2021-2022學(xué)年遼寧省鞍山市第三十七中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

2021-2022學(xué)年遼寧省鞍山市第三十七中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)，若對(duì)于任意的恒成立，則a的最小值等于

A．

B．

C．

D．參考答案：B略2.已知變量、滿足約束條件，則的最大值為Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．4參考答案：D略3.函數(shù)的大致圖象是（

）

A.

B.

C.

D參考答案：答案：C4.下列函數(shù)中，最小正周期為π的奇函數(shù)是（）A．y=sin（2x+） B．y=cos（2x+）C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx參考答案：B【考點(diǎn)】三角函數(shù)的周期性及其求法．【分析】由條件利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性和周期性得出結(jié)論．【解答】解：由于函數(shù)y=sin（2x+）=cos2x為偶函數(shù)，故排除A；由于函數(shù)y=cos（2x+）=﹣sin2x為奇函數(shù)，且周期為，故B滿足條件；由于函數(shù)y=sin2x+cos2x=sin（2x+）為非奇非偶函數(shù)，故排除C；由于函數(shù)y=sinx+cosx=sin（x+）為非奇非偶函數(shù)，故排除D，故選：B．5.集合A={0，2，a}，B={1，2,}，若A∪B={-4，0，1，2，16}，則a的值為（）A．1 B．2 C．-4 D．4參考答案：C略6.隨機(jī)抽取某籃球運(yùn)動(dòng)員2015年和2016年各10場(chǎng)籃球賽投籃得分X，得到如圖所示X的莖葉圖．2015、2016與S22015、S22016是分別是2015年和2016年X的平均數(shù)與方差，由圖可知（）A．2015＞2016，S22015＞S22016B．2015＞2016，S22015＜S22016C．2015＜2016，S22015＜S22016D．2015＜2016，S22015＞S22016參考答案：D【考點(diǎn)】BA：莖葉圖．【分析】根據(jù)莖葉圖計(jì)算出平均數(shù)，進(jìn)行比較即可，根據(jù)數(shù)據(jù)分布情況，可以判斷方差的大?。窘獯稹拷猓河汕o葉圖得2015=（8+10+16+24+25+26+28+30+32+40）=23.92016=（14+18+26+27+28+32+33+34+35+37）=28.4，則2015＜2016，由莖葉圖中數(shù)據(jù)可知，2015年的數(shù)據(jù)比較分散，而2016年的數(shù)據(jù)比較集中，則S22015＞S22016，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查莖葉圖的應(yīng)用，根據(jù)平均數(shù)和方差的定義是解決本題的關(guān)鍵．7.已知命題，命題，則命題是命題成立的（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：B

考點(diǎn)：1充分必要條件;2不等式.8.已知i是虛數(shù)單位，m和n都是實(shí)數(shù)，且m（1+i）=7+ni，則(

) A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i參考答案：D考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．分析：直接利用復(fù)數(shù)相等的條件求得m，n的值，然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)求值．解答： 解：由m（1+i）=7+ni，得m+mi=7+ni，即m=n=7，∴=．故選：D．點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)相等的條件，是基礎(chǔ)題．9.已知兩點(diǎn)M（－1，0）和N（1，0），若直線3x-4y+m=0上存在點(diǎn)P滿足，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A．

B．C．

D．參考答案：D略10.（多選題）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，以線段AB為直徑的圓交x軸于M，N兩點(diǎn)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為Q．若拋物線C上存在一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離等于3．則下列說法正確的是（

）A.拋物線的方程是 B.拋物線的準(zhǔn)線是C.的最小值是 D.線段AB的最小值是6參考答案：BC【分析】求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，運(yùn)用拋物線的定義可得p，進(jìn)而得到拋物線方程和準(zhǔn)線方程；求得，設(shè)，，直線l的方程為，聯(lián)立拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式可得線段AB的最小值，可得圓Q的半徑，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得Q的坐標(biāo)，運(yùn)用直角三角形的銳角三角函數(shù)的定義，可得所求的最小值.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，得拋物線的準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于3，可得，解得，則拋物線的方程為，準(zhǔn)線為，故A錯(cuò)誤，B正確；由題知直線的斜率存在，，設(shè)，，直線的方程為，由，消去得，所以，，所以，所以AB的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，，故線段AB的最小值是4，即D錯(cuò)誤；所以圓Q的半徑為，在等腰中，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，即C正確，故選：BC.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，課程中心方程和拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知三棱錐，為邊三角形，為直角三角形，，平面平面.若，則三棱錐外接球的表面積為

．參考答案：12.為了解某校高中學(xué)生的近視眼發(fā)病率，在該校學(xué)生中進(jìn)行分層抽樣調(diào)查，已知該校2014-2015學(xué)年高一、2014-2015學(xué)年高二、2015屆高三分別有學(xué)生800名、600名、500名．若2015屆高三學(xué)生共抽取25名，則2014-2015學(xué)年高一學(xué)生共抽取

名．參考答案：40考點(diǎn)：分層抽樣方法．專題：概率與統(tǒng)計(jì)．分析：根據(jù)分層抽樣在各部分抽取的比例相等求解．解答： 解：根據(jù)分層抽樣在各部分抽取的比例相等，分層抽樣抽取的比例為=，∴2014-2015學(xué)年高一應(yīng)抽取的學(xué)生數(shù)為800×=40．故答案為：40．點(diǎn)評(píng)：本題考查了分層抽樣的定義，熟練掌握分層抽樣的特征是關(guān)鍵．13.已知中的內(nèi)角為，重心為，若，則

