無(wú)解，②當(dāng)x＜a時(shí)，x=﹣2為方程的解，綜上x(chóng)=a或x=﹣2．（Ⅱ）f（x）=x|x﹣a|﹣2x+a2=，①若﹣2≤a≤2時(shí)，≤a，+1≥a，則f（x）min=min{f（﹣3），f（+1）}=min{a2﹣3a﹣3，（3a2﹣4a﹣4）}=．②若2＜a≤4時(shí)，≤a，+1＜a，則f（x）min=min{f（﹣3），f（a）}=min{a2﹣3a﹣3，a2﹣2a}=a2﹣3a﹣3．

綜上f（x）min=．22.綠水青山就是金山銀山．某山村為做好水土保持，退耕還林，在本村的山坡上種植水果，并推出山村游等旅游項(xiàng)目．為預(yù)估今年7月份游客購(gòu)買水果的情況，隨機(jī)抽樣統(tǒng)計(jì)了去年7月份100名游客的購(gòu)買金額．分組如下：[0,20)，[20,40)，…[100,120]，得到如圖所示的頻率分布直方圖：（1）請(qǐng)用抽樣的數(shù)據(jù)估計(jì)今年7月份游客人均購(gòu)買水果的金額（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)作代表）．（2）若把去年7月份購(gòu)買水果不低于80元的游客，稱為“水果達(dá)人”．填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有95%的把握認(rèn)為“水果達(dá)人”與性別有關(guān)系？

水果達(dá)人非水果達(dá)人合計(jì)男10

女

30

合計(jì)

（3）為吸引顧客，商家特推出兩種促銷方案．方案一：每滿80元可立減10元；方案二：金額超過(guò)80元可抽獎(jiǎng)三次，每次中獎(jiǎng)的概率為,且每次抽獎(jiǎng)互不影響，中獎(jiǎng)1次打9折，中獎(jiǎng)2次打8折，中獎(jiǎng)3次打7折．若每斤水果10元，你打算購(gòu)買12斤水果，請(qǐng)從實(shí)際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析應(yīng)該選擇哪種優(yōu)惠方案．附：參考公式和數(shù)據(jù)：，.臨界值表：2.0722.7063.8416.6357.8790.1500.1000.0500.0100.005

參考答案：（1）62元

（2）見(jiàn)解析（3）方案二更劃算．【分析】（1）利用頻率分布直方圖計(jì)算平均數(shù)即可；（2）根據(jù)題意補(bǔ)充列聯(lián)表，由表中數(shù)據(jù)計(jì)算觀測(cè)值，對(duì)照臨界值得出結(jié)論；（3）分別計(jì)算選方案一、方案二所支付的款數(shù)，比較它們的大小即可．【詳解】（1）．估計(jì)今年