.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】解三角形C8【答案解析】設(shè)為角所對(duì)的邊，由正弦定理得

，則即，又因?yàn)椴还簿€，則,,即所以，.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)正弦定理求出邊，根據(jù)余弦定理求出余弦值。14.若直線與雙曲線始終有公共點(diǎn)，則取值范圍是

。參考答案：

當(dāng)時(shí)，顯然符合條件；當(dāng)時(shí)，則15.直角坐標(biāo)系中橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為格點(diǎn)，如果函數(shù)f(x)的圖象恰好通過k個(gè)格點(diǎn)，則稱函數(shù)f(x)為k階格點(diǎn)函數(shù).下列函數(shù)：①；②；③；④其中是一階格點(diǎn)函數(shù)的有

.（填上所有滿足題意的序號(hào)）.參考答案：①②④16.已知，是方程的根，則=

．參考答案：略17.若直線是曲線的切線，則a的值是_____．參考答案：-1設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，則有，令，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，所以，故答案為．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分14分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到軸的距離多1．記點(diǎn)M的軌跡為C.（Ⅰ）求軌跡的方程；（Ⅱ）設(shè)斜率為的直線過定點(diǎn).求直線與軌跡恰好有一個(gè)公共點(diǎn)、兩個(gè)公共點(diǎn)、三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)k的相應(yīng)取值范圍.參考答案：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，依題意得，即，化簡(jiǎn)整理得.

故點(diǎn)M的軌跡C的方程為

（Ⅱ）在點(diǎn)M的軌跡C中，記，.依題意，可設(shè)直線的方程為由方程組

可得

①（1）當(dāng)時(shí)，此時(shí)把代入軌跡C的方程，得.故此時(shí)直線與軌跡恰好有一個(gè)公共點(diǎn).（2）當(dāng)時(shí)，方程①的判別式為.

②設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，則由，令，得.

③（?。┤粲散冖劢獾茫?即當(dāng)時(shí)，直線與沒有公共點(diǎn)，與有一個(gè)公共點(diǎn)，故此時(shí)直線與軌跡恰好有一個(gè)公共點(diǎn).（ⅱ）若或由②③解得，或.即當(dāng)時(shí)，直線與只有一個(gè)公共點(diǎn)，與有一個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)時(shí)，直線與有兩個(gè)公共點(diǎn)，與沒有公共點(diǎn).故當(dāng)時(shí)，直線與軌跡恰好有兩個(gè)公共點(diǎn).

（ⅲ）若由②③解得，或.即當(dāng)時(shí)，直線與有兩個(gè)公共點(diǎn)，與有一個(gè)公共點(diǎn)，故此時(shí)直線與軌跡恰好有三個(gè)公共點(diǎn).

綜合（1）（2）可知，當(dāng)時(shí)，直線與軌跡恰好有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與軌跡恰好有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與軌跡恰好有三個(gè)公共點(diǎn).19.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，sin2B=2sinAsinC．（1）若△ABC為等腰三角形，求頂角C的余弦值；（2）若△ABC是以B為直角頂點(diǎn)的三角形，且，求△ABC的面積．參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理．【分析】（1）由正弦定理化簡(jiǎn)已知的條件列出方程，由條件求出三邊的關(guān)系，由余弦定理求出cosC的值；（2）由（1）和勾股定理可得a=c，由條件求出a、c的值，代入三角形的面積公式求出答案．【解答】解：（1）由sin2B=2sinAsinC及正弦定理得：b2=2ac，又△ABC為等腰三角形，且頂角為C，則a=b，即b=2c，a=2c，由余弦定理可得：；（2）由（1）知，b2=2ac，∵B=90°，∴a2+c2=b2，∴a2+c2=2ac，即（a﹣c）2=0，則a=c，由得，所以△ABC的面積S==1．20.設(shè)橢圓，以短軸為直徑的圓面積為，橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的最小距離是，為坐標(biāo)原點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓和圓的方程；（Ⅱ）如圖，為橢圓的左右頂點(diǎn)，分別為圓和橢圓上的點(diǎn)，且軸，若直線分別交軸于兩點(diǎn)（分別位于軸的左、右兩側(cè)）.求證：，并求當(dāng)時(shí)直線的方程.參考答案：（1）由題意知∴，故所求橢圓方程為，圓（2）設(shè)，直線（易知斜率存在且不為0）將直線與聯(lián)立得：，即所以直線的斜率為，從而的方程為所以，設(shè)，則所以故此時(shí)，當(dāng)時(shí)，可得或者，故或者，所以直線的方程為或者或者21.（本題滿分15分）設(shè)函數(shù)，．（I）判斷函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性，并說明理由；（II）求最大的整數(shù)，使得對(duì)所有的及都成立．（注：.）參考答案：（I）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)……………2分

，

………………4分故在內(nèi)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，則函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，則函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減.………6分（II）注意到對(duì)任意，，

………………7分由（I），對(duì)任意，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.

………………8分故當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，，即，而，故；

………………10分同理，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，仍有.

所以對(duì)任意及，都有.

………………12分又，故，即.

因此能夠使得對(duì)所有的及都成立.………14分再注意到，故當(dāng)充分接近時(shí)，必有，這表明不能使得對(duì)所有的及都成立.所以為滿足要求的最大整數(shù).